Conservação_Energia

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Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Centro de Ciências Exatas e da Terra
Departamento de Física Teórica e Experimental
FIS0311 – Mecânica Clássica
Prof. Matthieu Castro
Conservação da Energia
Quando uma força resultante atua sobre um corpo, ela realiza um trabalho que resulta em
uma variação da energia cinética do corpo. Essa variação da energia cinética não é perdida mas
transferida para uma outra forma de energia.
1. Trabalho e energia potencial
A energia potencial U é uma propriedade associada à configuração de um sistema de um ou
mais corpos. 
Quando você levanta uma carga, você aumenta a distância entre ela e a Terra, que se atraem
mutuamente através da força gravitacional. O trabalho realizado aumenta então a energia potencial
gravitacional do sistema carga-Terra porque mudou sua configuração. Assim, a energia potencial
gravitacional é associada ao estado de separação entre dois ou mais corpos que se atraem através da
força gravitacional.
Quando comprime ou distende uma mola, a posição relativa das espiras é modificada, o que
aumenta a energia potencial elástica da mola. Essa energia potencial é associada ao estado de
compressão ou distensão de um objeto elástico.
Quando um corpo aumenta sua energia potencial, essa energia pode ser facilmente restituída
na forma de energia cinética. Por exemplo, a carga levantada vai ganhar energia cinética caindo. A
extremidade livre da mola também ganha energia cinética voltando ao estado relaxado. Assim, a
energia potencial é armazenada no sistema para ser recuperada posteriormente, é um potencial de
energia.
2. Energia mecânica
Suponha que uma força resultante atua sobre um corpo na direção do movimento. Segundo o
teorema do trabalho-energia cinética, o trabalho dessa força resultante realizado sobre o corpo faz
aumentar a sua energia cinética, aumentando a sua velocidade. Essa energia é transferida de uma
energia potencial armazenada para a energia cinética. No caso da velocidade diminuindo, a energia
é transferida da energia cinética que diminui para ser armazenada na forma de energia potencial.
Nos dois casos, a soma da energia potencial e da energia cinética do corpo é constante. Essa soma
se denomina energia mecânica. 
Quando uma força realizando um trabalho, se a energia é integralmente transferida da
energia potencial para a energia cinética de um sistema, ou inversamente, a energia mecânica total
E do sistema permanece constante, ou seja, ela é conservada.
E=U+K=constante ou ΔU+Δ K=0
Se uma única força F age sobre uma partícula, realizando um trabalho W, pelo teorema do
trabalho-energia cinética, temos:
W=ΔK
Pela conservação da energia mecânica:
ΔU=−W
No caso de uma força variável: ΔU=−W=−∫
x i
x f
F(x )d x
Apenas as variações da energia potencial têm um sentido físico. A energia potencial U(x) de
uma configuração qualquer é sempre calculada em relação a uma configuração de referência U(x0).
U (x )=U (x0)+ΔU=U (x0)−∫
x0
x
F (x )d x
3. Energia potencial gravitacional
Uma bola de massa m está se movendo verticalmente para cima próximo à superfície da
Terra. A força gravitacional exercida pela Terra sobre a bola (o seu peso) realiza um trabalho
(negativo) reduzindo a energia cinética da bola, até que a bola pare momentaneamente. A força
gravitacional continuando a agir para baixo, a bola começa a cair, o peso realizando agora um
trabalho positivo, aumentando a energia cinética e a velocidade da bola.
Quando a bola sobe, sob a ação do trabalho realizado pela força gravitacional, a energia
cinética da bola é então transferida para o sistema bola-Terra, e armazenada na forma de energia
potencial gravitacional. Quando a bola cai, esse potencial de energia armazenada é transferida para
a bola, transformando-se em energia cinética de volta. Quando a bola volta a sua posição inicial, ela
tem a mesma energia cinética do que inicialmente. Durante todo o movimento, a energia mecânica é
conservada.
