Cinemática_duas_e_três_dimensões

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Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Centro de Ciências Exatas e da Terra
Departamento de Física Teórica e Experimental
FIS0311 – Mecânica Clássica
Prof. Matthieu Castro
Cinemática da partícula
Movimento em duas e três dimensões
Vários movimentos da natureza não são unidimensionais. O movimento de uma bola de 
futebol chutada, de um avião no ar, ou de um carro de fórmula 1 em um circuito, são movimentos 
bidimensionais. Para descrever esses movimentos, é necessário estender a descrição do movimento 
estudada no capítulo anterior para duas e três dimensões. As grandezas vetoriais posição, velocidade 
e aceleração têm então duas ou três componentes não nulas. 
Nesse capítulo, vamos também considerar o movimento de uma partícula descrita por 
observadores que possuem movimentos relativos entre si e introduzir o conceito de velocidade 
relativa.
1. Posição e deslocamento
A posição de uma partícula no espaço em um ponto P em um dado instante é dada pelo 
vetor posição r que vai da origem do sistema de coordenadas até o ponto P:
As coordenadas cartesianas x, y e z do ponto P são as componentes de x, y e z do vetor r que 
podemos escrever em termos dos vetores unitários:
r⃗=x i⃗ + y j⃗+ z k⃗ 
Quando a partícula se movimenta no espaço, a sua posição varia, e então o vetor r varia, 
ligando sempre a origem do sistema à partícula nas suas posições sucessivas. Durante um intervalo 
de tempo Δt, a partícula se move de um ponto P1, onde o vetor posição é r1, até um ponto P2, onde o 
x
y
z
P
x
y
z
rk
i
jO
vetor posição é r2. O deslocamento durante esse intervalo de tempo é:
Δ r⃗=r⃗ 2−r⃗1=(x2−x1) i⃗ +( y2− y1) j⃗+(z2− z1) k⃗
Exemplo:
Sejam r⃗1=5 i⃗−3 j⃗+2 k⃗ e r⃗2=8 i⃗ +9 j⃗+2 k⃗ duas posições sucessivas de uma partícula 
durante seu movimento no espaço. Qual é o deslocamento Δr em termos dos vetores unitários?
2. Velocidade
Definimos a velocidade média ⃗̄v do mesmo modo que para o movimento retilíneo: o 
deslocamento dividido pelo intervalo de tempo:
⃗̄v=
r⃗2−r⃗1
t 2−t 1
=Δ r⃗
Δ t
Podemos escrever ⃗̄v em termos dos vetores unitários: ⃗̄v=Δ x
Δt
i⃗ +Δ y
Δ t
j⃗+Δ z
Δ t
k⃗
A velocidade instantânea v é definido como o limite da velocidade média quando o intervalo 
de tempo tende a zero. Ela é a taxa de variação do vetor posição com o tempo:
v⃗= lim
Δ t→0
Δ r⃗
Δ t
=d r⃗
dt
Em termos dos vetores unitários, escrevemos:
v⃗= d
dt
(x i⃗+ y j⃗+z k⃗ )=dx
dt
i⃗ + dy
dt
j⃗+ dz
dt
k⃗
v⃗=vx i⃗ +v y j⃗+vz k⃗ com v x=
dx
dt
;v y=
dy
dt
;v z=
dz
dt
as componentes do vetor v.
x
y
z
P1
r1
O
P2
r2
Δr
v = Δr/Δt
O módulo do vetor v em qualquer instante é a velocidade escalar v da partícula no referido 
instante. Em termos das componentes, a velocidade escalar se escreve:
v=√vx2+v y2+v z2
O vetor v é sempre tangente à trajetória em cada um de seus pontos. 
A figura seguinte mostra a situação para uma partícula se movendo no plano xy. Nesse caso, 
z e vz são nulos. Então, a velocidade escalar é:
v=√vx2+v y2
e a direção do vetor velocidade (instantânea) v é dada pelo ângulo α com o eixo dos x tal que:
tanα=
v y
vx
3. Aceleração
A aceleração de uma partícula indica como a sua velocidade em movimento está variando. 
Como a velocidade é um vetor, a aceleração descreve variações do módulo da velocidade (ou seja, 
da velocidade escalar) e variações da direção da velocidade (ou seja, da direção e do sentido do 
movimento).
