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Fundaçăo Centro de Cięncias e Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
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AP 3 – MF--2010.2
Gabarito
1) (2,0 pts.) Dois amigos aplicaram o mesmo capital durante quatro anos a uma taxa de 
. O primeiro aplicou a juros compostos com capitalização mensal e o segundo no regime juros simples. Determine o valor do capital aplicado, sabendo-se que no final da operação o primeiro resgatou 
 a mais que o segundo.
Solução: 
Seja 
 o capital aplicado pelos dois amigos.
O primeiro aplicou esse capital no regime de juros compostos durante quatro anos a uma taxa de 
 capitalizada mensalmente. Portanto esta taxa é nominal, pois seu período é diferente do período de capitalização que é mensal logo, considerando a relação entre as unidades de tempo dessas taxas, a taxa efetiva mensal da operação é proporcional à taxa dada, ou seja, como 
, então a taxa efetiva 
 será dada por 
.
 Considerando que o prazo da aplicação é de quatro anos, isto é, 48 meses então montante 
 gerado por essa aplicação será dado por 
.
O segundo amigo aplicou o seu capital no regime de juros simples, pelo mesmo prazo, ou seja, quatro anos, utilizando a mesma taxa, isto é, 
 e o mesmo prazo, logo o montante 
 gerado por essa operação será dado por 
.
Por outro lado, sabemos que 
Resposta: R$ 2.000,00
2) (2,0 pts.) Uma duplicata com vencimento para oito meses, foi submetida a 2 tipos de descontos. No primeiro caso, a juros simples, a uma taxa de
, com desconto comercial (por fora). No segundo caso, com desconto racional (por dentro), mantendo-se as demais condições. Sabendo-se que a soma dos descontos foi de 
, determine o valor nominal da duplicata, e o valor dos descontos. 	
Solução:
Temos que: 
Sabemos que no regime de juros simples, considerando o mesmo prazo de antecipação e a mesma taxa de desconto a relação entre o desconto comercial 
 e o desconto racional 
 é dada por 
. 
Nesse caso então temos que 
.
Por outro lado temos que:
 e portanto 
.
Sabe-se que no desconto comercial simples, o desconto 
 pode ser obtido através da relação 
, onde é o valor nominal do título, 
 o prazo de antecipação e 
 a taxa unitária da operação. Portanto, nesse caso temos que:
.
Esse problema poderia também ser resolvido lembrando que:
- no critério do desconto comercial simples, o desconto 
 pode ser determinado através da equação 
, onde 
 é o valor nominal do título, 
 o prazo de antecipação e 
 a taxa unitária da operação. Portanto, nesse caso tem-se que 
.
- por outro lado, no desconto racional simples, o desconto 
 pode ser encontrado através da equação 
, onde 
 é o valor atual racional, 
 o prazo de antecipação e 
 a taxa unitária da operação. 
Portanto, tem-se que: 
 e como no desconto racional simples a relação entre o valor atual racional 
 e o valor nominal 
 é dado por 
, onde 
 o prazo de antecipação e 
 a taxa unitária da operação. Portanto, 
. 
Como 
, temos então que 
Resposta. : 
3) (2,0 pts.) Um equipamento eletrônico está sendo vendido à vista por 
 ou a prazo em 24 prestações mensais iguais e sucessivas, vencendo a primeira um mês após a compra a uma taxa nominal de 
. Calcule o valor das prestações.
Solução:
Temos uma série uniforme modelo básico em que se quer determinar os termos constantes (prestações)
 da série, sabendo-se que o valor atual 
 é igual a 
, o prazo 
 é igual a 
. A taxa dada é nominal, e como as prestações são mensais, então a capitalização é mensal logo, considerando a relação entre as unidades de tempo dessas taxas, a taxa efetiva mensal da operação é proporcional à taxa dada, ou seja, como 
, tem-se então que a taxa efetiva mensal 
 será dada por 
.
O diagrama abaixo representa essa série:
 
						 
 
 
 0 1 2 3............22 23 24 (meses)
	 
 
 
Sabemos que 
.
Nesse caso então, temos que 
Utilizando uma tabela financeira ou a equação 
, temos que 
 .Portanto, 
.
Resposta: R$ 158,61.
4) (2,0 pts.) Uma empresa é devedora de dois títulos: um de 
vencível em dois meses e outro de 
 vencível em seis meses. Ela propõe resgatar esta dívida com um único pagamento vencível em quatro meses. Calcular o valor deste pagamento, sabendo-se que o critério a ser utilizado na equivalência é o do desconto racional composto a uma taxa de 
, capitalizada mensalmente.
 Solução: 
 
