Diferenciabilidade e Integração

Prévia do material em texto

Cálculo Diferencial e Integral
Tania Nunes Rabello
18 de agosto de 2012
2
Sumário
1 Introdução 1
2 Funções reais de variável real 3
2.1 Operações com funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Função composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Função inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4 Paridade e periodicidade de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.5 Funções Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.5.1 Lista de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.6 Limite de função de uma variável . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.6.1 Lista de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.6.2 Operações com limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.6.3 Limites laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.6.4 Limites infinitos e limites no infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.6.5 Lista de exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.7 Continuidade de função de uma variável real . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.7.1 Lista de exercícos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3 Diferenciabilidade de função de uma variável 41
3.1 Derivabilidade e diferenciabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.1.1 Lista de exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.1.2 Derivada de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2 A aplicação da derivada ao estudo da variação de funções. . . . . . . . . . 52
3.2.1 Estudo de máximos e mínimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2.2 Lista de exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2.3 Concavidade e pontos de inflexão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2.4 Assíntotas e regras de l’Hôpital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.3 Fórmula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.3.1 Lista de exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4 Integral de Riemann 75
4.1 Primitiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.1.1 Lista de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3
4 SUMÁRIO
4.2 Funções Riemann integráveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.2.1 Lista de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.3 Métodos de Integração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.4 Aplicações da integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.4.1 Área em coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.4.2 Área em coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.4.3 Volume de sólido de revolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.4.4 Comprimento de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.4.5 Área lateral de sólido de revolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.4.6 Lista de exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5 Introdução 1
6 Noções de topologia do Rn 3
6.0.7 Lista de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
7 Funções vetoriais de variável real 7
7.0.8 Limite de funções vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
7.0.9 Derivada de funções vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
7.0.10 Integral de funções vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
7.0.11 Lista de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8 Campos escalares 19
8.1 Limite de campos escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8.1.1 Lista de exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
8.2 Continuidade de campos escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
8.2.1 Lista de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
9 Cálculo Diferencial de Campos Escalares 35
9.1 Derivada direcional e derivada parcial de campo escalar . . . . . . . . . . . 35
9.2 Derivadas parciais de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
9.2.1 Lista de exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
9.3 Diferenciabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
9.3.1 Lista de exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
9.4 Diferenciabilidade de campos compostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
9.4.1 Lista de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
9.5 Conjuntos de nível e planos tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
9.5.1 Lista de exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
9.6 Fórmula de Taylor para funções de várias variáveis . . . . . . . . . . . . . 80
9.7 Máximos, mínimos e pontos de sela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
9.7.1 Lista de exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
9.8 Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
9.8.1 Lista de exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
SUMÁRIO i
10 Integral dupla 119
10.1 Integral Iterada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
10.2 Integrais duplas sobre regiões compactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
10.2.1 Lista de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
10.3 Mudança de variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
10.3.1 Lista de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
ii SUMÁRIO
Capítulo 1
Introdução
O objeto de estudo desta primeira parte do curso são as funções reais de variável real.
Estudaremos nesta disciplina os conceitos de limite, continuidade, derivabilidade e inte-
grabilidade de funções reais de uma variável real.
O conceito de derivada de uma função num ponto está relacionado com a taxa de vari-
ação desta função num determinado instante, por exemplo, a velocidade de uma partícula
em cada instante t. Para o estudo da derivada de uma função faz-se necessário o estudo
de limite.
O conceito de primitiva está relacionado com o conceito de derivada. Alguns autores
denominam a primitiva de uma função de anti-derivada, pois a primitiva de uma função
f, num intervalo (a, b), quando existe, é uma função F derivável em (a, b) , cuja derivada
é f.
Ao final deste curso o aluno deverá ter uma compreensão clara do conceito de limite
que é fundamental no estudo do Cálculo, ser capaz de avaliar a existência de limite de
uma função num ponto, trabalhando com as propriedades de limite, ser capaz de analisar
a derivabilidade de uma função num ponto, calculando sua derivada, determinar máximos
e mínimos locais e absolutos de uma função e finalmente ser capaz de calcular integrais e
primitivas de funções, utilizando os diversos métodos de integração.