Uma partícula se move de um ponto P1 no instante t1 com uma velocidade v1 até um ponto 
P2 no instante t2 com uma velocidade v2. Definimos a aceleração média ⃗̄a da partícula durante o 
intervalo de tempo Δt = t2 - t1:
⃗̄a=
v⃗2− v⃗1
t2−t 1
=Δ v⃗
Δ t
Como no capítulo anterior, a aceleração instantânea a é o limite da aceleração média 
quando Δt tende a zero. Ela é a taxa de variação da velocidade instantânea com o tempo:
a⃗= lim
Δ t→0
Δ v⃗
Δ t
=d v⃗
dt
Quando uma partícula se move ao longo de uma trajetória curvada, sua velocidade muda 
v
vx
vy
x
y
O
α
P
constantemente de direção, por isso, sua aceleração é sempre diferente de zero, mesmo quando sua 
velocidade escalar for constante.
Em termos de vetores unitários, podemos escrever:
a⃗= d
dt
(vx i⃗+v y j⃗+vz k⃗ )=
d vx
dt
i⃗ +
d v y
dt
j⃗+
d vz
dt
k⃗
a⃗=ax i⃗ +ay j⃗+az k⃗ com ax=
d vx
dt
; ay=
d v y
dt
; az=
d vz
dt
as componentes do vetor a⃗
A componente da aceleração paralela à trajetória de uma partícula, ou seja, paralela ao vetor 
velocidade, informa sobre as variações na velocidade escalar da partícula, enquanto a componente 
da aceleração perpendicular à trajetória, ou seja, paralela ao vetor velocidade, informa sobre as 
variações na direção do movimento da partícula.
Exemplos: 
1. A trajetória de um corpo num plano xy é definido por:
x = -0,31t² + 7,2t +28
y = 0,22t² – 9,1t +30
com x e y em metros e t em segundos.
a
ax
ay
x
y
O
P
a
a║
a┴
x
y
O
P
v
a. Quais são o módulo e a orientação do vetor posição r em t = 15 s? 
b. Mesma pergunta em t = 0, 5, 10, 20 e 25 s.
c. Quais são o módulo e a orientação do vetor velocidade v em t = 15 s?
d. Quais são o módulo e a orientação do vetor aceleração a em t = 15 s?
2. Uma partícula tem uma velocidade inicial v0 = -2,0 i + 4,0 j em t = 0 sob a aceleração 
constante a, de módulo a = 3,0 m.s-2, fazendo um ângulo γ = 130º com o semi-eixo positivo 
dos x. Qual é a velocidade v em t = 2,0 s?
4. Movimento de projéteis
Um projétil é qualquer corpo lançado com uma velocidade inicial e que segue uma trajetória 
determinada exclusivamente pela aceleração gravitacional e, caso considerada, pela resistência do 
ar. Começamos com um modelo idealizado, representado o projétil como uma partícula com 
aceleração (devida à gravidade) constante em módulo, direção e sentido. Desprezamos os efeitos da 
resistência do ar e a curvatura e rotação da Terra.
O projétil executa então um movimento bidimensional no plano vertical determinado pela 
direção da velocidade inicial, com a aceleração gravitacional sempre vertical apontando para baixo. 
Podemos analisar o movimento de projétil tratando as coordenadas x e y separadamente. Tanto o 
movimento horizontal quanto o movimento vertical são independentes um do outro. Na direção 
horizontal, a componente x da aceleração é igual a zero, e na direção vertical a componente y é 
constante igual a -g. Podemos então considerar o movimento de um projétil como a combinação de 
um movimento horizontal com velocidade constante e um movimento vertical com aceleração 
constante. O problema bidimensional torna-se dois problemas unidimensionais.
Temos: v⃗0=v0x i⃗+v0y j⃗ com
v0x=v 0cosα0
v0y=v0 senα0
, e. a⃗=−g j⃗
Uma vez que as componentes x e y da aceleração são constantes podemos usar as equações 
de movimento com aceleração constante do capítulo anterior em ambas as direções. Suponhamos 
que no instante t = 0 a partícula esteja em repouso no ponto (x0,y0) e recebe uma velocidade inicial 
com componentes v0x e v0y.As componentes da aceleração são ax = 0 e ay = -g.
Movimento horizontal: ax = 0,
v x=v0x=v0 cosα0
vx permanece constante durante o movimento,
x−x0=v0x t=(v0 cosα0)t
O
y
x
v0
a
trajetória
α0
Movimento vertical: ay = -g,
v y=v0y−g t=(v0 senα0)−g t 
y− y0=v0y t−
1
2
g t2=(v 0 senα0) t−
1
2
g t 2
v y
2=v0y
2 −2g ( y− y0)=v0
2 sen2α0−2g ( y− y0)
A figura seguinte mostra a trajetória de um projétil que começa na origem (x0 = y0 = 0) em 
dado instante t = 0. As componentes da posição da velocidade e da aceleração são indicados para 
intervalos de tempo iguais. A componente x da aceleração é nula, portanto vx éconstante. A 
componente y da aceleração é constante e não nula, de modo que vy varia linearmente com o tempo 
diminuindo no sentido positivo de v0y até zero quando o projétil atinge o ponto mais elevado da sua 
trajetória, e em seguida aumentando no sentido negativo quando o projétil termina a trajetória até o 
chão.
