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Cap 1_Parte 2_nunes

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NOTAS DE AULA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Geometria Analítica e 
Álgebra Linear 
Capítulo 1 - Parte 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Professor: Luiz Fernando Nunes 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear ii 
Índice 
1 Sistemas de Equações Lineares ................................................................................ 1 
1.1 Definições Gerais .............................................................................................. 1 
1.2 Interpretação Geométrica de Sistemas de Equações 2x2 .................................. 2 
1.3 Interpretação Geométrica de Sistemas de Equações 3x3 .................................. 4 
1.4 O Método do Escalonamento ............................................................................ 6 
1.5 O Método de Cramer ........................................................................................ 9 
1.6 Comparação entre o Método do Escalonamento e o Método de Cramer ....... 11 
1.7 Sistemas Homogêneos .................................................................................... 12 
1.8 Montando uma dieta alimentar com sistemas lineares ................................... 12 
1.9 Referências Bibliográficas. ............................................................................. 13 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 1 
1 Sistemas de Equações Lineares 
1.1 Definições Gerais 
Forma Algébrica de um Sistema de Equações Lineares com m equações e n 
incógnitas 










mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa




2211
22222121
11212111
 
Forma Matricial: 
A

x

b
 












mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa




21
22221
11211













nx
x
x

2
1













mb
b
b

2
1
. 
Onde: 
 
A
  matriz dos coeficientes; 
 
x
  vetor das incógnitas (ou vetor solução); 
 
b
  vetor dos termos independentes. 
Matriz Aumentada ou Matriz Completa do Sistema 
B
[
A

b
]












mmnmm
n
n
baaa
baaa
baaa




21
222221
111211
. 
Definições 
Diz-se que um sistema de equações lineares é incompatível (ou sistema impossível – 
S.I.), se não admite nenhuma solução. 
Um sistema de equações lineares que admite uma única solução é chamado de 
compatível determinado (ou sistema possível determinado – S.P.D.). 
Se um sistema de equações lineares tem mais de uma solução (infinitas soluções) ele 
recebe o nome de compatível indeterminado (ou sistema possível indeterminado – S.P.I.) 
Discutir um sistema de equações lineares S significa efetuar um estudo visando 
classificá-lo de acordo com as definições anteriores. 
Resolver um sistema de equações lineares significa determinar todas as suas soluções. 
O conjunto dessas soluções recebe o nome de conjunto solução do sistema. 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 2 
1.2 Interpretação Geométrica de Sistemas de Equações 
2x2 
Nesta seção são apresentados três exemplos que ilustram a interpretação geométrica 
para a solução de sistemas de equações lineares de duas equações com duas incógnitas: 
Exemplos 
1. Resolver e interpretar geometricamente a solução do sistema: 





63
52
yx
yx 
Solução: x = 3 e y = -1 
Como o sistema tem solução única, esta é representada pela intersecção das retas cujas 
equações gerais são: 
52  yx
 e 
63  yx
. 
 
 
2. Resolver e interpretar geometricamente a solução do sistema: 





1536
52
yx
yx  Solução: S.P.I. 






y
yx
2
5
2
1
 
Como o sistema tem infinitas soluções, estas são representadas pela intersecção das 
retas cujas equações gerais são: 
52  yx
 e 
1536  yx
 (retas coincidentes). 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 3 
 
3. Resolver e interpretar geometricamente a solução do sistema: 





1036
52
yx
yx  Solução: S.I. (Sistema Impossível) 
O sistema não tem solução. De fato, as retas cujas equações gerais são: 
52  yx
 e 
1036  yx
 são paralelas (não coincidentes). 
 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 4 
1.3 Interpretação Geométrica de Sistemas de Equações 
3x3 
Dado um sistema de equações com três equações com três incógnitas: 








3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
 
cada equação representa um plano no espaço tridimensional. Desta forma os planos 
1
, 
2
 e 
3
 são os planos definidos pelas equações do sistema. Assim, as soluções do 
referido sistema pertencem à interseção 
321 
 desses planos. 
Se pelo menos dois desses planos são paralelos, ou se dois deles intersectam o terceiro 
segundo retas paralelas, a interseção 
321 
 é vazia e o sistema é impossível. 
Se os três planos se intersectam em uma reta r, isto é, se 
r 321
, o sistema 
é indeterminado e qualquer ponto da reta r é uma solução do sistema. 
O sistema é determinado (solução única), quando os três planos se encontram em um 
único ponto. 
Existem ao todo, oito posições relativas possíveis para os planos 
1
, 
2
 e 
3
. Quatro 
dessas posições correspondem aos sistemas impossíveis e nas outras quatro, o sistema tem 
solução. 
Na seqüência são descritas estas oito posições relativas de 
1
, 
2
 e 
3
: 
1º. Caso: Os três planos coincidem. Neste caso o sistema é indeterminado e qualquer ponto 
dos planos é uma solução do sistema. 
Exemplo: 
4. 








