Gradiente, Divergnte e Rotacional

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Campos vetoriais
. – p.1/??
Campo de vetores
É uma função cujos valores são vetores e estabelece uma
regra que associa:
um vetor 2D �
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a cada
ponto
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numa região do plano � �, ou
um vetor 3D
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a
cada ponto
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numa região do espaço � � �.
. – p.2/??
Campo de vetores
Exercício: Traçar o campo de vetores
	
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.
. – p.2/??
Operador Nabla:
O operador Nabla é definido como :
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�
coord. retangulares
. – p.3/??
Gradiente:
O gradiente de uma função escalar � � � ����� �� � � é
expresso como:
�
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�
�
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coord. retangulares
O gradiente é interpretado como a direção em que a máx-
ima variação da função ocorre.
. – p.4/??
atuando sobre campos vetoriais
1) um campo escalar
2) um campo vetorial
3) um campo tensorial
. – p.5/??
Divergente: �
O divergente de um vetor é um escalar, expresso por:
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
coord. retangulares
Fisicamente, o divergente é interpretado como um fluxo
pontual.
. – p.6/??
Operador Laplaciano:
�
O operador Laplaciano é um escalar definido como
divergente de um campo gradiente
�
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�
Fisicamente, o Laplaciano é interpretado como a concavi-
dade no comportamento da função �.
. – p.7/??
Função Harmônica
Uma função escalar � é harmônica se essa função for de
classe �
�
e se satisfizerem a Equação de Laplace
�
�
�
�
�
. – p.8/??
Rotacional
O rotacional de um vetor é um vetor, expresso por:
�
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�
coord. retangulares
Fisicamente, o rotacional é interpretado como uma circu-
lação no espaço.
. – p.9/??
Divergência do rotacional
Se � � 	
 � 
 	� � 
 	 � � é de classe �
�
�
�
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�
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�
�
. – p.10/??
Rotacional de um gradiente escalar
Se � é uma função escalar de classe �
�
então
�
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�
�
. – p.11/??
Rotacional de rotacional
�
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�
�
�
�
�
�
. – p.12/??
Representação dos Campos de
Velocidade
Um campo de velocidade é associado aos seus campos
de:
divergência � � � � �
Se o campo de � � � através de uma região, então
o fluxo é solenoidal ou incompressível.
vorticidade � � � � �
Se o campo de � � � o fluxo é irrotacional.
. – p.13/??
Velocidade potencial
Para qq escalar
�
�
�
�
�
�
�
�
Qdo � é irrotacional é natural achar uma função � tal que
�
�
�
�
Essa função é obtida da equação diferencial,
�
�
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�
�
. – p.14/??
Vetor potencial para
Para qq campo
�
�
�
�
�
�
�
�
�
tenta–se representar um fluxo incompressível como
�
�
�
�
�
Essa função é obtida da equação diferencial,
�
�
�
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�
�
�
�
�
�
�
Linhas de � constantes são chamadas de linhas de cor-
rente
. – p.15/??
Fluxos Gerais
Idéia é representar � como a soma de uma componente
incompressível e uma irrotacional formadas pelo potencial
e pelo vetor potencial
. – p.16/??
Integrais de linha
Integrais de linhas estão associadas a determinação de
um valor ao longo de um percurso.
Integrais de linhas são utilizadas para para calcular:
a taxa de escoamento de um fluido atravessando uma
curva orientada em um plano � � ou o
trabalho realizado por um objeto, quando ele descreve
uma curva orientada no plano � �.
. – p.17/??
Integral de linha
No plano a integral de linha pode ser indicada por
�
�
�
�
para uma curva � e funções � � � ����� � � , em que
�
�
�
�
�
�
�
�
� indica o deslocamento dessa curva.
Nesse caso pode–se interpretar a integral de linha como
uma diferença de áreas, como no caso usual de integral
definida, neste caso a área da superfície vertical entre a
curva
�
a função � .
. – p.18/??
Circulação de um vetor
A integral de linha de um gradiente é independente do cam-
inho seguido, i.e., só depende dos limites de integração.
. – p.19/??
	Campos vetoriais
	Campo de vetores
	Operador Nabla: $nullabla $
	Gradiente: $nullabla phi $ 
	$nullabla $ atuando sobre campos vetoriais
	Divergente: $nullabla cdot mathrm {V} $
	Operador Laplaciano: $nullabla ^2$
	Função Harmônica
	Rotacional
	Divergência do rotacional
	Rotacional de um gradiente escalar
	Rotacional de rotacional
	Representação dos Campos de Velocidade
	Velocidade potencial
	Vetor potencial para $mathbf {V}$
	Fluxos Gerais
	Integrais de linha
	Integral de linha
	Circulação de um vetor