Derivadas Parciais 1º e 2° Ordem- Lista

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EXERCíCIOS 11.3
CalculandoDerivadasParciaisdePrimeiraOrdem
Nosexercícios1- 22,encontreAflAxe (tfl(Jy.
1.f(x, y) = 2X2- 3)'- 4
3.f(x, y)= (X2- 1)(Y + 2)
4. .f(x,y) = 5xy- 7X2- y2+3x- 6y+2
5. .f(x,y) = (xy- 1)2 6. f(x, y) = (2x- 3y)~
7. f(x, y)= Yx2 +)'2 8. f(x, y) = (x~+ (yI2)f/~
9.f(x, y)= lI(x +y) 10..f(x,y) =xl(x2+y2)
11.J(x, y)= (x+y)1(xy- 1) 12.f(x, y)= arctg()'Ix)
13.f(x, y)= e(x+y+n 14.f(x, y)= e-xsen(x+y)
15.f(x. y) = In(x+y) 16.f(x, y) =eX"lny
17.J(x,y)=sen2(x- 3y) 18.f(x, y) =COS2(3x- i)
19.f(x, y) =x'" 20.f(x, y) = logrx
21.f(x, y) = f~rg(t)d! (comgcontínuaparatodot)
2. f(x. y)=X2 - x)' +/
00
22.f(x, y) = 2: (xy)/I
/1=0
(IxyI < 1)
Nosexercícios23-34,encontre.!:../;.ef~.
23.f(x.y.z)=1+xy2- 2<.2 24.f(x,y,z)=xy+yz+xz
25.f(x,)', z)=x - y)'2 +Z2
26.f(x,y. z)=(X2+/ +Z2)- 1/2
27.f(x,y.z)= aresen(xyz) 28.fex,y,z) =aresec(x+yz)
29.f(x, y, z)= 111(x+ 2y+ 3z)
30.f(x, y, z)= )'Z111(xy)
32.f(x, y, z)= e-x)';,
33.f(x, y, z)= tgh(x+2)'+ 3z)
34.f(x, )', z)= senh(x)'- Z2)
Nosexercícios35-40,encontrea derivadaparcial,dafunçãoem
relaçãoacadavariável.
31..f(x.y, z)=e-(,'~+Y'+ê')
35, f(t. 0')= cos (2m - 0')
37. h(p, (P, O)=psenrPcos e
36. g(u, v) = v2e(2,tlv)
38. g(r, e, z) =1'(1- cosO)- z
!
39.Trabalhoexercidopelocoração(VolumeI.,Seção3.6.Exercício41)
V<5v2
W(P,V.<5,v, g)=PV +- 2< g
40. Fórmula dotamanhodo lotede Wilson(Volume1, Seção3.5,
Exercício47)
km I1q
A(c, 11,k, m, q) = q + cm+2:
CalculandoDerivadasParciaisdeSegundaOrdem
Encontretodasasderivadasparciaisdesegundaordemdasfunções
nosexercícios41-46.
41.f(x, y) =x +y +x)' 42. f(x, y)= senxy
43. g(x,y) =x2y+cosy +Y senx
44. l1(x,y) =xe"+y + 1 45. r(x,y)= In(x+y)
46. s(x,y) = arctg(ylx)
Derivad.asParciaisMistas
Nosexercícios47-50,verifiquequew\"=Wyx.
47. w = ln(2x+3)') 48. w =c +x Iny +Y Inx
49. IV=xy2+x2i +X\4 50. W=x sen.r+.rsenx +x)'
51. Escrevendoparo aprenderQual ordemdederivaçãocalcu]ará/\y
maisrapidamente:primeirox ouprimeiroy?Tenteresponder
semfazeranotações.
(a) f(x, y) =x seny + e"
(b) f(x, y) = lIx
(c) l(x. y) =)' + (xl)')
(d) f(x, .1')=Y +x2y+4y<- In(.1'2+ 1)
(c) f(x, y) =X2+ 5x.1'+ senx +7eX
(O f(x, .1')=x]nx.1'
52. EscrevendoparaaprenderA derivadaparcialdequintaordem
AYIAx2éJy~é zero para cada uma das funçõesa seguir.Para
mostrarisso o mais rapidamentepossível,em relaçãoa qual
282 Capítulo11:FunçõesdeVáriasVariáveise SuasDerivadas
variávelvocêdiferenciaprimeiro:x ouy? Tenterespondersem
fazeranotações.
(a) f(x, y) = lx4ex + 2
(b)f(;r,y)=y2+y(senx - x4)
(c) f(x, y) = .\"2+ 5xy+ senx + 7e~
(d) f(x, y) = xe)'/2
Usandoa DefiniçãodeDerivadaParcial
Nosexercícios53e 54,usea definiçãodederivadaparcialcomo
limiteparacalcularasderivadasparciaisdasfunçõesnospontos
especifi"cádos.
af af_a e -;- em(1,2)x uy
af af
:J e -;- em(- 2,1)ux uy
55. Trêsv(]riúveisSejaw =f(.\",y, z)umafunçãodetrêsvariáveis
independentes.Escrevaadefiniçãoformaldaderivadaparcial
éJf!éJzem (xo,Yo, zo).Use essadefiniçãoparaencontrariJjJ vz
em(1,2,3) paraf(x, y, z) =x2yz2.
