Apostila de CA II - JBC

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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA 
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
 
 
ESTRUTURAS DE CONCRETO 
ARMADO II 
 
 
 
 
Autor 
Prof. João Bosco da Costa, M.Sc. 
 
MATERIAIS I-1 
 
___________________________________________________________________ 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. 
 
 
CAPÍTULO I - DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO DOS MATERIAIS 
 
 
1.1 – Aços (Item 8.3.6): 
 
O módulo de elasticidade dos aços Es é admitido constante e igual a 210 Gpa. 
O diagrama tensão-deformação do aço, resistência ao escoamento e à tração, os 
valores característicos da resistência ao escoamento ykf , da resistência à tração stkf e 
da deformação na ruptura ukε devem ser obtidos de ensaios de tração realizados 
segundo a NBR 6152. O valor de ykf para os aços sem patamar de escoamento é o 
valor da tensão correspondente à deformação permanente de 2 o/oo. 
Para cálculo nos estados-limite de serviço e último pode-se utilizar o diagrama 
simplificado mostrado na figura 1.1, para os aços com ou sem patamar de escoamento. 
 
Figura 1.1 - Diagrama tensão-deformação para aços de armaduras passivas 
 
Este diagrama é válido para intervalos de temperatura entre -20ºC e 150ºC e pode 
ser aplicado para tração e compressão. 
 
 
1.2 – Concreto: 
 
a)- Módulo de Elasticidade (Item 8.2.8): 
 
O módulo de elasticidade ou módulo de deformação tangente inicial, deve ser 
obtido segundo ensaio descrito na NBR 8522. Quando não forem feitos ensaios e não 
existirem dados mais precisos sobre o concreto usado na idade de 28 dias, pode-se 
estimar o valor do módulo de elasticidade usando a expressão : 
 
 ckci fE ⋅= 5600 
onde Eci e fck são dados em megapascal (MPa). 
 
MATERIAIS I-2 
 
___________________________________________________________________ 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. 
O módulo de elasticidade numa idade 7≥j dias pode também ser avaliado 
através dessa expressão, substituindo-se ckf por ckjf . 
Quando for o caso, é esse o módulo de elasticidade a ser especificado em projeto 
e controlado na obra. 
O módulo de elasticidade secante a ser utilizado nas análises elásticas de projeto, 
especialmente para determinação de esforços solicitantes e verificação de estados 
limites de serviço, deve ser calculado pela expressão : 
 
 cics EE ⋅= 85,0 
 
Na avaliação do comportamento de um elemento estrutural ou seção transversal 
pode ser adotado um módulo de elasticidade único, à tração e à compressão, igual ao 
módulo de elasticidade secante ( csE ). 
Na avaliação do comportamento global da estrutura, pode ser utilizado em projeto 
o módulo de deformação tangente inicial ( ciE ). 
 
b)- Resistência de Cálculo do Concreto (Item 12.3.3): 
 
No caso específico da resistência de cálculo do concreto ( cdf ), alguns detalhes 
adicionais são necessários, conforme a seguir descrito: 
 
b1)- quando a verificação se faz em data j igual ou superior a 28 dias, adota-se a 
expressão: 
 
c
ck
cd
f
f γ= 
Nesse caso, o controle da resistência à compressão do concreto deve ser feito 
aos 28 dias, de forma a confirmar o valor de fck adotado no projeto; 
 
b2)- quando a verificação se faz em data j inferior a 28 dias, adota-se a expressão: 
 
c
ck
c
ckj
cd
fff γβγ ⋅≅= 1 
 sendo β1 a relação ckckj ff dada por: 
 
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −⋅=
t
s 281exp1β 
onde: 
s = 0,38 para concreto de cimento CPIII e IV; 
s = 0,25 para concreto de cimento CPI e II; 
s = 0,20 para concreto de cimento CPV-ARI. 
t é a idade efetiva na análise dos esforços resistentes do concreto, em dias. 
 
Essa verificação deve ser feita aos t dias, para as cargas aplicadas até essa data. 
Ainda deve ser feita a verificação para a totalidade das cargas aplicadas aos 28 
dias. 
 
MATERIAIS I-3 
 
___________________________________________________________________ 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. 
Nesse caso, o controle da resistência à compressão do concreto deve ser feito em 
duas datas: aos t dias e aos 28 dias, de forma a confirmar os valores de ckjf e ckf 
adotados no projeto. 
 
 
 
c)- Diagrama Tensão-Deformação (Item 8.2.9): 
 
Para tensões de compressão menores que cf⋅5,0 , pode-se admitir uma relação 
linear entre tensões e deformações, adotando-se para módulo de elasticidade o valor 
secante dado pela expressão constante do item anterior. 
Para análises no estado limite último, pode ser empregado o diagrama tensão-
deformação idealizado mostrado na figura 1.2. 
Como o concreto é um material cuja resistência depende de inúmeros fatores 
que variam como o tempo, Hubert Rüsch, após ensaios realizados com os corpos de 
prova carregados com diferentes velocidades de carregamento, concluiu que o concreto 
pode, para fins de dimensionamento, ser admitido com uma resistência de pico igual a 
)2(*85,0 fc , sondo 85,0 o produto de três fatores: 3mod2mod1mod ** kkk . 
1modk - correspondendo ao efeito de ganho de resistência após 28 dias, conhecido 
como amadurecimento do concreto ( )23,11mod =k . 
2modk - que corresponde a perda de resistência do concreto no ensaio de carga 
mantida ( )72,02mod =k . 
3modk - coeficiente que procura corrigir o erro associado ao ensaio de corpos de 
prova cilíndricos e a real resistência da estrutura 96,03modk . 
Portanto, como se sabe, este coeficiente, chamado de coeficiente Rüsch, é 
utilizado multiplicado à tensão de pico do concreto, ou seja, cdf*85,0 . Desta forma, está 
considerado nos modelos de cálculo o crescimento por amadurecimento e a perda por 
carga mantida que ocorrerão após o marco dos 28 dias, então, a resistência do concreto 
para fins de verificação de segurança, deve ser tomada na idade de referência de 28 
dias, não cabendo a consideração de ganhos de resistência após esta data, senão 
aqueles que superem as próprias expectativas da teoria que admite 23% de ganho em 
aproximadamente dois anos e meio. 
 
Figura 1.2 – Diagrama tensão – deformação idealizado do concreto 
 
MATERIAIS I-4 
 
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ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. 
1.3 – Bibliografia: 
 
 
[ 1 ] – ABNT, Associação de Normas e Técnicas. Norma Brasileira NBR-6118. 
Projeto de estruturas de concreto – Procedimentos. Rio de Janeiro, 
2004. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
HIPÓTESES BÁSICAS II-1 
 
 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. 
 
 
 
CAPÍTULO II - HIPÓTESES BÁSICAS (Item 17.2.2): 
 
 
2.1 - Domínios: 
 
Na análise dos esforços resistentes de uma seção de viga ou pilar, devem ser 
consideradas as seguintes hipóteses básicas: 
 
a) as seções transversais se mantêm planas após deformação; 
 
b) a deformação das barras aderentes em tração ou compressão, deve ser a 
mesma do concreto em seu entorno; 
 
c) as tensões de tração noconcreto, normais à seção transversal, podem ser 
desprezadas; 
 
d) a distribuição de tensões no concreto se faz de acordo com o diagrama 
parábola retângulo definido no item 1.2.c com tensão de pico igual a 0,85 cdf , com cdf 
definido conforme item 1.2.b. Esse diagrama pode ser substituído pelo retângulo de 
altura x⋅8,0 (onde x é a profundidade da linha neutra), com a seguinte tensão: 
 
- 0,85 cdf no caso da largura da seção, medida paralelamente à linha neutra, não 
diminuir a partir desta para a borda comprimida; 
 
- 0,80 cdf no caso contrário; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.1 – Distribuição das Tensões no Concreto. 
 
As diferenças de resultados obtidos com esses dois diagramas são pequenas e 
aceitáveis, sem necessidade de coeficiente de correção adicional. 
 
e) a tensão nas armaduras deve ser obtida a partir dos diagramas tensão-
deformação, com valores de cálculo, definidos nos item1.1. 
 
HIPÓTESES BÁSICAS II-2 
 
 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. 
 
f) o estado limite último é caracterizado quando a distribuição das deformações na 
seção transversal pertencer a um dos domínios definidos na figura 2.2. 
 
 
 
Figura 2.2 – Domínios de Estado Limite Último de uma seção transversal 
 
• Deformação plástica excessiva: 
 
¾ Reta a: Tração uniforme; 
¾ Domínio 1: Tração não uniforme, sem compressão; 
¾ Domínio 2: Flexão simples ou composta sem ruptura à compressão do 
concreto ( 00
05,3=cε ) e com máximo alongamento ( 00010 ) permitido na 
armadura. 
 
• Ruptura: 
 
¾ Domínio 3: Flexão simples (seção normalmente armada) ou composta, 
com simultaneidade de escoamento do aço tracionado e com tensão de 
ruptura no concreto da região comprimida; 
¾ Domínio 4: Flexão simples (seção super-armada) ou composta, sendo 
que o concreto atinge a tensão de ruptura antes que aço entre em 
escoamento ( ydsd εε = ); 
¾ Domínio 4a: Flexão composta com armaduras comprimidas; 
¾ Domínio 5: Compressão não uniforme, sem tensões de tração; 
¾ Reta b: Compressão uniforme. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
HIPÓTESES BÁSICAS II-3 
 
 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. 
 
2.2 – Bibliografia: 
 
[ 1 ] – ABNT, Associação de Normas e Técnicas. Norma Brasileira NBR-6118. 
Projeto de estruturas de concreto – Procedimentos. Rio de Janeiro, 
2004. 
 
[ 2 ] – Santos, Lauro Modesto. Cálculo de Concreto Armado, Vol 1. Editora LMS 
Ltda. São Paulo, 1983. 
DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS DE PILARES III - 1 
 
 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. 
 
 
 
3- PRESCRIÇÕES DA NBR-6118:2007 PARA DIMENSIONAMENTO 
E DETALHAMENTO DE PILARES: 
 
 
3.1 – Dimensões Mínimas de Pilares e Pilares-Parede (Item 13.2.3): 
 
 
A seção transversal de pilares não deve apresentar dimensão menor que 19 cm. 
 
Em casos especiais, permite-se a consideração de dimensões entre 19 cm e 12 
cm, desde que se multiplique as ações a serem consideradas no dimensionamento por 
um coeficiente adicional γn, de acordo com o indicado na tabela 3.1. 
 
Tabela 3.1 – Valores do coeficiente adicional γn 
 
Menor dimensão da seção do pilar (b) 
a ≥ 19 18 17 16 15 14 13 12 
γn 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 
O coeficiente γn deve majorar os esforços solicitantes finais de cálculo nos 
pilares, quando de seu dimensionamento. 
 