1
2 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
Capítulo 2
Funções reais de variável real
Como já dissemos as funções reais de variável real são o objeto de estudo do Cálculo,
mas como este tópico faz parte do ensino médio, faremos uma breve recordação de alguns
conceitos e deixaremos uma lista de exercícios para uma recordação de suas principais
propriedades.
Definição 2.1 Sejam X e Y conjuntos não vazios. Uma função de X em Y é uma regra
que a cada elemento x ∈ X associa um único elemento y ∈ Y. Denotada da seguinte
maneira,
f : X → Y
x �→ y = f(x).
Neste caso dizemos que X é o domínio de f e o denotamos por Df , enquanto que Y é o
seu contradomínio. Ainda y = f(x) é a imagem do elemento x pela função f.Alguns conjuntos são importantes na definição de função além do domínio e con-
tradomínio, a saber:
Im f = {f(x); x ∈ X},
Gf = {(x, y) ∈ X × Y ; y = f(x)}.
Os conjuntos acima são denominados, respectivamente, imagem de f e gráfico de f.
Nota 2.2 Uma função real de uma variável real é uma função cujo domínio e con-
tradomínio são subconjuntos de R.
3
4 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
Exemplo 2.3 f(x) = 1. Então Df = R e Im f = {1}. E seu gráfico:
Exemplo 2.4 f(x) = x2. Então Df = R e Im f = [0,∞). E seu gráfico:
Exemplo 2.5 f(x) =
√
x− 1. Então Df = [1,∞) e Im f = [0,∞). E seu gráfico:
5
Exemplo 2.6 f(x) =
1
x
. Então Df = R\{0} = Im f, cujo gráfico é:
Exemplo 2.7 f(x) = ln x. Então Df = (0,+∞), Im f = R e cujo gráfico é:
Definição 2.8 Sejam f : Df → R e g : Dg → R funções reais de variável real. Dizemos
que f = g se e somente se Df = Dg = D e f(x) = g(x), ∀x ∈ D.
Definição 2.9 Sejam f : Df → R e A ⊂ Df . Definimos a restrição de f ao conjunto A,
denotada por f |A da seguinte forma f |A : A→ R, tal que f |A (x) = f (x) , ∀x ∈ A.
Nota 2.10 Assim, o domínio de f |A é A, diferentemente do domínio de f que é Df .
Definição 2.11 Seja f : Df → R, dizemos que f é limitada quando Im f é um subcon-
junto limitado de R. Ou seja, se existem m,M ∈ R tais que
m ≤ f (x) ≤M, ∀x ∈ Df .
Ou equivalentemente, se existe K > 0 tal que
|f (x)| ≤ K,∀x ∈ Df .
6 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
Definição 2.12 Seja f : Df → R.
a) Dizemos que f é estritamente crescente quando, para todo x, y ∈ Df com x < y,
tem-se que f (x) < f (y) .
b) Dizemos que f é crescente quando, para todo x, y ∈ Df com x < y, tem-se que
f (x) ≤ f (y) .
c) Dizemos que f é estritamente decrescente quando, para todo x, y ∈ Df com
x < y, tem-se que f (x) > f (y) .
d) Dizemos que f é decrescente quando, para todo x, y ∈ Df com x < y, tem-se que
f (x) ≥ f (y) .
Nota 2.13 Quando uma função f satisfaz uma das definições acima, dizemos que f é
monótona.
Exemplo 2.14 Seja f : R→ R, f (x) = x+1. Então f é monótona pois f é estritamente
crescente, já que ∀x, y ∈ R com x < y, tem-se que x+ 1 < y + 1 ⇒ f (x) < f (y) .
Exemplo 2.15 Seja f : (0,+∞) → R, f (x) = 1
x
. Então f é monótona pois f é estrita-
mente decrescente, já que ∀x, y ∈ (0,+∞) com x < y, tem-se que 1
x
>
1
y
⇒ f (x) > f (y) .