 
A partir da equação do movimento horizontal podemos exprimir o tempo:
t=
x−x0
v0 cosα0
Substituindo na segunda equação do movimento vertical:
y− y0=(x−x0)
senα0
cosα0
−1
2
g( x−x0v0cosα0 )
2
Considerando x0 = y0 = 0, obtemos a equação da trajetória:
y=(tanα0)x−( g2 (v0 cosα0)2 ) x2
Trata-se da equação de uma parábola.
O alcance horizontal R é definido como a distância horizontal percorrida pelo projétil, desde 
o ponto inicial até retornar a esta mesma altura inicial. Podemos então escrever:
x−x0=R e y− y0=0
O
y
x
v0
a
α0
v1
v2
v3
v4
v0y
v0x
v1x
v1y
v2
v3x
v3y
v4x
v4y
Utilizando a equação do movimento vertical, temos: 0=v0 senα0 t−
1
2
g t 2
ou seja, t=
2 v0 senα0
g
.
Substituindo na equação do movimento horizontal: R=v0 cosα0t
ou seja, R=
2v0
2
g
senα0 cosα0
 
R=
vo
2
g
sen 2α0
R atinge o valor máximo quando sen 2α0 = 1, ou seja α0 = 45º.
Exemplo:
Um homem-bala é projetado desde um canhão, 3 m acima do solo, com uma velocidade 
inicial v0 = 26,5 m.s-1 fazendo um ângulo α0 = 53º com a horizontal, por cima de três obstáculos de 
18 m de altura e cai em uma rede de recepção, a 3 m de altura, a uma distância R do ponto inicial. O 
primeiro obstáculo fica a 23 m do canhão e o terceiro obstáculo fica a 23 m do primeiro.
a. Qual é a altura que o homem passa acima do primeiro obstáculo?
b. Qual é a altura que o homem passa acima do segundo obstáculo, sendo a altura máxima 
atingida?
c. Qual é o tempo de voo?
 d. Qual é o alcance R?
5. Movimento circular uniforme
Quando uma partícula se move ao longo de uma trajetória curva, a direção de sua velocidade 
varia em cada instante. Isso significa que a partícula possui uma componente de aceleração 
perpendicular à trajetória, mesmo quando a velocidade escalar for constante.
Uma partícula está em movimento circular uniforme quando ela se move ao longo de uma 
circunferência ou arco de circunferência com velocidade escalar constante. O módulo da 
velocidade não varia, portanto não existe nenhuma componente paralela (tangente) à trajetória. O 
vetor aceleração é então perpendicular (normal) à trajetória e produz variação da direção da 
velocidade.
A figura seguinte mostra a trajetória de uma partícula que se move com velocidade constante 
ao longo de uma circunferência de raio R com centro em O. A partícula se move do ponto P ao 
ponto Q, simétricos em relação a Oy, em um intervalo de tempo Δt.
Como a velocidade escalar é constante durante o movimento, temos: vP = vQ = v
 
Assim, as componentes de vP e vQ são: vPx=+v cosα
v Py=+v senα
e vQx=+vcosα
vQy=−v senα
. 
De P até Q, a distância percorrida é 2αR durante o intervalo de tempo Δt com a velocidade v:
Δ t=2αR
v
As componentes da aceleração média durante a trajetória de P para Q são então:
āx=
vQx−vPx
Δ t
= vcosα−v cosαΔ =0 ,
ā y=
vQy−v Pyx
Δ t
=−v senα−v senαΔ =
−2 v2 senα
2αR
=−( v2R ) ( senαα ) , ⃗̄a y aponta para baixo.
Para determinar a aceleração instantânea, fazemos tender Δt a zero, ou seja α → 0. A 
partícula encontra-se então no ponto S. A direção da aceleração instantânea a⃗ aponta para o 
centro O e a componente em y é dada por:
a y=lim
α→0
−( v2R )( senαα )=− v
2
R
A componente ax sendo igual a zero, temos:
a= v
2
R
Em todo ponto da trajetória, essa aceleração é perpendicular a v e aponta para o centro O. 