 
3.2 – Ancoragem ou Comprimento de Transpasse (Item 9.4): 
 
 
a)- Resistência à Tração: 
 
A resistência à tração direta pode ser avaliada por meio das seguintes equações: 
 
fctm = 0,3 3 2ckf 
fctk,inf = 0,7 fctm 
fctk,sup = 1,3 fctm 
onde: 
 
fctm e fck são expressos em megapascais. 
 
Sendo fckj ≥ 7MPa, estas expressões podem também ser usadas para idades 
diferentes de 28 dias. 
 
 b)- Verificação da Aderência (posições da barra durante a concretagem) : 
 
Considera-se em boa situação quanto à aderência os trechos das barras que 
estejam em uma das posições seguintes: 
 
DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS DE PILARES III - 2 
 
 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. 
- Com inclinação maior que 45° sobre a horizontal; 
 
- As barras horizontais ou com inclinação menor que 45° sobre a horizontal, para 
elementos estruturais com h < 60 cm, localizados no máximo 30 cm acima da face 
inferior do elemento ou da junta de concretagem mais próxima ou para elementos 
estruturais com h ≥ 60 cm, localizados no mínimo 30 cm abaixo da face superior do 
elemento ou da junta de concretagem mais próxima. 
 
Os trechos das barras em outras posições e quando do uso de formas deslizantes 
devem ser considerados em má situação quanto à aderência. 
 
c)- Valores das Resistências de Aderência: 
 
A resistência de aderência de cálculo entre armadura e concreto na ancoragem de 
armaduras passivas deve ser obtida pela seguinte expressão: 
 
fbd = η1 η2 η3 fctd 
 
sendo: 
 
fctd = fctk,inf / γc 
 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
)50(25,2
)60(4,1
)6025(0,1
1
CAnervuradasbarraspara
dentadoCAdentadasbarraspara
CAouCAlisasbarraspara
η 
 
⎩⎨
⎧=
aderênciamádesituaçõespara
aderênciaboadesituaçõespara
7,0
0,1
2η 
 
⎩⎨
⎧
 >)/100
<=
mmpara
mmpara
32, - (132
320,1
3 φφ
φη 
 
d)- Comprimento de Ancoragem Longitudinal: 
 
Define-se comprimento de ancoragem básico como o comprimento reto de uma 
barra de armadura passiva necessário para ancorar a força limite Asfyd nessa barra, 
admitindo, ao longo desse comprimento, resistência de aderência uniforme e igual a fbd. 
 
O comprimento de ancoragem básico é dado por: 
 
 
bd
yd
b f
f
l *
4
φ= 
 
 
 
 
 
DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS DE PILARES III - 3 
 
 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. 
O comprimento de ancoragem necessário pode ser calculado por: 
 
 min,
,
,
1, ** b
efs
calcs
bnecb lA
A
ll ≥= α 
sendo: 
 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥
=
.3gancho do 
ao normal plano no cobrimento com gancho, com as tracionadbarras para 0,7
gancho, sem barras para 1,0
1
φ
α 
 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥
cm
l
l
b
b
10
10
3,0
min, φ 
 
Permite-se, em casos especiais, considerar outros fatores redutores do 
comprimento de ancoragem necessário. Na tabela D.1 do apêndice D, apresenta-se os 
valores do comprimento de ancoragem básico ( lb ), variando-se a resistência do 
concreto ( fck ). 
 
e)- Ancoragem de estribos: 
 
Os ganchos dos estribos podem ser : 
 
- semi circulares ou em ângulo de 45º (interno), com ponta reta de comprimento 
igual a 5φt, porém não inferior a 5 cm; 
- em ângulo reto, com ponta reta de comprimento maior ou igual a 10φt, porém não 
inferior a 7 cm (este tipo de gancho não deve ser utilizado para barras e fios lisos). 
 
O diâmetro interno da curvatura dos estribos deve ser, no mínimo, igual ao índice 
dado na tabela 3.2. 
 
Tabela 3.2 - Diâmetro dos pinos de dobramento para estribos 
 
Bitola 
mm 
 Tipo de aço 
CA-25 CA-50 CA-60 
≤ 10 3 φt 3 φt 3 φt 
10<φ< 20 4 φt 5 φt 6 φt 
≥ 20 5 φt 8 φt - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS DE PILARES III - 4 
 
 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc.3.3 – Armaduras Longitudinais (Item 18.4.2): 
 
 
a) – Armadura Mínima: 
 
 A taxa de armadura deve ter o valor mínimo, expresso a seguir: 
 
 %4.0**15.0min ≥== νρ
yd
cd
c
s
f
f
A
A 
 sendo: 
 
cdc
d
fA
N
*
=ν ,onde ν é o valor da força normal em termos adimensionais. 
 
b) – Armadura Máxima: 
 
 A maior armadura possível em pilares deve ser 8% da seção real, considerando-
se inclusive a sobreposição de armadura existente em regiões de emenda, ou seja: 
 
 %0.8max ≤=
c
s
A
Aρ 
 
c) – Diâmetro Mínimo e Máximo: 
 
 10.0 mm ≤ φl ≤ menor dimensão / 8 
 
d) – Número Mínimo de Barras: 
 
 - Seções poligonais = 1 barra em cada vértice; 
 - Seções circulares = 6 barras distribuídas ao longo do perímetro. 
 
e) – Espaçamentos Entre Barras: 
 
 O espaçamento livre entre armaduras, medido no plano da seção transversal, 
fora da região de emendas, deve ser igual ou superior ao maior dos valores: 
 
 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥
)(*2.1
*2
2
min
emendasnasinclusive
cm
e
agregado
l
φ
φ 
 
 O espaçamento máximo entre eixos das barras deve ser: 
 
 ⎩⎨
⎧ ∗≤
cm
DimensãoMenor
e
40
2
max 
 
 
 
DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS DE PILARES III - 5 
 
 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. 
3.4 – Armaduras Transversais – Estribos (Item 18.4.3): 
 
 
A armadura transversal de pilares, constituída por estribos e, quando for o caso, 
por grampos suplementares, deve ser colocada em toda a altura do pilar, sendo 
obrigatória sua colocação na região de cruzamento com vigas e lajes. 
 
a) – Bitola Mínima: 
 
 
⎩⎨
⎧≥
4/
0.5
l
t
mm
φφ 
 
b) – Espaçamento entre Estribos: 
 
 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−
−≤
)50(*12
)25(*24
;
;20
CAPara
CAPara
SeçãodaDimensãoMenor
cm
S
l
l
φ
φ 
 
 Pode ser adotado o valor φt < φl /4 desde que as armaduras sejam constituídas do 
mesmo tipo de aço e o espaçamento respeite também a limitação: 
 
 
ykl
t
f
s 19000
2
max ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛= φ
φ
 onde fyk é dado em MPa 
 
Quando houver necessidade de armaduras transversais para cortantes e torção, 
esses valores devem ser comparados com os mínimos especificados para vigas. 
 
c) – Proteção Contra Flambagem das Barras: 
 
Os estribos poligonais garantem contra a flambagem as barras longitudinais 
situadas em seus cantos e as por eles abrangidas, situadas no máximo à distância de 
20 Фt do canto, se nesse trecho de comprimento 20 Фt não houver mais de duas 
barras, não contando a de canto. Quando houver mais de duas barras nesse trecho 
ou barra fora dele, deve haver estribos suplementares. 
Se o estribo suplementar for constituído por uma barra reta, terminada em 
ganchos, ele deve atravessar a seção do elemento estrutural e os seus ganchos 
devem envolver a barra longitudinal. Se houver mais de uma barra longitudinal a ser 
protegida junto à mesma extremidade do estribo suplementar, seu gancho deve 
envolver um estribo principal em ponto junto a uma das barras, o que deve ser 
indicado no projeto de modo bem destacado. 
 
 
 
 
 
 
DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS DE PILARES III - 6 
 
 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. 
 
 
 
 
 Figura 3.1 – Proteção contra a flambagem das Barras 
 
 
3.5 – Cobrimento (Item 7.4.7) 
 
 
a)- Agressividade do Ambiente: 
 
Nos projetos das estruturas correntes, a agressividade ambiental pode ser 
classificada de acordo com o apresentado na tabela 3.3. 
 
Tabela 3.3 - Classes de agressividade ambiental 
 
Classe de 
agressividade 
ambiental (CAA) 
Agressividade Risco de deterioração da estrutura 
I Fraca insignificante 
II Moderada pequeno 
III forte grande 
IV muito forte elevado 
 
A agressividade do meio ambiente às estruturas de concreto armado e 
protendido pode ser avaliada, simplificadamente, segundo as condições de exposição 
da estrutura ou de suas partes, conforme estabelece a tabela 3.4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS DE PILARES III - 7 
 
 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. 
Tabela 3.4- Classes de agressividade ambiental em função das condições 
de exposição 
 Micro-clima 
Macro-clima Ambientes internos Ambientes externos e 
obras em geral 
 Seco1) 
UR≤65% 
Úmido ou 
ciclos2) de 
molhagem 
e secagem 
Seco3) 
UR ≤ 65% 
Úmido ou 
ciclos4) de 
molhagem 
e secagem 
Rural I I I II 
Urbana I II I II 
Marinha II III ----- III 
Industrial II III II III 
Especial 5) II III ou IV III III ou IV 
Respingos de maré ----- ----- ----- IV 
Submersa ≥ 3m ----- ----- ----- I 
Solo ----- ----- agressivo I Úmido e 
agressivo 
II, III ou IV 
1) Salas, dormitórios, banheiros, cozinhas e áreas de serviço de 
apartamentos residenciais e conjuntos comerciais ou ambientes com 
concreto revestido com argamassa e pintura. 
2) Vestiários, banheiros, cozinhas, lavanderias industriais e garagens. 
3) Obras em regiões de clima seco, e partes da estrutura protegidas de 
chuva em ambientes predominantemente secos. 
4) Ambientes quimicamente agressivos, tanques industriais, galvanoplastia, 
branqueamento em indústrias de celulose e papel, armazéns de 
fertilizantes, indústrias químicas. 
5) Macro clima especial significa ambiente com agressividade bem 
conhecida, que permite definir a classe de agressividade III ou IV nos 
ambientes úmidos. Se o ambiente for seco, deve ser considerada classe de 
agressividade II nos ambientes internos e classe de agressividade III nos 
externos. 
 
 
 
 
DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS DE PILARES III - 8 
 
 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. 
b)- Qualidade do concreto e cobrimento: 
 
A durabilidade das estruturas é altamente dependente das características do 
concreto e da espessura e qualidade do concreto do cobrimento da armadura. 
Ensaios comprobatórios de desempenho da durabilidade da estrutura frente ao 
tipo e nível de agressividade previsto em projeto devem estabelecer os parâmetros 
mínimos a serem atendidos. Na falta destes e devido à existência de uma forte 
correspondência entre a relação água/cimento ou água/aglomerante, a resistência à 
compressão do concreto e sua durabilidade, permite-se adotar os requisitos mínimos 
expressos na tabela 3.5. 
 
