Notas de Aulas Cap 2

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NOTAS DE AULA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Geometria Analítica e 
Álgebra Linear 
Capítulo 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Professor: Luiz Fernando Nunes 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear ii 
Índice 
 
 
2 Vetores .................................................................................................................. 2-1 
2.1 Definições ...................................................................................................... 2-1 
2.2 Operações com vetores .................................................................................. 2-3 
2.2.1 Adição ...................................................................................................... 2-3 
2.2.2 Multiplicação de número real por vetor ................................................... 2-5 
2.2.3 Produto escalar ou produto interno ........................................................ 2-10 
2.2.4 Produto vetorial ou produto externo ...................................................... 2-12 
2.2.5 Produto misto ......................................................................................... 2-16 
2.3 Exercícios sobre vetores .............................................................................. 2-18 
2.4 Referências Bibliográficas ........................................................................... 2-19 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 2-1 
 
2 Vetores 
2.1 Definições 
Definição 1 
Um segmento orientado é um par ordenado 
 BA,
 de pontos do espaço. A é dito 
origem, e B extremidade do segmento orientado. Os segmentos orientados da forma 
 AA,
 
são ditos nulos. Observe que se 
BA 
então 
   ABBA ,, 
. 
Definição 2 
Dizemos que os segmentos orientados 
 BA,
 e 
 DC,
 têm o mesmo comprimento se 
os segmentos geométricos AB e CD têm o mesmo comprimento. 
Supondo 
 BA,
 e 
 DC,
 não nulos, então dizemos que 
 BA,
 e 
 DC,
 têm mesma 
direção se AB // CD. Neste caso 
 BA,
 e 
 DC,
 são paralelos. 
Supondo que 
 BA,
 e 
 DC,
 têm mesma direção, então: 
a) Se as retas AB e CD são distintas, dizemos que 
 BA,
 e 
 DC,
 têm mesmo sentido 
caso os segmentos AC e BD tenham interseção vazia. Caso 
BDAC
, dizemos 
que 
 BA,
 e 
 DC,
 têm sentido contrário. 
 
b) Se as retas AB e CD coincidem, tome 
 ´´,BA
 tal que 
A´
 não pertença à reta AB e 
 ´´,BA
 tenha mesma direção e mesmo sentido que 
 BA,
. Então dizemos que 
dizemos que 
 BA,
 e 
 DC,
 têm mesmo sentido se 
 ´´,BA
 e 
 DC,
 têm mesmo 
sentido. Se não, dizemos que 
 BA,
 e 
 DC,
 têm sentido contrário. 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 2-2 
 
Verifique que 
 BA,
 e 
 AB,
 têm mesmo comprimento, mesma direção e sentido 
contrário, sendo 
BA 
. 
Definição 3 
Dizemos que os segmentos orientados 
 BA,
 e 
 DC,
 são eqüipolentes, e indica-se 
 BA,
 ~ 
 DC,
, se um dos casos seguintes ocorrer: 
a) ambos são nulos; 
b) nenhum é nulo, e têm mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido. 
Definição 4 
Um vetor é uma classe de segmentos eqüipolentes. 
 
Nas figuras, as flechas representam um mesmo vetor, o qual será indicado por 
AB 
, 
´´ AB 
, ou 
´´´´ AB 
, de modo que 
AB 
 = 
´´ AB 
 = 
´´´´ AB 
. Costuma-se indicar 
AB 
 
também por 
AB
, ou então por uma letra latina minúscula com uma flecha em cima, como 
u
 . 
 
Desta forma temos que 
 ABu
 AB
. 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 2-3 
Observações: 
 O tamanho (intensidade ou comprimento) de um vetor 
u
 é indicado por 
u

 e 
chama-se norma de 
u
 . Se 
1u

 dizemos que o vetor é unitário. Alguns 
autores utilizam para a norma de 
u
 a notação 
u

. 
 O vetor 
BA
 é chamado de vetor oposto do vetor 
AB
. Assim, 
AB
 e 
BA
 só 
diferem entre si no sentido (se 
BA 
). O vetor oposto do vetor 
AB
 é indicado 
também por 
AB
; o vetor oposto de 
u
 é 
u


