Limites de Funções Reais

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Matemática Essencial
Limites de Funções Reais
Departamento de Matemática - UEL - 2010
Ulysses Sodré
http://www.mat.uel.br/matessencial/
Conteúdo
1 Comparações entre sequências e funções reais 1
2 Limites 3
3 Limites laterais 4
4 Calculando limites 4
5 Limites Fundamentais 5
6 Regras para cálculos de limites de funções 7
7 Funções contínuas 8
‘Porque, se com a tua boca confessares a Jesus como Senhor, e em teu coração creres que Deus
o ressuscitou dentre os mortos, serás salvo.’ A Bíblia Sagrada, Romanos 10:9
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Arquivo: limites.tex - Londrina-PR,25 de Maio de 2010.
Seção 1 Comparações entre sequências e funções reais 1
1 Comparações entre sequências e funções reais
Vamos comparar alguns cálculos com limites entre funções de variáveis
discretas e funções de variáveis contínuas.
1. Seja a sequência f (n)= 1
n
, com imagemC = {1,1/2,1/3,1/4, ...,1/n, ...}.
Quanto maiores são os valores de n, menores são os valores f (n)= 1
n
,
assim, quando n tende a∞, o valor de f (n)= 1
n
se aproxima de 0 e nós
escrevemos
lim
n→∞
1
n
= 0
assim, quando n se aproxima de∞, o limite de f (n)= 1
n
é igual a 0.
Figura 1: Gráficos das funções f (n)= 1
n
e f (x)= 1
x
2. Seja a função de variável contínua f (x) = 1
x
definida para todo x > 0.
Tomando valores de x cada vez maiores, os valores de f (x) = 1
x
se
aproximam de 0, e escrevemos
lim
x→∞
1
x
= 0
logo, quando x se aproxima de∞, o limite de f (x)= 1
x
é igual a 0.
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Seção 1 Comparações entre sequências e funções reais 2
3. Seja a sequência f (n)= 1
2n−1
, com imagemC = {1,1/2,1/4,1/8, ...,1/2n, ...}.
Quanto maiores são os valores de n, menores são os valores de
1
2n−1
,
assim, quando n tende a∞, o valor de f (n)= 1
2n−1
se aproxima de 0 e
nós escrevemos
lim
n→∞
1
2n−1
= 0
Figura 2: Gráficos das funções f (n)= 1
2n−1
e f (x)= 1
2x−1
4. Seja a função de variável contínua f (x)= 1
2x−1
definida para todo x ∈R.
Tomando valores de x cada vez maiores, a expressão
1
2x−1
se aproxima
de 0, e escrevemos
lim
x→∞
1
2x−1
= 0
assim, quando x tende a∞, o limite de f (x)= 1
2x−1
é igual a 0.
5. Seja a sequência f (n)= n
n+1 com imagemD = {1/2,2/3, ...,n/(n+1), ...}.
Quanto maiores os valores de n, mais próximos de 1 estão os valores
das frações
n
n+1. Assim, quando n tende a ∞, f (n) =
n
n+1 se
aproxima de 1 e escrevemos
lim
n→∞
n
n+1 = 1
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Seção 2 Limites 3
Figura 3: Gráficos das funções f (n)= n
n+1 e f (x)=
x
x+1
6. Seja agora uma função de variável contínua f (x)= x
x+1, definida para
todo x > 0. Tomando valores de x cada vez maiores, os valores de
f (x)= x
x+1 se aproximam de 1, e escrevemos
lim
x→∞
x
x+1 = 1
logo, quando x se aproxima de∞, o limite de f = f (x) é igual a 1.
2 Limites
1. Seja f = f (x) uma função com domínio D ⊂ R e um ponto a ∈ R, que
pode estar no domínioD =Dom( f ) ou não.
2. Calcular o limite da função f = f (x) em um ponto x = a é estudar o
quanto a função f = f (x) se aproxima de um valor L quando x ∈D se
aproxima de a.
3. Quando os valores de x são tomados cada vez mais próximos de a
esperamos que os valores de f (x) fiquem mais próximos de um valor
L muito bem definido (que não pode ser o infinito).