Tabela 3.5 - Correspondência entre classe de agressividade e qualidade do 
concreto 
Concreto Tipo Classe de agressividade (tab 3.3) 
I II III IV 
Relação 
água/aglomerante 
em massa 
 
CA 
 
 
≤ 0,65 
 
≤ 0,60 
 
≤ 0,55 
 
≤ 0,45 
Classe de concreto 
 (NBR 8953) 
CA 
 
≥ C20 ≥ C25 ≥ C30 ≥ C40 
NOTAS : CA Componentes e elementos estruturais de concreto armado 
 
Para garantir um cobrimento mínimo (cmin) o projeto e a execução devem 
considerar o cobrimento nominal (cnom), que é o cobrimento mínimo acrescido da 
tolerância de execução (Δc). Assim as dimensões das armaduras e os espaçadores 
devem respeitar os cobrimentos nominais. 
 
Nos casos de haver um adequado controle de qualidade e rígidos limites de 
tolerância da variabilidade das medidas durante a execução pode-se adotar o valor 
Δc=5 mm. Em caso contrário, nas obras correntes, seu valor mínimo é de Δc=10 mm. 
Os cobrimentos nominais e mínimos estão sempre referidos à superfície da 
armadura externa, em geral à face externa do estribo. O cobrimentonominal de uma 
determinada barra deve sempre ser: 
cnom ≥ φ �barra 
cnom ≥ φ �feixe = φn = φ n 
 
A dimensão máxima característica do agregado graúdo, utilizado no concreto 
não pode superar em 20% a espessura nominal do cobrimento, ou seja: 
 
dmax ≤ 1.2 cnom 
 
 
 
 
 
 
DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS DE PILARES III - 9 
 
 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. 
Tabela 3.6- Correspondência entre classe de agressividade ambiental e 
cobrimento nominal para Δc=10mm 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.6 – Bibliografia: 
 
 
[ 1 ] – ABNT, Associação de Normas e Técnicas. Norma Brasileira NBR-6118. 
Projeto de estruturas de concreto – Procedimentos. Rio de Janeiro, 
2004. 
 
 
 
 
Componente 
ou elemento 
Classe de agressividade ambiental (tab 3.3) 
I II III IV 
Cobrimento nominal (mm) 
Concreto 
armado Pilares
 25 30 40 50 
 
DIMENSIONAMENTO DE PILARES IV - 1 
 
 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. 
 
CAPÍTULO IV – DIMENSIONAMENTO DE PILARES: 
 
 
4.1- Definição (Item 14.4.1.2) 
 
Os pilares são elementos lineares de eixo reto, usualmente dispostos na vertical, 
em que as forças normais de compressão geralmente são preponderantes. 
 
 
4.2- Efeitos de 2a Ordem: 
 
Os efeitos de 2ª ordem são aqueles que se somam aos obtidos numa análise de 
primeira ordem (em que o equilíbrio da estrutura é estudado na configuração geométrica 
inicial), quando a análise do equilíbrio passa a ser efetuada considerando a 
configuração deformada. 
 Os efeitos de 2a Ordem 
podem ser desprezados sempre 
que não representarem acréscimo 
superior a 10% nas reações e nas 
solicitações relevantes da 
estrutura. Na figura 4.1, o efeito 
de 2a ordem (Nd * e2) poderá ser 
desconsiderado se M2d ≤ 0,10 M1d 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.3- Momento Mínimo de 1a Ordem (Item 11.3.3.4.c) 
 
O momento total M1d,min de primeira ordem, isto é, o momento de primeira ordem 
acrescido dos efeitos das imperfeições locais, deve respeitar o valor mínimo dado por: 
 
M1d,mín = Nd (0,015 + 0,03h) 
 
onde: h é a altura total da seção transversal na direção considerada, em metros. 
 
Nas estruturas reticuladas usuais admite-se que o efeito das imperfeições locais 
esteja atendido se for respeitado esse valor de momento total mínimo. No caso de 
pilares submetidos à flexão oblíqua composta, esse mínimo deve ser respeitado em 
cada uma das direções principais, separadamente. 
 
 
 
 Md = M1d Md = M1d + M2d 
 Md = Hd * L Md = (Hd * L) + (Nd * e2) 
 
 Figura 4.1 – Efeitos de 1a e 2a Ordem 
DIMENSIONAMENTO DE PILARES IV - 2 
 
 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. 
4.4- Comprimento de Flambagem (Item 15.6): 
 
Nas estruturas de nós fixos, o cálculo pode ser realizado considerando cada 
elemento comprimido isoladamente, como barra vinculada nas extremidades aos 
demais elementos estruturais que ali concorrem, onde se aplicam os esforços obtidos 
pela análise da estrutura efetuada segundo a teoria de 1ª ordem. 
A análise dos efeitos locais de 2ª ordem deve ser realizada de acordo com o 
estabelecido a seguir. 
O comprimento equivalente le do elemento comprimido (pilar), deve ser o menor 
dos valores da figura 4.2: 
 
 Figura 4.2 – Comprimento de Flambagem 
 
onde: 
 l0 é a distância entre as faces internas dos elementos 
estruturais, supostos horizontais, que vinculam o pilar; 
 h é a altura da seção transversal do pilar, medida na direção 
considerada; 
 L distância de eixo a eixo do pilar; 
No caso de pilar engastado na base e livre no topo, o valor de le = 2L. 
 
4.5 - Raio de Giração: 
 
Da resistência dos materiais, o cálculo do raio de giração é dado por: 
 
S
Ii = 
 
a)- Para seções retangulares: 
 
Figura 4.3 – Raio de giração para seções retangulares 
 
Onde : I = Inércia da seção transversal; 
 S = Área da seção transversal. 
 
1212
3
x
x
xy
x
h
i
hh
I =∴= 
 
1212
3
y
y
yx
y
h
i
hh
I =∴= 
⎩⎨
⎧ +≤
L
hl
le
0 
DIMENSIONAMENTO DE PILARES IV - 3 
 
 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. 
b)- Para seções circulares: 
 
Figura 4.4 – Raio de giração para seções circulares 
 
4.6 – Índice de Esbeltez λ e Classificação (Item 15.8.2): 
 
O índice de esbeltez é calculado pela expressão que relaciona o comprimento de 
flambagem com o raio de giração da peça, ou seja : 
 
 
 
 
Os pilares se classificam em função do índice de esbeltez: 
 
a)- pilares curtos (λ ≤ λ1): 
Desprezam-se os efeitos de 2a Ordem 
 
b)- pilares médios (λ ≤ 90): 
Os efeitos de 2a Ordem podem ser avaliados por métodos aproximados. 
 
c)- pilares esbeltos (λ > 90): 
Deve-se considerar obrigatoriamente a fluência que deve ser acrescentada 
aos efeitos de 1a Ordem. 
Segunda a NBR-6118, “a deformação por fluência do concreto compõe-se de 
duas partes, uma rápida e outra lenta. A deformação rápida é irreversível e ocorre 
durante as primeiras 24 horas após a aplicação da carga que a originou. A deformação 
lenta é por sua vez composta por duas outras parcelas: a deformação lenta irreversível 
e a deformação lenta reversível”. 
 
4.7 – Coeficiente αb (Item 15.8.2): 
 
O momento máximo em um pilar depende dos valores dos momentos de topo e de 
base, além da carga axial e da flambagem, Assim, o momento máximo pode não 
ocorrer nas extremidades. 
Nestes casos, corrige-se o valor do momento máximo através do coeficiente de 
uniformidade αb que é calculado para um dos 4 casos abaixo: 
 
 a)- Para pilares biapoiados sem cargas transversais: 
 
Os momentos Mtopo e Mbase são os momentos de 1ª ordem nos extremos do pilar. 
Deve ser adotado para MA o maior valor absoluto ao longo do pilar biapoiado e para MB 
o sinal positivo, se tracionar a mesma face que MA (momentos em sentido contrário), e 
negativo no outro caso (momentos em mesmo sentido). 
 
464
4 DiDI =∴= π 
 
i
el=λ 
DIMENSIONAMENTO DE PILARES IV - 4 
 
 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. 
 
 Momentos Curvatura Curvatura 
 Extremos Simples (MB positivo) Dupla (MB negativo) 
Figura 4.5 – Momentos e Curvaturas 
 
 
 
 
 
 
b)- Para pilares biapoiados com cargas transversais significativas, ao longo da 
altura: 
 
Figura 4.6 – αb para pilares com cargas transversais 
 
c)- Para pilares em balanço: 
 
O momento MA é o momento de 1ª ordem no engaste e MC é o momento de 1ª 
ordem no meio do pilar em balanço. 
 
Figura 4.7 – αb para pilares em balanço 
 
d)- Para pilares biapoiados ou em balanço com momentos menores que o 
momento mínimo estabelecido no item 4.3: 
 
 MA ≤ M1d,min ⇒ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
αb = 1,0 
40,040,060,0 ≥+=
A
B
b M
Mα 
85,020,080,0 ≥+=
A
C
b M
Mα 
αb = 1,0 
DIMENSIONAMENTO DE PILARES IV - 5 
 
 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. 
4.8 – Dispensada Análise dos Efeitos Locais de 2a Ordem (Item 15.8.2): 
 
Os esforços locais de 2ª ordem em elementos isolados podem ser desprezados 
quando o índice de esbeltez λ for menor que o valor limite λ1 estabelecido neste item. 
O valor de λ1 depende de diversos fatores, mas os preponderantes são: 
- a excentricidade relativa de 1ª ordem e1/h; 
- a vinculação dos extremos da coluna isolada; 
- a forma do diagrama de momentos de 1ª ordem. 
 λ1 pode ser calculado pela expressão: 
 
/5,1225 1
1
b
he
αλ
+= 
sendo: 
 9035 1
b
≤λ≤α 
 
 
4.9 – Efeitos Locais de 2a Ordem (Item 15.8.3.3.1): 
 
O cálculo do momento de 2a ordem pode ser feito por métodos aproximados 
e ser empregado apenas para pilares com λ ≤ 90, seção constante e armadura 
simétrica e constante ao longo de seu eixo. 
O momento total máximo no pilar deve ser calculado pela expressão: 
 A1d,2dA1d,b tot, M e N M ≥+= αdM 
e e2 avaliada pela expressão aproximada: 
 sendo: 
 - ν = Nd / (Acfcd) 
 - M1d,A ≥ M1d,min 
 - h é a altura da seção na direção considerada; 
 
4.10 – Dimensionamento à Compressão Centrada: 
 
No dimensionamento à compressão centrada admite-se que o encurtamento da 
ruptura do concreto e do aço seja εc = εs = 2o/oo. 
 