. 
 O vetor nulo pode ser representado por 
AAAA 0
 . Tem-se ainda que 
00 
 e 00   . 
 Se 
u
 e 
v
 tem mesma direção, dizemos que eles são vetores paralelos e 
indicamos por 
u
 // 
v
 . 
 Dizemos que 
u
 e 
v
 são ortogonais, se uma flecha que representa 
u
 faz ângulo 
reto com uma flecha que representa 
v
 . Notação 
u
  v . 
2.2 Operações com vetores 
2.2.1 Adição 
Sejam os vetores 
ABu 
 e 
BCv 
 , então 
    ACBCABvu 

 
 
 
 
 
 
 
 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 2-4 
Propriedades da adição de vetores 
(A1) Propriedade Associativa: 
   wvuwvu


 
(A2) Propriedade Comutativa: 
uvvu


 
(A3) Elemento Neutro: 
uuu

 00
 
(A4) Elemento Oposto: 
  0

 uu
 
Ilustração da propriedade associativa (A1): 
 
Exemplos 
1. Encontre o vetor soma dos vetores destacados nas figuras que seguem: 
 
      ABDBCDAC 
 
 
        ABEBDECDAC 
 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 2-5 
 
          0

 ABEADECDBC
 
Observação: 
Podemos também definir a diferença entre vetores como: 
 vuvu


 
 
Exemplo 
2. Dados os vetores 
u
 e 
v
 destacados no paralelepípedo que segue, identifique na figura 
um representante para o vetor 
vu


: 
 
2.2.2 Multiplicação de número real por vetor 
Dado um vetor 
v
 e um número real 

, definimos o vetor 
v


, como: 
Se 
0
 ou 
0

v
, então 
0

 v
; 
Se 
0
 e 
0

v
, então 
v


 é o vetor tal que: 
 
v


 é paralelo a 
v
 ; 
 
v


 e 
v
 tem mesmo sentido se 
0
; 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 2-6 
 
v


 e 
v
 tem sentido contrário se 
0
; 
 A norma de 
v


 é 
vv


. 
Exemplos 
3. Na sequência são apresentados alguns casos de produto de vetor por número real: 
 
a) Para 
02 
: 
 
 
b) Para 
02 
: 
 
 
c) Para 
0
3
1

 
 
 
Proposição 
Se 
u
 e 
v
 são paralelos e 
0

u
, existe 

 tal que 
uv


. 
Exemplos 
4. Sejam 
u
 e 
v
 paralelos, 
30u

 e 
50v

. Sendo 
uv


, determine 

 nos 
casos: 
a) 
u
 e 
v
 têm mesmo sentido. 
b) 
u
 e 
v
 têm sentido contrário. 
 uv

uuv



3
5

u
v

 . Logo 
3
5

. 
Assim, 
u
 e 
v
 têm mesmo sentido se 
3
5

 , e 
u
 e 
v
 tem sentido contrário se 
3
5

. 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 2-7 
5. É dado um vetor 
0

u
. Determine um vetor 
v
 de tamanho 3, paralelo a 
u
 e de 
mesmo sentido que ele. 
Então temos que 
uv


, com 
0
. 
 
 uv

uuv



uu
v


3

. Como 
0
, temos que 
u

3

. 
Substituindo este valor de 

 em 
uv


, obtemos: 
u
u
u
u
vuv 



 

33
 
Logo 
u
u
v 

 

3
 
Definição 
Dado um vetor 
0

u
, chama-se versor do vetor 
u
 , um vetor unitário, paralelo e de 
mesmo sentido que 
u
 . 
Exemplo 
6. Dado um vetor 
0

u
, mostre que o versor de 
u
 é 
u
u

 . 
Chamando de 
v
 ao versor de 
u
 , temos que 
uv


, com 
0
. 
 
 uv

uuv



uu
v


1

. Como 
0
, temos que 
u

1

. 
Substituindo este valor de 

 em 
uv


, obtemos: 
u
u
u
u
vuv 





1
 
Logo 
u
u
v 



. 
Propriedades da multiplicação de número real por vetor 
(M1) 
  vuvu


 
(M2) 
  vvv


 
(M3) 
vv

1
 
(M4) 
     vvv


 
Definição 
Sejam 
nvvvv

,.....,,, 321
 vetores do 3 ,  1n e 
n ,.....,,, 321

. Chama-se 
combinação linear dos vetores 
nvvvv

,.....,,, 321
, com coeficientes 
n ,.....,,, 321
, ao 
vetor: 
nn vvvvv

 .....332211
. 
 Geometria Analíticae Álgebra Linear 2-8 
Definição 
Uma base do 
3
 é uma tripla ordenada de vetores 
 321 ,, eee

 do 
3
, tais que não 
existe nenhum plano paralelo simultaneamente aos vetores 
321 e, eee

. 
 