4. O que significa um número x estar próximo de outro número y? Basta
definir a distância d = d(x, y) entre x e y e observar que quando esta
distância é muito pequena, os objetos x e y devem estar próximos.
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Seção 3 Limites laterais 4
5. Definição: Dizemos que o limite de f = f (x) é igual a L, quando x
se aproxima de a, se para cada distância dL > 0 (na reta vertical),
por menor que seja, existe uma pequena distância d > 0 (na reta
horizontal) tal que se |x−a| < d implica que | f (x)−L| < dL.
6. Quando este limite existe, denotamos o mesmo por:
lim
x→a f (x)= L
isto é, tomando valores de x cada vez mais próximos de a, as imagens
de f em cada x, produzem valores f (x) cada vez mais próximos de L.
3 Limites laterais
1. Para analisar se uma função possui limite em um ponto x = a, de-
vemos estudar dois tipos de limites laterais: pela esquerda do ponto
x = a e pela direita do ponto x = a.
2. Calculamos estes dois limites laterais, pois a função pode ter um
comportamento quando os valores de x são menores do que a e outro
comportamento quando os valores de x são maiores do que a.
3. Entendemos que x se aproxima a, quando a aproximação ocorre tanto
pela esquerda como pela direita do ponto a. A aproximação pela
direita ocorre quando x > a e pela esquerda ocorre quando x < a.
4. Uma função f = f (x) tem limite no ponto x = a, se f = f (x) tem limite
pela direita de x = a, se f = f (x) tem limite pela esquerda de x = a e os
dois limites laterais são iguais.
5. Se em um ponto x = a, uma função f = f (x) tem um limite lateral pela
esquerda Le que é diferente do limite lateral pela direita Ld , dizemos
que a função não possui limite no ponto x = a.
4 Calculando limites
1. Para calcular limites de funções ‘elementares’ em x = a, basta substi-
tuir a variável x pelo valor de a, usando os lemas e regras para calcular
limites.
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Seção 5 Limites Fundamentais 5
Exemplo: Se f (x)= x2+4x+2, então
lim
x→2
f (x)= lim
x→2
[x2+4x+2]= [22+4(2)+2]= 14
2. Para calcular limites de funções mais complexas, em um ponto x = a,
devemos usar simplificações, propriedades matemáticas e regras para
cálculos de limites, além de tomar cuidado com os limites laterais.
5 Limites Fundamentais
1. Existem alguns limites de funções reais difíceis de calcular, que são
úteis nas ciências. Aqui estão alguns deles com os seus valores.
(a) lim
h→0
sin(h)
h
= 1 (b) lim
h→0
eh−1
h
= 1 (c) lim
h→0
1−cos(h)
h2
= 1
2
2. Exemplos: Limites laterais de funções.
(a) Seja
f (x)=
{
x2+1 se x ≤ 1
3−x se x > 1
Figura 4: Função definida por duas partes coincidindo em x = 1
(b) Para calcular o limite lim
x→1
f (x), primeiro devemos calcular o limite
pela esquerda (operar com a parte esquerda do gráfico) para obter
lim
x→1−
f (x)= lim
x→1−
(x2+1)= 2
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Seção 5 Limites Fundamentais 6
agora, devemos calcular o limite pela direita (operar com a parte
direita do gráfico) para obter
lim
x→1+
f (x)= lim
x→1+
(3−x)= 2
Como em x = 1, os dois limites laterais são iguais a L = 2, e a
função f = f (x) possui limite L = 2 no ponto x = 1.
(c) Seja agora
f (x)=
{
x2+5 se x ≤ 1
3−x se x > 1
Figura 5: Função definida por duas partes coincidindo em x = 1
(d) Para calcular o limite lim
x→1
f (x), primeiro devemos calcular o limite
pela esquerda (operar com a parte esquerda do gráfico) para obter
lim
x→1−
f (x)= lim
x→1−
(x2+5)= 6
agora, devemos calcular o limite pela direita (operar com a parte
direita do gráfico) para obter
lim
x→1+
f (x)= lim
x→1+
(3−x)= 2
Como em x = 1 os limites laterais são diferentes, a função f = f (x)
não possui limite no ponto x = 1.