 
 
 
 
 
 
hh
e ee 005,0*
10)5,0(
005,0*
10
22
2
ll ≤+= ν
- αb calculado conforme item anterior; 
- e1 / h é a excentricidade relativa de 1a ordem; 
- e1 = MA / Nd ; 
- h = altura da seção transversal na direção considerada.
DIMENSIONAMENTO DE PILARES IV - 6 
 
 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. 
a)- Equações de Equilíbrio: 
 
 
 Figura 4.8 - Seção Comprimida 
 
 
 
 
 
b)- Pré-Dimensionamento: 
 
Uma outra equação pode ser escrita em função da taxa de armadura ρ e da área 
de concreto da seção, podendo ser utilizada para pré-dimensionar a seção de concreto 
Ac , ou seja: 
 
Nd = (ρ * σsd-0,002 + 0.85 fcd) * AC 
 
 
 
 
 
c)- Valores de σsd-0,002: 
 
Os valores das tensões nos aços são determinadas segundo os diagramas 
tensão-deformação apresentados no capítulo I, para uma deformação εs = 2o/oo e γf = 
1,15. 
Para o aço CA-25, σsd-0,002 = 217,4 Mpa = 2174 Kgf/cm2. 
Para o aço CA-50, σsd-0,002 = 420 Mpa = 4200 Kgf/cm2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ΣFv = 0 
Nd = Rs1 + Rs2 + Rcc 
e 
Rs1 = As1 * σsd-0,002 
Rs2 = As2 * σsd-0,002 
Rcc = Ac * 0.85 fcd 
 
Logo ; 
 
Nd = As1*σsd-0,002 + As2*σsd-0,002 + Ac*0.85 fcd 
 
Nd = (As1 + As2) * σsd-0,002 + Ac * 0.85 fcd 
002,0
,
85,0
−
−=
sd
ccdd
TOTALs
AfNA σ
002,085,0 −+
=
sd
d
c fcd
N
A σρ
DIMENSIONAMENTO DE PILARES IV - 7 
 
 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. 
4.11 – Processos aproximados para o dimensionamento à flexão 
composta (Item 17.2.5): 
 
4.11.1- Flexão Normal Composta: 
 
O cálculo para o dimensionamento de seções retangulares ou circulares com 
armadura simétrica, sujeitas à flexão normal composta, em que a força normal reduzida 
(ν) seja maior ou igual a 0,7, pode ser realizado como um caso de compressão centrada 
equivalente, onde: 
 
 
 
 
 
sendo: 
 
 
 
 
 
 
Sendo αs a relação: 
 
 
 
Valores de α em função αs : 
 
•α = -1/αs se αs < 1 em seções retangulares; 
•α = αs se 1 ≤ αs ≤ 6 em seções retangulares; 
•α = 6 se αs > 6 em seções retangulares; 
•α = - 4 em seções circulares. 
 
O arranjo de armadura adotado para detalhamento, a armadura superior e inferior 
são perpendiculares à direção do momento Msd (ver figura 4.9), deve ser fiel aos valores 
de αS e d’/h pressupostos. 
Supondo todas as barras iguais, αs é dado por: 
 
NN
deqd
.*
,
γ= Md,eq = 0 
h
d ′−+
=
8,0)01,039,0(
1
α
β 
cdc
d
fA
N=ν hN
M
h
e
d
d= 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
h
eβγ 1*
DIMENSIONAMENTO DE PILARES IV - 8 
 
 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. 
 
Figura 4.9 - Arranjo de armadura caracterizado pelo parâmetro αs. 
 
 
 
4.11.1.1- Exemplo 1: Pré-Dimensionar a seção do pilar. Supor os momentos de 1a 
ordem em torno do eixo Y: 
 
Figura 4.10 – Seção e Esquema estático 
 
a)-Cálculo dos Momentos de 1a Ordem: 
 
Nd = γn * γf * Nk = 1,05 * 1,4 * 600 = 882 KN 
M1d,min = Nd (0,015 + 0,03h) = 882 (0,015 + 0,03 * 18 / 100) = 18 KN*m 
 
MA = Maior valor absoluto = γn * γf * Mbase = 1,05 * 1,4 * 20 = 29,4 KN*m 
MB = Menor valor absoluto = γn * γf * Mtopo = 1,05 * 1,4 * 15 = 22 KN*m 
 
MA ≥ M1d,min ⇒ OK. 
 
b)-Normal Equivalente: 
 
Supondo-se α = 6 (maior valor α) e d´= 3,8 cm vem: 
 
e1 = MA / Nd = 29,4 / 882 = 0,033 m = 3,33 cm 
56,3
18
8,3*8,0)6*01,039,0(
1
8,0)01,039,0(
1 =
−+
=′−+
=
h
dα
β 
( )
( )1
1
−
−=
v
h
s n
nα 
Dados: 
fck = 20 Mpa, Aço CA-50 
Cobrimento = 2,5 cm 
Nk = 600 KN = 60 tf 
hx = 18 cm 
le = 300 cm 
Mtopo = 15 KN*m = 1,5 tf*m 
Mbase = 20 KN*m = 2,0 tf*m 
DIMENSIONAMENTO DE PILARES IV - 9 
 
 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. 
A Força normal equivalente para pré-dimensionamento, supondo apenas a 
excentricidade de 1a ordem, será: 
 
659,1
18
33,356,311 1* =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
h
eβγ 
KNNN
deqd
2,1463882*659,1**
,
=== γ 
 
c)-Seção Necessária: 
 
Adotando-se ρ = 2% - valor intermediário. 
 
2
002
, 712
42*
100
2
4,1
2*85,0
2,1463
**85,0
cm
fcd
N
A
sd
eqd
c =
+
=+= −σρ 
 
hx * hy = 712 cm2 = (18x40) ou (18x45) ⇒ esta seção é apenas indicativa, podendo não 
ser suficiente no dimensionamento. 
 
 
 
4.11.1.2- Exemplo 2: Dimensionar e detalhar o pilar. Supor os momentos de 1a ordem 
 em torno do eixo Y: 
 
Figura 4.11 – Seção e Esquema estático 
 
a)- Índices de Esbeltez : 
 
73,57
18
1230012 ===
x
e
x h
lλ e 09,23
45
1230012 ===
y
e
y h
lλ 
 
b)-Cálculo dos Momentos de 1a Ordem: 
 
Nd = γn * γf * Nk = 1,05 * 1,4 * 600 = 882 KN 
 
 M1d,min = Nd (0,015 + 0,03h) = 882 (0,015 + 0,03 * 18 / 100) = 18 KN*m 
MA = Maior valor absoluto = γn * γf * Mbase = 1,05 * 1,4 * 20 = 29,4 KN*m 
MB = Menor valor (positivo, curvatura simples) = γn * γf * Mtopo = 1,05 * 1,4 * 15 = 22KN*m 
 
MA ≥ M1d,min ⇒ OK. 
Dados: 
fck = 20 Mpa, Aço CA-50 
Cobrimento = 2,5 cm 
Nk = 600 KN = 60 tf 
hx = 18 cm 
hy = 45 cm 
le = 300 cm 
Mtopo = 15 KN*m = 1,5 tf*m 
Mbase = 20 KN*m = 2,0 tf*m
DIMENSIONAMENTO DE PILARES IV - 10 
 
 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. 
c)-Parâmetro αb : 
40,040,060,0 ≥+=
A
B
b M
Mα 
αb = 0,90 ≥ 0.4 ⇒ OK. 
 
c)-Cálculo de λ1: 
e1 = MA / Nd = 29,4 / 882 = 0,033 m = 3,33 cm 
35,30
90,0
185,0*5,1225
 
/5,1225 1
1 =+=+=
b
he
αλ 
9035 1
b
≤λ≤α ⇒ λ1 = 38,9 
λx = 57,73 > λ1 ⇒ Pilar médio. Considerar efeito de 2a Ordem. 
 
d)-Efeito de 2a Ordem: 
 
ν = Nd / (Acfcd) = 882 / (18*45*2/1,4) = 0,762 ≥ 0,7 ⇒ OK. 
 
 
 e2 = 1,98 cm ≤ 2,5 cm ⇒ OK. 
 
A1d,2dA1d,b tot, M e N M ≥+= αdM 
Md,tot = 0,90 * 29,4 + 882 * 0,0198 = 43,9 KN*m ≥ 29,4 KN*m ⇒ OK. 
 
e)-Esforços Equivalentes:Adotando-se a distribuição de armaduras da figura 4.12, vem: 
 
 Figura 4.12 – Cálculo de αs 
 
∴≤+= hhe
ee 005,0*
10)5,0(
005,0*
10
22
2
ll
ν
18
005,0*
10
300
)5,0762,0(18
005,0*
10
300 22
2 ≤+=e
10 φ 
 
d´ = 3,8 cm 
 ( )
( )
( )
( ) 4412
15
1
1 ==⇒=−
−=−
−= ααα s
v
h
s n
n 
 
d´ / hx = 3,8 / 18 = 0,211 
DIMENSIONAMENTO DE PILARES IV - 11 
 
 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. 
83,3
211,0*8,0)4*01,039,0(
1
8,0)01,039,0(
1 =−+=′−+
=
h
dα
β 
277,0
18*882
100*9,43 ==
hN
M
h
e
d
d
 
A Força normal equivalente para dimensionamento a compressão centrada será: 
 
( ) 061,2277,0*83,311* =+=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
h
eβγ 
KNNN
deqd
1818061,2*882**
,
=== γ 
 
f)-Dimensionamento à compressão centrada: 
 
42
45*18*4,1/2*85,0181885,0
002,0
−=−=
−sd
ccdd
s
AfNA σ 
 
As = 19,87 cm2 ⇒ 10 φ 16,0 mm = 20,0 cm2 ⇒ Coerente com a distribuição adotada. 
 
ρefetivo = As,efetivo / Ac = 20,0 / ( 18 * 45 ) = 2,47% 
 
g)-Disposições construtivas: 
 
-Bitola Longitudinal: 10,0 mm ≤ φl ≤ 18 / 8 * 10 
 10,0 mm ≤ φl ≤ 22,5 mm ⇒ OK. 
 
-Armadura Mínima: %4,0**15,0min,min ≥== νρ
yd
cd
c
s
f
f
A
A
 
 %376,0762,0*
15,1/50
4,1/2*15,0min,min ===
c
s
A
Aρ 
 ρmin = 0,4% 
 
-Armadura Máxima: ρmax ≤ 8% (Inclusive no trespasse) ⇒ OK. 
 