Exemplo 2.16 Seja f : R → R, f (x) =
{
1; x < 0
1
x+ 1
x ≥ 0 . Tal função é decrescente,
pois ∀x, y ∈ R com x < y < 0 tem-se que f (x) = f (y) e ∀x, y ∈ R com 0 ≤ x < y, tem-se
que x+ 1 < y + 1 ⇒ 1
x+ 1
>
1
y + 1
⇒ f (x) > f (y) . Logo, ∀x, y ∈ R com x < y, tem-se
que f (x) ≥ f (y) .
2.1 Operações com funções
Consideraremos nesta seção apenas funções reais de uma variável real. Portanto o con-
tradomínio será sempre R e o domínio um subconjunto de R, que será denotado por Df
para uma determinada função f.
Definição 2.17 Sejam f, g funções reais de uma variável real tais que Df ∩ Dg �= ∅ e
k ∈ R. Assim definimos:
a) f + g : Df ∩Dg → R; tal que (f + g) (x) = f (x) + g (x) ,
b) fg : Df ∩Dg → R; tal que (fg) (x) = f (x) g (x) ,
c)
f
g
: {x ∈ Df ∩Dg; g(x) �= 0} → R; tal que
(
f
g
)
(x) =
f (x)
g (x)
,
d) kf : Df → R; tal que (kf) (x) = kf (x) .
2.1. OPERAÇÕES COM FUNÇÕES 7
Exemplo 2.18 Considere f : (−∞, 5] → R, g : (1,∞) → R definidas, respectivamente
por f(x) =
√
5 − x e g(x) = ln(x− 1). Assim,
Df+g = (1, 5] e (f + g) (x) =
√
5 − x+ ln(x− 1),
Dfg = (1, 5] e (fg) (x) =
√
5 − x ln(x− 1),
Df
g
= (1, 2) ∪ (2, 5] e
(
f
g
)
(x) =
√
5 − x
ln(x− 1) .
Vejamos os gráfico de f, g, f + g, fg e
f
g
:
Em marrom o gráfico de f e em verde o gráfico de g
Gráfico de f + g
8 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
Gráfico de fg
Gráfico de
f
g
2.2 Função composta
Definição 2.19 Sejam f, g funções reais de uma variável real tais que Dg ∩ Im f �= φ.
Definimos a função g composta com f , denotada por g ◦ f, como
g ◦ f : {x ∈ Df ; f(x) ∈ Dg} → R tal que (g ◦ f) (x) = g(f(x)).
Exemplo 2.20 Considere f(x) = cosx e g(x) = x2 − x + 1. Como Df = R, Im f =
[−1, 1] e Dg = R. Então Dg◦f = R e (g ◦ f) (x) = cos2 (x) − cosx + 1. Neste caso como
Im g ⊂ R = Df então pode-se definir também (f ◦ g) (x) = cos (x2 − x+ 1) e Df◦g = R.
Observe que g ◦ f �= f ◦ g.
Exemplo 2.21 Considere f(x) =
1
x
e g(x) = x − 1, segue que Df = R\{0} = Im f,
Dg = R = Im g. Assim, Df◦g = R\{1} e (f ◦ g) (x) = 1
x− 1 . Ainda Dg◦f = Df = R\{0}
2.3. FUNÇÃO INVERSA 9
e (g ◦ f) (x) = 1
x
− 1 = 1 − x
x
. Abaixo os gráficos de f em preto, g em marrom, g ◦ f, em
azul e de f ◦ g em amarelo.
1 2 3 4 5
-1
0
1
2
3
4
5
x
y
2.3 Função inversa
Antes de definirmos função inversa precisamos definir quando uma função é inversível.
Para isso recordaremos a definição de função injetora, sobrejetora e bijetora.
Definição 2.22 Seja f : Df → R.
a) Dizemos que f é injetora quando ∀x, y ∈ Df tais que f(x) = f(y) implica que x = y
ou equivalentemente ∀x, y ∈ Df tais que x �= y implica que f(x) �= f(y).
b) Dizemos que f é sobrejetora quando Im f = R, isto é, quando dado y ∈ R, existe
x ∈ Df tal que y = f(x).
c) Dizemos que f é bijetora quando f é injetora e sobrejetora, isto é, dado y ∈ R
existe um único x ∈ Df tal que y = f(x).