53.f(x, y)= 1- x +y - 3x2y;
54.f(x, y) =4 +2x- 3)'- xy2,
56. TrêsvariúveisSejaw =f(x, )', z)umafunçãodetrêsvariáveis
independentes.Escrevaadefiniçãoformaldaderivadaparcial
éJf!éJyem (xo, )'0, zo). Use essa definição para encontrar Df!éJy
em(-1, O,3)paraf(x,)',z)= -2x/ + )'Z2.
DiferenciandoImplicitamente
57. Encontreo valordeaziaxnoponto(1, I, 1) sabendoquea
equação
xy+Z3X- 2yz=O
definezcomoumafunçãodeduasvariáveisindependentesxe
yequeaderivadaparcialexiste.
58.EncontreovalordedX/éJznoponto(1,-1, -3) sabendoquea
equação
xz+Y lnx - X2+ 4 =O
definexcomoumafunçãodeduasvariáveisindependentesye
zequeaderivadaparcialexiste.
Osexercícios59e60estãorelacionadoscomo triângulomostra-
doaqui.
B~
C b A
59. ExpresseA implicitamentecomoumafunçãodea,bec ecal-
culedA/daeaA/ab.
60. Expressea implicitamentecomoumafunçãodeA, b eB ecal-
cule éJa/éJA e da/éJE.
61. DuasvariáveisdependentesExpressev.Iemtermosdeli ev se
asequaçõesx =v ln li e y =li ln v definemli e v como
funçõesdasvariáveisindependentesxey esev~existe.(Dica:
Diferencieambasasequaçõesemrelaçãoax eresolvaparav~
usandoaRegradeCramer.)
62. DuasvariáveisdependentesEncontredX/ ali e éJy/()lIseas equa-
ções11=X2 - l ev =r - ydefinemxeycomofunçõesdas
variáveisindependentes11e v e asderivadasparciaisexistem.
(Veja a dicado Exercício61.) Entãofaças =X2 + l eencon-
treas/VII.
EquaçõesdeLaplace
A equaçãodcLaplacetl"idimensional
a'7. a'7. a'7.-+-+-=0
(/;r iJy2 az2
ésatisfeitapelasdistribuiçõesdetemperaturanoestadoestacioná-
rioT ==f(x, y, z)noespaço,pelospotenciaisgravitaciouaisepelos
potenciaiseletrostáticos.A equaçãodeLaplacebidill1ensional
iJ 7' (J2f
- +- =o,
ax2 ay2
obtidaeliminando-seo termoéljJ ()Z2daequaçãoanterior,descreve
potenciaise distribuiçõesdetemperaturanoestadoestacionáriono
plano(Figura11.19).
iJ2f éJ2f-+--0
iJx2 iJy2
/
(a)
(b)
FIGURA 11.19 Distribuiçõesdetemperaturanoestadoesta-
cionárioemplanose sólidossatisfazemasequaçõesde
Laplace.O plano(a)podesertratadocomoun1afatiafil~a
do sólido(b) perpendicularaoeixoz.
Mostrequecadafunçãodosexercícios63-68 satisfazuma
eqLH~çãodeLaplace.
63.f(x, y, z) =X2 +i - 2Z2
64. f(x, )', z) = 2Z3- 3(X2+i)z
65.f(x, y) =e-2ycos2x
66.f(x, y) = luVX2 +y2
67.f(x, y, z) ==(X2+y2+ Z2)-1/2
68.f(x, y, z) =e3x+4Ycos5z
A EquaçãodaOnda
Seficarmosemumapraiaetirarmosumafotografiadasondas,esta
mostraráumpadrãoregulardepicosedepressõesemumdadoins-
tante.Veremosmovimentoverticalperiódiconoespaço,emrela-
çãoà distância.Seficarmosnaágua,poderemossentira subidae
descidadaáguacomo passardasondas.Veremosmovimento
periódicoverticalnotempo.Emfísica,essabelasimetriaéexpres-
sapelaequaçãodeondaunidimensional
() 2HI 2 () 2W-=c-
rit2 ()x2 '
ondeli' é a alturada onda,x é a variáveldistância,t é a variável
tempoe c é avelocidadecomaqualasondassepropagam.
w
11.4 ARegradaCadeia 283
Em nossoexemplo,x é a distânciaaolongodasuperfíciedo
mar,masemoutrasaplicaçõesx podesera distânciaaolongode
umacordavibrando,adistâncianoar(ondassonoras)ouadistân-
cianoespaço(ondasluminosas).O númeroevariadeacordocom
omeioeotipodeonda.
Mostrequeasfunçõesnosexercícios69-75sãotodassoluções
daequaçãodeonda.
69. \V=sen(x+ct) 70. w = cos(2x+ 2er)
71.\V =sen(x+ct)+cos(2x+2ct)
72. W=ln(2x+2ct)
73. \V=tg (2x - 2el)
74. w = 5cos(3x+ 3ct)+ ex+ct
75. w = f(u), ondef é umafunçãodiferenciávelde 11e 11=
a(x + ct),ondeaéumaconstante.
DerivadasParciaisContínuas
76. EscrevendoparaaprenderUmafunçãof(x, y) comderivadas
parciaisdeprimeiraordemcontínuasemumaregiãoabert~R
devesercontínuaemR? Justifiquesuaresposta.
77. EscrevendoparaaprcnderSeumafunção.fC-r,y) tiverderivadas
parciaisdesegundaordemcontínuasemumaregiãoabertaR,
asderivadasparciaisdeprimeiraordemde.fdevemsercontí-
nuasemR? Justifiquesuaresposta.