Proposição 
Dado um vetor qualquer 3v , existe uma única tripla ordenada 
 321 ,, 
, tal 
que 
332211 eeev


. 
 
Assim, na figura anterior temos: 
11 eOR


, 
22 eOS


 e 
33 eOT


 
Sendo 
 321 ,, eeeE


 uma base do 3 , escreve-se: 
 
332211 eeeOPv


=
 
E321
,, 
. 
7. Sendo 
 Eu 4,1,1

 e 
 Ev 5,3,1

, calcule: 
vu

 32
, na base 
 321 ,, eeeE


. 
vu

 32
=
         EEEEE 7,7,515,9,38,2,25,3,134,1,12 
 
Ou seja, 
vu

 32
=
321 775 eee


. 
8. Sendo 
 Eu 1,4,1 

 e 
E
bav 






2
1
,,

 e 
 Ecacw  2,,1

, e sabendo que 
uwv

2
, calcule os valores de a, b e c. 
Resposta: a=
1
, b=2 e c=0 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 2-9 
Proposição 
Seja 
 321 ,, eeeE


 uma base do 
3
. Dados os vetores 
321 e, fff
 , podemos 
escrever: 
3213
3212
3211
eteserf
epenemf
ecebeaf






. 
Então 
 321 ,, fff
 é uma base, se e somente se: 0det 










tsr
pnm
cba
. 
9. Sendo E uma base, verifique se 
 321 ,, fff
 é uma base nos casos: 
a) 
 Ef 2,1,01 
 , 
 Ef 4,0,02 
 e 
 Ef 5,1,13 
 Resposta: Sim. 
b) 
 Ef 3,2,01 
 , 
 Ef 2,1,12 
 e 
 Ef 7,7,13 
 Resposta: Não. 
 
Definição 
Uma base 
 321 ,, eeeE


 é ortonormal se 
321 e, eee

 são versores, dois a dois 
ortogonais. (
1321  eee

). 
 
Proposição 
Seja 
 321 ,, eeeE


 uma base ortonormal. Se 
332211 eeev


, então: 
2
3
2
2
2
1 v

. 
10. Seja 
 321 ,, eeeE


 uma base ortonormal. Sendo 
 Eu 2,1,0

 e 
 Ev 6,4,2 

, 
calcule: 
a) 
u

 Resposta: 
5
 
b) 
v

 Resposta: 
56
 
c) 
vu


 Resposta: 
45
 
d) 
vu

 2
 Resposta: 
261
 
e) 
vu


2
1
 Resposta: 
27
 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 2-10 
2.2.3 Produto escalar ou produto interno 
Sendo 
u
 e 
v
 vetores, definimos o número real 
vu


, do seguinte modo: 
i) Se 
0

u
 ou 
0

v
, então 
0vu
 (zero) 
ii) Se 
0

u
 e 
0

v
, então 
 cosvuvu

, onde 

 é o ângulo convexo entre os 
vetores 
u
 e 
v
 . (
0
). 
 
11. Se 
0vu
 , pode-se concluir que 
0

u
 ou 
0

v
? 
Não! Pois, 
0 vuvu
 . 
Proposição 
Se 
 
E
u 321 ,, 

 e 
 
E
v 321 ,, 

 e 
 321 ,, eeeE


 é uma base ortonormal, 
então: 
332211 vu

. 
Demonstração 
 
Da Lei dos Cossenos temos que: 
 cos2
222
vuvuQP
=
    vu   2232221232221
 ( I ) 
Mas temos também que: 
 
2
332211
22
,,  vuQP
=
       233
2
22
2
11
     332211232221232221 2 
 ( II ) 
Igualando ( I ) com ( II ), obtemos: 
    vu   2232221232221
=
     332211232221232221 2 
 
Logo concluímos que 
332211 vu

. 
Observação 
Seja 
 321 ,, eeeE


 uma base ortonormal. Se 
332211 eeeu


, então: 
2
3
2
2
2
1 u
 uu    2
uuu


 
Assim, 
uuu


 2
uuu


. 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 2-11 
12. Seja 
 321 ,, eeeE


 uma base ortonormal. Sendo 
 Eu 5,1,1

 e 
 Ev 1,4,2 

, 
calcule: 
a) 
vu


 
 
