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12. Tensões em Vigas - Tópicos Avançados

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Salete Souza de Oliveira Buffoni 1
 - UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE 
ESCOLA DE ENGENHARIA INDUSTRIAL METALÚRGICA DE VOLTA REDONDA 
PROFESSORA: SALETE SOUZA DE OLIVEIRA BUFFONI 
DISCIPLINA: RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
Tensões em Vigas – Tópicos Avançados 
 
Vigas compostas 
 
São as vigas que são fabricadas com mais de um material. 
 
Exemplos: Tubos revestidos com plásticos e vigas de madeira reforçadas com placas de 
aço. Veja a Figura 1. 
 
Figura 1- Exemplo de vigas compostas: (a) viga bi metálica, (b) tubo de aço revestido 
com plástico, (c) Viga de madeira reforçada com uma placa de aço. 
 
Outros tipos de vigas compostas têm sido desenvolvidos nos últimos anos, basicamente 
para economizar material e reduzir peso. 
Salete Souza de Oliveira Buffoni 2
Vigas sanduíche são amplamente utilizadas nas indústrias aeroespaciais e de aviação, 
em que se faz necessário pouco peso com alta resistência e rigidez. 
Uma viga sanduíche típica apresenta-se na Figura 2. 
 
Figura 2 – Vigas sanduíche com (a) Núcleo de plástico (b) Núcleo em forma de colméia 
(c) Núcleo corrugado 
 
A viga sanduíche apresentada na Figura 2, consiste de duas faces finas de material 
relativamente resistente separadas por um núcleo espesso de material leve e pouco 
resistente. Uma vez que as faces estão a maior distância da linha neutra (onde as tensões 
de flexão são maiores), elas funcionam mais ou menos como os flanges de uma viga de 
perfil I. O núcleo serve como um enchimento que serve de sustentação para as faces, 
estabilizando-as contra empenamento e flambagem. 
Plásticos, espumas leves, bem como caixas de papelão e estruturas em formato de 
colméia ou corrugadas são usadas frequentemente como núcleo. 
 
 
 
 
 
Salete Souza de Oliveira Buffoni 3
Tensões e deformações 
As deformações em vigas compostas são determinadas a partir do mesmo 
axioma básico que usamos para encontrar as deformações em vigas de um material, isto 
é, as seções transversais permanecem planas durante a flexão. Esse axioma é válido 
para a flexão pura independente da natureza do material. 
As deformações longitudinais xε variam linearmente do topo até a base da viga, 
como expresso pela eq. Já estudada na aula de flexão e repetida aqui: 
yyx κρε −=−= (1) 
onde y é a distância a partir da linha neutra, ρ é o raio de curvatura e κ é a curvatura. 
Analisando a Figura 3, nota-se que essa viga consiste de duas partes, as quais 
estão colocadas de maneira que permita considera-las como uma única viga sólida. 
Analisando a Figura 3 nota-se que essa viga consiste de duas partes, 
denominadas de 1 e 2 que estão colocadas de maneira que permita considerá-las como 
uma única viga sólida. Como já foi discutido, assume-se que o plano xy é um plano de 
simetria e que o plano xz é o plano neutro da viga. Entretanto, a linha neutra não passa 
pelo centróide da seção transversal, no caso da viga ser composta por dois materiais 
diferentes. 
 
Figura 3 – (a) Viga composta de dois materiais (b) seção transversal da viga (c) 
distribuição de deformações xε ao longo da altura da viga e (d) distribuição de tensões 
xσ na viga para o caso em que 12 EE > . 
Salete Souza de Oliveira Buffoni 4
Se a viga é flexionada com curvatura positiva, as deformações xε , irão variar 
como ilustrado na Figura 3.c, sendo Aε a deformação de compressão no topo da viga, 
Bε a deformação de tração na base e Cε a deformação na superfície de contato dos dois 
materiais . Note que a deformação é zero na linha neutra. 
Denotando-se os módulos de elasticidade para os materiais 1 e 2 como E1 e E2, 
respectivamente, e também assumindo que 12 EE > , obtemos o diagrama de tensão 
ilustrado na Figura 3.d. A tensão no topo da viga é: 
A1A E εσ = (2) 
A tensão de tração na base é: 
B2B E εσ = (3) 
Na superfície de contato, as tensões nos dois materiais são diferentes porque 
seus módulos são diferentes. 
Material 1 C1C1 E εσ = ; Material 2 é C2C2 E εσ = (4) 
Usando a lei de Hooke e equação (1), podemos expressar as tensões normais a 
uma distância y da linha neutra em termos da curvatura: 
yE11x κσ −= ; yE22x κσ −= (5) 
Em que 1xσ é a tensão no material 1 e 2xσ é a tensão no material 2. Com base nessas 
equações, podemos localizar a linha neutra e obter a relação momento-curvatura. 
 