9363
6242
32
zyx
zyx
zyx
 
2º. Caso: Dois planos coincidem e o terceiro é paralelo a eles. Neste caso o sistema é 
impossível. 
Exemplo: 
5. 








8363
6242
32
zyx
zyx
zyx
 
3º. Caso: Dois dos planos coincidem e o terceiro os intersecta segundo uma reta r. Neste caso 
o sistema é indeterminado e qualquer ponto da reta r é uma solução do sistema. 
Exemplo: 
6. 








963
6242
32
zyx
zyx
zyx
 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 5 
 
4º. Caso: Os três planos são paralelos dois a dois. Neste caso o sistema é impossível. 
Exemplo: 
7. 








5363
4242
32
zyx
zyx
zyx
 
5º. Caso: Os planos 
1
 e 
2
 são paralelos e o plano 
3
 os intersecta segundo duas retas 
paralelas. Neste caso o sistema é impossível. 
Exemplo: 
8. 








92
5242
32
zyx
zyx
zyx
 
6º. Caso: Os três planos são distintos e tem uma reta r em comum, isto é 
r 321
. 
Neste caso o sistema é indeterminado e qualquer ponto da reta r é uma solução do 
sistema. 
Exemplo: 
9. 








6425
32
1
zyx
zyx
zyx
 
7º. Caso: Os três planos se intersectam, dois a dois, segundo retas 
21 r
, 
31 s
 e 
32 t
, paralelas umas às outras. Neste caso o sistema é impossível. 
Exemplo: 
10. 








668
23
132
zyx
zyx
zyx
 
8º. Caso: Os três planos se intersectam em apenas um ponto. Neste caso, o sistema é possível 
e determinado (solução única). 
Exemplo: 
11. 








123
22
132
zyx
zyxzyx
 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 6 
1.4 O Método do Escalonamento 
Definição 
Diz-se que uma matriz é escalonada quando o primeiro elemento não-nulo de cada 
uma das suas linhas situa-se à esquerda do primeiro elemento não-nulo da linha seguinte. 
Além disso, as linhas que tiverem todos os seus elementos iguais a zero devem estar abaixo 
das demais. 
Definição 
Diz-se que um sistema de equações lineares é um sistema escalonado, quando a matriz 
aumentada associada a este sistema é uma matriz escalonada. 
O Método do Escalonamento para resolver ou discutir um sistema de equações 
lineares S consiste em se obter um sistema de equações lineares escalonado equivalente a S 
(equivalente no sentido de possuir as mesmas soluções que este). 
Partindo do sistema S pode-se chegar a este sistema escalonado equivalente por meio 
de uma seqüência de operações elementares, que são as seguintes: 
1) Trocar a ordem das equações do sistema; 
2) Multiplicar uma equação por uma constante diferente de zero; 
3) Substituir uma equação do sistema por sua soma com outra equação multiplicada por uma 
constante diferente de zero. 
Desta forma, se um sistema de equações foi escalonado e, retiradas as equações do 
tipo 0 = 0, então restam p equações com n incógnitas. 
Se a última das equações restantes é do tipo: 
 000000 1321   ppnn xxxxx 
, então o sistema de 
equações é impossível – S.I. (não admite soluções); 
Caso contrário, sobram duas alternativas: 
(i) Se p = n o sistema é possível determinado – S.P.D .(admite solução única); 
(ii) Se p < n, então o sistema é possível indeterminado – S.P.I. (admite infinitas soluções). 
Observação: 
Para se escalonar um sistema S é mais prático efetuar o escalonamento da matriz 
aumentada associada ao sistema. Uma vez concluído o escalonamento dessa matriz 
aumentada, associamos a ela o novo sistema que é equivalente ao sistema original S. 
Exemplo 
12. Discutir e resolver o sistema: 








13
022
1
zyx
zyx
zyx
 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 7 












1113
0212
1111
133
122
3
2
LLL
LLL
















2220
2030
1111

 22
3
1
LL
 













2220
3
2
010
1111

 233 2LLL



















3
2
200
3
2
010
1111
 cujo sistema equivalente é 











3
2
2
3
2
1
z
y
zyx
  Como o número de equações restantes é igual ao número 
de incógnitas, o sistema é possível e determinado (S.P.D.). Resolvendo este sistema de baixo 
para cima, obtemos 
3
1
z
, 
3
2
y
 e finalmente 
0x
. Desta forma, a solução pode ser dada 
pela única tripla ordenada 
  