    7154121 vu

 
b) 
u

 
 
    27551111 u

 
c) 
v

 
 
    21114422 v

 
d) o ângulo entre 
u
 e 
v
 
 
 cosvuvu
   cos21277
 
2127
7
cos


 arc
 
13. Seja 
 321 ,, eeeE


 uma base ortonormal. Sendo 
 Eu 1,4,1

 e 
 Ev 8,1,0 

, 
calcule: 
a) 
  uvu

2
 Resposta: 32 
b) 
   vuvu


 Resposta: 
47
 
14. Seja 
 321 ,, eeeE


 uma base ortonormal. Sendo 
 Eu 0,1,3

 e 
 Ev 0,32,2

, 
calcule o ângulo 

 convexo entre os vetores 
u
 e 
v
 . Resposta: 
6

 rad 
Propriedades do produto escalar 
(PE1) 
  wuvuwvu


 e 
  wvwuwvu


 
(PE2) 
     vuvuvu


 
(PE3) 
uvvu


 
(PE4) 
0uu
 ; 
00

 uuu
 
15. Prove: 
a) 222
2 vvuuvu 
 
Lembrando que 
uuu


 2
uuu


, temos que: 
     vvvuuuvuvuvu 2
2 22
2 vvuu 
 
 
b) 222
2 vvuuvu 
. Analogamente, temos: 
     vvvuuuvuvuvu 2
2 22
2 vvuu 
 
 
c) 
vuvu 
 (Desigualdade de Schwarz) 
 cosvuvu
 
 cosvuvu

vuvu

 cos
 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 2-12 
 
d) 
vuvu 
 (Desigualdade Triangular) 
222
2 vvuuvu 
22
2 vvuu 
 

22
2 vvuu 



 
2
vu 
2
vu 



 
2
vu vuvu 
 
2.2.4 Produto vetorial ou produto externo 
Se 
u
 // 
v
 , então, por definição o produto vetorial (ou produto externo) de 
u
 por 
v
 é o 
vetor nulo. Notação: 
0

 vu
 ou 
0

vu
. 
Se 
u
 e 
v
 não são paralelos, então
vu


 é um vetor com as seguintes características: 
a) 
 senvuvu

; onde 

 é o ângulo entre os vetores 
u
 e 
v
 . 
b) 
vu


 é ortogonal a 
u
 e a 
v
 ; 
c) o sentido de 
vu


 pode ser dado pela regra da mão direita: 
 
Assim, nas figuras que seguem tem-se: 
wvu


 e 
wuv


 
 
A regra da mão direita pode ser melhor observada nas figuras que seguem, onde o 
polegar indica o sentido do vetor oriundo do produto vetorial: 
 
 
 
 
 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 2-13 
 
 
Observação 
Se 
 321 ,, eeeE


 é uma base ortonormal, então 
321 eee


 ou 
321 eee


. 
Temos ainda que 
1111
2
sen2121 

 eeee

 
Definição 
Uma base ortonormal chama-se dextrógira se 
321 eee


 e levógira se 
321 eee


. 
Observação 
 
Se 
 kjiE

,,
 é uma base ortonormal dextrógira, então temos que: 
kji


 
jik


 
ikj


 
jki


 
ijk


 
0

 ii
, etc. 
 
 
Exemplo 
16. Apresente os vetores 
kji

e,
 na base 
 kjiE

,,
. 
Resposta: 
 Ei 0,0,1
 , 
 Ej 0,1,0
 e 
 Ek 1,0,0
 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 2-14 
Propriedades do produto vetorial 
 
(PV1) 
  wuvuwvu


 ou 
  wvwuwvu


 
(PV2) 
     vuvuvu


 
(PV3) 
uvvu


 
 
Proposição 
Se 
 kjiE

,,
 é uma base ortonormal dextrógira, e se 
 Ecbau ,,

 e 
 Epnmv ,,

, 
então: 











pnm
cba
kji
vu


det . 
 
Demonstração: 
 
 vu

    kpjnimkcjbia
 
 kiapjianiiam
 
 kjbpjjbnijbm
 
 kkcpjkcnikcm
 
 icnjcmibpkbmjapkan
 
       kbmanjcmapicnbp
 


















k
nm
ba
j
pm
ca
i
pn
cb 
detdetdet










pnm
cba
kji

det 
Exemplos 
 
17. Sendo 
 kjiE

,,
 uma base ortonormal dextrógira, 
 Eu 3,1,1

 e 
 Ev 4,1,1 

, 
calcule 
vu


: 
kji
kji
vu



27
411
311det 











 . 
 