Consideramos um eixo vertical y apontando para cima. Vamos supor que a bola esteja tão
suficientemente próximo da superfície da Terra que consideramos seu peso constante. A
componente vertical do peso é então Py = -mg. Desejamos achar o trabalho realizado pelo peso
quando o corpo se move de uma altura y1 acima da origem até uma altura y2. O trabalho WP
realizado sobre a bola por seu peso é positivo quando a bola cai (y1 > y2) e negativo quando a bola
sobe (y1 < y2):
W P=P y .( y2− y1)=mgy 1−mgy2
A variação de energia potencial gravitacional devido ao trabalho da força gravitacional escreve-se:
ΔU=−W P=mg( y2− y1)=mgΔ y
Se escolhermos a configuração de referência sendo U(y0) = 0 em y = y0 = 0, então a energia
potencial gravitacional em qualquer altura y é:
U ( y )=mgy
A energia potencial gravitacional depende apenas dos valores inicial e final de y e não da
trajetória do corpo.
Se a força gravitacional é a única a atuar no corpo, então a energia mecânica E do corpo se
escreve:
E=mgy+ 1
2
m v²=constante 
Exemplos:
1) Um bicho-preguiça de 2,0 kg escorrega de um galho e cai no chão, a uma distância de 5,0 m.
a. Qual é a energia potencial gravitacional inicial U0 do bicho se escolher y0 = 0 como (1) o
chão, (2) o piso de uma varanda situada 3,0 m acima do chão, (3) o galho, (4) um ponto
situado 1,0 m acima do galho?
b. Qual é a variação de energia potencial gravitacional do sistema bicho-Terra durante a
queda?
c. Qual é a velocidade do bicho ao tocar o chão?
d. Essa velocidade depende da massa?
2) Um menino desce um tobogã de água ondulado de uma altura h = 8,5 m. Qual é a sua
velocidade ao bater na água?
4. Energia potencial elástica
Quando uma mola é comprimida ou esticada, ela exerce uma força sobre sua extremidade
livre, determinada pela lei de Hooke, que realiza um trabalho para voltar ao estado relaxado.
Considere um bloco de massa m deslizando num plano horizontal sem atrito com uma certa
energia cinética K. A um certo momento, o bloco choca com uma mola ideal sem massa no seu
estado relaxado. Depois de chocar, a mola exerce uma força restauradora sobre o bloco, que perde
velocidade e então energia cinética, até parar momentaneamente. A mola, comprimida, continua
exercendo a força restauradora e começa a voltar ao seu estado relaxado. O bloco se move então no
sentido oposto, ganhando velocidade e energia cinética. Quando está prestes à se separar da mola,
ele tem a mesma energia cinética que na situação inicial, quando chocou a mola.
A energia cinética é então completamente devolvida ao bloco quando volta ao estado inicial.
Essa energia foi armazenada na forma de energia potencial associada ao sistema bloco-mola, e que
é função do estado de compressão da mola.
Quando o bloco está comprimindo a mola, ele perde energia cinética, e o sistema boco-mola
ganha energia potencial elástica. A energia é transferida do bloco para a mola. Quando a mola está
se distendendo, o sistema perde energia potencial elástica e o bloco ganha energia cinética. A
energia é transferida da mola para o bloco.
Considerando que o movimento se faz ao longo do eixo Ox, que a configuração de
referência U(x0) = 0 é o estado relaxado x = 0, e que a única força trabalhando é a força restauradora
Fx(x) = -kx, a energia potencial elástica se escreve:
U (x )=U (x0)−∫
x0
x
F (x)d x=0−∫
0
x
(−kx )d x ou seja
U (x )=−W el=
1
2
k x²
A energia mecânica do sistema bloco-mola se escreve:
E=1
2
k x²+ 1
2
m v²=constante
Exemplos:
1) A mola de uma espingarda, de constante k = 7,5 N/m, é comprimida de uma distância d =
3,2 cm a partir do estado relaxado e uma bala de massa m = 12 g é introduzida no cano.
Qual é a velocidade com que a bala deixa o cano quando a arma é disparada? Consideramos
que não existe atrito e que o cano é mantido horizontal.