Ela e é chamada de aceleração centrípeta.
Podemos expressar o módulo da aceleração em um movimento circular uniforme em termos 
do período T do movimento, o tempo que a partícula leva para percorrer uma volta completa, ou 
seja um comprimento 2πR. Sua velocidade escalar é então:
O
y
x
P
Q
α α
vP
vPx
vPy
vQ
vQx
vQyR
R
S
v=2π R
T
Substituindo na expressão a aceleração centrípeta, obtemos:
a=4π
2 R
T2
Exemplo:
Um satélite está em órbita circular em torno da Terra, a uma altitude h = 200 km. Nessa 
altitude, g = 9,20 m.s-2.
a. Qual é a velocidade escalar v do satélite?
b. Qual é o período da órbita?
6. Movimento relativo
Quando dois observadores medem a velocidade de um objeto em movimento, eles obtêm 
resultados diferentes se um observador se move em relação ao outro. A velocidade medida por um 
dos observadores é relativa ao observador considerado. Inicialmente, estudamos a velocidade 
relativa para um movimento em linha reta e depois generalizamos para a velocidade relativa no 
espaço.
a. Velocidade relativa em uma dimensão
A velocidade de uma partícula depende do referencial ou sistema de referência do 
observador. Um sistema de referência é um sistema de coordenadas acrescido de uma escala de 
tempo.
Consideramos na rua um observador A parado no acostamento e um observador em 
movimento na estrada, ambos medindo a velocidade de um carro P no instante t:
No instante t, a posição de P medida com relação a A é igual à posição de P medida com 
relação a B mais a posição de B medida com relação a A:
xP /A=xP /B+xB /A
Derivando essa expressão, obtemos: d
dt
(xP / A)=
d
dt
(xP /B)+
d
dt
(xB /A)
ou seja,
A
B
P
xP/A
xP/B
xB/A
y y
x
x
v P /Ax=v P /Bx+v B /Ax
A velocidade de P medida com relação a A é igual à velocidade de P medida com relação a B mais 
a velocidade de B medida com relação a A.
Os referenciais que se movem, um em relação ao outro, com velocidade constante, são 
chamados de referenciais inerciais. Assim, se vB/Ax é constante, derivando a expressão das 
velocidades relativas, obtemos:
aP /Ax=aP /Bx
Dois observadores em referenciais inerciais diferentes medem a mesma aceleração para o 
movimento da partícula P. 
Exemplo:
Consideramos uma rua, com um observador A parado no acostamento, um observador B que 
se move com velocidade com relação a A vB/A = 52 km/h para a direita, e uma partícula P que se 
desloca para a esquerda:
a. Se a velocidade escalar de P medida com relação a A é vP/A = 78 km/h, qual é a velocidade 
escalar de P medida com relação a B vP/B?
b. A vê P frear, parando em 10 s. Que aceleração mediu?
c. Que aceleração mediu B?
b. Velocidade relativa em duas e três dimensões
Podemos generalizar o caso unidimensional para o movimento relativo. Sejam dois 
referenciais A e B se movendo um com relação ao outro no espaço, e medindo o movimento de uma 
partícula P:
 
Se vB/A for um vetor constante, os dois referenciais A e B são inerciais. Assim, os eixos Ax e Bx de 
uma parte, e Ay e By de outra parte, se mantém sempre paralelos entre si. Podemos escrever:
A
B
PO x
A
B
P
rP/A
rB/A
rP/B
vB/A
r⃗ P /A= r⃗ P /B+ r⃗ B / A
e derivando em relação ao tempo:
v⃗P /A= v⃗P /B+ v⃗B / A
Derivando de novo:
a⃗P /A= a⃗P /B
Exemplos:
1. Um morcego detecta um insecto enquanto os dois estão voando com velocidades vM/S e vI/S 
em relação ao solo, na maneira seguinte:
com vI/S = 5,0 m.s-1, αI/S = 50º, vM/S = 4,0 m.s-1 e αM/S = 30º
Qual é a velocidade vI/M do insecto em relação ao morcego, em termos dos vetores unitários? 
2. A bússola de um avião indica que ele está alinhado com o leste. O medidor de velocidade do 
ar (ou seja a velocidade do avião com relação ao ar) indica uma velocidade de 215 km/h. 
Vento constante de 65,0 km/h com relação ao solo, sopra na direção Norte.
a. Qual é a velocidade do avião com relação ao solo?
b.O piloto deseja voar para o leste. Qual deverá ser a orientação do avião?
I
y
x
αI/S
vI/S
M
y
x
αM/S
vM/S