18. Sendo 
 kjiE

,,
 uma base ortonormal dextrógira, calcule 
vu


 nos seguintes 
casos: 
a) 
 Eu 0,1,2

 e 
 Ev 2,3,1 

 Resposta: 
 E7,4,2 
 
 
b) 
 Eu 1,1,2 

 e 
 Ev 4,5,2

 Resposta: 
 E8,10,9 
 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 2-15 
19. Obtenhax
 tal que 
kjx


 e 
5x

, sendo 
 kjiE

,,
 uma base ortonormal 
dextrógira. 
 
Resolução: 
 
kcjbiax


 
 jx
 kcba
kji













010
det  kicka    a = 1 e c = 0. 
 
Mas 
5x
  522  ba  51 22  b  51
22  b 2 b
 
Logo 
jix

 2
 
20. Obtenha 
x
 tal que 
  0 jix

 e 
  kikix

2
1
2 
, sendo 
 kjiE

,,
 uma 
base ortonormal dextrógira. 
 
Resolução: 
 
kcjbiax


 
  0 jix
      bacba  0011
 
  kikix

2
1
2 
 










201
det caa
kji

ki

2
1


 
  kajacia

 22
ki

2
1

 

 
2
1
12  aa
 
10
2
1
202  ccac
 
 
Logo 
kjix


2
1
2
1
 
21. Obtenha 
x
 tal que 
ux


, 
vx


 e 
10x

, sabendo que 
kjivu

 224
, 
sendo 
 kjiE

,,
 uma base ortonormal dextrógira. 
 
Resolução: 
  52241 222  vu 
 
Sabemos que 
 vux

   vux



2510 
 
 
Logo 
x

   kjivu

 22422
=
 E24,8,2
 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 2-16 
22. Obtenha 
x
 tal que 
 Ex 1,1,1

, 
 Ex 3,1,2

 e 
6x

, sendo 
 kjiE

,,
 uma base 
ortonormal dextrógira. Resposta: 
 E1,1,2 
 
Interpretação geométrica do produto vetorial 
 
Assim, a área do paralelogramo que tem 
veu

 como lados é a norma do produto 
vetorial destes vetores, isto é 
vuS


. 
2.2.5 Produto misto 
Dados os vetores 
u
 , 
v
 e 
w
 , o produto misto destes 3 vetores é um número real 
representado por 
wvu


 ou 
 wvu  ,,
. (Efetua-se primeiro o produto vetorial) 
Nulidade do produto misto 
Dados os vetores 
u
 , 
v
 e 
w
 , o produto misto destes 3 vetores 
wvu


 = 0 se: 
 
i) Pelo menos um destes vetores for nulo; ou 
ii) 
u
 // 
v
 (pois neste caso 
0

 vu
), ou 
iii) Os três vetores são coplanares. 
Proposição 
Se 
 kjiE

,,
 é uma base ortonormal dextrógira, e se 
 Ecbau ,,

 , 
 Epnmv ,,

 e 
 Etsrw ,,

, então: 
wvu













tsr
pnm
cba
det
. 
Demonstração: 
Sabemos que 











pnm
cba
kji
vu


det =
k
nm
ba
j
pm
ca
i
pn
cb 


















detdetdet
 
Logo 
 vu

E
nm
ba
pm
ca
pn
cb


























det,det,det
. Então 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 2-17 
wvu


=


















t
nm
ba
s
pm
ca
r
pn
cb
detdetdet










tsr
pnm
cba
det
 
23. Calcule o produto misto dos vetores 
 Eu 1,2,1

 , 
 Ev 1,0,1

 e 
 Ew 3,2,1

, sendo 
 kjiE

,,
 é uma base ortonormal dextrógira. 
Resolução: 
wvu













tsr
pnm
cba
det 4
321
101
121
det 











 
Propriedades do produto misto 
(PM1) 
     wvuwvuwvuu  ,,,,,, 2121 
 
     wvuwvuwvvu  ,,,,,, 2121 
 
     2121 ,,,,,, wvuwvuwwvu


 
(PM2) 
       wvuwvuwvuwvu  ,,,,,,,, 
 
(PM3) O produto misto 
 wvu  ,,
 muda de sinal permutando-se dois vetores: 
     uwvwuvwvu  ,,,,,, 
 
