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Matemática Financeira – Unidade 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Matemática Financeira – Unidade 1 
 
UNIS-MG – Centro Universitário do Sul de Minas 
 
Av. Cel. José Alves, 256 - Vila Pinto 
Varginha - MG - 37010-540 
Tele: (35) 3219-5204 - Fax - (35) 3219-5223 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Instituição Credenciada pelo MEC – Portaria 4.385/05 
 
Centro Universitário do Sul de Minas - UNIS 
Unidade de Gestão da Educação a Distância – GEaD 
 
Mantida pela 
Fundação de Ensino e Pesquisa do Sul de Minas - FEPESMIG 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Varginha/MG 
 
 
 
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Matemática Financeira – Unidade 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ALVES, Alessandro Ferreira. 
Guia de Estudo – Matemática Financeira, 
Gestão Comercial. Alessandro Ferreira Alves. 
Varginha: GEaD-UNIS/MG, 2008. 
70p. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Todos os direitos desta edição reservados ao Centro Universitário do Sul de Minas – UNIS-MG. 
É proibida a duplicação ou reprodução deste volume, ou parte do mesmo, sob qualquer meio, sem 
autorização expressa do UNIS-MG. 
 
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Matemática Financeira – Unidade 1 
REITOR 
Prof. Ms. Stefano Barra Gazzola 
 
GESTOR 
Prof. Ms. Wanderson Gomes de Souza 
 
Supervisora Técnica 
Profª. Ms. Simone de Paula Teodoro Moreira 
 
Design Instrucional 
Prof. Celso Augusto dos Santos Gomes 
Rogério Martins Soares 
 
Coord. do Núcleo de Recursos Tecnológicos 
Lúcio Henrique de Oliveira 
 
Coordenadora do Núcleo Pedagógico 
Terezinha Nunes Gomes Garcia 
 
Revisão Ortográfica / Gramatical 
Gisele Silva Ferreira 
 
Autores 
Alessandro Ferreira Alves 
Possui graduação em Matemática pela Universidade Federal de Uberlândia (1996) e Mestrado em 
Matemática Pura pela Universidade Estadual de Campinas: UNICAMP (1999). Atualmente está 
em fase final de co Curso de Doutorado também pela UNICAMP, no Departamento de Telemática 
da FEEC - Faculdade de Engenharia Elétrica e Computação, com previsão de término para o 
segundo semestre de 2010. Atua como professor titular no Centro Universitário do Sul de MInas: 
UNIS-MG, desde o ano de 2001, como professor em diversos Cursos de Graduação, bem como 
Pós-graduação, nas Modalidades Presencial (GEDUP) e a Distância (GEaD). Além disso, é 
Coordenador do Curso de Licenciatura Plena em Matemática na Modalidade a distância desde o 
segundo semestre de 2007, bem como, coordenador dos cursos de Pós-graduação MBA em 
Finanças Corporativas (GEDUP) desde 2007 e MBA em Gestão Empresarial (GEaD) desde o ano 
de 2008, do Centro Universitário do Sul de Minas Gerais: UNIS-MG. Além do mais, coordenou os 
cursos de Pós-graduação em Matemática Empresarial (turmas 2004, 2005 e 2006) e Matemática e 
Ensino (turmas 2002 e 2003). Atua como professor titular de disciplinas em diversos cursos, como 
por exemplo, Engenharia Mecânica, Engenharia de Produção, Engenharia Civil, Matemática, 
Física, Comércio Exterior, Sistemas de Informação e Ciência da Computação, relacionadas à 
Matemática, Estatística e Computação. Além disso, atua como professor nos Cursos de Pós-
graduação do UNIS-MG: MBA em Finanças Corporativas, MBA em Gestão Estratégica e 
Inteligência em Negócios, MBA em Gestão Empresarial, MBA em Gestão de TI, MBA em Logística 
Empresarial e Pós-graduação em Qualidade e Produtividade, nas disciplinas de Matemática 
Financeira, Métodos Quantitativos, Engenharia Econômica, Simulação de Sistemas Gerenciais e 
Estatística Aplicada. 
 
 
 
 
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Matemática Financeira – Unidade 1 
 
ICONES 
 
REALIZE. Determina a existência de atividade a ser realizada. 
Este ícone indica que há um exercício, uma tarefa ou uma prática para ser 
realizada. Fique atento a ele. 
 
PESQUISE. Indica a exigência de pesquisa a ser realizada na busca por mais 
informação. 
 
PENSE. Indica que você deve refletir sobre o assunto abordado para responder 
a um questionamento. 
 
CONCLUSÃO. Todas as conclusões sejam de ideias, partes ou unidades do 
curso virão precedidas desse ícone. 
 
IMPORTANTE. Aponta uma observação significativa. Pode ser encarado 
como um sinal de alerta que o orienta para prestar atenção à informação 
indicada. 
 
HIPERLINK. Indica um link (ligação), seja ele para outra página do módulo 
impresso ou endereço de Internet. 
 
EXEMPLO. Esse ícone será usado sempre que houver necessidade de 
exemplificar um caso, uma situação ou conceito que está sendo descrito ou 
estudado. 
 
SUGESTÃO DE LEITURA. Indica textos de referência utilizados no curso e 
também faz sugestões para leitura complementar. 
 
APLICAÇÃO PROFISSIONAL. Indica uma aplicação prática de uso 
profissional ligada ao que está sendo estudado. 
 
CHECKLIST ou PROCEDIMENTO. Indica um conjunto de ações para fins 
de verificação de uma rotina ou um procedimento (passo a passo) para a 
realização de uma tarefa. 
 
SAIBA MAIS. Apresenta informações adicionais sobre o tema abordado de 
forma a possibilitar a obtenção de novas informações ao que já foi 
referenciado. 
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Matemática Financeira – Unidade 1 
 
 
 
REVENDO. Indica a necessidade de rever conceitos estudados anteriormente. 
SUMÁRIO 
EMENTA .................................................................................................................................7 
CONCEITOS FUNDAMENTAIS E REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES ....................................8 
1.1 - INTRODUÇÃO: POR QUE A MATEMÁTICA FINANCEIRA? .................................................................... 9 
1.2 – TEMPO E DINHEIRO: OS TERMOS CENTRAIS DA MATEMÁTICA FINANCEIRA ....................................... 11 
DINHEIRO TEM CUSTO ASSOCIADO AO TEMPO! ..................................................................................... 11 
FIGURA 04: OS DOIS REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO..................................................................... 13 
1.3 - REPRESENTAÇÃO GRÁFICA: DIAGRAMAS DE FLUXO DE CAIXA (DFC) ................................................. 15 
1.4 - Aplicações Práticas envolvendo os Regimes de Capitalização........................................... 23 
1.5 - Estabelecimento das Notações .......................................................................................... 25 
1.6 - Capitalização Contínua e Descontínua .............................................................................. 26 
1.7 - Fórmulas Características do Regime de Capitalização Linear de Juros ............................. 28 
J = PV. I. N .................................................................................................................................... 29 
1.8 - Relacionando Taxa e Período ............................................................................................ 33 
1.9 - Valor Futuro (ou Montante) .............................................................................................. 34 
1.10 - Exercícios de Aprendizagem ............................................................................................ 36 
1.10 - Taxa Proporcional e Taxa Equivalente ............................................................................. 39 
1.11 - Taxa Proporcional e Taxa Equivalente ............................................................................. 42 
1.11 - Exercícios Resolvidos ....................................................................................................... 54 
LEITURA COMPLEMENTAR .........................................................................................................68 
Referências Bibliográficas .......................................................................................................... 69 
 
 
 
 
 
 
 
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Matemática Financeira – Unidade 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ementa 
 
Conceitos Básicos. Regimes de Capitalização: Simples e Composto. 
Taxas de Juros. Descontos: Simples e Composto. Séries Uniformes de 
Pagamentos. Sistemas de Amortização. Análise da Viabilidade Econômica de 
Projetos. 
 
 
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Matemática Financeira – Unidade 1 
Conceitos Fundamentais e Regime 
de Capitalização Simples 
 
 
OBJETIVO DESTA UNIDADE 
Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta unidade, você seja 
capaz de: 
- reconhecer a importância da matemática financeira para a tomada de 
decisão em problemas de finanças em geral; 
- reconhecer os elementos básicos para o estudo da matemática 
financeira; 
- interpretar a diferença entre os regimes de capitalização simples e 
composto; 
- estar plenamente familiarizado com a teoria envolvendo os diagramas 
de fluxo de caixa; 
- estar plenamente familiarizado com a a teoria envolvendo a 
equivalência financeira a juros simples; 
- reconhecer a igualdade entre as taxas proporcionais e equivalentes no 
regime linear de juros; 
- aplicar todos os resultados discutidos anteriormente na resolução de 
aplicações cotidianas diversas; 
- compreender a relevância da matemática financeira na resolução de 
aplicaçoes diversas em outras áreas. 
 
META 
Nesta primeira Unidade é de nosso interesse apresentar as principais 
definições e ferramentas da matemática financeira, tais como, o diagrama de 
fluxo de caixa, bem como apresentar algumas aplicações envolvendo o regime 
de capitalização simples, como por exemplo, a equivalência financeira. 
 
Conceitos Fundamentais e Regime de 
Capitalização Simples 
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Matemática Financeira – Unidade 1 
1.1 - Introdução: Por que a Matemática 
Financeira? 
 
Nosso objetivo aqui é apresentar os aspectos introdutórios da 
Matemática Financeira
1
 e seus principais elementos de trabalho. Sabemos 
que nos dias atuais, a parte mais sensível de uma empresa e do nosso corpo, 
sem dúvida nenhuma é o bolso, desta maneira, sempre devemos estar atentos a 
nossa saúde financeira, bem como das empresas as quais conduzimos. 
 
 
Figura 01: A parte mais sensível das empresas e do nosso corpo. 
 
Entendemos a Matemática Financeira como sendo um ramo da 
Matemática Aplicada que estuda as operações financeiras de uma forma 
geral. Todos os dias, de uma forma ou de outra nos deparamos com tópicos 
relacionados à Matemática Financeira propriamente dita. 
 
1
 O estudo da Matemática Financeira é todo feito em função do crescimento do capital aplicado 
com o tempo. Definiremos capital como qualquer quantidade de moeda ou dinheiro. 
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Matemática Financeira – Unidade 1 
Ressaltamos, também, a importância do entendimento do Diagrama de 
Fluxo de Caixa (DFC) – uma representação fácil e simples das movimentações 
financeiras e que ajuda no entendimento dos principais problemas financeiros. 
 