Nota 2.23 Observe que toda função é sobrejetora se considerarmos o contradomínio de
f como sendo Im f.
Definição 2.24 Seja f : Df → Im f uma função bijetora. Assim podemos definir a
função f−1 : Im f → Df por
f−1(y) = x⇔ f(x) = y, ∀y ∈ Im f,
observe que f−1 está bem definida pois tal x existe e é único uma vez que y ∈ Im f e f é
injetora.
Nota 2.25 Da própria definição de f−1, pode-se observar que (f ◦ f−1) (y) = y, ∀y ∈
Im f e (f−1 ◦ f) (x) = x, ∀x ∈ Df .
10 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
Exemplo 2.26 Seja f : [0,∞) → [0,∞), definida por f(x) = x2, f é bijetora(mostre!) e
a função f−1 : [0,∞) → [0,∞), é definida por f−1(x) = √x.
Nota 2.27 Os gráficos de f e f−1 são simétricos em relação à reta y = x.
0 1 2 3 4 5
0
1
2
3
4
5
x
y
Gráfico da função y=x2 e sua inversa
Exemplo 2.28 Seja f : (0,∞) → R, f (x) = ln x. Já sabemos que f é bijetora e que
f−1 : R → (0,+∞) , é a exponencial, ou seja, f−1 (x) = ex . Os gráficos de f e f−1
seguem abaixo, em azul e preto, respectivamente.
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10
-10
-5
5
10
x
y
Nota 2.29 Existem funções elementares inversíveis, cuja inversa não é uma função el-
ementar. Por exemplo: f : R → R; f (x) = x + ex . A função f é injetora, pois é
estritamente crescente. Pode-se verificar através do gráfico que f é bijetora. Após o es-
tudo de limite e continuidade de funções poderemos provar a sobrejetividade de f.
2.4. PARIDADE E PERIODICIDADE DE FUNÇÕES 11
-2 -1 1 2
-2
2
4
6
8
x
y
No entanto sua inversa não pode ser descrita em termos de funções elementares.
2.4 Paridade e periodicidade de funções
Definição 2.30 Seja f : Df → R tal que Df é um conjunto simétrico em relação ao
zero, isto é, se x ∈ Df então −x ∈ Df .
a) Dizemos que f é uma função par se e somente se f(−x) = f(x), ∀x ∈ Df .
b) Dizemos que f é uma função ímpar se e somente se f(−x) = −f(x), ∀x ∈ Df .
Exemplo 2.31 A função f(x) = cosx, ∀x ∈ R é uma função par enquanto que g(x) =
sen x, ∀x ∈ R é uma função ímpar.
Exemplo 2.32 A função f : R\{0} → R; f (x) = x sen 1
x
é uma função par, já que
f (−x) = −x sen 1−x = −x sen
−1
x
= x sen
1
x
, já que sen é ímpar. Seu gráfico segue
abaixo;
-3 -2 -1 1 2 3
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
x
y
12 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
Definição 2.33 Seja f : Df → R tal que Df é um conjunto que satisfaz a seguinte
propriedade: existe p ∈ R, p > 0 tal que se x ∈ Df então x + kp ∈ Df , ∀k ∈ Z. Assim,
dizemos que f é periódica de períodop se e somente se f(x + kp) = f(x), ∀x ∈ Df e
∀k ∈ Z.
Exemplo 2.34 As funções seno e cosseno são periódicas de período 2pi.
-10 -5 5 10
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
-10 -5 5 10
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
-10 -5 5 10
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
-10 -5 5 10
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
Exemplo 2.35 A função f(x) = tg x, ∀x ∈ Df = {x ∈ R; x �= pi
2
+kpi, k ∈ Z} é periódica
de período pi.
-10 -5 5
-20
-15
-10
-5
5
10
15
20
2.5 Funções Elementares
As funções elementares são as funções polinomiais, as funções racionais, as funções irra-
cionais e funções transcendentes. Vejamos as definições e exemplos de cada uma delas.
2.5. FUNÇÕES ELEMENTARES 13
Definição 2.36 Uma função polinomial é uma função f : R→ R, tal que existe n ∈ N e
ai ∈ R, 0 ≤ i ≤ n, an �= 0 tais que f (x) = a0 + a1x+ · · · + anxn.