-Bitola do Estribo: 
⎩⎨
⎧
==≥ mm
mm
l
t 0,44/0,164/
0,5
φφ ⇒ φt = 5,0 mm 
-Espaçamentos dos Estribos: 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
==
=≤
cm
cmDimensãoMenor
cm
s
l 2,1910/0,16*12*12
18
20
φ
 ⇒ s = 18,0 cm 
-Espaçamento Mínimo entre Barras: 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
==
⇐==≥
cm
cm
cm
e
agregado
l
8,15,1*2,12,1
2,36,1*22
0,2
min
φ
φ 
DIMENSIONAMENTO DE PILARES IV - 12 
 
 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. 
-Espaçamento Máximo entre Barras: ⎩⎨
⎧ ==≤
cm
cmDimensãoMenor
e
40
3618*2*2
max 
 
-Ancoragem: 
 
 Da tabela D.1 : lb = 44φ = 70,4cm e α1 = 1,0 
 min,
,
,
1, ** b
efs
calcs
bnecb lA
A
ll ≥=α 
 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥===
cm
cml
b
necb
10
10
3,0
642,64
0,20
24,18*4,70*0,1, φ
l
 
 
-Grampos: 20φt = 20 * 5,0 / 10 = 10,0 cm ⇒ Usar um grampo. 
 
 
h)-Detalhamento: 
 
 
Figura 4.13 – Detalhamento do Pilar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DIMENSIONAMENTO DE PILARES IV - 13 
 
 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. 
4.12 – Dimensionamento à flexão normal composta com o uso dos 
ábacos de iteração: 
 
4.12.1 – Equações de Equilíbrio: 
 
Seja a seção da figura 4.14 solicitada pela ação conjunta dos esforços Md e Nd, 
resistidos pela área comprimida de concreto e pelas áreas comprimida e tracionada de 
aço. O equilíbrio de forças será dado por: 
 
 
 Figura 4.14 – Seção e Forças 
Em geral, no dimensionamento, a geometria da seção é previamente estabelecida, 
ficando como incógnitas as variáveis As1, As2 e y , havendo somente duas equações de 
equilíbrio. Assim, o problema tem infinitas soluções. Para se ter a solução do problema 
uma dessas variáveis deve ser necessariamente arbitrada. 
O assunto foi estudado por diversos autores, dos quais sugere-se Lauro Modesto 
dos Santos e ou Péricles Brasiliense Fusco. 
Para o curso em questão, serão adotados os ábacos de interação ou tabelas de 
dimensionamento, largamente utilizadas. 
 
4.12.2 – Ábacos de Interação: 
 
Uma maneira simplificada de se dimensionar seções solicitadas à flexão normal 
composta e flexão composta oblíqua, é através dos “ábacos de interação força normal – 
momento fletor”. Os ábacos são as linhas que unem os pares N, M que levam uma peça 
a um Estado Limite Último para uma dada armadura e seção de concreto. 
Eles dependem da distribuição da armadura na seção e são traçados, geralmente, 
em função dos adimensionais: 
 
 
 
 
 
 
 
a)- ΣFv = 0 
 
Nd = Rs1 + Rs2 + Rcc 
onde: 
 Rs1 = As1 * σsd1 
 Rs2 = As2 * σsd2 
 Rcc = bw * y * 0.85 fcd 
Nd = As1 * σsd1 + As2 * σsd2 + 
 0.85 fcd * bw * y 
b)- ΣMA = 0 
Nd * h/2 – Md = Rs1 * d´ + Rs2 * d + 
 Rcc * y/2 
Nd * h/2 – Md = As1 * σsd1 * d´ + 
 As2 * σsd2 * d + 0,85 * fcd * bw * y * y/2
cdc
d
fA
N
*
=ν
cdc
d
fhA
eN
**
*=μ 
cdc
yds
fA
fA
*
*=ϖ
DIMENSIONAMENTO DE PILARES IV - 14 
 
 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. 
 
 
Figura 4.15 – Ábacos de Interação ν x μ 
 
No apêndice B são apresentados ábacos para diversas distribuições de 
armaduras, como se verá. 
 
 
 
 
4.12.3.1 – Exemplo1: Refazer o pilar do exemplo anterior, onde os valores dos esforços 
finais eram: 
 
Nd = 882 KN 
 Md,tot = 0,90 * 29,4 + 882 * 0,0198 = 43,9 KN*m 
 
762,0
45*18*4,1/2
882
*
===
ccd
d
Af
Nν 
211,0
18*45*18*4,1/2
100*9,43
**
===
hAf
M
ccd
dμ 
 
15,0211,0
18
8.3´ ≅==
h
d (adotado) 
 
Do ábaco B-2 (armaduras perpendiculares à direção do momento), obtêm-se: 
 
 ω = 0,55 
264,14
15,1/50
4,1/2*45*18*55,0
*
* cm
f
fAA
yd
cdc
s === ω ⇒ 8φ16.0mm = 16,0 cm2 
Valor bem menor que o encontrado no exemplo anterior, quando comparado ao 
valor encontrado pelo processo simplificado da NBR-6118, onde se encontrou: 
 As,ef = 10φ16.0mm = 20,0 cm² 
 
 
 
 
 
 
DIMENSIONAMENTO DE PILARES IV - 15 
 
 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. 
4.12.3.2 – Exemplo2 : Dimensionar e detalhar o pilar. 
 
 
Figura 4.16 – Seção e Esquema estático 
 
b) – Índices de esbeltez: 
 
64,34
25
12*25012*73,57
60
122*50012* 11 ======
y
ye
y
x
xe
x h
L
e
h
L λλ 
 
c) – Parâmetro αb: 
 
!85,09,0
2
1*2,08,0;85,0*2,08,0 OK
M
M
bx
A
C
bx ⇒>=+=≥+= αα 
 
d) – Cálculo de λ1: 
médiopilar
h
e
cmm
N
Me
xx
x
b
b
x
d
A
x
⇒>
=⇒≤≤=
=
+
=
+
=
====
1
11
1
1
1
9,38909,3835
5,29
9.0
60
40,7*5,1225*5,1225
4,7074,0
1890
140
λλ
λλα
αλ 
 
 
 
 
Dados: 
 fck = 25 Mpa 
 Aço CA-50 
 Cobrimento = 2,5 cm 
a)– Esforços: 
 
( )
( )
( )
( )
mKNM
M
hNM
mKNM
lHM
KNN
NN
xd
xd
dxd
xd
ufxd
d
kufd
.37,62
6,0*03,0015,0*1890
*03,0015,0*
.1405*20*0,1*4,1
***
18901350*0,1*4,1
**
min,,1
min,,1
min,,1
,
,
=
+=
+=
==
=
==
=
γγ
γγ
 
DIMENSIONAMENTO DE PILARES IV - 16 
 
 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. 
e) – Efeitos de 2ª ordem: 
 
( )
( )
( )
( )
OKmKNmKNM
M
MeNMM
OKcmcme
cme
h
l
h
le
rsimplificapode
Af
N
totd
totd
AddAdbtotd
x
x
ee
x
ccd
d
⇒≥=
+=
≥+=
⇒≤=
≤=+=
≤+=
⇒>===
.140.6,256
0691,0*1890140*9,0
**
!33,892,6
60
005,0*
10
500*292,6
60*5,0706,0
005,0*
10
500*2
005,0*
10*5,0
005,0*
10)(7,0706,0
60*25*
4,1
5,2
1890
*
,
,
,12,1,
2
22
2
22
2
α
ν
ν
 
 
f) – Ábacos: 
 
705,0=ϑ 
16,0
60*60*25*
4,1
5,2
100*6,256
**
===
hAf
Md
ccd
totμ 
( )!10,00633,0
60
8,3' Adotado
h
d ≅== 
 
Do ábaco tem-se: 32,0≅ω 
 
22 24161271,19
15,1/50
4,1/5.2*60*25*32,0
*
* cmcm
f
fAA
yd
cdc
tots =⇒=== φω 
ρefetivo = As,efetivo / Ac = 24 / ( 25 * 60 ) = 1,6% 
 
g) – Para efeito comparativo, resolvendo o exemplo pelo processo simplificado do 
item anterior, vem: 
 
– Esforços Equivalentes: 
 
 Figura 4.18 – Cálculo de αs 
 
226,0
60*1890
100*60,256
*
===
hN
M
h
e
sd
sd 
( )
( )
( )
( )
( )
( ) 86,2354,0
1
0633,0*8,01*01,039,0
1
'*8,0*01,039,0
1
1
14
14
1
1
==−+=
−+
=
=−
−=−
−=
x
x
s
x
v
h
s
h
d
n
n
β
α
β
α
Armadura simétrica nas quatro faces. 
 
Figura 4.17 – Interação no Ábaco 
DIMENSIONAMENTO DE PILARES IV - 17 
 
 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. 
mm
AfN
A
KN
h
eNN
sd
ccdeqsd
s
sdeqd
161289,19
42
60*25*
4,1
5,2*85,03112**85,0
3112)226,0*86,21(*1890*1*
,
,
φσ
β
≅=
−
=−=
=+=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
 
 Valor muito próximo do obtido no item f) 
 
h) –Disposições construtivas: 
 
-Bitola Longitudinal: 10,0 mm ≤ φl ≤ 25 / 8 * 10 
 10,0 mm ≤ φl ≤ 31,25 mm ⇒ OK. 
-Armadura Mínima: %4,0**15,0min,min ≥== νρ
yd
cd
c
s
f
f
A
A
 
 %120,0706,0*
15,1/50
4,1/5,2*min,min ==
c
s
A
Aρ ∴ ρmin = 0,4% ⇒ OK. 
 
-Armadura Máxima: ρmax ≤ 8% (Inclusive no trespasse) ⇒ OK. 
-Bitola do Estribo: 
⎩⎨
⎧
==≥ mm
mm
l
t 0,44/0,164/
0,5
φφ ⇒ φt = 5,0 mm 
-Espaçamentos dos Estribos: 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
==
=≤
cm
cmDimensãoMenor
cm
s
l 2,1910/16*12*12
25
20
φ
 ⇒ s = 19,20 cm 
-Espaçamento Mínimo entre Barras: 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
==
==≥
cm
cm
cm
e
agregado
l
8,15,1*2,12,1
2,36,1*42
0,2
min
φ
φ 
-Espaçamento Máximo entre Barras: ⎩⎨
⎧ ==≤
cm
cmDimensãoMenor
e
40
5025*2*2
max 
-Ancoragem: Da tabela D.1 do apêndice D: φ38=bl e α1 = 1,0 
 cmlb 8,606,1*38 == 
 min,
,
,
1, ** b
efs
calcs
bnecb lA
A
ll ≥=α 
 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥≅==
cm
cml
b
necb
10
10
3,0
5093,49
0,24
71,19*8,60*0,1, φ
l
 
-Grampos: 20φt = 20 * 5,0 / 10 = 10,0 cm ⇒ Usar grampos. 
 
 
 
 
 
 
 
DIMENSIONAMENTO DE PILARES IV - 18 
 
 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. 
i)-Detalhamento: 
 
 
Figura 4.19 – Detalhamento do Pilar 
 
Obs: Adotou-se o arranque (ancoragem) do pilar com mesma quantidade e 
mesma bitola que o pavimento dimensionado. 
 