 
Figura 02: Diagrama de Fluxo de Caixa: representação fundamental para o estudo de situações 
financeiras do nosso dia a dia. 
 
Além disso, trabalharemos a fundo com a equivalência financeira no 
regime de capitalização simples. 
 
 
 
 
 
 
Ou ainda, podemos reescrever a relevância do estudo das técnicas da 
Matemática Financeira como segue. 
 
 
 
 
 
DFC
Representação
Gráfica
Fundamental
para a
interpretação
de problemas
financeiros
Resumindo: Definimos de modo simples a Matemática Financeira como 
sendo uma parte da Matemática Aplicada que trata, em essência, do estudo 
do valor do dinheiro ao longo do tempo, sendo que o seu objetivo básico é 
o de efetuar análises e comparações dos vários fluxos de entrada e saída de 
dinheiro de caixa verificado em diferentes momentos. 
 
Importância! A Matemática Financeira é de extrema importância para a 
tomada de decisões em finanças em geral, tanto de caráter pessoal, quanto 
empresarial, nos auxiliando no processo de maximização de resultados 
empresariais. 
 
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11 
Matemática Financeira – Unidade 1 
1.2 – Tempo e Dinheiro: Os Termos Centrais da 
Matemática Financeira 
 
Suponhamos a seguinte situação comum no dia a dia: Se algum amigo 
lhe pedisse uma quantia de R$1.000,00 emprestados para lhe pagar de volta o 
mesmo valor daqui a um ano, você acharia a proposta atraente? Por melhor 
que seja seu amigo, com certeza esse pedido não lhe agradaria. Algumas 
questões surgiriam em sua mente: 
 Será que ele me pagará na data prevista? 
 Será que o poder de compra dos R$1.000,00 permanecerá inalterado 
durante um ano inteiro? 
 Contudo, se eu permanecesse com o dinheiro, poderia consumi-lo, 
satisfazendo as minhas necessidades, ou poderia aplicá-lo na 
Caderneta de Poupança, por exemplo, ganhando os juros e 
rendimentos do período. 
De modo intuitivo, você não estaria levando em consideração o principal 
aspecto da Matemática Financeira: 
 
 
Sabemos que diversas razões influenciam a preferência pela posse atual 
do dinheiro: 
 Risco: existe sempre a possibilidade de não ocorrerem os planos conforme 
o previsto; em outras palavras, sempre haverá o risco de não receber os 
valores programados em decorrência de fatos imprevistos. 
 Utilidade: o investimento implica deixar de consumir hoje para consumir 
no futuro, o que somente será atraente se existir alguma compensação. 
 Oportunidade: se os recursos monetários são limitados, a posse deles, no 
presente, permite aproveitar as oportunidades mais rentáveis que surgirem. 
Dinheiro tem custo associado ao tempo! 
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12 
Matemática Financeira – Unidade 1 
Figura 03: Fatores que influenciam a preferência pela posse do dinheiro. 
 
Desta forma, existe um custo associado à posse do dinheiro no tempo, 
estudado pela Matemática Financeira e discutido ao longo da nossa 
disciplina. 
A Matemática Financeira compreende um conjunto de técnicas e 
formulações extraídas da Matemática, com o objetivo de resolver problemas 
relacionados às Finanças de modo geral, e que, basicamente, consistem no 
estudo do valor do dinheiro ao longo do tempo. 
 
 
 
 
 
BASE PARA A MATEMÁTICA FINANCEIRA 
Por sua vez, o valor do dinheiro no tempo relaciona-se à ideia de que, ao 
longo do tempo, o valor do dinheiro muda, quer em função de ter-se a 
oportunidade de aplicá-lo, obtendo-se, assim, uma remuneração (juros) sobre a 
quantia envolvida, quer em função de sua desvalorização por causa da inflação. 
 
Risco
Utilidade
Oportunidade
Tempo é a uma variável 
chave para a Matemática 
Financeira. Dinheiro tem 
custo associado ao tempo! 
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13 
Matemática Financeira – Unidade 1 
 
 
Desta forma, sempre devemos respeitar alguns princípios básicos, que 
são: 
Só podemos comparar valores (R$) se estes estiverem referenciados na 
mesma data. 
Só podemos efetuar operações algébricas com valores referenciados na 
mesma data. 
Como o tempo, é uma das variáveis principais para a Matemática 
Financeira, existem duas formas básicas para considerar a evolução do custo do 
dinheiro no tempo, ou seja, dois Regimes de Capitalização: o Regime de 
Capitalização Simples ou Regime de Capitalização Linear (RCS) e o 
Regime de Capitalização Composto ou Regime de Capitalização 
Exponencial (RCC). 
 
 
 
 
 
 Figura 04: Os dois regimes de capitalização. 
Regimesde 
Capitalização
Regime 
Linear
Regime 
Exponencial
Inflação pode ser entendida como sendo a perda do poder de 
compra da moeda. 
 
Entendemos por Regime de Capitalização o esquema segundo o qual 
será cobrado juro por um capital aplicado. 
 
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Matemática Financeira – Unidade 1 
 Regime de Capitalização Simples (RCS) – comporta-se como se fosse 
uma progressão aritmética (PA), crescendo os juros de forma linear ao longo 
do tempo. Neste critério, os juros somente incidem sobre o capital inicial da 
operação (aplicação ou empréstimo), não se registrando juros sobre o saldo dos 
juros acumulados. É também chamado de Regime Linear de Juros. 
 Regime de Capitalização Composto (RCC) – incorpora ao capital não 
somente os juros referentes a cada período, mas também os juros sobre os juros 
acumulados até o momento anterior. É um comportamento equivalente a uma 
progressão geométrica (PG), pelo qual os juros incidem sempre sobre o saldo 
apurado no início do período correspondente (e não unicamente sobre o capital 
inicial). Também conhecido como Regime Exponencial de Juros. 
Independentemente da forma de capitalização dos juros, sempre existirão 
em problemas de Matemática Financeira alguns elementos básicos, que 
enumeramos logo abaixo: 
 Capital Inicial ou Valor Presente ou Principal: é a quantidade de moeda 
(ou dinheiro) que um indivíduo tem disponível e concorda em ceder a 
outro, temporariamente, mediante determinada remuneração. Provém do 
inglês Present Value. Notação: PV, P ou C. 
 Taxa de Juros: vem do inglês interest rate (taxa de juros). Geralmente, 
está relacionada à sua forma de incidência. Pode ser diária, semanal, 
quinzenal, mensal, semestral, anual, entre outras. Essa taxa pode ser 
expressa em forma percentual (5% ao mês), ou na forma unitária (0,05 ao 
mês). Embora seu valor seja comumente representado em forma de taxa 
percentual ao período, matematicamente, a taxa de juros deve ser operada 
em sua forma unitária. Notação: i = taxa. 
 Juros: equivalem ao aluguel do dinheiro, ou seja, é o nome que se dá à 
remuneração paga para que um indivíduo ceda temporariamente o capital 
que dispõe.Notação: J = juros. 
 Montante ou Valor Futuro: é o resultado da aplicação do capital inicial. 
Matematicamente, representa a soma do capital inicial mais os juros 
capitalizados durante o período. Em algumas situações, como nas 
operações de desconto comercial (ou desconto bancário D = N.i.n), o valor 
futuro também é denominado valor nominal. É, portanto, a quantidade de 
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15 
Matemática Financeira – Unidade 1 
moeda (ou dinheiro) que poderá ser usufruída no futuro. Provém do inglês 
Future Value. Notação: FV ou M. 
 Tempo ou período de capitalização: corresponde à duração (em dias, 
semanas, meses, anos, etc.) da operação financeira. É comumente expresso 
em unidades do período a que se refere. Notação: n. 
Figura 05: Elementos básicos da Matemática Financeira. 
 
1.3 - Representação Gráfica: Diagramas de 
Fluxo de Caixa (DFC) 
Para facilitar a representação das operações financeiras ao qual 
discutimos, usualmente empregamos uma representação gráfica denominada de 
Diagrama de Fluxo de Caixa ou, simplesmente, DFC, que consiste na 
representação gráfica da movimentação de recursos ao longo do tempo 
(entradas e saídas de caixa). 
Present Value 
(Valor Presente)
Taxa de Juros
Juros
Future Value 
(Valor Futuro)
Tempo
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16 
Matemática Financeira – Unidade 1 
Figura 06: O Diagrama de Fluxo de Caixa. 
 
Nesta representação gráfica alguns aspectos devem ser destacados: 
 A escala horizontal representa o tempo, que pode ser expresso em dias, 
semanas, meses, anos, etc. 
 Os pontos 0 e n indicam as posições relativas entre as datas. Assim, o 0 
representa, normalmente, a data inicial. O ponto n representa o número de 
períodos passados. Caso a unidade de tempo utilizada seja meses, então 
consideramos n meses. 
 As entradas de dinheiro correspondem aos recebimentos. Têm sempre 
sinal positivo e são representadas por setas apontadas para cima. 
 As saídas de dinheiro correspondem aos pagamentos. Têm sempre sinal 
negativo e são representadas por setas apontadas para baixo. 
Diagrama de 
Fluxo de Caixa
Interpretação 
Geométrica de 
Operações 
Financeiras
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17 
Matemática Financeira – Unidade 1 
Figura 07: Os elementos formadores do DFC. 
 
Geometricamente, abaixo ilustramos as diferentes abordagens de 
Diagramas de Fluxo de Caixa para operações de empréstimo e aplicação, na 
visão da pessoa que pega determinada quantia emprestada e na visão da pessoa 
que aplica certa quantia. 
Figura 08: Diagramas de Fluxo de Caixa. 
 
Consideremos a seguinte situação: O Diagrama de Fluxo de Caixa de 
um empréstimo contraído por alguém no valor de R$300,00, que será 
quitado mediante pagamento de R$340,00, daqui a seis meses, pode 
ser visto na Figura 09 abaixo: 
Escala Horizontal = Tempo
Entradas de Dinheiro = 
Recebimentos
Entradas (Seta apontada para 
cima)
Saídas (Seta apontada para 
baixo)
Saídas de Dinheiro = 
Pagamentos
DFC
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18 
Matemática Financeira – Unidade 1 
 
 
Figura 09: Diagrama de Fluxo de um empréstimo no valor de R$300,00 
 
 
Vamos representar o diagrama de fluxo de caixa de uma aplicação no 
valor de R$500,00 que será resgatado em três parcelas iguais, 
mensais, no valor de R$200,00. 
Solução: Neste caso, temos a seguinte disposição geométrica 
representando o contexto financeiro acima. 
 
Figura 10: O DFC do exemplo acima. 
 