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Seção 6 Regras para cálculos de limites de funções 7
3. Exemplos especiais: A função real definida por(a) f (x)= 5 possui limites em todos os pontos x ∈R.
(b) f (x)=−3x+5 possui limites em todos os pontos x ∈R.
(c) f (x)= 2x2+4x−7 possui limites em todos os pontos x ∈R.
(d) f (x)= ax sendo (a > 0,a 6= 1) possui limites em todo x ∈R.
(e) f (x)= logb(x) sendo (b > 0,b 6= 1) possui limites para todo x > 0.
(f) f (x)= 3sin(x) possui limites em todos os pontos x ∈R.
(g) f (x)=−2cos(x) possui limites em todos os pontos x ∈R.
(h) pedaços como
f (x)=

x+1 se x > 0
0 se x = 0
x−1 se x < 0
não possui limite no ponto x = 0.
(i) pedaços como
f (x)=
{
2x+1 se x > 0
x+1 se x ≤ 0
possui limite no ponto x = 0.
(j) f (x)= tan(x) não possui limites nos pontos x =−pi/2 e x =pi/2.
4. Se p = p(x) e q = q(x) são funções polinomiais contínuas nos seus
domínios, uma função racional é da forma f (x)= p(x)/q(x) se q(x) 6= 0.
5. Nota: Possuem limites em todos os pontos dos seus domínios, as
funções: polinomiais, racionais, trigonométricas sin(.) e cos(.), expo-
nenciais a(.), logarítmicas log(.), radicais de funções que tem limites.
6 Regras para cálculos de limites de funções
Se c ∈R e existem os limites das funções f = f (x) e g = g (x) no ponto x = a,
isto é, lim
x→a f (x)= A, e limx→a g (x)=B , então, valem as afirmações:
1. lim
x→a[ f (x)+ g (x)]= limx→a f (x)+ limx→a g (x)= A+B
2. lim
x→a[c f (x)]= c · limx→a f (x)= c.A
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Seção 7 Funções contínuas 8
3. lim
x→a[ f (x).g (x)]= limx→a f (x) · limx→a g (x)= A.B
4. lim
x→a[ f (x)÷ g (x)]= limx→a f (x)÷ limx→a g (x)= A÷B
Exemplo: Se f (x)= x2+5x+6, g (x)= 3x+1, c = 10 e a = 1, então
lim
x→1
[ f (x)+ g (x)]= [lim
x→1
f (x)]+ [lim
x→1
g (x)]
= [lim
x→1
x2+5x+6]+ [lim
x→1
3x+1]
= 12+4= 16
lim
x→1
[ f (x)− g (x)]= [lim
x→1
f (x)]− [lim
x→1
g (x)]
= [lim
x→1
x2+5x+6]− [lim
x→1
3x+1]
= 12−4= 8
lim
x→1
c f (x)]= 10lim
x→1
x2+5x+6
= 10×12= 120
lim
x→1
[ f (x)× g (x)]= [lim
x→1
f (x)]× [lim
x→1
g (x)]
= [lim
x→1
x2+5x+6]× [lim
x→1
3x+1]
= 12×4= 48
lim
x→1
[ f (x)÷ g (x)]= lim
x→1
f (x)÷ lim
x→1
g (x)
= [lim
x→1
x2+5x+6]÷ [lim
x→1
3x+1]
= 12÷4= 3
7 Funções contínuas
1. Uma função f = f (x) é contínua em x = a, se a ∈Dom( f ) e além disso
lim
x→a f (x)= f (a)
2. Limite versus continuidade: Existe diferença entre, uma função ter
limite no ponto x = a e ser contínua no ponto x = a. Para que f = f (x)
seja contínua no ponto x = a, este ponto deve estar no domínio da
função e além disso, o limite calculado deve ser exatamente L = f (a).