 
 
4.13 – Dimensionamento à flexão composta oblíqua: 
 
 
4.13.1 – Equações de Equilíbrio: 
 
Na flexão composta oblíqüa tem-se momentos nos 2 eixos principais, além da 
força normal axial, conforme figura abaixo. 
 
 
 
Figura 4.20 – Seção e excentricidades 
 
 
 
 
 
d
xd
x N
M
e = 
 
d
yd
y N
M
e = 
DIMENSIONAMENTO DE PILARES IV - 19 
 
 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. 
Neste caso, a linha neutra não é paralela aos eixos principais x e y, mas inclinada, 
ou seja: 
 
Figura 4.21 – Flexão Composta Oblíqüa 
 
As condições de equilíbrio podem ser escritas: 
 
∫∫ ∑+= Acc
n
sidsicdd AdXdYN
1
σσ 
∫∫ ∑+== Acc
n
isidsicdxdxd XAdXdYXeFM
1
*** σσ 
∫∫ ∑+== Acc
n
isidsicdydyd YAdXdYYeFM
1
*** σσ 
onde: 
 
σsid = tensão em cada barra i que deve ser menor que fyd ; 
Xi, Yi = coordenadas de cada barra em relação ao centro de gravidade ; 
 
Com essas equações pode-se construir ábacos de maneira semelhante aos 
ábacos de Flexão normal composta. Eles dependem da distribuição da armadura na 
seção e são traçados, geralmente, em função dos admensionais υ, μx, μy e ω. Para υ 
constante, traça-se várias curvas de ω. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 4.22 – Ábacos υ x μx x μy 
cdyc
yd
y fhA
eN
**
*=μ
cdc
yds
fA
fA
*
*=ϖ
cdc
d
fA
N
*
=ν
cdxc
xd
x fhA
eN
**
*=μ 
DIMENSIONAMENTO DE PILARES IV - 20 
 
 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. 
4.13.2.1 – Exemplo 1: Dimensionar o pilar abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 4.23 – Seção e Esforços 
 
a)- Excentricidades: 
cmm
N
M
e
d
dx
x 909,01000
90 ==== e cmm
N
M
e
d
dy
y 5,5055,01000
55 ==== 
 
b)- Parâmetros de entrada ábaco B.10 – Armadura igual nas 4 faces: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 4.24 – Seção e Esforços do ábaco 
 
No ábaco, se μa > μb ⇒ μ1 = μa = 0,15 
 μ2 = μb = 0,10 
 
Para ν = 0,4 ⇒ ω = 0,35 e para ν = 0,6 ⇒ ω = 0,45 
 
Interpolando-se para ν = 0,45 ⇒ ω = 0,375 
 
A área de aço será : 
42
4,1/5,2*50*20*375,0
**
*
002
==
−sd
cd
s
fba
A σω 
 As = 15,94 cm2 ⇒ 8 φ 16,0 mm 
 
c)-Para armadura perpendicular a altura a, ábaco B.12, vem: 
 
Para ν = 0,4 ⇒ ω = 0,35 e para ν = 0,6 ⇒ ω = 0,45 
 
Interpolando-se para ν = 0,45 ⇒ ω = 0,375 
 
 A área de aço será : 
42
4,1/5,2*50*20*375,0
**
*
002
==
−sd
cd
s
fba
A σω 
 As = 15,94 cm2 ⇒ 8 φ 16,0 mm (mesma quantidade do item b) 
fck = 25 Mpa, Aço CA-50 
 Cobrimento = 2,5 cm, d´/h = 0,10 
 Nd = 800 KN = 80 tf 
 hx = 50 cm 
 hy = 20 cm 
 Mdx = 90 KN*m = 9,0 tf*m 
 Mdy = 55 KN*m = 5,5 tf*m 
45,0
4,1/5,2*50*20
800
**
10,0
4,1/5,2*20*50
100*90
**
15,0
4,1/5,2*50*20
100*55
**
22
22
===
===
===
cd
d
cd
b
b
cd
a
a
fba
N
fab
M
fba
M
ν
μ
μ
 
DIMENSIONAMENTO DE PILARES IV - 21 
 
 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. 
 
4.13.2.2 – Exemplo 2: Dimensionar e detalhar o pilar P1 para uma carga normal cor 
respondente a 20 andares mais 7% por conta do peso próprio do pilar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.25 – Seção e diagrama de Momento Fletor 
 
 KN 76 pavimento 1 de normal Carga = 
 76*0,0776*20Nk += 
 KN 1626,4Nk = 
 
a)- Índices de esbeltez: 
 
Direção “x” Direção “y” 
8,38
25
12*28012 ===
x
e
x h
lλ 4,19
50
12*28012 ===
y
e
y h
lλ 
 
b)-Esforços: 
 
4,1626*4,1*0,1N*γ*γN kfnd == 
KN 2277Nd = 
 
 Direção “x” Direção “y” 
 
KNm 13,589,7*1,4M xA,1d, == KNm 11,488,2*1,4M yA,1d, == 
KNm 13,589,7*1,4M xB,1d, == KNm 11,488,2*1,4M yB,1d, == 
)h*0,03(0,015*M xxmin,1d, += dN )h*0,03(0,015*M yymin,1d, += dN 
)25,003,0*015,0(*2277M xmin,1d, += )5,003,0*015,0(*2277M ymin,1d, += 
KNm 51,23M xmin,1d, = KNm 68,31M ymin,1d, = 
 
 
 
 
 
 
Dados: 
fck =30 Mpa, 
 
Aço CA-50; 
 
Mkx = 9,7 KNm; 
 
Mky = 8,2 KNm; 
 
Cob. = 2,5 cm; 
 
Lex = Ley = 2,8 m. 
a) - Seção b) – Diagrama de Momento Fletor 
DIMENSIONAMENTO DE PILARES IV - 22 
 
 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. 
 Logo: 
KN 2277Nd = 
xmin,1d,xA,1d,xmin,1d,xA,1d, MMMM Se =⇔< ymin,1d,yA,1d,ymin,1d,yA,1d, MMMM Se =⇔< 
KNm 51,23MM xmin,1d,xA,1d, == KNm 68,31MM ymin,1d,yA,1d, == 
 
c)-Cálculo de bα : 
 
Para pilares bi-apoiados com momentos menores que o mínimo: 
 
1,0αadotar MM bxxmin,1d,xA,1d, =⇒≤ 1,0αadotar MM byymin,1d,yA,1d, =⇒≤ 
1,0α bx = 1,0α by = 
 
d)-Cálculo de 1λ : 
 
 Direção “x” Direção “y” 
 
2277
100*23,51
N
M
e
d
xA,1d,
1x == 2277
100*31,68
N
M
e
d
yA,1d,
1y == 
cm 2,25e1x = cm 3,0e1y = 
cm 25,0h x = cm 50,0h y = 
1,0
25
25,2*12,525
α
*12,525
λ
bx
1
1x
+
=
+
= x
x
h
e
 
1
50
0,3*12,525
α
*12,525
λ
by
1
1y
+
=
+
= y
y
h
e
 
26,12λ1x = 75,25λ1y = 
9012,26
1
3590λ
α
35
1x
bx
≤≤⇔≤≤ 9075,25
1
3590λ
α
35
1y
by
≤≤⇔≤≤ 
35λ1x = 35λ1y = 
 
ordem! 2 de Efeitos λ 1x °⇒> xλ ordem! 2 de efeitosDesprezar λ 1y °⇒≥ yλ 
 
e)-Efeitos de 2º ordem (apenas na direção “x”): 
 
 85,0
50*25*4,1/0,3
2277
A*f
N
ccd
d ===ϑ 
cm 1,16
0,5)(0,85*25
0,005*
10
280
0,5)(*h
0,005*
10
Lexe
2
x
2
2x =+=+= ϑ 
A1d,2dxA,1d,b,totald,
Me*NM*αM ≥+= xx 
23,510116,0*227723,51*0,1M
,totald,
>+=
x
 
51,2377,64M
,totald,
>=
x
 ∴ KNm 77,64M
,totald,
=
x
 
 
 
 
DIMENSIONAMENTO DE PILARES IV - 23 
 
 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. 
f)-Parâmetros para entrada de dados no ábaco: 
 
 
 
 
 
 
 
4,1/0,3*25*)50*25(
100*64,77
**x
==
cdxc
dx
fhA
Mμ ( ) 4,1/0,3*50*50*25
100*31,68
**y
==
cdyc
dy
fhA
Mμ 
116,0ax == μμ 05,0by == μμ 
 
 
1ª Solução – Armaduras iguais nas 4 faces (Ábaco B.10, Apêndice B): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2ª Solução – Armaduras nas 2 faces maiores (Ábaco B.12, Apêndice B): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0,16
25
4
b
d'
δa === e 0,0850
4
a
d'
δb === 
 
85,0
50*25*4,1/0,3
2277
A*f
N
ccd
d ===ϑ 
35,0
5,0
85,000,1
3,05,0
8,00,1
5,00,1
3,08,0
21
=⇒−
−=−
−⇒⎭⎬
⎫
=⇒=
=⇒=
==⇒>
ωωωϑ
ωϑ
μμμμμμ baba e
 
40,0
55,0
85,000,1
35,055,0
8,00,1
55,00,1
35,08,0
21
=⇒−
−=−
−⇒⎭⎬
⎫
=⇒=
=⇒=
==⇒>
ωωωϑ
ωϑ
μμμμμμ baba e
Figura 4.26 - Geometria Figura 4.27 - Detalhamento 
Figura 4.28 - Geometria Figura 4.29 - Detalhamento 
⎪⎩
⎪⎨⎧ =
←==
==
2
2
2
,
002,0
,
2,250.208
240.1612
3,22
42
4,13*50*25*35,0
*
cm
cm
cmA
fAA
tots
sd
cdc
tots
φ
φ
σω
⎪⎩
⎪⎨⎧ =
==
==
2
2
2
,
002,0
,
2,250.208
280.1614
5,25
42
4,13*50*25*40,0
*
cm
cm
cmA
fAA
tots
sd
cdc
tots
φ
φ
σω
DIMENSIONAMENTO DE PILARES IV - 24 
 
 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. 
3ª Solução – Armaduras 3 vezes maior nas faces maiores (Ábaco B.14, Apêndice B): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs: O detalhamento adotado foi o referente ao ábaco B.10, com 0.1612φ . 
 
g)-Disposições construtivas: 
 
