7. Relações Material Propriedade

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 - UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE 
ESCOLA DE ENGENHARIA INDUSTRIAL METALÚRGICA DE VOLTA REDONDA 
PROFESSORA: SALETE SOUZA DE OLIVEIRA BUFFONI 
DISCIPLINA: RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
Relações Material Propriedade 
 
Lei de Hooke Generalizada 
 
Supor que o material está sujeito a um estado triaxial de tensões num ponto. 
 
zyx e, σσσ ⇒ zyx e, εεε 
 
As tensões são relacionadas às deformações 
 
1- Relação de Poisson longlat νεε −= 
2- Lei de Hooke aplicada na direção uniaxial 
E
σε = 
3- Princípio da superposição 
 
Figura 1. Aplicação das tensões, superposição. 
 
Deformação normal do elemento na direção x, provocada pela aplicação separada de 
cada tensão normal, Figura 1. 
1- Aplicação de xσ 
 
E
x'
x
σε = (1) 
2- Aplicação de yσ 
E
y''
x
σνε −= (2) 
 2
 
3- Aplicação de zσ 
E
z'''
x
σνε −= (3) 
Forma geral da Lei de Hooke 
 
A superposição das deformações normais fornecem as seguintes equações: 
 
( )[ ]
( )[ ]
( )[ ]yxzz
zxyy
zyxx
E
1
E
1
E
1
σσνσε
σσνσε
σσνσε
+−=
+−=
+−=
 (4) 
Suposições 
1- Material Linear e elástico 
2- Pequenas deformações 
3- Material isotrópico, o elemento permanecerá um bloco retangular quando 
submetido a tensões normais. 
 
Lei de Hooke para Tensão de Cisalhamento 
Se aplicarmos uma tensão de cisalhamento ao elemento, observações experimentais 
indicam que o material se deformará devido somente a uma deformação por 
cisalhamento. 
xzxzyzyzxyxy G
1,
G
1,
G
1 τγτγτγ === (5) 
 
 
 
Figura 2- Aplicação da tensão de cisalhamento 
 3
 
Relação entre E, ν e G 
 
( )ν+= 12
EG (6) 
 
Dilatação e Módulo de compressibilidade 
 
Quando um material é submetido à tensão normal, o seu volume muda. Considere o 
elemento da Figura 3. 
 
 
Figura 3.a. Elemento original. Figura3.b. Elemento após a aplicação da tensão. 
Figura3. 
 
A mudança volume é dada por: ( )( )( ) dxdydzdxdydz111V zyx −+++= εεεδ (7) 
 
Desprezando o produto das deformações, uma vez que são muito pequenos. ( )dxdydzV zyx εεεδ ++= (8) 
A mudança de volume por unidade de volume (Deformação volumétrica ou 
dilatação e) 
zyxdV
Ve εεεδ ++== (9) 
As deformações por cisalhamento não mudam o volume do elemento,mas apenas 
seu formato retangular. 
 
Usando a lei de hooke generalizada definida pelas equações (4), poderemos escrever 
a dilatação em termos da tensão aplicada. 
 
( )zyxE21e σσσν ++−= (10) 
 
Elemento de volume do material submetido à pressão uniforme p 
 
A pressão do corpo é a mesma em todas as direções. Não há tensões de 
cisalhamento uma vez que a resistência de um liquido é nula. 
 4
 
 
Figura 4. 
Dessa forma 
( )ν213
E
e
p
−−= (11) 
O termo da direita da Eq. (11) é chamado de módulo de elasticidade do volume ou 
módulo de compressibilidade. Ele tem as mesmas unidades de tensão e será 
simbolizado pela letra k, isto é: 
( )ν213
Ek −= (12) 
Exercício. 
 
1. A barra de cobre da Figura 5 está submetida a um carregamento uniforme ao 
longo de suas bordas como mostrado. Se ela tiver comprimento a=300 mm, 
largura b=50 mm e espessura t= 20 mm antes de a carga ser aplicada, determinar 
seus novos comprimento, largura e espessura após o carregamento. Adotar Ecu= 
120 GPa, 34,0cu =ν . 
Figura 5. 
Resposta: a’ =302,4 mm, b’ = 49,68 mm, t’ = 19,98 mm 
 
 5
 
Referências Bibliográficas: 
 
1. BEER, F.P. e JOHNSTON, JR., E.R. Resistência dos Materiais, 3.º Ed., Makron Books, 
1995. 
2. Gere, J. M. Mecânica dos Materiais, Editora Thomson Learning 
3. HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3.º Ed., Editora Livros Técnicos e 
Científicos, 2000. 
Observações: 
1- O presente texto é baseado nas referências citadas. 
2- Todas as figuras se encontram nas referências citadas.