 
 
 
 
Observação! A importância do desenho e da interpretação de Diagramas de 
Fluxo de Caixa (DFC) é, em muitas ocasiões, fundamental na Matemática 
Financeira. 
 
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19 
Matemática Financeira – Unidade 1 
Por exemplo, verifiquemos a seguinte situação que aparece comumente 
em situações cotidianas. 
 
(Situação do dia a dia) Por exemplo, uma compra a prazo de um CD 
Player que custa a vista R$100,00 pode ser paga em duas parcelas 
mensais (entrada no ato) no valor de R$60,00. Qual é a taxa de juros 
mensal cobrada pela loja? 
Solução: Um leigo, em um primeiro momento, poderia achar que, já que 
se pagou R$120,00 (duas parcelas de R$60,00) para o CD Player financiado no 
valor de R$100,00, à taxa seria igual a 20%. Embora intuitivo, notemos que o 
raciocínio está errado. Em verdade, ao comprar e pagar o CD Player no valor 
de R$100,00, o cliente já havia pago a entrada de R$60,00. Logo, financiou 
apenas a diferença no valor de R$40,00, comprometendo-se a pagar R$60,00 
um mês depois. Desta maneira, a taxa de juros incidente sobre a operação foi 
igual a: 
 
 
 
 
A representação geométrica da situação descrita acima (DFC), o 
Diagrama de Fluxo de Caixa Líquido da operação facilita o entendimento da 
operação financeira apresentada. Como na data zero existem dois valores, um 
positivo igual a R$100,00 e um negativo igual a R$60,00, ambos poderiam ser 
representados por um valor líquido igual a R$40,00. A Figura 11 abaixo 
ilustra o nosso raciocínio descrito acima. 
 
50% = [(60/40 – 1)x100%] 
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20 
Matemática Financeira – Unidade 1 
Figura 11: Diagrama de Fluxo de Caixa do caso descrito anteriormente. 
 
Vejamos mais alguns exemplos ilustrativos, com relação à caracterização 
geométrica de situações financeiras via a construção de Diagramas de Fluxo de 
Caixa. 
 
 
Vamos construir o diagrama de fluxo de caixa para os seguintes 
pagamentos ou recebimentos: 
 
Ano DFC 
0 (500,00) 
1 250,00 
2 250,00 
3 150,00 
4 100,00 
 
Solução: Inicialmente, devemos ressaltar que toda vez queum valor do 
fluxo de caixa aparecer em parênteses ele quer representar um pagamento. 
Desta forma o DFC associado é dado por: 
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21 
Matemática Financeira – Unidade 1 
 
Figura 12: O Diagrama de Fluxo de Caixa do exemplo. 
 
 
Vamos construir o diagrama para os fluxos de caixa dados a seguir: 
 
Ano Fluxo de Caixa 
0 (700,00) 
1 500,00 
2 400,00 
3 300,00 
4 200,00 
5 (300,00) 
 
Solução: Neste caso, temos o seguinte DFC associado: 
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22 
Matemática Financeira – Unidade 1 
 
Figura 13: O Diagrama de Fluxo de Caixa do exemplo. 
 
 
(Situação do dia a dia) Um cliente do Banco AFA gostaria de 
descontar uma nota promissória, no valor de R$3.000,00, cujo 
vencimento é para 30 dias. O gerente, além de cobrar-lhe juros 
antecipadamente de R$600,00, obriga-o a manter um Certificado de 
Depósito Bancário (CDB) no valor de R$400,00 e remunerado a 10% 
durante o prazo da operação. Qual o diagrama de fluxo de caixa 
correspondente? 
 
Solução: Neste caso, temos o seguinte DFC associado: 
 
Figura 14: O Diagrama de Fluxo de Caixa da aplicação. 
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23 
Matemática Financeira – Unidade 1 
 
(Situação do dia a dia) A empresa AFA Chumbo pensa em abrir uma 
nova instalação industrial com investimento inicial igual a R$300,00. 
Os gastos anuais associados aos cinco anos de vida do negócio são 
estimados em R$80,00, e as receitas, em R$200,00. Represente o 
diagrama de fluxo de caixa dessa operação. 
 
Solução: Neste caso, temos a seguinte distribuição geométrica: 
Figura 15: O Diagrama de Fluxo de Caixa da aplicação. 
 
1.4 - Aplicações Práticas envolvendo os 
Regimes de Capitalização 
Com relação ao regime de capitalização linear de juros, ou seja, os juros 
simples, principalmente diante de suas restrições técnicas, têm aplicações 
práticas bastante limitadas. São raras as operações financeiras e comerciais que 
formam temporalmente seus montantes de juros segundo o regime de 
capitalização linear. O uso de juros simples restringe-se principalmente às 
operações praticadas no âmbito do curto prazo. 
No entanto, as operações que adotam juros simples, além de 
apresentarem geralmente prazos reduzidos, não costumam apurar o seu 
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24 
Matemática Financeira – Unidade 1 
percentual de custo (ou rentabilidade) por esse regime. Os juros simples são 
utilizados para o cálculo dos valores monetários da operação (encargos a pagar, 
para empréstimos, e rendimentos financeiros, para aplicações), e não para a 
apuração do efetivo resultado percentual. 
É importante ressaltarmos, ainda, que muitas taxas praticadas no mercado 
financeiro (nacional e internacional) estão referenciadas em juros simples, 
porém a formação dos montantes das operações processa-se exponencialmente 
(juros compostos). Por exemplo, a Caderneta de Poupança paga 
tradicionalmente uma taxa de juros de 6% ao ano para seus depositantes, 
creditando todo mês o rendimento proporcional de 0,5%. A taxa referenciada 
para esta operação é linear, porém os rendimentos são capitalizados segundo o 
critério de juros compostos, ocorrendo ao longo dos meses juros sobre juros. 
Para uma avaliação mais rigorosa do custo ou da rentabilidade expressos 
em porcentagem, mesmo para aquelas operações que referenciam suas taxas 
em juros simples, é sugerida a utilização do critério de juros compostos.
 
 
 
 
 
Além disso, outros segmentos além do mercado financeiro também 
seguem as leis dos juros compostos, tais como o estudo do crescimento 
demográfico, do comportamento dos índices de preços da economia, da 
evolução do faturamento e de outros indicadores empresariais de desempenho, 
dos agregados macroeconômicos, da apropriação contábil de receitas e 
despesas financeiras, etc. 
Tecnicamente mais correto por envolver a capitalização exponencial dos juros o 
regime composto é reconhecidamente adotado por todo o mercado financeiro e de 
capitais. 
 
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25 
Matemática Financeira – Unidade 1 
Figura 16: Aplicações envolvendo os regimes de capitalização. 
 
1.5 - Estabelecimento das Notações 
Um pouco mais a frente, estaremos discutindo nas entrelinhas A 
calculadora HP-12C ou o Simulador da mesma, sendo que estaremos utilizando 
às seguintes convenções e simbologias para definir os elementos do Diagrama 
Padrão do Fluxo de Caixa. O Quadro 01 abaixo nos apresenta tais notações e as 
respectivas descrições. 
Tecla Descrição 
 
n 
 
Representa o número de períodos de capitalização de juros, 
expressos em anos, semestres, trimestres ou dias. (n = 0 indica a 
data de hoje ou a data do início do 1o período; n = 1 indica a data 
do final do 1o período e assim por diante). 
 
 
i 
 
Representa a taxa de juros por período de capitalização, 
expressa em porcentagem (forma percentual) e sempre 
mencionando a unidade de tempo considerada (ano, semestre, 
trimestre, mês, dia). 
Aplicações práticas
limitadas
Operações 
praticadas no 
âmbito do curto 
prazo
Regime 
Linear
Amplamente
utilizado no mercado
financeiro
Utilizado também
para mensurar o
comportamento dos
índices de preços da
economia
Regime 
Exponencial
‘ 
 
26 
Matemática Financeira – Unidade 1 
 
 
PV 
 
Representa o Valor Presente (Present Value), ou seja, o valor do 
capital inicial aplicado. Corresponde ao valor monetário colocado 
no diagrama padrão de fluxo de caixa quando n = 0. 
 
FV 
 
Representa o Valor Futuro (Future Value), ou seja, valor do 
montante acumulado no final de n períodos de capitalização, 
com a taxa de juros i. Corresponde ao valor monetário colocado 
no diagrama padrão do fluxo de caixa quando n = 1, 2, 3,.... 
 
 
PMT 
 
Representa o Valor de cada prestação da Série Uniforme 
(Periodic PayMen T) que ocorre no final de cada período. 
Corresponde ao valor monetário de cada uma das prestações 
iguais colocadas no diagrama padrão do fluxo de caixa quando n 
= 1, 2, 3, .... 
 
 
1.6 - Capitalização Contínua e Descontínua 
Pelo que vimos anteriormente, podemos compreender Regime de 
Capitalização como o processo em que os juros são formados e incorporados 
ao principal (ou capital). 
De outra forma, podemos identificar duas formas de capitalização, que 
são: 
 A Capitalização Contínua 
E 
 A Capitalização Descontínua 
 
‘ 
 
27 
Matemática Financeira – Unidade 1 
Figura 17: Os tipos de capitalização. 
 
Referindo-se a Capitalização Contínua, temos que é um regime que se 
processa em intervalos de tempo bastante reduzidos, isto é, caracteristicamente 
em intervalo de tempo infinitesimal, ou seja, promovendo grande freqüência de 
capitalização. 
 
 
 
Por exemplo, o faturamento de um supermercado, a formação do custo de 
fabricação no processamento fabril, a formação da depreciação de um 
equipamento, etc. São capitalizações que se formam continuamente, e não 
somente ao final de um único período (mês, ano, etc.). A forma de 
capitalização contínua encontra enormes dificuldades em aplicações práticas, 
sendo pouco utilizada. 
Na Capitalização Descontínua temos que os juros são formados 
somente ao final de cada período de capitalização. A caderneta de poupança 
que paga juros unicamente ao final do período a que se refere sua taxa de juros 
(mês) é um exemplo de capitalização descontínua. Os rendimentos, neste caso, 
Tipos de 
Capitalização
Capitalização 
Discreta
Capitalização 
Contínua
A capitalização contínua, na prática, pode ser entendida em todo fluxo 
monetário distribuído ao longo do tempo e não somente num único instante. 
 
‘ 
 
28 
Matemática Financeira– Unidade 1 
passam a ocorrer descontinuamente, somente um único momento do prazo da 
taxa (final do mês) e não se distribuem pelo mês. 
 