-Bitola Longitudinal: 
8
dimensãoMenor mm 10,0 l ≤≤ φ 
 OK. 
8
250mm 10,0 l ⇒≤≤ φ 
-Armadura Mínima: 0,4%*
f
f
*0,15ρ
yd
cd
min ≥= ϑ 
 OK⇒≥== 0,4%%63,085,0*
15,1/50
4,1/0,3*0,15ρmin 
-Armadura Máxima: OK. )! trespasseno (Inclusive %8ρmax ⇒≤ 
-Armadura efetiva: ( )25*50
00,24
ρ ,ef ==
c
efs
A
A
 
 OK. %84,392,1*2ρ :arranque No %92,1ρ efef ⇒==→= 
-Bitola do Estribo: 
⎩⎨
⎧
==
⇐≥
mm4,04/16,04/
mm5,0
l
t φφ 
-Espaçamento dos estribos: cm 19,0s
cm19,21,6*12*12
cm25DimensãoMenor
cm20
s
l
=⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
==
=≤
φ
 
-Espaçamento mínimo entre barras: ⇐
⎪⎩
⎪⎨
⎧
==
==≥
cm1,81,5*1,2*1,2
cm3,21,6*2*2
cm2,0
e
agregado
lmin
φ
φ 
-Espaçamento Máximo entre barras: ⎩⎨
⎧
⇐
==≤
cm 40
cm 5025*2DimensãoMenor*2
emax 
-Grampos: cm 100,5*2020 t ==φ 
 
 
Figura 4.30 - Geometria Figura 4.31 - Detalhamento 
40,0
55,0
85,000,1
35,055,0
8,00,1
55,00,1
35,08,0
21
=⇒−
−=−
−⇒⎭⎬
⎫
=⇒=
=⇒=
==⇒>
ωωωϑ
ωϑ
μμμμμμ baba e
{ 22,
002,0
,
54,245.112205,25
42
4,13*50*25*40,0*
cmcmA
fAA
tots
sd
cdc
tots
==
==
φ
σω 
DIMENSIONAMENTO DE PILARES IV - 25 
 
 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. 
-Ancoragem: 
 
 Da tabela D.1 : lb = 34 φ = 54,4 cm e α1 = 1,0 
 minb,
efs,
calcs,
b1necb, lA
A
*l*αl ≥= 
 cm5059,05
24,00
22,32*54,4*1,0l necb, === ⎪⎩
⎪⎨
⎧
==
==
≥
cm10
cm 16,01,6*10*10
cm 16,3254,4*0,3l*0,3 b
φ 
 
 
 
h)-Detalhamento final: 
 
 
Figura 4.32 – Detalhamento do Pilar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DIMENSIONAMENTO DE PILARES IV - 26 
 
 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. 
4.14 – Bibliografia: 
 
[ 1 ] – ABNT, Associação de Normas e Técnicas. Norma Brasileira NBR-6118. 
Projeto de estruturas de concreto – Procedimentos. Rio de Janeiro, 
2007. 
 
[ 2 ] – Guimarães, Gilson Natal. Apostila de Estruturas de Concreto Armado. 
Universidade Federal de Goiás, 2003. 
[ 3 ] – SANTOS, Lauro Modesto dos. Cálculo de Concreto Armado. Vol. 2, Editora 
LMS Ltda. São Paulo,1981. 
 
[ 4 ] – FUSCO, Péricles Brasiliense. Estruturas de Concreto; solicitações normais; 
estados limites últimos. Editora Guanabara Dois. Rio de Janeiro, 1986. 
 
[ 5 ] – Exemplo de um Projeto Completo de um Edifício de Concreto Armado. 
USP. São Paulo, 2001. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1N = 0,1 kgf 1 MPa = 1 MN/m² = 10 kgf/cm² 
1 kN = 100 kgf = 0,1 tf 1 kN/m = 100 kgf/m = 0,1 tf/m 
1 kN.m = 100 kgf.m = 0,1 tf.m 1 kN/m² = 100 kgf/m² = 0,1 tf/m² 
1 kN.cm = 100 kgf.cm = 0,1 tf.cm 1 kN/m³ = 100 kgf/m³ = 0,1 tf/m³ 
1 MPa = 0,1 kN/cm² = 100 N/cm² 
TORÇÃO _ ______ V - 1 
 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. 
 
 
5 - TORÇÃO 
 
 
5.1 – Torção Pura (Item 17.5.1): 
 
As condições fixadas pela NBR-6118-2004 pressupõemum modelo resistente 
constituído por treliça espacial, definida a partir de um elemento estrutural de seção 
vazada equivalente ao elemento estrutural a dimensionar. 
 
As diagonais de compressão dessa treliça, formada por elementos de concreto, 
têm inclinação que pode ser arbitrada pelo projeto no intervalo 30° ≤ θ ≤ 45°. 
 
5.1.1 – Torção de Equilíbrio e Torção de Compatibilidade (Item 17.5.1.1): 
 
Figura 5.1 – Torção de Equilíbrio 
 
Já para a grelha duplamente simétrica da figura 5.2, apresentam-se os 
diagramas solicitantes (fletor e torçor) traçados para duas situações de inércia 
(elevada e tão pequena que se admite nula) à torção das barras biengastadas, e uma 
rigidez a flexão constante. 
 
 
Figura 5.2 – Torção de Compatibilidade 
 
 
5.1.2 – Armadura Mínima (Item 17.5.1.1): 
 
Sempre que a torção for necessária ao equilíbrio do elemento estrutural, deve 
existir armadura destinada a resistir aos esforços de tração oriundos da torção. Essa 
armadura deve ser constituída por estribos verticais normais ao eixo do elemento 
estrutural e barras longitudinais distribuídas ao longo do perímetro da seção resistente, 
 
Para a grelha da figura 5.1, isostática, 
seja quais forem as inércias à flexão e 
torção de suas barras, atuará o momento 
torçor Td = Pd * a, sendo obrigatória a sua 
consideração no dimensionamento. Trata-
se, portanto, de torção de equilíbrio. 
TORÇÃO _ ______ V - 2 
 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. 
calculada de acordo com as prescrições desta seção e com taxa geométrica mínima 
dada pela expressão: 
Quando a torção não for necessária ao equilíbrio, caso da torção de 
compatibilidade é possível desprezá-la, desde que o elemento estrutural tenha a 
adequada capacidade de adaptação plástica e que todos os outros esforços sejam 
calculados sem considerar os efeitos por ela provocados. Para garantir um nível 
razoável de capacidade de adaptação plástica deve-se respeitar a armadura mínima de 
torção e a força cortante limitada, tal que: Vd ≤ 0,7 VRd2. 
 
5.1.3 – Seção Vazada Equivalente (Item 17.5.1.3.1): 
 
No caso de torção, trabalha-se com seções como se fossem vazadas, 
desprezando-se a função resistente de seu núcleo. Isto se deve ao fato teórico de o 
maior percentual da torção ser combatido e absorvido na periferia da seção e além 
disto, a armação de combate à torção ser disposta na periferia da seção. 
A seção vazada equivalente se define a partir da seção cheia com espessura da 
parede equivalente he dada por: 
 he ≤ A/μ 
 he ≥ 2 c1 
onde: 
A é a área da seção cheia; 
μ é o perímetro da seção cheia; 
c1 é a distância entre o eixo da armadura longitudinal do canto e a face lateral do 
elemento estrutural. 
A figura 5.3 ilustra a seção vazada de área Ae e de perímetro u. 
 
 
Figura 5.3 – Seção Ideal Equivalente 
 
 
 
ywk
ctm
w
sw
sws f
f
sb
A
2,0≥== ρρ l
TORÇÃO _ ______ V - 3 
 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. 
5.1.4 – Verificação da Compressão Diagonal do Concreto (Item 17.5.1.4): 
 
A resistência decorrente das diagonais comprimidas de concreto deve ser obtida 
por: 
 Td ≤ TRd2 
 
 TRd2 = 0,50 av fcd Ae he sen 2 θ 
sendo: 
av = 1 - fck / 250, com fck em megapascal. 
onde: 
θ é o ângulo de inclinação das diagonais de concreto, arbitrado no intervalo 
30° ≤ θ ≤ 45°; 
Ae é a área limitada pela linha média da parede da seção vazada, real ou 
equivalente, incluindo a parte vazada; 
he é a espessura equivalente da parede da seção vazada, real ou 
equivalente, no ponto considerado. 
 
5.1.5 – Dimensionamento das armaduras (Item 17.5.1.5): 
 
Devem ser consideradas efetivas as armaduras contidas na área correspondente 
à parede equivalente, quando: 
 
a)- a resistência decorrente dos estribos normais ao eixo do elemento estrutural atende 
à expressão: 
 θgfA
Td
s
A
ywde
s
cot***2
90, = 
onde: 
fywd é a resistência de cálculo do aço, limitada a 435 MPa. 
 
b)- a resistência decorrente das armaduras longitudinais atende à expressão: 
 
 θtgfA
Td
u
A
ywde
sl
***2
= 
onde: 
Asl é a soma das áreas das seções das barras longitudinais; 
u é o perímetro de Ae. 
 
A armadura longitudinal de torção de área total Asl pode ter arranjo distribuído ou 
concentrado, mantendo-se obrigatoriamente constante a relação ∆Asl /∆u, onde ∆u é o 
trecho de perímetro, da seção efetiva, correspondente a cada barra ou feixe de barras 
de área ∆Asl. 
Nas seções poligonais, em cada vértice dos estribos de torção, deve ser colocada 
pelo menos uma barra longitudinal. 
 
5.1.6 – Disposições Construtivas das Armaduras de Torção (Item 18.3.4): 
 
Consideram-se efetivos na resistência os ramos dos estribos e as armaduras 
longitudinais contidos no interior da parede fictícia da seção vazada equivalente. 
 
TORÇÃO _ ______ V - 4 
 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. 
5.1.6.1 – Estribos: 
 
 
Os estribos para torção devem ser fechados em todo o seu contorno, envolvendo 
as barras das armaduras longitudinais de tração, e com as extremidades 
adequadamente ancoradas por meio de ganchos em ângulo de 45º. 
 
a)- Bitolas dos Estribos: 
 
φt ≥ 5,0 mm 
φt ≥ 4,2 mm ( para tela soldada ) 
 
φt ≤ bw / 10 
φt ≤ 12 mm ( barra lisa ) 
 
b)- Espaçamento Mínimo entre Estribos: 
 
 smin ≥ passagem do vibrador 
 
c)- Espaçamento Máximo entre Estribos: 
 
 Se 267,0 Rdd VV ≤ , então cmdsmáx 306,0 ≤= ; 
 Se 267,0 Rdd VV > , então cmdsmáx 203,0 ≤= . 
 
entre ramos sucessivos da armadura constituída por estribos: 
 
Se 220,0 Rdd VV ≤ , então cmds máxt 80, ≤= ; 
Se 220,0 Rdd VV > , então cmds máxt 356,0, ≤= . 
 