     vuwuvwwvu  ,,,,,, 
 
     vuwvwuwvu  ,,,,,, 
 
(PM4) O produto misto não se altera se permutarmos os símbolos 
 e
 
wvu


=
wvu


 
Interpretação geométrica do produto misto 
 
 
Assim, o volume do sólido do paralelepípedo da figura anterior é 
 coswvuV

=
wvu


 
24. Calcule o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores 
 Eu 4,1,2

 , 
 Ev 3,1,2 

 e 
 Ew 1,4,5

, sendo 
 kjiE

,,
 é uma base ortonormal dextrógira. 
Resposta: V= 39 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 2-18 
2.3 Exercícios sobre vetores 
Considere em todos estes exercícios
 kjiE

,,
 uma base ortonormal dextrógira. 
25. Determine x, sabendo que os vetores são paralelos, nos casos: 
a) 
 Eu 10,3,1

 , 
 Exv 20,,2 

 
b) 
 Exu ,2,0

 , 
 Ev 6,3,0

 
c) 
kjiu

 32
 e 
kjixv

 39
 
26. Calcular a para que os vetores sejam coplanares, nos casos: 
a) 
 Eu 0,3,1

 , 
 Ev 14,1,2

 e 
 Eaw ,4,3

 Resposta: a = 14 
b) 
jiau

 3
, 
kjav


 e 
kjiw


 Resposta: 
2
131
a
 
27. Dados 
iu

 2
, 
kjiv


 e 
kjiw

 662
, escrever, se possível, 
w
 
como combinação linear de 
u
 e 
v
 . Resposta: 
vuw

 64
 
28. Dados 
 Eu 0,0,2

, 
 Ev 1,1,1

 e 
 Ew 2,6,2

, escrever, se possível, 
w
 como 
combinação linear de 
u
 e 
v
 . 
Resposta: É impossível, pois estes três vetores não são coplanares. 
29. Sendo 
wvu

e,
 coplanares, 
2u

, 
3v

, 
4w

 e o ângulo 

 entre os vetores 
vu

e
é de 
2

 radianos, ache: 
a) 
vu 
 Resposta: 
13
 
b) o versor de 
 vu


 Resposta: 
13
vu


 
c) 
   vuvu


 Resposta: 
5
 
30. Determinar o ângulo 

 entre os vetores 
vu

e
, sabendo-se que 
0

 wvu
, 
2u

, 
3v

, 
4w

. Resposta: 
4
1
cosarc
 
31. Seja um paralelogramo construído sobre os vetores 
vu

e
. Determinar o ângulo 

 
entre as diagonais deste paralelogramo, sabendo-se que: 
3u

, 
1v
 e o ângulo 

 
entre os vetores 
vu

e
 é de 
6

 radianos. Resposta: 
7
72
cosarc
 
32. Sabendo que 
 Ev 1,1,1

, calcular o(s) vetor(es) 
 Eu  ,,

, que satisfaçam 
simultaneamente as 3 condições abaixo: 
a) 
iu


 
b) 
0vu
 
c) 
63 vu

 Resposta: 
 Eu 3,3,0

 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 2-19 
33. Determinar a área do paralelogramo construído sobre 
vu

e
, cujas diagonais são: 
 Evu 5,3,0

 e 
 Evu 1,1,2

. Resposta: 
35
 
34. Determinar vetorialmente o ângulo formado por duas diagonais de um cubo. 
Resposta: 
 70
3
1
cosarc
 
35. (Importante !) Expresse vetorialmente a projeção de um vetor 
v
 sobre um vetor 
u
 . 
Resposta: 
u
u
uv
vproju




 







 

2
 
 
 
2.4 Referências Bibliográficas 
 
1. BARSOTTI, Leo. Geometria Analítica e Vetores. 3.a Edição. Curitiba: Artes Gráficas e 
Editora Unificado, 1984. 
2. BOULOS, Paulo, CAMARGO, Ivan de. Geometria Analítica – Um tratamento Vetorial. 
São Paulo: Makron Books do Brasil Editora Ltda, 1987. 
3. BOULOS, Paulo, CAMARGO, Ivan de. Introdução à Geometria Analítica no Espaço. 
São Paulo: Makron Books do Brasil Editora Ltda, 1997. 
4. VENTURI, Jacir J. Sistemas de Coordenadas e Álgebra Vetorial. Curitiba: Artes Gráficas 
e Editora Unificado, 1987.