 
 
 
 
De conformidade com o comportamento dos juros, a capitalização 
descontínua pode ser identificada tanto em juros simples como em juros 
compostos. 
 
1.7 - Fórmulas Características do Regime de 
Capitalização Linear de Juros 
Geralmente, os juros são calculados periodicamente: ao final de um dia, 
de um mês, de um ano ou de qualquer outro período pré-fixado por ocasião de 
um investimento ou empréstimo. 
Se os juros possuem taxa fixa e são calculados sempre a partir da quantia 
inicial, eles são denominados de juros simples, como vimos anteriormente. 
Neste instante, estaremos interessados em caracterizar as fórmulas (expressões) 
características deste regime de capitalização. 
 
Consideremos um empréstimo de R$2.000,00 pelo qual deverão ser 
pagos 5% de juros simples por mês. Para saber de quanto serão os 
juros ao final de um mês, basta calcular o valor de: 
 
 
 
No segundo mês, estes juros dobram, no terceiro triplicam, e assim por diante. 
Capitalização Descontínua os juros são formados apenas ao final de cada 
período de capitalização, como por exemplo, o que acontece com a nossa 
Caderneta de Poupança. 
 
 
5% de R$2.000,00= 0,05 x 2.000 = R$100,00 
‘ 
 
29 
Matemática Financeira – Unidade 1 
Para calcular os juros num período n de tempo, poderíamos fazer: 
 
 
 
 
De modo geral, os juros simples J, resultantes da aplicação de um capital 
C a uma taxa i, durante um período n de tempo, podem ser calculados pela 
seguinte expressão: 
 
 
 
Lembremos que i e n devem ter as mesmas unidades. Por exemplo, se 
temos uma taxa diária, n deverá ser calculado em dias, etc. 
 
 
 
 
 
 
 
Esta fórmula é básica tanto para o cálculo dos juros como dos outros 
valores financeiros mediante simples dedução algébrica, ou visualização da 
mesma de outra forma como apresentamos abaixo. 
 
 
 
 
Juros = 2.000 x 0,05 x n 
 
 
J = PV x i x n 
 
Resumindo! Neste caso, temos que: 
J = PV. i. n 
Onde: 
 
J = valor dos juros expressos em unidades monetárias; 
 
PV = capital. É o valor (em R$) representativo de determinado momento; 
 
i = taxa de juros, expressa em sua forma unitária; 
 
n = prazo. 
 
 
PV = 
nxi
J
 i = 
nxPV
J
 n = 
ixPV
J
 
 
 
‘ 
 
30 
Matemática Financeira – Unidade 1 
Vejamos mais alguns exemplos ilustrativos, onde utilizamos diretamente 
as fórmulas apresentadas anteriormente. 
 
Qual é o juro simples que um capital de R$30.000,00 produz, quando 
aplicado durante cinco meses, a uma taxa de 3,5% a.m. (ao mês)? 
Solução: Neste caso, temos que: 
 
PV = 30 000 
n = 5 meses 
e 
i = 3,5% ao mês = 0,035 ao mês. 
Daí: 
J = PV x i x n 
J = 30000 x 0,035 x 5 
J = 5.250,00 
Ou seja, o juro é de R$5.250,00. 
 
 
Qual é o juro simples que um capital de R$2.500,00 rende quando 
aplicado durante um ano, à taxa mensal de 2%? 
Solução: Temos que PV = 2500, n = 1 ano = 12 meses, i = 2,0% ao mês 
= 0,02 ao mês. Daí: 
J = PVx i x n 
 
J = 2500 x 0,02 x 12 
 
J = 600,00 
Ou seja, o juro é de R$600,00. 
 
‘ 
 
31 
Matemática Financeira – Unidade 1 
 
Um capital de R$10.000,00, investido a juros simples de 13% ao ano, 
foi sacado após três meses e dez dias, a contar da data inicial do 
investimento. Qual foi o juro? 
 
Solução: Na resolução deste problema é importante tomarmos cuidado 
com as unidades de tempo. Assim: 
3 meses e 10 dias = 100 dias 
Daí, temos que: 
J = PV x i x n 
 
J = 10000 x 0,13 x 
360
100
 
Observemos que o período n foi reduzido a anos, uma vez que dividimos 
o número de dias por 360, que é o ano comercial. 
J = 10000 x 0,13 x 
360
100
 
J = 361,11 
Ou seja, o juro é de R$361,11. 
 
Qual é a taxa mensal de juros simples que deverá incidir sobre um 
capital de R$5.000,00 para que este, em quatro meses e meio, renda 
R$720,00? 
Solução: Temos que PV = 5000, n = 4 meses e meio = 4,5 meses e J = 
720. Daí: 
J = PV x i x n 
 
720 = 5000 x i x 4,5 
 
i = 
5,45000
720
x
 
 
i = 0,032 ao mês, i.e., i = 3,2% ao mês 
‘ 
 
32 
Matemática Financeira – Unidade 1 
 
Que capital inicial rende R$2.000,00 em cinqüenta dias, a uma taxa 
simples de 0,2% a.d. (ao dia)? 
Solução: Temos que J = 2000, n = 50 dias e i = 0,2% ao dia = 0,002 ao 
dia. Daí: 
J = PV x i x n 
 
2000 = PV x 0,002 x 50 
 
PV = 
002,050
2000
x
 
 
PV = 20000 
 
Ou seja, o capital inicial é de R$20.000,00. 
 
 
Qual a taxa mensal de juros simples que deve incidir num capital para 
que ele duplique de valor em um ano? 
Solução: Neste caso, temos que o juro é igual ao próprio capital inicial. 
Desta forma, temos que: 
J = PV x i x n 
PV = PV x i x 12 
 
i = 
12xPV
PV
 
 
i = 
12
1
 = 0,083333.... 
 
Ou seja, a taxa será igual a 8,33% ao mês. 
 
‘ 
 
33 
Matemática Financeira – Unidade 1 
 
 
 
 
1.8 - Relacionando Taxa e Período 
São morfemas que indicam as flexões de nomes e verbos, dividindo-
se, por isso, em desinências nominais e verbais. As desinências indicam flexões 
de uma mesma palavra, enquanto os afixos são usados para formar novas 
palavras. 
As flexões ocorrem obrigatoriamente quando precisamos inserir uma 
palavra numa seqüência ou frase: 
a) Pelo ano comercial, o qual admite o mês com 30 dias e o ano com 360 dias. 
Tem-se, por este critério, a apuração do denominado juro comercial ou 
ordinário; 
Figura 18: O juro comercial. 
 
Ano Comercial
1 ano = 360 dias
1 mês = 30 dias
Juro Comercial 
ou Ordinário
Observação! Se calculada anualmente, essa mesma taxa se tornaria, 
evidentemente, 100% (afinal, o capital dobrou!). Portanto: 
8,33% a o mês = 100% ao ano 
 
 
 
‘ 
 
34 
Matemática Financeira – Unidade 1 
b) Pelo tempo exato, utilizando-se efetivamente o calendário do ano civil 
(365 dias). O juro apurado desta maneira denomina-se juro exato. Neste 
caso, será necessário recorrermos a uma tabela. 
Figura 19: O juro exato. 
 
Por exemplo, 12% ao ano equivale pelos critérios enunciados, à taxa diária de: 
a) Juro Exato: 
dias365
%12
= 0,032877% ao dia 
 
b) Juro Comercial: 
dias360
%12
= 0,033333% ao dia 
 
 
 
 
1.9 - Valor Futuro (ou Montante) 
Um determinado capital, quando aplicado a uma taxa periódica de juro 
por determinado tempo, produz um valor acumulado denominado de Montante 
Tempo 
Exato
Calendário 
do ano civil
Juro Exato
Observação! Na ilustração, o juro comercial diário é ligeiramente superior ao 
exato pelo menor número de dias considerado no intervalo de tempo. 
 
 
 
 
‘ 
 
35 
Matemática Financeira – Unidade 1 
ou Valor Futuro, e identificado em juros simples por FV ou M. Em outras 
palavras, o montante é constituído do capital mais o valor acumulado dos juros, 
isto é: 
 
 
 
 
Por outro lado, sabemos que: 
 
 
 
Substituindo (II) em (I), obtemos que: 
 
 
 
Evidentemente, o valor de PV desta fórmula pode ser obtido através de 
simples transformação algébrica: 
 
 
 
 
Salientamos que a expressão (1 + i.n) é definida como Fator de Capitalização 
(ou de Valor Futuro – FCS) dos juros simples. Ao multiplicar um capital por 
este fator, corrige-se o seu valor para uma datafutura, determinando o 
montante. 
 
M = C + J (I) 
 
 
J = C.i.n (II) 
 
 
M = C.(1 + i.n) ou FV = PV.(1 + i.n) 
 
 
PV = 
)1( nxi
FV
 
 
‘ 
 
36 
Matemática Financeira – Unidade 1 
 O inverso, ou seja, 
).1(
1
ni
 é denominado de Fator de 
Atualização (ou de Valor Presente – FAS). 
 
Figura 20: Fator de Capitalização e Fator de Atualização. 
Vejamos alguns exemplos ilustrativos referentes ao que acabamos de 
apresentar. 
1.10 - Exercícios de Aprendizagem 
 
Uma pessoa aplica R$18.000,00 à taxa de 1,5% ao mês durante 8 
meses. Determinar o valor acumulado ao final deste período. 
Solução: Temos que PV = 18000, n = 8 meses e i = 1,5% ao mês = 0,015 ao 
mês. Daí: 
FV = PV x (1 + i x n) 
FV = 18000 x (1 + 0,015 x 8) 
FV = 20.160,00 
 
(1 + i.n)
FCS
Fator de 
Capitalização 
FAS
Fator de 
Atualização
‘ 
 
37 
Matemática Financeira – Unidade 1 
 
Uma dívida de R$900.000,00 irá vencer em 4 meses. O credor está 
oferecendo um desconto de 7% ao mês caso o devedor deseje 
antecipar o pagamento para hoje. Calcular o valor que o devedor 
pagaria caso antecipasse a liquidação da dívida. 
Solução: Temos que FV = 900000, n = 4 meses e i = 7,0% ao mês = 0,07 ao 
mês. Daí: 
FV = PV x (1 + i x n) 
 
900000 = PV x (1 + 0,07 x 4) 
 
PV = 703.125,00 
 
 
Qual será o montante resultante de uma aplicação de R$29.800,00, à 
taxa de 1,2% a.m., durante seis meses? 
Solução: Temos que PV = 29800, n = 6 meses e i = 1,2% ao mês = 0,012 ao 
mês. Daí: 
FV = 29800 x (1 + 0,012 x 6) 
FV = 31.945,60 
 
Coloquei certa quantia em um banco a 12% ao ano e retirei, depois de 
4 anos, R$928,00. Quanto recebi de juros, sabendo que a aplicação 
foi feita à base de juros simples? 
Solução: Temos neste problema que FV = 928, i = 0,12 e n = 4. É de nosso 
interesse calcular J. Daí: J = C x i x n 
928 = C x 0,12 x 4 
J = 0,48.C 
 
 
‘ 
 
38 
Matemática Financeira – Unidade 1 
Mas, como FV = PV + J, segue que: 
 
928 = C + 0,48.C 
 
928 = 1,48.C 
 
C 623,03 
Logo, o capital investido foi de R$627,03. Para encontrarmos os juros, 
basta subtrair o montante do capital, ou seja, J = 928 – 627,03 = 300,97. 
 