Linha Neutra 
A posição da linha neutra é encontrada a partir da condição de que a força axial 
resultante agindo na seção transversal é zero, consequentemente 
0dAdA
2
2x
1
1x =+ ∫∫ σσ (6) 
Subentendendo-se que a primeira integral é calculada sobre a área de seção 
transversal do material 1 e a segunda integral é calculada sobre a área de seção 
transversal do material 2. Substituindo 1xσ e 2xσ das expressões (5) na expressão (6) 
obtém-se 
0ydAEydAE
2
2
1
1 =−− ∫∫ κκ (7) 
Como a curvatura é constante ao longo de uma dada seção transversal, ela não é 
envolvida nas integrações e pode ser cancelada da equação, assim, 
Salete Souza de Oliveira Buffoni 5
0ydAEydAE
2
2
1
1 =+ ∫∫ (8) 
 
As integrais nessas equações representam os primeiros momentos das duas 
partes da área da seção transversal com respeito à linha neutra. 
Se a seção transversal de uma viga é duplamente simétrica, como no caso de 
uma viga de madeira com placas de cobertura de aço no topo e na base como na Figura 
4, a linha neutra está localizada à meia altura da seção transversal e a equação (8) não é 
necessária. 
 
 
Figura 4- Seção transversal duplamente simétrica. 
Relação momento-curvatura 
A relação momento-curvatura para uma viga composta por dois materiais pode 
ser determinada a partir da condição de que o momento resultante das tensões de flexão 
é igual ao momento fletor M agindo na seção transversal. Seguindo os mesmos passos 
para uma viga de um material. 
 
∫∫
∫∫∫
+=
−−=−=
2
2
2
1
2
1
2
2x
1
1x
A
x
dAyEdAyE
ydAydAydAM
κκ
σσσ
 (9) 
A equação (9) pode ser escrita de forma mais simples 
( )2211 IEIEM +=κ (10) 
Salete Souza de Oliveira Buffoni 6
onde 1I e 2I são os momentos de inércia em relação à linha neutra (o eixo z) das áreas 
de seção transversal dos materiais 1 e 2, respectivamente. Note que 21 III += , sendo 
que I é o momento de inércia de toda a área de seção transversal em relação à linha 
neutra. 
 
A equação (10) pode ser resolvida para a curvatura em termos do momento 
fletor: 
2211 IEIE
M1
+== ρκ (11) 
Essa equação é a relação momento curvatura para uma viga de dois materiais. O 
denominador no lado direito é a rigidez a flexão da viga composta. 
 
Tensões Normais 
As tensões normais (ou tensões de flexão) na viga são obtidas substituindo-se a 
expressão para a curvatura (11) nas expressões para 1xσ e 2xσ das equações (5) 
 
2211
1
1x IEIE
MyE
+−=σ 2211
2
2x IEIE
MyE
+−=σ (12) 
As expressões (12) são conhecidas como fórmulas de flexão para uma viga composta, 
fornecem as tensões normais nos materiais 1 e 2, respectivamente. 
Se os dois materiais têm o mesmo módulo de elasticidade(E1=E2=E), então 
ambas as equações se reduzem à fórmula de flexão para uma viga de um material. 
 
Teoria Aproximada para Flexão de Vigas Sanduíche 
Vigas sanduíche com seções transversais duplamente simétricas e compostas de 
dois materiais elásticos lineares como apresenta a Figura 5. 
 
Podem ser analisadas quanto à flexão usando as equações (11) e (12), como descrito nas 
seções anteriores. 
 
Podemos desenvolver uma teoria aproximada para flexão de vigas sanduíche com a 
introdução de algumas hipóteses simplificadoras. 
Salete Souza de Oliveira Buffoni 7
 
Figura5- Seção transversal de uma viga sanduíche tendo dois eixos de simetria(seção 
transversal duplamente simétrica). 
 