3
1
3
2
0 ,,,, zyx
 
Exemplo 
13. Discutir e resolver o sistema: 








37
032
12
yx
zyx
zyx
 













3071
0312
1121
 
133
122 2
LLL
LLL



 













2150
2150
1121
 

 233 LLL
 












0000
2150
1121
 
cujo sistema equivalente é 





25
12
zy
zyx
 Como o número de equações 
restantes é menor que o número de incógnitas, o sistema é possível mas indeterminado 
(S.P.I.). Desta forma, para cada valor de 
z
, pode-se encontrar 
zy
5
1
5
2

 e 
zx
5
7
5
1

. Assim, a solução pode ser dada por uma tripla ordenada 
  





 zzzzyx ,,,,
5
1
5
2
5
7
5
1
, sendo 
z
. 
Exemplo 
14. Discutir e resolver o sistema: 








022
42
1
zyx
zyx
zyx
 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 8 













0221
4112
1111
 
133
122 2
LLL
LLL



 













1110
2110
1111
 

 233 LLL 












1000
2110
1111
 
cujo sistema equivalente é 








1000
20
1
zyx
zyx
zyx
 Como esta última equação não 
possui solução, o sistema é impossível (S.I.). 
 
 
 
Exemplo 
15. Determinar o valor de a para que o sistema linear S admita uma única solução e 
determiná-la: 









ay
yx
yx
S
3
22
1
 










a30
212
111

 122 2LLL











a30
010
111

 233 3LLL











a00
010
111
 que é uma matriz 
ampliada de um sistema que somente será possível se a = 0. Assim, o sistema equivalente é 





0
1
y
yx
 
Desta forma, a solução pode ser dada pelo único par ordenado 
   01,, yx
 
Exemplo 
16. Discutir o sistema de acordo com os parâmetros a e b: 








bazyx
zx
zyx
24
1376
9342
 










ba24
13706
9342
133
122
2
3
LLL
LLL















18660
142120
9342
ba

 22
2
1
LL
 










 18660
7160
9342
ba
 

 233 LLL
 










 11500
7160
9342
ba
 cujo sistema equivalente é: 
 






115
76
9342
bza
zy
zyx
 








...
...
..
DPSba
IPSba
ISba
qualquere5Se
11e5Se
11e5Se
 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 9 
1.5 O Método de Cramer 
O método de Cramer se aplica para sistemas de equações lineares onde a matriz dos 
coeficientes das incógnitas é quadrada. 
Forma Algébrica de um Sistema de Equações Lineares com m equações e n 
incógnitas 










nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa




2211
22222121
11212111
 
Forma Matricial: 
A

x

b
 












nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa




21
22221
11211













nx
x
x

2
1













nb
b
b

2
1
. 
Onde: 
 
A
  matriz dos coeficientes; 
 
x
  vetor das incógnitas (ou vetor solução); 
 
b
  vetor dos termos independentes. 
Chamamos de D ao determinante de A, isto é 
AD det
 e 
iD
 ao determinante da 
matriz obtida de A, substituindo a i-ésima coluna de A pela coluna dos termos independentes. 
Assim, se 
0D
, então 
D
D
x ii 
. 
Neste caso (
0D
) a solução será única, pois 
1 A
 e 
bxA     bAxAA   11    bAxAA   11  bAxI  1  bAx  1
 
Exemplo 
17. Utilizando o Método de Cramer, resolver o seguinte sistema de equações lineares: 








12
4
6
321
321
321
xxx
xxx
xxx
 
04
112
111
111
det 










D 
4
 iii
D
D
D
x
 
1
4
4
4
111
114
116
det
1 
















x 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 10 
3
4
12
4
112
141
161
det
2 















x 
2
4
8
4
112
411
611
det
3 
















x 
Observação Importante: 
Se 
0.......21  nDDDD
 o sistema não é necessariamente SPI !!! 
Assim, aplicar o Método de Cramer apenas para os casos em que 
0D
. 
Exemplo 
18. Utilizando o Método de Cramer, resolver o seguinte sistema de equações lineares: 








4963
2642
132
321
321
321
xxx
xxx
xxx
 
0
463
242
121
det
943
622
311
det
964
642
321
det
963
642
321
det 











































D 
isto é: 
 
0321  DDDD
 
Mas escalonando o sistema obtemos: 










4963
2642
1321
 
133
122
3
2
LLL
LLL



 










1000
0000
1321

 32 LL










0000
1000
1321
 cujo sistema 
equivalente é: 





1000
132
321
321
xxx
xxx que é impossível (SI) !!! 
 