Definição 2.37 Uma função racional é uma função f : Df → R tal que f (x) = P (x)
Q (x)
,
onde P,Q : R→ R são funções polinomiais sem zeros em comum e Df = {x ∈ R;Q (x) �=
0}.
Definição 2.38 Uma função f : Df → R é denominada uma função algébrica quando
existem n ∈ N e Pi : R → R, 0 ≤ i ≤ n, funções polinomiais com Pn não identicamente
nula, tal que y = f (x) é uma solução da equação algébrica Pn (x) yn + Pn−1 (x) yn−1 +
· · ·+ P0 (x) = 0, ∀x ∈ Df .
Nota 2.39 As funções polinomiais e racionais são funções algébricas. (Verifique!)
Definição 2.40 Uma função irracional é uma função algébrica que não é polinomial e
nem racional.
Exemplo 2.41 f : R → R, f (x) = 4√x4 + x2 + 3 é uma função irracional, pois não é
polinomial e nem racional e y = f (x) é solução da seguinte equação algébrica
y4 − x4 − x2 − 3 = 0.
Exemplo 2.42 f : Df → R; f (x) =
√
x2 − 1
3
√
x2 − x− 6 , onde Df = (−∞,−2) ∪ (−2,−1] ∪
[1, 3) ∪ (3,+∞) é uma função irracional, pois y = f (x) é solução da seguinte equação
algébrica (
x2 − x− 6)2 y6 − (x2 − 1)3 = 0.
Definição 2.43 Uma função f : Df → R é denominada uma função transcendente, se f
não é algébrica.
Exemplo 2.44 As funções exponenciais e as funções logarítmicas.
Exemplo 2.45 As funções trigonométriacas e as trigonométricas inversas.
Exemplo 2.46 As funções hiperbólicas e as hiperbólicas inversas.
Como em geral as funções hiperbólicas não são estudadas no ensino médio, daremos
a seguir a definição e algumas de suas propriedades.
As funções hiperbólicas são assim chamadas, pois elas podem ser tomadas na hipérbole
equilátera de semi-eixos unitários, a saber a hipérbole de equação x2 − y2 = 1. Vejamos
graficamente como podemos obter as funções cosseno hiperbólico e seno hiperbólico.
14 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
543210-1-2-3-4-5
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
x
y
x
y
P=(u,v)
M
N
O
A
P’
543210-1-2-3-4-5
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
x
y
x
y
P=(u,v)
M
N
O
A
P’
543210-1-2-3-4-5
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
x
y
x
y
P=(u,v)
M
N
O
543210-1-2-3-4-5
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
x
y
x
y
P=(u,v)
M
N
543210-1-2-3-4-5
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
x
y
x
y
543210-1-2-3-4-5
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
x
y
x
y
P=(u,v)
M
N
O
A
P’
Assim, considerando x a área do setor hiperbólico OPAP ′O, da figura acima, tem-se que
u = OM = cosh x e v = ON = senh x. Do próprio fato que P = (u, v) é um ponto
da hipérbole, tem-se que u2 − v2 = 1, ou seja, (cosh x)2 − (senh x)2 = 1. As abreviações
cosh e senh significam, respectivamente, cosseno e seno hiperbólicos. Pode-se fazer uma
"trigonometria hiperbólica", na hipérbole equilátera de semi-eixos unitários, como se faz
para as funções trigonométricas sobre o círculo trigonométrico. Definimos também a
tangente, cotangente, secante hiperbólicas de modo análogo às trigonométricas, ou seja,
tgh x =
senh x
cosh x
,
cotgh x =
cosh x
senh x
,
sech x =
1
cosh x
,
cossech x =
1
senh x
.
Pode-se provar que
coshx =
ex+e−x
2
, ∀x ∈ R,
senhx =
ex− e−x
2
,∀x ∈ R.
Seus gráficos são, respectivamente em azul o de cosh e em verde o de senh .