Emprestei certa quantia a 12% ao ano e recebi R$3.230,00 depois de 
2 anos e quatro meses. Quanto emprestei? 
Solução: Sabendo que 2 anos e 4 meses é o mesmo que 28 meses, é preciso 
converter o tempo em anos. Desta forma, temos como informação n = 
12
28
, FV 
= 3230 e i = 0,12. Daí: 
FV = PV x (1 + i x n) 
Ou seja, 
PV = 
nxi
FV
1
 
 
PV = 
12
28
12,01
3230
x
 
PV 2.523,44 
 
A que taxa anual certo capital deve ser aplicado para que, num prazo 
de 2 anos, triplique de valor? 
Solução: Neste caso, para um capital PV, temos que FV = 3.PV e n = 2 anos, 
daí: 
‘ 
 
39 
Matemática Financeira – Unidade 1 
FV = PV x (1 + i x n) 
Ou seja, 
3.PV = PV x (1 + i x 2) 
i = 1 ao ano, ou seja, 100% 
 
Portanto, a taxa anual é de 100% para que o capital triplique de valor em 
dois anos. 
 
1.10 - Taxa Proporcional e Taxa Equivalente 
Para compreendermos de forma mais clara o significado destas taxas 
deve-se reconhecer que toda operação envolve dois prazos: 
(1) O prazo a que se refere à taxa de juros; 
E 
 (2) O prazo de capitalização (ocorrência) dos juros. 
Por exemplo, vamos admitir um empréstimo bancário a uma taxa (custo) 
nominal de 24% ao ano. O prazo a que se refere especificamente a taxa de 
juros é anual. A seguir, deve-se identificar a periodicidade de ocorrência dos 
juros. Ao se estabelecer que os encargos incidirão sobre o principal somente ao 
final de cada ano, os dois prazos considerados são coincidentes. 
O crédito direto ao consumidor promovido pelas Financeiras é outro 
exemplo de operação com prazos iguais. Caracteristicamente, a taxa cobrada é 
definida ao mês e os juros capitalizados também mensalmente. 
Porém em diversas outras operações estes prazos não são coincidentes. O 
juro pode ser capitalizado em prazo inferior ao da taxa, devendo-se nesta 
situação ser definido como o prazo da taxa será rateado ao período de 
capitalização. 
Por exemplo, sabe-se que a Caderneta de Poupança paga aos seus 
depositantes uma taxa de juros de 6% ao ano, a qual é empregada (capitalizada) 
ao principal todo mês através de um percentual proporcional de 0,5%. Tem-se 
aqui, então, dois prazos – prazo da taxa: ano e prazo de capitalização: mês. 
‘ 
 
40 
Matemática Financeira – Unidade 1 
Como vimos anteriormente, devemos expressar estes prazos diferentes na 
mesma base de tempo. Ou transforma-se o prazo específico da taxa para o 
prazo de capitalização ou, de maneira inversa, o período de capitalização passa 
a ser expresso na unidade de tempo da taxa de juros. 
 
No regime de juros simples, diante de sua própria natureza linear, esta 
transformação é processada pela denominada taxa proporcional de juros 
também denominada de taxa linear ou taxa nominal. Esta taxa proporcional 
é obtida da divisão entre a taxa de juros considerada na operação e o 
número de vezes em que ocorrerão os juros (quantidade de períodos de 
capitalização). 
 
Por exemplo, para uma taxa de juros de 18% ao ano, se a capitalização 
for definida mensalmente (ocorrerão 12 vezes juros no período de um ano), o 
percentual de juros indicará sobre o capital a cada mês será: 
 
 
Taxa proporcional = 
12
%18
 = 1,5% ao mês 
 
 
A aplicação de taxas proporcionais é muito difundida, principalmente em 
operações de curto e curtíssimo prazo, tais como: cálculo de juros de mora, 
descontos bancários, créditos de curtíssimo prazo, apuração de encargos sobre 
saldo devedor de conta corrente bancária, etc. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
‘ 
 
41 
Matemática Financeira – Unidade 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos calcular o juro produzido pelo capital de R$2.000,00: 
 à taxa de 4% ao mês, durante 6 meses; 
 à taxa de 12% ao trimestre, durante 2 trimestres. 
 
 
Resumindo (esquema prático – Taxas Proporcionais) 
 
Duas taxas são proporcionais quando seus valores formam uma proporção com os 
tempos a elas referidos, reduzidos à mesma unidade. 
 
Dadas duas taxas (percentuais ou unitárias) i e i’, relativas, respectivamente, aos 
tempos n e n’, referidos na mesma unidade, temos: 
 
'' n
n
i
i
 (I) 
 
Obs: As taxas i e i’ devem ser ambas percentuais ou ambas unitárias. Assim, as taxas 
de 18% ao ano e 1,5% ao mês, por exemplo, são proporcionais, pois: 
 
1
12
015,0
18,0
1
12
5,1
18
ou
 (1 ano = 12 meses) 
 
Vamos, então, determinar uma fórmula que nos permita obter, rapidamente, uma 
taxa proporcional à outra taxa dada. 
Sendo i a taxa de juro relativa a um período e i
k
 a taxa proporcional que queremos 
determinar, relativa à fração 1/k do período, temos pela relação (I): 
1
1
k
i
ik 
 
isto é, 
i
k
i
k
 
 
Nota: Observe que i é sempre a taxa relativa ao maior período. 
 
As taxas de juros se dizem equivalentes quando, aplicadas a um mesmo 
capital e pelo mesmo intervalo de tempo, produzem o mesmo juro. 
 
 
 
 
‘ 
 
42 
Matemática Financeira – Unidade 1 
No primeiro caso, temos: 
 
 
..04,0..%4
6
000.2
mamai
mesesn
PV
 
Logo: 
J = 2.000 x 6 x 0,04 = R$480,00. 
 
No segundo caso, temos: 
 
..12,0..%12
2
000.2
tataitrimestresn
PV
 
Daí: 
J = 2.000 x 2 x 0,12 = R$480,00 
Como os juros produzidos são iguais, podemos dizer que 4% ao mês e 
12% ao trimestre são taxas equivalentes. 
 
 
 
 
 
1.11 - Taxa Proporcional e Taxa Equivalente 
O problema da equivalência financeira constitui-se no raciocínio básico 
da Matemática Financeira. 
Importante! No regime de juros simples, taxas proporcionais (nominais ou 
lineares) e taxas equivalentes são consideradas a mesma coisa, sendo indiferente 
à classificação de duas taxas de juros como proporcionais ou equivalentes, ou 
seja: 
 
Juros Simples: Taxas equivalentes Taxas proporcionais 
 
 
 
 
 
‘ 
 
43 
Matemática Financeira – Unidade 1 
Definição(Capitais Equivalentes): Dois ou mais capitais representativos 
de uma certa data dizem-se equivalentes quando, a uma certa taxa de juros, 
produzem resultados iguais numa data comum (denominada data focal). 
 Por exemplo, R$120,00 vencíveis daqui a um ano e R$100,00, hoje, são 
equivalentes a uma taxa de juros simples de 20%, uma vez que os R$100,00, 
capitalizados, produziriam R$120,00 dentro de um ano, ou os R$120,00, do 
final do primeiro ano, resultariam em R$100,00 se atualizados para hoje. Ou 
seja, ambos os capitais produzem, numa data de comparação (data focal) e a 
taxa de 20% ao ano, resultados idênticos. 
Vamos interpretar graficamente o raciocínio descrito anteriormente: 
 
FV = 100,00 x (1 + 0,20 x 1) 
 
R$ 100,00 C
n
 R$120,00 
 
 
PV = 
)12,01(
00,120
x
 
Figura 21: Interpretação geométrica do raciocínio acima. 
 
 
Vamos determinar se R$438.080,00 vencíveis daqui a 8 meses é 
equivalente a se receber hoje R$296.000,00, admitindo uma taxa de 
juros simples de 6% ao mês. 
Solução: Neste caso, temos a seguinte disposição geométrica: 
 FV = 296000 x (1 + 0,06 x 8) 
 
 R$ 296.000,00 C
n
 R$438.080,00 
 
 
0 8 
PV = 
)806,01(
438080
x
 
Figura 22: Interpretação geométrica do exemplo acima. 
 
 
‘ 
 
44 
Matemática Financeira – Unidade 1 
 
Observemos que: 
FV = 296000 x (1 + 0,06 x 8) = R$438.080,00 
e 
PV = 
)806,01(
438080
x
= R$296.000,00 
 
Desta maneira, concluímos que R$296.000,00 hoje é equivalente a 
R$438.000,00 daqui a 8 meses considerando uma taxa de juros linear igual a 
6% ao mês. 
 
 
 
 
Nosso objetivo agora é generalizar este raciocínio. A equivalência de 
capitais pode então ser generalizada a partir da seguinte representação gráfica: 
 
 A
1
 A
2
 B
1
 B
2
 B
3
 
 ____________________________________________ _ _ _ _ _ 
 
 0 1 2 3 4 5 n 
Os capitais A1, A2 e B1, B2, B3 dizem-se equivalentes se, quando expressos 
em valores de uma data comum (data de comparação ou data focal), e a 
mesma taxa de juros, apresentam resultados iguais. 
 Por exemplo, se escolhermos como data de comparação no momento n = 
0, tem-se que: 
 
 
 
 
Por outro lado, se escolhermos como data de comparação o momento n = 
6, tem-se que: 
 
Generalizando o Caso Anterior 
)51()41()31()21()11(
32121
xi
B
xi
B
xi
B
xi
A
xi
A
 
 
‘ 
 
45 
Matemática Financeira – Unidade 1 
 
 
 
 
 
 
E, assim sucessivamente. 
 
 
b 
 
 
 
 
 
 
 
 
Geometricamente, podemos observar tal situação na Figura 
Graficamente, temos: 
Figura 23: Disposição gráfica da observação anterior. 
 
