6.2 Tensão de Cisalhamento Máxima Absoluta

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 - UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE 
ESCOLA DE ENGENHARIA INDUSTRIAL METALÚRGICA DE VOLTA REDONDA 
PROFESSORA: SALETE SOUZA DE OLIVEIRA BUFFONI 
DISCIPLINA: RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
Tensão de Cisalhamento Máxima Absoluta 
 
1- Existem três planos ortogonais nos quais a tensão tangencial é nula. 
 
2- As tensões atuantes (tensões principais) terão três valores: Um máximo, um mínimo e um 
terceiro entre os dois valores. Figura 1. 
 
 
 
Figura 1- Análise do estado geral de tensões. 
Se virmos o elemento em três dimensões, isto é, nos planos y’-z’, x’-z’ e x’-y’, Figuras 2.a, 2.b e 2.c, 
poderemos usar o círculo de Mohr para determinar a tensão de cisalhamento máxima no plano para 
cada caso. 
 
 2 
 
 
 
Figura 2- Elemento em três dimensões. 
 
3- O diâmetro do círculo de Mohr compreende as tensões principais intσ e minσ para o caso 
mostrado na Figura 2.a. Pelo círculo, a tensão de cisalhamento máxima no plano é dada por: 
 ( ) ( ) 2minintmax'z'y σστ −= (1) 
A tensão normal média é dada por: ( )
2
minint
med
σσσ += (2) 
Como apresenta a Figura 2.e. 
 
Figura 2 – Tensão de cisalhamento máxima para a Figura 2.a. 
 3 
O elemento com esses componentes de tensão deve ser orientado a 45º em relação à posição do 
elemento mostrado na Figura 2.a. 
 
Os círculos de Mohr para os elementos das Figuras 2.b e 2.c também foram traçados na Figura 2.d. 
Os elementos com orientação de 45º e sujeitos aos componentes das tensões de cisalhamento 
máxima no plano e normal média são apresentados nas Figuras 2.f e 2.g, respectivamente. 
 
 
Figura 2 – Tensão de cisalhamento máxima para a Figura 2.b e 2.c, respectivamente. 
 
Comparando-se os três círculos da Figura 2.d vê-se que a tensão de cisalhamento máxima absoluta 
será definida pelo círculo que tenha o maior raio, Figura 2.b. Dessa forma tem-se: 
2
minmax
max
abs
σστ −= (3) 
E a tensão normal média associada. 
2
minmax
méd
σσσ += (4) 
 
4- A tensão tangencial máxima, sobre qualquer plano que poderia ser passado através do ponto, 
é a semidiferença entre a tensão principal máxima e mínima e atua sobre planos bissetrizes 
entre os planos das tensões normais máximas e mínimas; 
 
5- Quando existe um estado plano de tensões, uma das tensões principais é nula. Se os valores 
de 1σ e 2σ têm o mesmo sinal, então a terceira tensão principal é zero, 03 =σ . 
 
6- A tensão tangencial máxima pode ser: 
2
21 σσ − 
2
01 −σ ou 
2
02 −σ (5) 
 Dependendo da magnitude relativa e dos sinais das tensões principais. 
 
7- Suponha que o material seja submetido a um estado de tensão plana, tal que as tensões no 
plano sejam representadas como maxσ e intσ , nas direções x’e y’, respectivamente; enquanto 
a tensa fora do plano na direção z’é 0min =σ , Figura 3.a. Os círculos de Mohr que 
descrevem esse estado de tensão para as orientações do elemento em torno de cada eixo de 
coordenadas são mostrados na Figura 3.b 
 
 
 4 
 
 
 
Figura 3 - Elemento submetido a um estado plano de tensão. 
 
Vê-se através da Figura 3 que apesar da tensão de cisalhamento máxima no plano ser ( ) ( ) 2intmaxmax'y'x σστ −= , esse valor não representa a tensão de cisalhamento máxima absoluta à 
qual o material está sujeito. Em vez disso, pela equação (3) , ou pela Figura 3.b, temos: 
( )
22
0 máxmax
max'z'x
max
abs
σσττ =−== (6) 
 
Caso uma das tensões principais tenha o sinal contrário a da outra, as tensões serão 
representadas por maxσ e minσ e a tensão principal fora do plano por 0int =σ . Os círculos de 
Mohr que descrevem, o estado de tensão para as orientações do elemento em torno de cada eixo 
de coordenadas são mostrados na Figura 4.b Neste caso: ( ) ( ) 2minmaxmax'y'x
max
abs σσττ −== (7) 
 
Figura 4 - Elemento submetido a um estado plano de tensão. 
 
 
 5 
Calcular a tensão de cisalhamento máxima absoluta, como ressaltado aqui, é importante quando se 
projetam elementos feitos de material dúctil, visto que a resistência do material depende de sua 
capacidade de suportar a tensão de cisalhamento . 
 
Exercícios: 
1- Em virtude do carregamento aplicado, o elemento no ponto da estrutura da Figura 5.a está 
sujeito ao estado plano de tensões mostrado. Determinar as tensões principais e a tensão de 
cisalhamento máxima absoluta nesse ponto. 
 
Figura 5. Elemento sujeito a um estado plano de tensões. 
Resposta: psi2,31max =σ , 0int =σ , psi2,51min −=σ , psi2,41
max
abs =τ , psi10med −=σ 
 
Figura 5- Resposta do exercício 1. 
 
 
 
 
 
 6 
 
2- O ponto na superfície do vaso de pressão cilíndrico da Figura 6 está submetido a um estado 
plano de tensões. Determinar a tensão de cisalhamento máxima absoluta nesse ponto. 
 
Figura 7 – Vaso de Pressão. 
MPa16
MPa16
méd
max
abs
=
=
σ
τ
 
 
Figura 6- Resposta do Exercício 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 7 
3- Desenhar os três círculos de Mohr que descrevem cada um dos seguintes estados de tensão . 
 
 
Figura 7 – Paralelepípedos de Tensões. 
Respostas: 
a) 0,ksi6 minintmax === σσσ 
b) MPa400MPa50 minintmax −=== σσσ 
c) psi100psi200,psi600 minintmax === σσσ 
d) ksi9ksi7,0 minintmax −=−== σσσ 
e) MPa30minintmax −=== σσσ 
 
Referências Bibliográficas: 
1. BEER, F.P. e JOHNSTON, JR., E.R. Resistência dos Materiais, 3.º Ed., Makron Books, 1995. 
2. Gere, J. M. Mecânica dos Materiais, Editora Thomson Learning 
3. HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3.º Ed., Editora Livros Técnicos e Científicos, 2000. 
 
Observações: 
1- O presente texto é baseado nas referências citadas. 
2- Todas as figuras se encontram nas referências citadas.