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Universidade Federal de Sergipe Centro de Ciências Extas e Tecnológicas Departamento de Física Laboratório de Física A Turma 10 Pêndulo Físico Professor: Marcelo Andrade Grupo: Amadeus Porto Douglas Nunes Glauber Correia Guilherme Novaes Matheus Alves Matheus de Carvalho São Cristóvão – SE 07 de agosto de 2014 Sumário Introdução......................................................................................................03 Objetivos........................................................................................................06 Materiais e Métodos......................................................................................07 Resultados e Discussões................................................................................08 Conclusão......................................................................................................16 Bibliografia....................................................................................................18 Introdução O pêndulo é muito utilizado em estudos da força peso e do movimento oscilatório. A descoberta da periodicidade do movimento pendular foi feita por Galileu Galilei, aproximadamente em 1581, realizou suas primeiras observações do estudo do movimento do pêndulo. Seja um sistema em situação de equilibro estável que, quando este sistema é levemente afastado dessa situação e liberado, passa a executar um movimento periódico ou oscilatório em torno da posição de equilíbrio, chamado de Movimento Harmônico Simples (MHS), se não existirem forças dissipativas. Chama-se Pêndulo Físico, qualquer corpo rígido suspenso por um ponto P, que realiza um movimento oscilatório num plano vertical, em torno de um eixo horizontal passando por P. Os movimentos que se repetem em intervalos regulares ou indefinidamente são chamados de periódicos ou oscilações, e estamos cercados destes movimentos: barcos oscilando no cais, movimento dos pistões nos motores dos carros e as vibrações sonoras produzidas por um clarinete, por exemplo. E é por, isso que as oscilações desempenham um papel fundamental na física (mecânica, óptica, acústica, etc.). Para pequenas oscilações um Pêndulo Físico realiza um movimento periódico. A expressão abaixo mostra que o Período da Oscilação (T) está relacionado como movimento de Inércia (Id) do corpo em relação ao eixo de rotação, à massa total (m) e a distância (d) entre o ponto de suspensão e o centro de massa. O Pêndulo Físico é geralmente usado para medidas precisas da Aceleração da Gravidade (g). A relação do período do pêndulo pode ser usada também para determinar o momento de Inércia de qualquer formato. As demais grandezas devem ser conhecidas ou medidas apropriadamente. O momento de Inércia (Id) em torno de um eixo passando por P, paralelo ao eixo que passa pelo cento de massa que, por sua vez, é perpendicular à peça retangular, é dado pelo Teorema do Eixo Paralelo (Teorema de Huygens-Steiner), cuja equação é: Onde: ICM – momento de Inércia em torno de um eixo perpendicular ao plano do objeto e que passa pelo seu Centro de Massa; m – massa da placa usada; d – distância entre o ponto de apoio e o centro de massa. Portanto, o período do pêndulo simples físico fica determinado em termos das constantes dmg e Id. O momento de inércia I do pêndulo em relação ao ponto de sustentação pode ser calculado utilizando o teorema dos eixos paralelos: A partir da equação do Período da Oscilação (T) a aceleração da gravidade local é: Após o cálculo do período, foi necessário encontrar uma expressão (X) para que fosse exercida sobre o Pêndulo Físico em cada Período de oscilação. Por fim, temos: Onde, É importante notar que o período não depende da massa do pêndulo e que a dependência do período com o eixo de rotação não é por acaso, pois o X tem dois termos cujas dependências com o d são inversas. . Figura 1: Pêndulo Físico Objetivos O objetivo da atividade realizada no laboratório de física foi de estudar o movimento de um pêndulo físico, determinar a dependência entre o movimento de oscilação e o seu eixo de rotação, para isso foi utilizada uma barra metálica com orifícios com diferentes distâncias entre o centro de massa e também de comprovar o valor da gravidade com sua respectiva incerteza, comparar com o valor fornecido e determinar o erro experimental, adotando uma margem de segurança do erro de 10% para mais ou para menos. A fim de um valor mais próximo do real as medidas foram repetidas várias vezes, admitindo os cálculos para o desvio padrão, a incerteza instrumental dos equipamentos utilizados, a incerteza combinada e a propagação de incertezas. Ao término do experimento foi calculado o valor da gravidade e sua respetiva incerteza. Materiais e Métodos Barra metálica com múltiplos orifícios; Suporte; Cronômetro digital; Trena; Transferidor. Primeiramente a balança foi zerada, calculada a incerteza do equipamento e pesada a barra metálica, seguido disso foi calculada a incerteza da trena, medimos a altura e o comprimento da barra e anotamos as medidas em uma tabela. Seguido disso, posicionamos a barra com um dos orifícios preso no suporte e anotamos a distância do eixo de rotação ao centro de massa (que foi analisado anteriormente). Feito isso escolhemos um valor de (no caso o valor escolhido foi de 10º), posicionamos a barra com esse ângulo, soltamos e medimos o tempo de 3 oscilações completas 5 vezes cada medida. Os orifícios em que a barra estava apoiada foram variados, aumentando a distância do orifício ao centro de massa, foi feito para 5 orifícios diferentes, o mesmo procedimento, anotando sempre os valores de 3 oscilações e repetindo 5 vezes a medida do tempo. 