O fracionamento em juros simples leva a resultados discrepantes, dado 
que: 
 
A
1
.(1 + i x 5) + A
2
.(1 + i x 4) = B
1
.(1 + i x 3) + B
2
.(1 + i x 2) + B
3
.(1 + i x 1) 
 
 
Observação! Na questão da equivalência financeira em juros simples, é 
importante ressaltar que os prazos não podem ser desmembrados 
(fracionados) sob pena de alterar os resultados. Em outras palavras, dois 
capitais equivalentes, ao fracionar os seus prazos, deixam de produzir o 
mesmo resultado na data focal pelo critério de juros simples. Por 
exemplo, admitamos que o montante final de dois anos de R$100,00 
aplicados hoje, à taxa de juros simples de 20% ao ano, é igual a R$140,00. 
No entanto, este processo de capitalização linear não pode ser fracionado 
de forma alguma. Por exemplo, apurar inicialmente o montante ao final do 
primeiro ano e, a partir daí, chegar ao montante do segundo ano envolve a 
capitalização dos juros (juros sobre juros), prática esta não adotada no 
regime de juros simples. 
 
 
 
 
 
PV.(1 + 0,2 x 2) PV.(1 + 0,2 x 1).(1 + 0,2 x 1) 
 
 
‘ 
 
46 
Matemática Financeira – Unidade 1 
Como resultado das distorções produzidas pelo fracionamento do 
prazo, a equivalência de capitais em juros simples é dependente da data de 
comparação escolhida (data focal). 
 
Figura 23: A dependência da equivalência de capitais com a data focal: regime simples. 
 
 
A título de ilustração, consideremos a seguinte situação: Vamos 
admitir que A deva a B os seguintes pagamentos: 
 
 R$50.000,00 de hoje a 4 meses; 
 
 R$80.000,00 de hoje a 8 meses. 
 
Suponhamos que A esteja avaliando um novo esquema de pagamento, em 
substituição ao original. A proposta de A é a de pagar R$10.000,00 hoje, R$30.000,00 
de hoje a 6 meses, e o restante ao final do ano. Sabe-se que B exige uma taxa de 
juros simples de 2,0% ao mês. Esta taxa é a que consegue obter normalmente em 
suas aplicações de capital. Sendo assim, vamos apurar o saldo a ser pago. 
Solução: Para facilitar no nosso entendimento, apresentamos na Figura 24 
abaixo a disposição geométrica do problema apresentado, onde convencionamos 
representar a dívida original na parte superior, e a proposta alternativa de 
pagamento na parte inferior. 
 
‘ 
 
47 
Matemática Financeira – Unidade 1 
 
 
 
Figura 24: Representação gráfica do exemplo anterior. 
 
A ilustração que apresentamos é de substituição de uma proposta de 
pagamentos por outra equivalente. Para serem equivalentes, os pagamentos 
devem produzir os mesmos resultados, a uma determinada taxa de juros, em 
qualquer data comum. Inicialmente, vamos admitir que a data focal selecionada 
é o momento hoje. Assim, ao igualar os pagamentos das propostas em valores 
representativos da data focal escolhida, tem-se: 
 
DATA FOCAL = 0 
)1202,01()602,01(
00,000.30
00,000.10
)802,01(
00,000.80
)402,01(
00,000.50
x
X
xxx
 
46.296,30 + 68.965,50 = 10.000,00 + 26.785,70 + 
24,1
X
 
Ou seja, 
 
X = R$97.310,40 
Suponhamos que B resolva definir o mês 12 a data focal para determinar 
o valor do saldo a ser pago. Expressando-se os pagamentos na data focal 
escolhida, tem-se: 
 
DATA FOCAL = 12 
50.000,00 x (1 + 0,02 x 8) + 80.000,00 x (1 + 0,02 x 4) = 10.000,00 x (1 + 0,02 
x 12) + 30.000,00 x (1 + 0,02 x 6) + X 
Esquema 
Original 
Esquema 
Proposto 
‘ 
 
48 
Matemática Financeira – Unidade 1 
Ou seja, 
144.400,00 = 46.000,00 + X 
Portanto, 
X = R$98.400,00 
Como resultado, verifica-se que o saldo a pagar altera-se quando a data 
focal é modificada. Esta característica é típicade juros simples (em juro 
composto este comportamento não existe), sendo explicada pelo fato de não ser 
aceito o fracionamento dos prazos. 
 
 
 
 
 
 
Vejamos alguns exemplos que ilustram a aplicabilidade dos conceitos 
discutidos anteriormente no regime de capitalização simples. 
 
Uma pessoa aplicou em uma instituição financeira R$18.000,00 
resgatando R$21.456,00 quatro meses depois. Calcular a taxa mensal 
de juros simples auferida nesta aplicação: 
Solução: Temos que PV = 18.000,00, FV = 21.456,00 e n = 4 meses. 
Daí: 
 
21.456,00 = 18.000,00 x ( 1 + 4 x i) 
 
1,192 = 1 + 4i 
 
4i = 0,192 
 
i = 0,048 que representa 4,8% ao mês 
 
Importante! Na prática, a definição da data focal em problemas de 
substituição de pagamentos no regime de juros simples deve ser decidida 
naturalmente pelas partes, não se verificando um posicionamento técnico 
definitivo da Matemática Financeira. 
 
 
 
 
‘ 
 
49 
Matemática Financeira – Unidade 1 
 
Se uma pessoa necessitar de R$100.000,00 daqui a 10 meses, quanto 
deverá ela depositar hoje num fundo de poupança que remunera à 
taxa linear de 12% ao ano? 
Solução: Temos que FV = 100.000,00, n = 10 meses e i = 12% ao ano ou 
i = 
12
%12
 = 1% ao mês = 0,01 a.m. Daí: 
FV = PV x ( 1 + i x n) 
 
100.000,00 = PV x ( 1 + 0,01 x 10) 
 
PV = 90.909,09 
 
Determinar a taxa bimestral de juros simples que faz com que um 
capital triplique de valor após 2 anos. 
Solução: Temos que PV = 1, FV = 3 e n = 24 meses = 12 bimestres. Daí: 
3 = 1 x ( 1 + i x 12) 
 
3 = 1 + 12.i 
 
12i = 2 
 
i = 0,166666... ou 16,666666...% a.b. (ao bimestre) 
 
 
Um título com valor nominal de R$7.200,00 vence em 120 dias. Para 
uma taxa de juros simples de 31,2% ao ano, pede-se calcular o valor 
desse título: 
 
a) Hoje; 
b) Dois meses antes de seu vencimento; 
c) Um mês após o seu vencimento. 
‘ 
 
50 
Matemática Financeira – Unidade 1 
Solução: Neste caso, temos que: 
 
a) Valor do Título Hoje = C
0
 = 
4
12
312,0
1
00,200.7
x
 = 
104,1
00,200.7
 = R$6.521,74 
(Neste caso devemos atualizar) 
 
b) Valor do Título Dois Meses antes do Vencimento = C
2
 = 
2
12
312,0
1
00,200.7
x
 = 
052,1
00,200.7
 = R$6.844,11 (Neste caso devemos atualizar) 
 
c) Valor do Título Um mês após o Vencimento = C
5
 = 7.200,00 x ( 1+ 
12
312,0
 x 1) = R$7.387,20 (Neste caso devemos capitalizar) 
 
 
Uma pessoa deve dois títulos no valor de R$25.000,00 e R$56.000,00 
cada. O primeiro título vence de hoje a 2 meses, e o segundo um mês 
após. O devedor deseja propor a substituição destas suas obrigações 
por um único pagamento ao final do 5 0 mês. Considerando 3% ao 
mês a taxa corrente de juros simples, determinar o valor deste 
pagamento único. 
Solução: Vamos denotar por M a quantidade a ser encontrada, ou seja, o 
valor deste pagamento único o qual temos que determinar. Desta maneira, 
temos a seguinte disposição geométrica: 
‘ 
 
51 
Matemática Financeira – Unidade 1 
 
Data Focal: mês 5 (ou quinto mês), ou seja, devemos capitalizar os dois 
capitais para o Momento 5. 
 
Desta maneira, temos que: 
M = 25.000,00 x ( 1 + 0,03 x 3) + 56.000,00 x ( 1 + 0,03 x 2) 
 
M = 27.250,00 + 59.360,00 
 
M = 86.610,00 
 
 
Uma pessoa tem os seguintes compromissos financeiros: 
 R$35.000,00 vencíveis no fim de 3meses; 
 
 R$65.000,00 vencíveis no fim de 5 meses. 
 
 
 
Para o resgate dessas dívidas, o devedor pretende utilizar suas 
reservas financeiras aplicando-as em uma conta de poupança que 
rende 66% ao ano de juros simples. Pede-se determinar o valor do 
capital que deve ser aplicado nesta poupança de forma que possam 
ser sacados os valores devidos em suas respectivas datas de 
vencimentos sem deixar saldo final na conta. 
0 2 3 5 
 25.000,00 56.000,00 
M 
‘ 
 
52 
Matemática Financeira – Unidade 1 
Solução: Temos a seguinte disposição 
geométrica:
 
Data Focal: data zero (hoje) - (Neste caso devemos atualizar os dois 
capitais) 
Além disso, i = 66% ao ano = 5,5% ao mês ou 0,055 ao mês. Logo: 
C
0
 = 
)5055,01(
00,000.65
)3055,01(
00,000.35
xx
 (Neste caso devemos atualizar os dois 
capitais) 
C
0
 = 30.042,92 + 50.980,39 
C
0
 = 81.023,31 
A pessoa, depositando hoje R$81.023,31 numa poupança que paga 5,5% 
ao mês de juros simples, terá condições, com este capital aplicado, de resgatar 
suas dívidas nas respectivas datas de vencimento. Logo, ao capitalizar o capital 
aplicado para os momentos 3 e 5, o resultado registrado deve ser igual ao valor 
dos pagamentos, isto é: 
Momento 3 = 81.023,31x (1 + 0,055 x 3) = R$ 94.392,16 
 (–) Resgate (35.000,00) 
Momento 5 = 59.392,16 x (1 + 0,055 x 2) = R$ 65.925,30 
 (–) Resgate (65.000,00) 
 
 Saldo: R$925,30 
 Saldo: R$53.392,16 
 C
0
 
 
3 
 35.000,00 
 5 
 65.000,00 
‘ 
 
53 
Matemática Financeira – Unidade 1 
Observemos que o saldo remanescente de R$925,30 é devido à 
capitalização dos juros (regime linear), já que vimos anteriormente que neste 
regime o prazo da operação não pode ser fracionado, originando-se daí a 
diferença que encontramos. 
 
