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aula_2 - Matriz escada e mais
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Álgebra Linear Mais matrizes especiaisMais matrizes especiais 2ª aula Matrizes escadasMatrizes escadas Exemplo: 040201000 000200021 100000000 021000000 000110000 040201000 Exemplo: 040201000 000200021 100000000 021000000 000110000 040201000 Mas afinal como reconhecer se uma matriz está ou não em formauma matriz está ou não em forma escalonada? Definição: Matriz escada (ou em forma escalonada) Diz-se que uma matriz Amn está em forma de escada se para toda a linha i = 1, … , m acontecer: • Se a linha i é nula todas as linhas abaixo de i são nulas;nulas; • Se a linha i não é nula e aik é o seu primeiro elemento não nulo, todos os elementos da coluna k abaixo de aik são nulos assim como os elementos das colunas anteriores da linha k para baixo. • Todos os pivôs são iguais a 1; Definição: Matriz em forma de escada (usando notação matemática) Diz-se que uma matriz Amn está em forma de escada se para toda a linha i = 1, … , m acontecer:acontecer: • Se a linha i é nula e p > i a linha p é nula; • Se a linha i não é nula e aik é o seu primeiro elemento não nulo, então aik =1 e para p > i e q k, apq = 0. Definição: pivô Quando uma matriz está em forma de escalonada ao primeiro elemento não nulo de cada linhaelemento não nulo de cada linha chama-se pivô. (numa linha nula não há nenhum pivot) (em cada coluna há no máximo um pivot) matriz em forma escalonada: 1 2 0 0 3 2 1 0 4 0 0 0 1 4 2 3 4 2 0 0 0 1 4 2 3 4 2 0 0 0 0 1 1 1 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Algumas considerações: • As linhas nulas ficam sempre na parte de baixo da matriz • Pode haver colunas nulas em qualquer posiçãoposição • Qualquer linha tem sempre o pivô para a direita dos pivots das linhas acima dela Definição: Matriz condensada (escalonada reduzida por linhas) Diz-se que uma matriz Amn está na forma escada reduzida por linhas se • Está na forma escalonada.• Está na forma escalonada. • Se aik é o pivot da linha i todos os elementos da coluna k acima de aik são nulos. Exemplo de matriz condensada: 040201000 000200021 100000000 021000000 000110000 040201000 Exemplo de matriz condensada: 243201000 401200021 000000000 000000000 201110000 243201000 Qualquer matriz pode ser transformada numa matriz escadatransformada numa matriz escada ou em uma matriz condensada COMO?COMO? Operações elementares sobresobre as linhas de uma matriz Tipos de Operações Elementares 01432 21609 76345 01432 Tipos de Operações Elementares Tipo I: Trocar duas linhas L1 L3 01432 76345 21609L1 L3 21609 76345 01432 76345 Tipos de Operações Elementares Tipo II: Multiplicar uma linha por um escalar não nulo L1 0.5L1 01432 76345 05.025.11L1 0.5L1 21609 76345 21609 76345 Tipos de Operações Elementares Tipo III: Somar a uma linha outra multiplicada por um escalar L2 L2 L2- 0.5L1 01432 75.555.24 01432L2 L2 L2- 0.5L1 21609 76345 21609 75.555.24 Exemplos: 10100 11001 21010 Exemplos: 10100 11001 21010 10100 21010 11001 Exemplos: 10100 11001 21010 10100 21010 11001 Exemplos: 300 000 321 Exemplos: 300 000 321 000 300 321 Exemplos: 300 000 321 000 300 321 A partir de uma matriz podem-se obter várias matrizes em escada,obter várias matrizes em escada, mas uma única matriz condensada Definição: Posto de uma matriz O posto de uma matriz Amn é igual ao número de linhas não nulas numa sua forma escada. (é também igual ao número de(é também igual ao número de colunas que têm um pivô e é igual ao número de pivôs) Representa-se por posto(Amn ) à variável de uma coluna onde não há um pivô cháma-se variável livre. á variável de uma coluna onde há umá variável de uma coluna onde há um pivô cháma-se variável principal ou básica. EXEMPLO: Determinar o posto de: 11001 01110 12101 A 11001 01110 12101 A L L + (-1) LL3 L3 + (-1) L1 11001 01110 12101 A L L + (-1) LL3 L3 + (-1) L1 21100 01110 12101 A 11001 01110 12101 A L L + (-1) LL3 L3 + (-1) L1 21100 01110 12101 A 21100 01110 12101 A A matriz está em forma de escada. Há 3 pivôs A matriz tem característica 3. As colunas principais são as 3 primeiras e as duas últimas são as livres; Determinar o posto de: 4864 101193 2532 0321 A 18411 0530 4864 4420 10230 2110 0321 4864 101193 2532 0321 A 18110 0530 18411 0530 4864 4420 10230 2110 0321 8200 4100 2110 0321 18110 0530 16200 6200 8200 8200 4100 2110 0321 0000 4100 2110 0321 16200 6200 8200 8000 2000 0000 0000 4100 2110 0321 8000 4100 2110 0321 8000 2000 0000 2000 8000 8000 4100 2110 0321 8000 4100 2110 0321 0000 2000 0000 0000 8000 8000 4100 2110 0321 8000 4100 2110 0321 0000 2000 0000 0000 8000 A matriz está em forma escalonada. Há 4 pivôs. O posto da matriz é 4.
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