2) Um blocode massa m = 1,7 kg desliza em uma surpefície horizontal sem atrito com uma
velocidade v = 2,3 m/s. Ele se choca com uma mola de constante k = 320 N/m.
a. De que distância x a mola é comprimida?
b. Para que valor de x a energia mecânica está dividida igualmente entre a energia potencial
elástica e a energia cinética?
3) Um ioiô humano, de massa m = 61,0 kg, pula de uma ponte 45,0 m acima de um rio. No seu
estado relaxado, a corda, de constante k = 160 N/m, tem um comprimento L = 25,0 m.
a. A que distância h da água os pés da pessoa estão no ponto mais baixo da queda?
b. Qual é a força resultante que age sobre a pessoa no ponto mais baixo?
5. Forças conservativas e forças não-conservativas
Em todos os casos estudados até então, a energia cinética pode ser armazenada na forma de
energia potencial para mais tarde ser recuperada. Essa transferência de energia se faz através do
trabalho realizado por uma força.
Uma força capaz de converter energia cinética em energia potencial e de fazer a conversão
inversa denomina-se força conservativa. A força gravitacional e a força elástica são dois exemplos
de forças conservativas. Outras forças, como a força de atrito e a resistência do ar são forças não-
conservativas. Uma força conservativa pode ser determinada por dois testes que determinam duas
características:
Primeiro teste:
Jogamos uma bola para cima e a pegamos de volta. A trajetória da bola forma um circuito
fechado. A energia fornecida ao sistema bola-Terra é armazenada na forma de energia potencial
gravitacional enquanto a bola está subindo. Enquanto a bola está descendo, a energia armazenada é
integralmente devolvida à bola e transformada na forma de energia cinética. A variação total de
energia potencial do sistema para qualquer circuito fechado deve ser então igual a zero. 
Como ΔU = -W, se ΔU = 0 para qualquer circuito fechado, então o trabalho W realizado pela
força ao longo do circuito fechado é igual a zero.
Uma força é conservativa se o trabalho realizado por ela numa partícula que percorre um
circuito fechado é igual a zero; caso contrário, a força é não-conservativa.
Segundo teste:
Uma partícula se move de um ponto a até um ponto b, percorrendo a trajetória 1, e em
seguida volta para a percorrendo a trajetória 2:
 
 
O circuito é fechado, portanto se a força é conservativa, o trabalho total para ir e voltar é
igual a zero.
W ab ,1+W ba,2=0 ou seja
W ab ,1=−W ba ,2
Se inverter o sentido do movimento ao longo da trajetória 2, o trabalho deve apenas mudar de sinal:
W ab ,2=−W ba ,2
então, temos: W ab ,1=W ab ,2
O trabalho realizado sobre uma partícula por uma força conservativa não depende da trajetória
seguida pela partícula.
Uma força é conservativa se o trabalho realizado por ela sobre uma partícula que se move
de um ponto para outro é o mesmo para todos os caminhos que ligam os dois pontos; caso
contrário, a força é não-conservativa.
Consideramos uma pedra de massa m inicialmente no ponto i. Na trajetória 1, ela é
transportada horizontalmente até o ponto a e levantada verticalmente até o ponto f, situado a uma
altura h. Na trajetória 2, a pedra é transportada diretamente até o ponto f em uma linha reta.
a
b
1
2
i a
f
Trajetória 1
Traje
tória
 2 h
φ
Trajetória 1: trecho ia: o peso não trabalha: WP = 0 
 trecho af: WP = -mgh
→ WP = -mgh
Trajetória 2: trecho if: WP = P.d = mgd cos(180 – φ) = -mgd cos φ
cosϕ=h
d
→ WP = -mgh
Nas duas trajetórias, o trabalho da força conservativa peso é igual.
6. Diagramas de energia
Quando uma partícula se desloca em linha reta sob a ação de uma força conservativa,
podemos inferir diversas possibilidades de movimentos examinando o gráfico da função U(x) da
energia potencial. O trabalho realizado pela força F sobre a partícula enquanto ela se move sobre
um deslocamento infinitesimal Δx é:
W=F̄ (x )Δ x
Assim, ΔU (x )=−W=−F̄ (x)Δ x , ou seja
F̄( x)=−ΔU (x )
Δ x
e no limite quando Δx tende para zero, temos: 
F(x )=−d U (x)
d x
O diagrama de energia é um gráfico que mostra tanto a função da energia potencial U(x)
quanto a energia da partícula sujeita à força que realiza o trabalho.