 
Uma dívida no valor de R$48.000,00 vence daqui a 6 meses. O 
devedor pretende resgatar a dívida pagando R$4.800,00 hoje, 
R$14.000,00 de hoje dois meses, e o restante um mês após a data do 
vencimento. Sendo o momento deste último pagamento definido 
como a data focal da operação, e sabendo-se ainda que é de 34,8% ao 
ano a taxa linear de juros adotada nesta operação, determinar o 
montante do pagamento. 
Solução: Temos a seguinte disposição geométrica: 
 
 
Data Focal: Momento 7 – Devemos capitalizar todos os capitais 
(4.800,00, 14.000,00 e 48.000,00) para a data 7 (mês 7). 
Logo: 
48.000,00 x
1
12
348,0
1 x
 
= 4.800,00 x
7
12
348,0
1 x
 + 14.000,00 x 
5
12
348,0
1 x
 + M 
43.392,00 = 5.774,40 + 16.030,00 + M 
 M = R$27.587,60 
 
0 2 6 7 
4.800,00 14.000,00 
48.000,00 
M 
Dívida Original 
‘ 
 
54 
Matemática Financeira – Unidade 1 
1.11 - Exercícios Resolvidos 
 
A que taxa anual um capital de R$8.400,00, em 1 mês e 10 dias, renderia 
R$ 3,00? 
Solução: Neste caso, temos que J = 3, PV = 8400 e n =
360
40
 anos e 
queremos encontrar o valor de i. Daí: 
J = PV.i.n 
3 = 8400.i.
360
40
 
Ou seja, 
i 0,0032 ao ano ou i = 0,32% a.a. 
 
 
Qual deveria ser a taxa anual para que um capital qualquer rendesse, em 3 
anos, 3/5 do seu valor? 
Solução: Neste caso, temos que J = 
5
3
.PV (note que ele fala em um capital 
qualquer que rendesse) e n = anos, logo: 
 
J = PV.i.n 
5
3
.PV = PV.i.3 
Ou seja, 
i = 
5
1
 = 0,2 ou i = 20% a.a. 
 
 
Em quanto tempo R$120,00 aplicados a 15% ao ano produziriam juros de 
R$80,00? 
‘ 
 
55 
Matemática Financeira – Unidade 1 
Solução: Neste caso, temos que J = 80, i = 15% a.a. = 0,15 a.a. e PV = 
120, daí: 
J = PV.i.n 
80 = 120.0,15.n 
Ou seja, 
n = 
9
40
 anos 
Vamos analisar um pouco mais o resultado encontrado acima, ou seja, 
vamos descrever de forma detalhada o significado de n = 
9
40
 anos. Temos que: 
9
40
 anos = 4 anos e 
9
4
 ano 
9
4
 ano = 
9
4
.12 = 
3
16
 meses = 5 meses e 
3
1
mês3
1
mês = 10 dias 
Portanto, 
9
40
 anos = 4 anos, 5 meses e 10 dias 
 
Apliquei 3/7 do meu capital a uma taxa de 8% ao ano. O restante apliquei à 
taxa de 10% ao ano, recebendo um juro anual de R$4.850,00. Qual era o 
meu capital inicial? 
 
Solução: Neste caso, inicialmente entendemos que o juro anual e igual a 
J = 4850. Por outro lado, temos que: 
7
3
.PV foi aplicado a taxa de 8% ao ano (n = 1 ano) então J
1
 = 
7
3
.PV.0,08.1 
7
4
.PV (restante) foi aplicado à taxa de 10% ao ano (n = 1 ano) então J
2
 = 
7
4
.PV.0,10.1 
Desta maneira, podemos escrever: 
Juro Total = J
1
 + J
2
 = 4850 
7
3
.PV.0,08.1 + 
7
4
.PV.0,10.1 = 4850 
‘ 
 
56 
Matemática Financeira – Unidade 1 
Donde concluímos que, 
PV = 53.926,70 
 
 
 
Dois capitais aplicados rendem juros iguais. O primeiro a 130% ao ano, 
durante 8 meses; e o segundo a 90% ao ano, durante 9 meses. Determine 
esses capitais, sabendo que a diferença entre eles é de R$2.800,00. 
 
Solução: Neste caso, de acordo com os dizeres do problema inicialmente 
podemos escrever: 
J
1
 = PV
1
.(1,3).
12
8
 (I) 
J
2
 = PV
2
.(0,9). 
12
9
 (II) 
J
1
 = J
2
 
Além disso, podemos escrever: 
PV
2
 – PV
1
 = 2800 (III) 
De (III), temos que PV
2
 = PV
1
 + 2800 e, substituindo tal expressão em (II), 
segue que: 
PV
1
.(1,3).
12
8
 = PV
2
.(0,9). 
12
9
 
10,4.PV
1
 = (2800 + PV
1
).(8,1) 
10,4.PV
1
 = (2800).(8,1) + (PV
1
).(8,1) 
2,3.PV
1
 = 22680 
PV
1
 9860,87 
E, conseqüentemente, segue que: 
PV
2
 12.660,87 
 
‘ 
 
57 
Matemática Financeira – Unidade 1 
 
Quero que meu capital seja aplicado a uma determinada taxa de modo que 
dobre em 9 meses. Para tanto, qual será a taxa que devo usar? 
Solução: Neste caso, temos que J = 2.PV, n = 9 meses. Daí: 
2.PV = PV.i.n 
 
2 = 1 + 9.i 
Ou seja, 
1 = 9i 
 
i = 11,11% ao mês 
 
 
Pedi emprestada uma quantia a juros com taxa de 12% ao ano e tive de 
devolver o dobro do que usei. Por quanto tempo mantive o empréstimo? 
Solução: Neste caso, temos o seguinte: 
PV = PV e FV = 2.PV (ou seja, se pego uma quantia PV e retorno o dobro do 
que usei, concluímos que o valor futuro é igual a 2.PV) 
Logo: 
FV = PV.(1 + i.n) 
2.PV = PV.(1 + 
100
12
.n) 
n = 8,33 anos aproximadamente ou n = 8 anos e 4 meses 
 
 
A que taxa mensal um capital quintuplica em 10 anos? 
Solução: Neste caso, temos que FV = 5.PV, n = 10 anos = 120 meses. 
Daí: 
FV = PV.(1 + i.n) 
‘ 
 
58 
Matemática Financeira – Unidade 1 
 
5.PV = PV.(1 + i.120) 
 
5 = 1 + 120.i 
Ou seja, 
4 = 120i 
 
i = 0,033 a.m. ou 3,33% a.m. 
 
Qual a taxa necessária para um capital duplicar em 3 anos e 4 meses? 
 
Solução: Neste caso, temos que FV = 2.PV, n = 3 anos e 4 meses = 40 
meses. Daí: 
FV = PV.(1 + i.n) 
 
2.PV = PV.(1 + i.40) 
 
2 = 1 + 40.i 
Ou seja, 
1 = 40i 
 
i = 2,5% a.m. 
 
 
O montante, após um empréstimo de 18 meses, é 8/5 do capital 
emprestado. Qual é a taxa utilizada nesta operação? 
Solução: Neste caso, temos que PV = PV e FV = 
5
8
.PV, logo utilizando 
a fórmula do valor futuro (montante), segue que: 
 
 
‘ 
 
59 
Matemática Financeira – Unidade 1 
FV = PV.(1 + i.n) 
5
8
.PV = PV.(1 + i.1,5) já que 18 meses = 1,5 anos 
i = 40% ao ano 
 
 
Um capital ficou depositado durante 2 anos, à taxa de 4% ao ano. Findo 
esse período, o montante foi reaplicado a 6% ao ano durante 18 meses. 
Determine o capital inicial, sabendo que o montante final foi de 
R$17.658,00. 
Solução: De acordo com o enunciado do problema podemos escrever: 
FV
f
 = PV
2
.(1 + 0,06.1,5) FV
f
 = 17658 = PV
2
.(1 + 0,09) PV
2
 = 16200 
 
PV
2
 = PV
1
.(1 + 0,04.2) 16200 = PV
1
.(1 + 0,08) PV
1
 = 15000 
Desta maneira, concluímos que o capital inicial foi de R$15.000,00. 
 
 
O montante de uma aplicação, após 7 meses e 15 dias, foi de 
R$180.900,00. O mesmo capital, à mesma taxa e acrescido dos juros de 32 
meses, dá um montante de R$210.840,00. Determine o capital e a taxa 
mensal. 
Solução: De acordo com o enunciado, temos que: 
 
 Para a aplicação relacionada a 7 meses e 15 dias: 180 900 = PV.(1 + 
7,5.i) 
 Para a outra aplicação: 210 840 = PV.(1 + 32.i) 
Notemos que em verdade podemos montar um sistema linear envolvendo 
as duas variáveis a serem calculadas, que são i e PV, ou seja, temos o seguinte 
sistema linear: 
).321.(210840
).5,71.(180900
iPV
iPV 
Para resolvermos o sistema acima, por exemplo, podemos multiplicar a 
segunda equação por (-1) e somar as duas como mostramos abaixo. 
 
‘ 
 
60 
Matemática Financeira – Unidade 1 
 iPVPV
iPV
..32210840
).5,71.(180900
 
 29940 = 24,5.PV.i 
Desta forma, temos que: 
PV.i 1222,041 
Sendo assim, substituindo a este valor aproximado do produto PV.i na 
primeira equação do sistema linear, segue que: 
180 900 = PV + 7,5.(1222,041) 
Ou seja, 
PV 171 734,69 
De outra forma, como 
PV.i 1222,041 
Segue que, 
i 
69,171734
041,,1222
0,00712 0,712% ao mês 
 
 
Divida R$360,00 em duas partes, de tal forma que a primeira parte produza 
em 6 meses o mesmo juro que a segunda em 3 meses, ambas com a mesma 
taxa de aplicação. 
Solução: Neste caso, podemos escrever: 
360 = 

1:Pr
)360(
PVParteimeira
PV
+ 

2:
)360(
PVParteSegunda
PV
 
Daí: 
  
ParteimeiraareferentesJuros
iPV
Pr
)6.).360(
= 

ParteSegundaareferentesJuros
iPV )3..(
 
Logo, 
2.(360 – PV) = PV 
Ou seja, 
720 = 3.PV 
E, portanto, 
PV = 240 
‘ 
 
61 
Matemática Financeira – Unidade 1 
 
Donde concluímos que R$120,00 serão aplicados em 6 meses, enquanto 
que R$240,00 serão aplicados em 3 meses. 
 