Se o material das faces (material 1) tiver um módulo de elasticidade muito maior 
do que o material do núcleo (material 2), é razoável desconsiderar as tensões normais no 
núcleo e assumir que as faces resistem a todas as tensões de flexão longitudinais. Essa 
suposição é equivalente a dizer que o módulo de elasticidade do núcleo 2E é zero. 
 
A fórmula de flexão para o material 1 e 2 é: 
1
1x I
My−=σ 02x =σ (13) 
A quantidade I1 é o momento de inércia das duas faces calculado com relação à linha 
neutra; dessa forma: 
( )3c31 hh12bI −= (14) 
 onde b é a largura da viga, h é a altura total da viga e ch é a altura do núcleo. 
t2hhc −= (15) 
onde t é a espessura das faces. 
As tensões normais máximas na viga sanduíche ocorrem no topo e na base da 
seção transversal para y=h/2 e –h/2, respectivamente. Dessa forma, da Eq. (13) 
obtemos: 
1
topo I2
Mh−=σ ;
1
base I2
Mh=σ (16) 
Se o momento fletor M é positivo, a face superior está em compressão e a face inferior 
está em tração. 
Salete Souza de Oliveira Buffoni 8
Se as faces são finas comparadas com a espessura do núcleo(isto é, se t é 
pequeno comparado com ch ), podemos desconsiderar as tensões de cisalhamento nas 
faces e considerar que o núcleo suporta todas as tensões de cisalhamento. Sob essas 
condições, a tensão e deformação de cisalhamento média no núcleo são, 
respectivamente., 
c
media bh
V=τ 
cc
media Gbh
V=γ (17) 
Onde V é a força de cisalhamento agindo na seção transversal e cG é o módulo de 
elasticidade de cisalhamento para o material do núcleo.(Embora a tensão de 
cisalhamento máxima e a deformação de cisalhamento máxima sejam maiores do que os 
valores médios, os valores médios são usados com freqüência para fins de 
dimensionamento). 
 
Exercícios: 
1)Uma viga sanduíche com faces de liga de alumínio revestindo um núcleo de plástico 
como apresenta a Figura 6, está submetida a um momento fletor M=3,0 kN.m. A 
espessura das faces é t=5 mm e seu módulo de elasticidade GPa72E1 = . A altura do 
núcleo de plástico é mm150hc = e seu módulo de elasticidade é MPa800E2 = . As 
dimensões totais da viga são h=160 mm e b=200 mm. Determine as tensões de tração e 
compressão máximas nas faces e no núcleo usando (a) A teoria geral para vigas 
compostas e (b) a teoria aproximada para vigas sanduíche. 
 
Figura 6 – Seção transversal de viga sanduíche com faces de liga de alumínio e um 
núcleo de plástico 
Resposta: (a) ( ) MPa0,19max1 ±=σ , ( ) MPa198,0max2 ±=σ (b) ( ) MPa0,20max1 ±=σ 
Salete Souza de Oliveira Buffoni 9
2. Uma viga composta como apresentado na Figura 7 é construída com uma viga de 
madeira (dimensões reais de 4,0 in x 6,0 in)e uma placa de reforço feita de aço(4,0 in. 
de largura 0,5 in. de espessura). Admite-se que a madeira e aço estão perfeitamente 
unidos de forma a se comportarem como uma única viga. A viga está submetida a um 
momento fletor positivo M=60 k-in. Calcule as maiores tensões de tração e compressão 
na madeira (material 1) e as tensões máxima e mínima no aço (material 2) se E1= 1500 
ksi e E2=30000 ksi. 
 
 
Figura 7 – Seção transversal de uma viga composta de madeira e aço. 
 
Obs.: Resolvido no Gere pág. 303 
Resposta: psi1310A1 −=σ , psi251C1 =σ , psi7620B2 =σ , psi5030C2 =σ 
 
Referências Bibliográficas: 
1. BEER, F.P. e JOHNSTON, JR., E.R. Resistência dos Materiais, 3.º Ed., Makron Books, 
1995. 
2. Gere, J. M. Mecânica dos Materiais, Editora Thomson Learning 
3. HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3.º Ed., Editora Livros Técnicos e 
Científicos, 2000. 
Observações: 
1- O presente texto é baseado nas referências citadas. 
2- Todas as figuras se encontram nas referências citadas.

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