 
U(J), E(J)
K = 5,0 J
0
3
6
E = 5,0 J
x1 x2 x3 x4 x5
K = 1,0 J
Pontos de retorno: na ausência de forças de atrito, temos:
E=U (x)+K (x ) ou seja K (x)=E−U (x)
A energia mecânica E = 5,0 J é representada pela reta horizontal. A energia cinética K pode ser
calculada para qualquer posição x como a diferença entre a reta que representa E e a curva que
representa U(x). Assim, K = 1,0 J para x > x5, Kmáx = 5,0 J para x = x2 e Kmín = 0 J para x = x1. Como
K é positivo, a partícula não pode entrar em uma região onde a curva U(x) fica acima na reta E,
como a região à esquerda de x1. Se a partícula se movimentar de x2 para x1, K diminui até K = 0 em
x1. Nesse ponto, F > 0 (inclinação negativa da curva U(x)), portanto a partícula não fica parada em
x1, mas começa a se mover de volta para a direita. O ponto x1 é chamado ponto de retorno.
Pontos de equilíbrio:
Se agora a energia mecânica é E = 4,0 J, então para x > x5, K = 0 e F = 0. A partícula fica parada em
x = x5, que é um ponto de equilíbrio neutro.
Se E = 3,0 J, em x = x3, K = 0 e F = 0. A partícula fica parada. Se ele é deslocada ligeiramente em
qualquer sentido, F faz que ela continua se movendo no mesmo sentido se afastando de x3. É um
ponto de equilíbrio instável.
Se E = 1,0 J, em x = x4, K = 0 e F = 0. A partícula permanece indefinidamente, ela não pode se
mover para a direita ou a esquerda. Se ele é deslocada ligeiramente em qualquer sentido, F faz que
ela se desloca de volta para x4. É um ponto de equilíbrio estável.
7. Conservação da energia
Forças não conservativas como o atrito não podem ser representadas em termos de energia
potencial. A força de atrito exercida por um piso sobre um bloco deslizando fá-lo parar. Essa
variação de energia cinética não pode ser recuperada. Ela é transferida de maneira irreversível na
forma de energia térmica, aquecendo o bloco e o piso. Digamos que essa energia é dissipada e a
energia mecânica não é conservada (daí o termo de força não conservativa).
Consideramos uma força de atrito cinético f agindo sobre um bloco em movimento, ligado a
uma mola. A mola é distendida e em seguida liberada. O movimento do bloco vai então apresentar
oscilações em torno da posição relaxada que diminuem gradualmente de amplitude até o bloco
parar. Essa diminuição da energia mecânica do sistema bloco-mola é acompanhada por um aumento
da energia térmica do bloco e do piso. Essa energia térmica é uma forma de energia interna que é
associada ao movimento aleatório dos átomos e moléculas que compõem os corpos. 
Se ΔEint é a variação de energia interna do sistema bloco-piso, calculamos a transformação
da energia mecânica E em energia térmica considerando o sistema bloco-mola-piso. Esse sistema é
isolado, ou seja não troca energia com o exterior, e a energia total do sistema é conservada:
Δ K+ΔU+Δ Eint=0
Lei de conservação da energia: num sistema isolado, a energia pode ser transformada de
uma forma para outra, mas a energia total do sistema permanece constante. Nenhuma exceção
dessa regra foi jamais observada.
Se alguma força externa ao sistema executa um trabalho Wext sobre um ou mais corpos do
sistema, então o sistema não é mais isolado, e sua energia total não é mais conservada. Nesse caso,
o trabalho da força externa faz variar a energia total do sistema:
W ext=Δ K+ΔU+Δ E int
Sempre podemos ampliar o sistema para incluir os elementos externos que trocam energia
com o antigo sistema. Esse novo sistema ampliado passa a ser um sistema isolado e a energia total é
conservada, Wext sendo agora interno.