 
 
 
 
 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 11 
1.6 Comparação entre o Método do Escalonamento e o 
Método de Cramer 
 
Suponha um computador capaz de efetuar 1.000.000 de operações de multiplicação e 
divisão por segundo. Então seriam exigidos os seguintes tempos para a resolução de sistemas 
de equações lineares cujas matrizes dos coeficientes das incógnitas têm o formato: 1010, 
1515 e 2020, respectivamente. 
 
 Escalonamento Cramer 
1010 0,8 milésimos de seg. 1 min. e 8 seg. 
1515 2,5 milésimos de seg. 1 ano, 1 mês e 16 dias 
2020 6 milésimos de seg. 2 milhões, 754 mil, 140 anos 
Fonte: Revista do Professor de Matemática n.23, 1993. 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 12 
1.7 Sistemas Homogêneos 










0
0
0
2211
2222121
1212111
nmnmm
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa




 
 
Sistemas Homogêneos de Equações Lineares com m equações e n incógnitas são 
sistemas de equações lineares onde os termos independentes são todos nulos. Este tipo de 
sistema é sempre possível, pois admite a solução 
0321  nxxxx 
. 
Desta forma, se um sistema homogêneo de equações foi escalonado e, retiradas as 
equações do tipo 0 = 0, então restam p equações com n incógnitas. 
(i) Se p = n o sistema é possível determinado – S.P.D. (admite solução única), e esta solução é 
0321  nxxxx 
, conhecida por solução trivial; 
(ii) Se p < n, então o sistema é possível indeterminado – S.P.I. (admite infinitas soluções). 
1.8 Montando uma dieta alimentar com sistemas lineares 
Neste exemplo, apresentado por FILHO, 2006, temos uma interessante aplicação dos 
sistemas lineares. 
 
A tabela que segue traz os principais nutrientes presentes em alguns alimentos: 
 Arroz 
(50g) 
Feijão 
(30g) 
Frango 
(80g) 
Suco 
(200ml) 
Pão 
(50g) 
Margarina 
(14g) 
VDR 
Energia(Kcal) 190 100 150 120 130 45 2000 
Carboidratos(g) 37 16 8 30 28 0 300 
Proteínas(g) 3 7 13 1 4 0 75 
Gorduras Totais(g) 0 0 6 0 1,5 5 55 
 
1.8.1 Sistema Linear 
Para montar uma dieta é necessário determinar as quantidades 
654321 e,,,, xxxxxx
 
(em porções) de cada alimento, necessárias para compor os VDR (Valores Diários de 
Referência). Isto corresponde a resolver o sistema linear: 
 











5555,16
7541373
300283081637
200045130120150100190
653
54321
54321
654321
xxx
xxxxx
xxxxx
xxxxxx
 
 
Escalonando este sistema, podemos obter o seguinte sistema equivalente: 
 











60,1145,024,1
16,983,025,0
05,868,107,0
19,017,033,0
654
653
652
651
xxx
xxx
xxx
xxx
 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 13 
 
Assim, este sistema é do tipo possível indeterminado – S.P.I. (admite infinitas 
soluções). Os valores de 
4321 e,, xxxx
 podem ser colocados em função de
65 e xx
. Temos 
então: 











654
653
652
651
45,024,160,11
83,025,016,9
68,107,005,8
17,033,019,0
xxx
xxx
xxx
xxx
 
 
Assim, se fizermos, por exemplo: 
55 x
 e 
66 x
, podemos obter: 
81,01 x
; 
71,12 x
; 
91,23 x
 e 
64,24 x
, 
O que corresponde, aproximadamente, a 40g de arroz, 50g de feijão, 230g de frango, 
520ml de suco, 250g de pão e 84g de margarina. 
 
Observação: Evidentemente a dieta aqui proposta tem caráter didático; apenas 
médicos ou nutricionistas podem prescrever dietas alimentares. 
1.9 Referências Bibliográficas. 
 
1. BOLDRINI, José Luiz et al. Álgebra Linear. 3.a Edição. São Paulo: Harper & Row do 
Brasil, 1980. 
2. CALLIOLI, Carlos A. et al. Álgebra Linear e Aplicações. 6.a Edição. São Paulo: Atual, 
1990. 
3. FILHO, Adalberto A.D. Montando uma dieta alimentar com sistemas lineares. Revista 
do Professor de Matemática, n. 59 – Sociedade Brasileira de Matemática, 2006. 
4. LIMA, Elon L., et al. A Matemática do Ensino Médio. 3.a Edição. Rio de Janeiro: 
Coleção do Professor de Matemática – Sociedade Brasileira de Matemática, 2001. 
5. POOLE, David. Álgebra Linear. São Paulo: Thomson Learning, 2006.

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