4. Resultados e Discussões Fórmulas a utilizadas: Média: = Desvio Padrão: = Desvio padrão da Média: = = Incerteza combinada: = é a incerteza do cronômetro. Determinação das incertezas tipos A e C. Para d = 0,05 Média: =3,88528 Desvio padrão da Média: = = 0,018808333 Incerteza combinada: = = 0,021301488 Para d = 0,10 Média: =2,83330 Desvio padrão da Média: = = 0,040221611 Incerteza combinada: = = 0,041446085 Para d = 0,15 Média: =2,39596 Desvio padrão da Média: = = 0,016588086 Incerteza combinada: = = 0,019369166 Para d = 0,20 Média: =2,11862 Desvio padrão da Média: = = 0,008198378 Incerteza combinada: = = 0,012931102 Para d = 0,25 Média: =2,02798 Desvio padrão da Média: = = 0,011713812 Incerteza combinada: = = 0,015401734 Item 1. Determine T² e X . T² é o quadrado dos valores médios do tempo (T) obtidos no experimento. Para obter T² basta elevar os valores de T(s) ao quadrado Determinando Utilizando-se da derivada parcial para determinar a propagação das incertezas em relação a T², temos: Defina Z = T². Onde é a incerteza combinada. Portanto, = (1). Aplicando-se os valores dados em T (s) e = , na equação (1) obteremos então as respectivas incertezas para T², como está mostrado na Tabela. Para T = 3,88528 s T² = (3,88528 s)² = 15,09540068 s² = 2 3,88528 0,021301488 = 0,165524492 Logo, T² = 15,1 0,2 s². Para T = 2,83330 s T² = (2,83330 s)² = 8,02758889 s² = 2 2,83330 0,041446085 = 0,234858388 Logo, T² = 8,0 0,2 s². Para T = 2,39596 s T² = (2,39596 s)² = 5,74062432 s² = 2 2,39596 0,019369166 = 0,092815493 Logo, T² = 5,74 0,09 s². Para T = 2,11862 s T² = (2,11862 s)² = 4,48855070 s² = 2 2,11862 0,012931102 = 0,054792183 Logo, T² = 4,49 0,05 s². Para T = 2,02798 s T² = (2,02798 s)² = 4,11270288 s² = 2 2,02798 0,015401734 = 0,062468816 Logo, T² = 4,11 0,06 s². X é dado pela expressão X = , Onde é a largura, é a altura da barra e a distancia do eixo de movimento da barra até o centro de massa. e são constantes, onde somente varia. Para determinar utilizamosda derivada parcial para calcular a propagação da incerteza do X. Temos, Onde e tem o mesmo valor que é a incerteza do instrumento, ou seja, a incerteza da trena. Para = 0,05 m. X = = 3,775468 m = 0,036839 m. Logo, X = 3,78 0,04 m. Para = 0,10 m. X = = 1,962734 m = 0,008901 m. Logo, X = 1,963 0,009 m. Para = 0,15 m. X = = 1,391828 m = 0,003733 m. Logo, X = 1,392 0,004 m. Para = 0,20 m. X = = 1,313671 m = 0,001932 m. Logo, X = 1,314 0,002 m. Para = 0,25 m. X = = 0,995094 m = 0,001085 m. Logo, X = 0,995 0,001 m. Item 2. Com as equações T² = e AX+B pode-se então determinar a gravidade. Da igualdade polinomial, temos = AX = A = . Com o valor de A do ajuste linear podemos então encontra . = = 9,99380770221 m/s². Determinando então a incerteza de . Utilizando-se da derivada parcial para calcular a propagação da incerteza, temos. = Onde A é dado no ajuste linear e também. Assim, 0,0351558654875738 = - 0,0889405958516 m/s². Portanto, = 0,09 m/s². Item 3. Temos então que o erro percentual é dado por: Ep = = 2,1472 % Erro dentro da tolerância de 10 %. 5. Conclusão Através dos experimentos de oscilações do pendulo físico, observou-se que para deslocamentos angulares abaixo de 15º, é possível uma aproximação do θ ao senθ e que a massa do pêndulo não interfere no movimento oscilatório. Conclui-se que a alteração da distância do centro de massa ao eixo de rotação (d) implica em variações do movimento periódico da barra de metal, porque o X apresenta dois termos pela qual a dependência ao (d) são inversas. Para pequenos (d) foram observados grandes variações no período, como observado no gráfico abaixo. Por este motivo o experimento foi realizado com distâncias de 0,05m a 0,25m, em intervalos de 0,05m. Por fim, concluímos que o pendulo físico realmente é útil para calcular a constante gravitacional local. Através da equação T² e com os resultados do experimento, que foram apresentados na tabela, foi possível encontrar o valor da gravidade no momento do experimento em laboratório, que foi de 9,99 0,09 m/s². Para um parâmetro da constante gravitacional, foi adotado 9,78 m/s², e desta maneira o resultado experimental apresentou um erro percentual de 2,1472%, que é menor que a tolerância de 10%. Portanto, o valor apresentado está dentre o tolerado, ou seja, é valido. sofridos com o passar do tempo, ou devido a imprecisões na fabricação do objeto. Como o dado foi girando entre uma medida e outra, nem sempre medimos o mesmo ponto. 6. Bibliografia HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jaerl. Fundamentos de física, volume I: mecânica. Tradução e revisão técnica Ronaldo Sergio de Biasi. 8 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008. TRIPLER, Paul A.; MOSCA, Gene. Física, para cientistas e engenheiros, volume I. Tradução e revisão Paulo Machado Mors. 6 ed. LTC.
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