5.1.6.1 – Armadura Longitudinal: 
 
a)- Bitola Mínima: φl ≥ φt. 
 
b)- Número Mínimo de Barras: As seções poligonais devem conter, em cada vértice dos 
estribos de torção, pelo menos uma barra. 
 
c)- Espaçamentos entre Barras Longitudinais: 
 
As barras longitudinais da armadura de torção podem ter arranjo distribuído ou 
concentrado ao longo do perímetro interno dos estribos, espaçadas no máximo de 
35cm. 
d)- Armadura de Pele: 
A mínima armadura lateral deve ser almacA ,%10,0 em cada face da alma da viga e 
composta por barras de alta aderência ( )25,21 ≥η com espaçamento não maior que d/3 
e 20 cm. 
Em vigas com altura igual ou inferior a 60 cm pode ser dispensada a utilização da 
armadura de pele. 
 
TORÇÃO _ ______ V - 5 
 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. 
5.1.7 – Exemplo: Dimensionar e detalhar a armação de combate ao momento torçor 
cujo valor de cálculo é de Td = 170 KN * m, para uma seção retangular de bw = 60 cm e 
h = 80 cm, com concreto fck = 25 MPa, Aço CA 50 e CA 60 e cobrimento lateral de 2,5 
cm. 
 
a)- Seção Ideal Equivalente: 
 
A área e o perímetro da seção cheia será: 
A = bw * h = 60 * 80 = 4800 cm2 
μ = 2 * ( bw + h ) = 2 * ( 60 + 80 ) = 280 cm 
 
Adotando-se, inicialmente, Φl = 10,0 mm e Φt = 8,0 mm, vem: 
c1 = cobrimento + Φl / 2 + Φt = 2,5 + 0,8 + 0,5 = 3,8 cm 
 
A espessura fictícia da parede é adotada igual a: 
he = A / μ ≤ 4800 / 280= 17,14 cm 
he ≥ 2 * c1 ⇒ OK. 
 
A área e o perímetro da seção equivalente: 
bs = bw – he = 60 – 17,14 = 42,86 cm 
hs = h – he = 80 – 17,14 = 62,86 cm 
 
Ae = bs * hs = 42,86 * 62,86 = 2694,18 cm2 
u = 2 * ( bs + hs ) = 2 * ( 42,86 + 62,86 ) = 211,44 cm 
 
b)- Verificação do Concreto: 
 
Adotando-se θ = 45˚, vem: 
αv = 1 - fck / 250 = 1 – 25 / 250 = 0,9 
TRd2 = 0,50 av fcd Ae he sen 2 θ = 0,50 * 0,9 * 2,5 / 1,4 * 2694,18 * 17,14 * sen 90˚ 
TRd2 = 371 KN * m 
TRd2 ≥ Td ⇒ OK. 
c)- Dimensionamento dos Estribos: 
 
o45cot15,1/50*18,2694*2
100*170
cot***2
90,
ggfA
Td
s
A
ywde
s == θ 
=== mcmcmcm
s
As /25,7/0725,0 2290, φ 10,0 c/11 = 7,27 cm2/m 
 
d)- Dimensionamento da Armadura Longitudinal: 
 
o45*15,1/50*18,2694*2
100*170
***2 tgtgfA
Td
u
A
ywde
sl == θ 
TORÇÃO _ ______ V - 6 
 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. 
cmcm
u
Asl /0725,0 2= 
Asl = 0,0725 * 211,44 = 15,34 cm2 ⇒ 14 φ 12,5 = 17,5 cm2 
 
e)- Disposições Construtivas: 
 
φt ≥ 5,0 mm 
φt ≤ bw / 10 = 60 /10 = 60,0 mm 
 
φl ≥ φt. 
Número Mínimo de Barras: 4 barras. 
Espaçamentos entre Barras Longitudinais ≤ 35 cm. 
Armadura de Pele: 
As,Face = 0,10% Ac,Alma para face > 60 cm. 
As,Face = 0,10 / 100 * 60 * 80 = 4,8 cm2 
⎩⎨
⎧ ==≤
cm
cmd
elong 20
3,253/763/
 
 
 
f)- Detalhamento da Seção: 
 
 
Figura 5.4 – Detalhamento da Seção 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TORÇÃO _ ______ V - 7 
 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. 
5.2 – Torção Combinada com Flexão (Item 17.7): 
 
5.2.1- Dimensionamento: 
 
Nos elementos estruturais submetidos a torção e a flexão simples ou composta, as 
verificações podem ser efetuadas separadamente para a torção e para as solicitações 
normais, somando-se os resultados. 
 
5.2.2- Verificação do Concreto: 
 
Na combinação de torção com força cortante, o projeto deve prever ângulos de 
inclinação das bielas de concreto θ �coincidentes para os dois esforços. 
 
A resistência à compressão diagonal do concreto deve ser satisfeita atendendo à 
expressão: 
1
22
≤+
Rd
d
Rd
d
T
T
V
V 
onde : 
Vd e Td são os esforços de cálculo que agem concomitantemente na seção; 
TRd2 é calculado conforme item 5.1.4; 
 
VRd2 = 0,27 αv fcd bw d ( para θ = 45° ) 
sendo: αv = 1 - fck/250 e fck em megapascal. 
 
5.2.3- Exemplo: Refazer o exemplo anterior, supondo-se que, além da atuação de Td = 
170 KN * m, ocorra um esforço cortante Vd = 580 KN (valor máximo) e do momento 
fletor Md = 660 KN * m, comprimindo as fibras superiores. 
 
Adotando-se d = 80 – 4 = 76 cm, vem: 
 
a)- Verificação do Concreto: 
 
αv = 1 - fck/250 = 1 – 25/250 = 0,9 
VRd2 = 0,27 αv fcd bw d = 0,27 * 0,9 * 2,5/1,4 * 60 * 76 = 1978,7 KN 
 
 1
22
≤+
Rd
d
Rd
d
T
T
V
V ⇒ 175,0
371
170
7,1978
580 ≤=+ ⇒ OK 
b)- Dimensionamento da armadura de flexão: 
 
25,5
66000
76*60* 22 ===
d
w
c M
dbK ⇒ tabela A.3 ⇒ Ks= 0,025 
27,21
76
66000*025,0* cm
d
M
KA dss === 
A armadura mínima longitudinal para vigas retangulares é dada por: 
 
 
Da tabela A.4, tem-se ρmin = 0,15% e, 
TORÇÃO _ ______ V - 8 
 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. 
 
 AS,Min = ρmin * Ac = 0,0015 * 60 * 80 = 7,2 cm2 ⇒ OK. 
 
Para vigas com h ≥ 60 cm a armadura de pele deve ser no mínimo igual a 0,10% 
Ac,Alma em cada face, ou seja : 
As,Alma = 0,0010*60*80 = 4,8cm2, satisfeita para menor face com 4φ12,5 = 5,0 cm2. 
 
 
c)- Dimensionamento dos estribos de flexão: 
 
MPafckfctm 56,225*3,0*3,0
3 23 2 === 
fctk,inf = 0,7 * fctm = 1,79 Mpa 
 fctd = fctk,inf / γc = 1,79 / 1,4 = 1,28 Mpa 
Adotando-se °= 90α (estribo vertical) 
Vc = Vc0 = 0,6 * fctd * bw * d = 0,6 * 0,128 * 60 * 76 = 350,21 KN 
cmcm
senfd
VV
s
A
ywd
cdsw /0773,0
15,1/50*76*9,0
)21,350580(
)cos(***9,0
)( 2=−=+
−= αα 
com MPaf ywd 435≤ 
mcm
s
Asw /73,7 2= 
A armadura mínima devida a força cortante é dada por: 
ywk
wctmsw
f
bf
s
A **2,0min, ≥ 
mcmcmcm
s
Asw /14,6/0614,0
500
60*56,2*2,0 22min, === ⇒ OK 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TORÇÃO _ ______ V - 9 
 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. 
d)- Armaduras Longitudinais Finais: 
 
Somam-se as armaduras correspondentes, ou seja: 
 
Torção = 4 φ 12,5 = 5,0 cm2 (na região da tração da flexão) 
Flexão = 21,7 cm2 
Total = 26,5 cm2 ⇒ Tabela A.1 ⇒ 9 φ 20,0 mm = 28,35 cm2 
 
 
Figura 5.5 – Armação para combate de Torção + Flexão 
 
 
e)- Armaduras Transversais Finais (estribos): 
 
Armadura devida à Torção que deve ser resistida por cada perna de estribo. 
mcmcmcm
s
As /25,7/0725,0 2290, == 
Armadura devido ao cortante que deve ser dividida pelo número de pernas dos 
estribos: 
mcm
s
Asw /73,7 2= 
Adotando-se um estribo interno de combate ao cortante - φ 8,0 c/15, obtém-se 
para as duas pernas, área de 2 x 3,33 cm2/m = 6,66 cm2/m. Resta ainda uma área de 
(7,73 – 6,66 ) / 2 = 0,535 cm2/m a ser acrescido a um estribo externo. 
Assim, a área do estribo externo será 7,25 cm2/m (devido a torção) + 0,535 cm2/m 
(restante do cortante), ou seja, 7,8 cm2/m que resulta no estribo - φ 10,0 c/ 10 = 8 
cm2/m. 
O espaçamento máximo admitido para Vd > 0,67 VRd2 é de 0,3 * d = 0,3 * 76 = 22,8 
cm e menor que 20cm, plenamente satisfeito. 
 
TORÇÃO _ ______ V - 10 
 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. 
 
 
Figura 5.6 – Armação para combate de Torção + Cortante 
 
 
f)- Detalhamento Final: 
 
 
 
Figura 5.7 – Detalhamento Final 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TORÇÃO _ ______ V - 11 
 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. 
5.3 – Bibliografia: 
 
[ 1 ] – ABNT, Associação de Normas e Técnicas. Norma Brasileira NBR-6118. 
Projeto de estruturas de concreto – Procedimentos. Rio de Janeiro, 
2007. 
 
[ 2 ] – Süssekind, José Carlos. Curso de Concreto, Vol. II. Editora Globo. Rio de 
Janeiro, 1984. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1N = 0,1 kgf 1 MPa = 1 MN/m² = 10 kgf/cm² 
1 kN = 100 kgf = 0,1 tf 1 kN/m = 100 kgf/m = 0,1 tf/m 
1 kN.m = 100 kgf.m = 0,1 tf.m 1 kN/m² = 100 kgf/m² = 0,1 tf/m² 
1 kN.cm = 100 kgf.cm = 0,1 tf.cm 1 kN/m³ = 100 kgf/m³ = 0,1 tf/m³ 
1 MPa = 0,1 kN/cm² = 100 N/cm² 
ESCADAS _ VI - 1 
 
___________________________________________________________________
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc. 
 
 
 
6 - ESCADAS 
 
 
6.1 – Limitações Geométricas: 
 
 
A figura 6.1 indica o corte e a planta genéricos de uma escada composta de dois 
patamares e um lance de escada. São feitas algumas