Por exemplo, consideramos um alpinistasubindo um encosta. Uma parte da energia
bioquímica dos músculos (que é uma forma de energia interna) é convertida em energia potencial
gravitacional e o resto dissipada na forma de energia térmica do corpo do alpinista. Durante a
descida, o alpinista escorrega com velocidade constante ao longo de uma corda que passa por um
freio de metal preso no seu cinto. A energia potencial armazenada durante a subida é convertida em
energia térmica da corda e do freio, que aquecem. O freio evita então que a energia potencial
gravitacional seja transformada em energia cinética do alpinista.
A potência é uma medida da rapidez com que a energia é transformada de uma forma para
outra.
8. Trabalho realizado por forças de atrito
Consideramos um bloco de massa m escorregando num piso horizontal e sujeito a uma força
de atrito cinético constante f (não-conservativa) e uma outra força constante F (conservativa). As
duas forças têm mesma direção e sentido, oposto ao movimento do bloco (considerado positivo).
Consideramos o sistema bloco + força F que não é isolado.
Aplicamos a segunda lei de Newton ao bloco:
∑ F⃗=F⃗+ f⃗ + P⃗+ N⃗=m a⃗
e, na direção horizontal do movimento: −F−f=ma
Como F e f são constante, a aceleração a é constante. Quando o bloco percorre a distância d,
podemos escrever a equação do movimento com aceleração constante:
v f
2=v i
2+2 ad
com vi e vf as velocidades inicial e final antes e depois de percorrer a distância d. A aceleração se
escreve:
a=
v f
2−vi
2
2d
 
Multiplicando por md:
m a d=−Fd−fd=1
2
m v f
2−1
2
m vi
2=Δ K
A força F sendo conservativa, seu trabalho é associado à variação de uma energia potencial:
W F=−Fd=−ΔU
Assim, temos:
−fd=ΔK+ΔU=Δ E
O produto -fd é igual à variação ΔE da energia mecânica do sistema. Como -fd é negativa,
então ΔE é negativo, e a energia mecânica do sistema não isolado diminui em consequência da força
de atrito. Porém, o produto -fd não é igual ao trabalho realizado sobre o bloco pela força de atrito. A
força de atrito sendo externa ao sistema, podemos escrever:
W f=ΔK+ΔU+Δ E int
com ΔEint a variação de energia interna do sistema, ou seja apenas do bloco. 
Vemos que −fd≠W f .
O produto fd é a perda de energia mecânica (energia dissipada pela força de atrito) e Wf é a
parte dessa energia que deixa o sistema (transformando-se em energia interna do piso). A parte que
fica no sistema é transformada em energia interna do bloco.
Por exemplo, um bloco escorrega sobre um plano horizontal com atrito, com uma energia
cinética inicial Ki = 100 J, até parar. Se a variação da sua energia interna devido à ação da força de
atrito é ΔEint = 40 J, então a energia dissipada é:
Δ E=ΔK=−100 J=−fd
e W f=Δ K+Δ Eint=−100+40=−60 J
Assim, 60% da energia dissipada pela força de atrito é transferida do bloco para o piso. Os 40%
restantes aquecem o próprio bloco.
Exemplos:
1) Um bloco de massa m = 6,0 kg parte de uma altura y0 = 8,80 m com uma velocidade inicial
v0 = 7,8 m/s, escorrega para a direita na pista indicada na figura e para quando atinge uma
altura y = 11,1 m acima do chão. Qual é o aumento da energia térmica do bloco e da rampa?
2) Uma bala de aço de massa m = 5,2 g é disparada verticalmente para baixo de uma altura h1 =
18 m com uma velocidade inicial v0 = 14 m/s. A bala penetra no solo arenoso até uma
profundidade h2 = 21 cm.
a. Qual é a variação da energia mecânica da bala?
b. Qual é a variação da energia interna do sistema bala-Terra-areia?
c. Qual é o módulo da força média exercida pela areia sobre a bala?
m
y0
y
v0