 
Dois capitais diferem em R$86.000,00. O maior, empregado durante 10 
meses, rendeu R$1.542,00. O menor, empregado durante 15 meses, rendeu 
R$1.926,00, à mesma taxa. Quais foram os capitais empregados e qual a 
taxa anual? 
Solução: Neste caso, de acordo com os dizeres do problema, inicialmente 
podemos escrever: 
PV
1
 = 86000 + PV
2
 
Além disso, podemos escrever: 
- Com relação ao maior capital: 1542 = PV
1
.i. 
12
10
 
- Com relação ao menor capital: 1926 = PV
2
.i. 
12
15
 PV
2
.i = 1542,80 
Logo, 
 1542 = (86000 + PV
2
).i. 
12
10
 
1542 = 
12
10..86000 i
 + (1542,80).
12
10
 
258 = 
12
.860000 i
 
 
i = 0,0036 a.a. ou 0,36% a.a. 
 
Donde segue também que, 
PV
2
= 
)0036,0.(15
)12.(1926
 
PV
2
= 428000 
E 
PV
1
 = 428000 + 86000 
PV
1
 = 514000 
‘ 
 
62 
Matemática Financeira – Unidade 1 
 
Ou seja, os capitais empregados foram R$514000,00 e R$428000,00 e a 
taxa anual foi de 0,36% ao ano. 
 
 
Um aluno na aula de Matemática Financeira faz a seguinte argumentação 
para a sala, a respeito de um dos fatores (inflação) que determinam à 
existência dos juros: 
“Inflação (desgaste da moeda) – diminuição do poder aquisitivo da 
moeda exige que o investimento produza retorno menor que o capital 
investido”. 
Esta argumentação é coerente ou não? Justifique a sua resposta. 
 
Solução: A argumentação não é coerente, já que a diminuição do poder 
aquisitivo da moeda exige que o investimento produza retorno maior que o 
capital investido.Qual é o capital que diminuído do seu juro simples de 18 meses, à taxa de 
6% ao ano, se reduz a R$ 8.736,00? 
Solução: Neste caso, temos que: 
J = PV.i.n = PV.(0,06). 
12
18
= 0,09.PV 
Além disso, podemos escrever que: 
8736 = PV – 0,09.PV 
Ou seja, 
PV = 9600 
 
Alessandro aplicou suas economias em um banco, a juros simples 
comerciais de 15% ao ano, durante 2 anos. Findo o prazo, reaplicou o 
montante e mais R$2.000,00 de suas novas economias, por mais 4 anos e à 
taxa de 20% ao ano, sob o mesmo regime de capitalização (regime 
simples). Admitindo-se que os juros das 3 aplicações somaram 
R$18.216,00, o capital inicial da primeira aplicação era de? 
 
 
‘ 
 
63 
Matemática Financeira – Unidade 1 
Solução: Neste caso, temos a seguinte disposição de dados: 
 
 
J
1
 = PV x 0,15 x 2 = 0,3.C 
J
2
 = (1,3.PV + 2000) x 0,2 x 4 = 1,6.PV + 1600 
Logo: 
J
1
 + J
2
 = 0,3.PV + 1,04.PV + 1600 = 18216 
Portanto, 
PV = 12400 
Ou seja, o capital inicial da primeira aplicação era de R$12400,00. 
 
 
Um fogão é vendido por R$600,00 à vista ou com uma entrada de 22% e 
mais um pagamento de R$542,88 após 32 dias. Qual a taxa de juros mensal 
envolvida na operação. 
Solução: Neste caso, temos a seguinte disposição de dados: 
22% de R$600,00 = R$132,00 
Saldo = 600 – 132 = 468 
Juros = 542,88 – 468 = 74,88 
Logo: 
J = PV.i.n 
74,88 = 468.i.32 
i = 
32468
88,74
x
 = 0,005 ao dia ou 0,5% ao dia 
Portanto a taxa mensal será igual a 30 x 0,5% ao dia = 15% ao mês já 
que um mês (mês comercial) possui 30 dias. 
 
Um negociante tem as seguintes obrigações de pagamento com um banco: 
 R$ 18.000,00 vencíveis em 37 dias; 
 R$ 42.000,00 vencíveis em 83 dias; 
 R4 100.000,00 vencíveis em 114 dias; 
‘ 
 
64 
Matemática Financeira – Unidade 1 
Com problemas de caixa nestas datas deseja substituir este fluxo de 
pagamentos pelo seguinte esquema: 
 R$ 20.000,00 em 60 dias; 
 R$ 50.000,00 em 100 dias; 
 Restante em 150 dias. 
Sendo de 3,2% ao mês a taxa de juros simples adotada pelo banco nestas 
operações, pede-se calcular o valor do pagamento remanescente adotando 
como data focal o momento atual. 
Solução: Novamente se trata de uma aplicação da Equivalência Financeira no 
Regime de Capitalização Simples. 
 
 100000 
 42000 
 18000 
 
 0 60 dias 100 dias 150 dias 
 
 
Onde: 
R = valor do pagamento remanescente 
Data focal = momento atual (hoje – data zero) 
i = 3,2% ao mês = 0,032 a.m. = 
30
032,0
 ao dia 
50000 
20000 
 R 
37 dias 83 dias 
114 dias 
‘ 
 
65 
Matemática Financeira – Unidade 1 
Inicialmente, devemos notar que a taxa no exercício foi dada ao mês, e os 
pagamentos para serem pagos tendo como referência a unidade dias, logo 
devemos trabalhar com a taxa diária. Sendo assim, queremos que os dois 
esquemas sejam equivalentes, ou seja, temos a seguinte igualdade: 
 
114
30
032,0
1
100000
83
30
032,0
1
42000
37
30
032,0
1
18000
60
30
032,0
1
20000
100
30
032,0
1
50000
150
30
032,0
1 xxxxxx
R
 
Notemos, que todos os valores foram atualizados para a data zero (que é 
a data focal). 
Resolvendo, obtemos: 
R = 94.054,22693 
Ou seja, o valor remanescente é igual a R$ 94.054,22693. 
 
 
Uma dívida é composta de três pagamentos no valor de R$2.800,00, 
R$4.200,00 e R$7.000,00, vencíveis em 60, 90 e 150 dias, 
respectivamente. Sabe-se ainda que a taxa de juros simples de mercado é 
de 4,5% ao mês. Determinar o valor da dívida se o devedor liquidar os 
pagamentos: 
a) Hoje. 
b) Daqui a 7 meses. 
Solução: Temos a seguinte disposição geométrica: 
 
 
 2800 
 4200 
7000 
 60 dias 90 dias 150 dias 
‘ 
 
66 
Matemática Financeira – Unidade 1 
Seja D = o valor da dívida. Lembrando que a taxa e os períodos estão 
sendo colocados em unidades diferentes, sendo assim, iremos considerar: 
 
60 dias = 2 meses 
90 dias = 3 meses 
150 dias = 5 meses 
a) Neste caso, devemos atualizar todos os valores, sendo assim, o 
valor da dívida será: 
 
D = 
5045,01
7000
3045,01
4200
2045,01
2800
xxx
 
D = 11.983,5335 
b) Aqui, devemos capitalizar todos os valores para o momento 7, 
ou seja, para 7 meses. Desta forma, temos que o valor da dívida será dado por: 
 
D = 2800x(1+0,045 x5) + 4200x(1+0,045 x4)+ 7000x(1+0,045 x2) 
D = 16.016,00 
 
Um eletrodoméstico é vendido em três pagamentos mensais e iguais. O 
primeiro pagamento é efetuado no ato da compra, e os demais são devidos 
em 30 e 60 dias. Sendo de 4,4% ao mês à taxa linear de juros, pede-se 
calcular até que valor interessa adquirir o bem à vista. 
 
Solução: Este exercício é uma aplicação direta sobre Equivalência 
Financeira no Regime de Capitalização Simples. O Diagrama de Fluxo de 
Caixa correspondente à operação é mostrada na Figura abaixo: 
 
 
Onde: 
C/3 C/3 
 
C/3 
 V 
 1 mês 2 meses 
‘ 
 
67 
Matemática Financeira – Unidade 1 
V = valor à vista, i.e., valor pelo qual interessa o produto à vista 
C/3 = valor de cada pagamento (três pagamentos iguais) 
 
i = 4,4% ao mês = 0,044 a.m. 
Além disso, lembremos que 
).1(
1
ni
 é denominado de fator de 
atualização (ou de valor presente – FAS). Observamos também, que a data 
focal associada será a data zero. 
Desta forma, como queremos determinar o valor V, devemos atualizar os 
dois pagamentos (C/3 nos momentos 1 e 2), ou seja, devemos levá-los para o 
instante zero. Portanto, temos que: 
V = 
     
2
2044,01
1
.
31044,01
1
.
33
momentooatualizarummomentooatualizar
zeromomento
x
C
x
CC
 
V = 
3
C
.[2,876972053] 
V = 0,958990684 x C ou V = 95,89%.C 
 
 
Ou seja, interessa adquirir o produto à vista por até aproximadamente 
95,9% de seu valor, ou em outras palavras, com um desconto de 
aproximadamente 4,1%. 
 
 
 
Abaixo apresentamos algumas informações pertinentes a nossa disciplina e 
com relação aos aspectos que acabamos de discutir. Tal texto, serve de 
leitura complementar para o que acabamos de discutir na nossa unidade 
introdutória do guia de estudos. 
 
‘ 
 
68 
Matemática Financeira – Unidade 1 
 
LEITURA COMPLEMENTAR 
 
1) Nota Promissória – constitui um dos três tipos de títulos mais usados (os outros dois 
são: duplicata e letra de câmbio); pode ser usada entre pessoas físicas ou, ainda, entre 
pessoas físicas e instituições financeiras. Trata-se de um título de crédito, que 
corresponde a uma promessa de pagamento em que é especificado o valor nominal ou 
quantia a ser paga (que é a dívida inicial, normalmente acrescida de juros), a data de 
vencimento do título (em que a dívida deve ser paga), o nome e a assinatura do devedor, 
o nome do credor e da pessoa que deverá receber a importância a ser paga. 
Estudaremos os três tipos de títulos mais usados mais a frente. 
 
2) Para a Administração Financeira, o objetivo econômico das empresas é a maximização 
de seu valor de mercado a longo prazo, pois, dessa forma estará sendo aumentada a 
riqueza de seus proprietários (acionistas de sociedades por ações ou sócios de outros 
tipos de sociedade). Os proprietários de empresas privadas esperam que seu 
investimento produza