 
 
 
 0 1 2 3 4 5 6 
 (meses)
				 
No diagrama acima, as setas para cima representam o conjunto de capitais da dívida original e as setas para baixo o conjunto de capitais formado pela proposta de pagamento.
Para que não haja prejuízo para nenhuma das partes é necessário que esses conjuntos sejam equivalentes. 
Sabe-se que dois ou mais capitais diferidos, isto é, com vencimentos em datas diferentes, são equivalentes, em certa data de referência (“data focal”), quando a soma dos seus valores nessa data for igual.
Conforme solicitado, será adotado o critério do desconto racional composto a uma taxa de 
, capitalizada mensalmente. Logo, a taxa de dada é nominal, pois seu período que é anual é diferente do período de capitalização que é mensal; portanto, considerando a relação entre as unidades de tempo dessas taxas, a taxa efetiva mensal da operação é proporcional a taxa dada, ou seja, como 
, então a taxa efetiva 
 será dada por 
. 
No regime de juros composto, a escolha da data focal não altera a equivalência. Pode-se assim escolher a data mais conveniente para os cálculos do problema. Nesse caso vamos optar pela data “quatro” como data focal.
Por outro lado, sabe-se que no desconto racional composto, o valor atual 
 pode ser obtido através da equação 
, onde 
 é o valor nominal do titulo, 
 é prazo de antecipação e 
 é a taxa unitária da operação. 
Portanto, nesse caso temos a seguinte equação de equivalência: 
 
.
Resposta: R$ 100.000,00
5) (2,0 pts.) Objetivando expandir os seus negócios, uma empresa consegue em uma instituição financeira um empréstimo de 
 a uma taxa de juros 
 capitalizada bimestralmente. O empréstimo será amortizado em cento e vinte pagamentos bimestrais, vencendo o primeiro pagamento dois meses após a concessão do empréstimo. Determine o valor da 90ª prestação se for adotado o Sistema de Amortização Constante – SAC.
Solução:
A taxa de 
 é nominal, pois seu período é diferente do período de capitalização que é bimestral logo, considerando a relação entre as unidades dessas taxas, a taxa efetiva da operação é proporcional a taxa dada, ou seja, como
, temos então que a taxa efetiva 
 será dada por
.
 Sabemos que no Sistema de Amortização Constante, as amortizações são obtidas por 
 para
, onde 
 é o saldo inicial e 
 é o número de parcelas do financiamento.
Portanto, nesse caso temos que 
 com 
, ou seja, todas as parcelas de amortizações são constantes e iguais a 
A prestação 
 referente ao 
 período é composta de duas parcelas: uma referente ao pagamento do juro 
 e outra referente ao pagamento da amortização 
, isto é, 
.
Portanto, o valor da prestação 
 referente à 90ª prestação, será dado por 
, isto é, 
.
Sabemos que o juro 
 pagos na 90ª prestação pode ser obtido através da equação 
, onde 
 é o saldo devedorapós o pagamento da 89ª prestação. 
No SAC - Sistema de Amortização Constante o saldo devedor 
 após o pagamento da 
 prestação é dado por 
, onde 
 é o saldo inicial. 
Portanto, nesse caso temos que 
.
Logo, 
.
Este resultado poderia ser obtido diretamente da equação 
 que dá o juro 
 do 
 em função do valor constante da amortização 
, da taxa unitária 
 e do prazo 
 da operação. Nesse caso então temos que 
.
Ou ainda, poderíamos obter este resultado, lembrando que no SAC a seqüência de juros forma uma PA decrescente cuja razão é dada por 
, onde 
 é a taxa unitária da operação e 
 o valor das amortizações. Logo, utilizando a relação que permite calcular um termo qualquer da 
 conhecendo-se a razão e o primeiro termo, pode-se determinar o valor desejado.
O primeiro termo da 
 é o juro referente ao primeiro período, e será determinado através da equação 
, onde 
 é o saldo inicial. Portanto, nesse caso temos que 
.
Como 
, então a razão da 
 será dada por 
.
Lembrando que a equação que relaciona um termo qualquer 
 de uma 
 com o primeiro termo 
 e a razão 
 é dada por 
, tem-se então que o valor de 
 será dado por 
.
Portanto, o valor da prestação 
 referente à 180ª prestação, será dada por 
.
Resposta: R$ 8.100,00
Rua Visconde de Niterói, 1364 – Mangueira - Rio de Janeiro / RJ – CEP: 20943-001
Tel: (021) 2299-4565 Fax: (021) 2568-0725
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