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Seção 7 Funções contínuas 9
3. Este fato significa que todo o estudo anterior acerca de limites, pode
ser quase que totalmente repetido aqui, mas deve ser dada atenção
especial à observação sobre a diferença entre limite e continuidade.
4. Dizemos que a função f = f (x) é contínua em um intervalo I da reta ,
se f = f (x) é contínua em todos os pontos x ∈ I .
5. Nota: Ummodo grosseiro de visualizar uma função contínua é quando
o domínio é um intervalo e o seu gráfico é traçado sem interrupção.
6. Exemplos sobre continuidade: A função real definida por
(a) f (x)= 5 é contínua em todos os pontos x ∈R.
(b) f (x)=−3x+5 é contínua em todos os pontos x ∈R.
(c) f (x)= 2x2+4x−7 é contínua em todos os pontos x ∈R.
(d) f (x)= 2ex é contínua em todos os pontos x ∈R.
(e) f (x)= 3sin(x) é contínua em todos os pontos x ∈R.
(f) f (x)=−2cos(x) é contínua em todos os pontos x ∈R.
(g) pedaços como
f (x)=

x+1 se x > 0
0 se x = 0
x−1 se x < 0
não é contínua no ponto x = 0, mas é contínua se x > 0 e se x < 0.
(h) pedaços como
f (x)=
{
2x+1 se x > 0
x+1 se x ≤ 0
é contínua em todos os pontos x ∈R.
(i) f (x)= tan(x) é contínua no intervalo (−pi/2,pi/2).
7. Observação: Funções contínuas especiais são as: polinomiais, racionais,
as trigonométricas sin(.) e cos(.), exponenciais a(.), logarítmicas logb(.),
radicais de funções contínuas, nos seus domínios de definição.
8. Lema 1: Se uma função g = g (x) é contínua e lim
x→a f (x)= L, então
lim
x→a g ( f (x))= g (limx→a f (x)= g (L)
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Seção 7 Funções contínuas 10
9. Exemplo: Sejam f (x) = 3x +1 e g (u) = u7 funções contínuas em seus
domínios. Assim, pelo Lema 1, (g ◦ f )(x)= (3x+1)7 e temos que
lim
x→1
(g ◦ f )(x)= lim
x→1
(3x+1)7 =
(
lim
x→1
(3x+1)
)7 = 47
10. Lema 2: Se g = g (x) e f = f (x) são funções contínuas em seus
domínios, e a composição g ◦ f está bem definida, então g ◦ f é
contínua, e além disso,
lim
x→a g ( f (x))= g (limx→a f (x)= g ( f (a))
11. Exemplo: Sejam f (x)= 3x+1 e g (u)=pu funções contínuas em seus
domínios. Assim, pelo Lema 2, (g ◦ f )(x)=p3x+1 e temos que
lim
x→1
(g ◦ f )(x)= lim
x→1
p
3x+1=
√
lim
x→1
(3x+1)=p4= 2
12. Duas identidades importantes: Para o próximo exercício:
sin(x+h)≡sin(x)cos(h)+ sin(h)cos(x)
cos(x+h)≡cos(x)cos(h)− sin(h)sin(x)
Exercício: Para cada função dada, calcular o limite do quociente deNewton
lim
h→0
f (x+h)− f (x)
h
. Dicas: (1) Desenvolver o numerador, (2) simplificar o
numerador, (3) simplificar a fração resultante e (4) calcular o limite.
1. f (x)= 3
2. f (x)=C constante
3. f (x)= 2x+3
4. f (x)= ax+b
5. f (x)= 3x2+7x+8
6. f (x)= ax2+bx+ c
7. f (x)= (x−2)(x−3)
8. f (x)= (x−a)(x−b)
9. f (x)= sin(x)
10. f (x)= 7sin(x)
11. f (x)= cos(x)
12. f (x)= (−4)cos(x)
13. f (x)= ex
14. f (x)= 3ex
15. f (x)= sin(x)+2x3
16. f (x)= 2+3x+5ex
17. f (x)= ax3+bx2+d
18. f (x)= ax4+bx2+ c
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