2.5. FUNÇÕES ELEMENTARES 15
-2 -1 1 2
-4
-2
2
4
x
y
Como pode ser observado pelo gráfico acima, a função senh é bijetiva, enquanto que
cosh não o é. Portanto define-se a função arco seno hiperbólico que é a inversa do seno
hiperbólico, ou seja,
arcsenh : R→ R; arcsenhx = ln(x+
√
x2 + 1),∀x ∈ R.
Seu gráfico segue abaixo:
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-2
-1
1
2
x
y
Como cosseno hiperbólico não é bijetora, para podermos definir sua inversa, devemos
restringir seu domínio e contradomínio.
As demais funções hiperbólicas também podem ser definidas em termos da função
exponencial e as funções hiperbólicas inversas também podem ser definidas em termos da
função logaritmo, fazendo-se as devidas restrições aos domínios e ou contradomínios das
funções hiérbólicas. Algumas delas seguem na lista de exercícios.
16 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
2.5.1 Lista de Exercícios
Exercício 2.47 Seja f : R → R definida por f(x) = x2 − x. Determine f(2), f
(
1
2
)
,
f(x2), f(f(x)).
Exercício 2.48 Seja f : R\{1} → R definida por f(x) = x
x− 1 . Determine f
(
1
t
)
, para
t �= 0, 1; f(x+ h), para x �= 1 − h.
Exercício 2.49 Determine o domínio das funções abaixo. Analise também a paridade
destas funções:
a) f(x) = ex,
b) f(x) = x2 +
√
x2 + 1,
c) f(x) = cosh(x),
d) f(x) = senh(x),
e) f(x) = x |x| ,
f) f(x) =
{ 1
x
, x �= 0
0, x = 0
,
g) f(x) = tgh x =
senh x
cosh x
,
h) f(x) = tg x.
Exercício 2.50 Seja a ∈ R, a > 0 e f : [−a, a] → R. Mostre que g : [−a, a] → R
definida por g(x) = f(x) + f(−x) é par e que a função h : [−a, a] → R definida por
h(x) = f(x) − f(−x) é ímpar.
Exercício 2.51 Utilizando o exercício anterior, mostre que dada uma função f : [−a, a] →
R, existem funções g, h : [−a, a] → R, sendo g uma função par e h uma função ímpar, tal
que f (x) = g (x) + h (x) , ∀x ∈ [−a, a] .
Exercício 2.52 Prove que o produto de duas funções pares ou ímpares é uma função par.
Exercício 2.53 Determine o domínio e esboce o gráfico das funções abaixo:
a) f(x) =
√
x+ 2,
b) f(x) = x+ |x| ,
2.5. FUNÇÕES ELEMENTARES 17
c) f(x) =

x2 − x, se x ≤ 1,
0, se 1 < x ≤ 2,
x− 2, se x > 2.
d) f(x) =
x2 − 1
x− 1 ,
e) f(x) =
|2x+ 1|
2x+ 1
,
f) f(x) = |x− 1|+ |x+ 2| ,
g) f(x) = ||x| − 1| ,
h) f(x) = x sen x.
Exercício 2.54 Determine o domínio de f para o qual Im f ⊂ Dg e a composta h = g◦f.
a) g(x) =
x− 1
x− 2 e f(x) = x+ 2,
b) g(x) =
√
x e f(x) = x2 − x,
c) g(x) =
1
x
e f(x) = x3 − x,
d) g(x) =
√
x2 − 1 e f(x) = x2 − 2.
Exercício 2.55 Verifique se as funções abaixo são ou não injetoras. Sabe-se que a função
exponencial o é. Determine suas imagens e se for o caso determine sua inversa.
a) f : [0,+∞) → R, f(x) = cosh x,
b) f : R\{0} → R, f(x) = 1
x
,
c) f : R\{−1} → R, f(x) = x+ 2
x+ 1
.
d) f : R→ R, f (x) = tgh x.
Exercício 2.56 Prove que:
a) (tgh x)2 + (sechx)2 = 1.
b) senh (x+ y) = senh x cosh y + senh y cosh x
c) cosh (x+ y) = cosh x cosh y + senhx senh y
18 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
2.6 Limite de função de uma variável
Consideremos um viajante que sai de São José dos Campos e deve chegar ao Rio de
Janeiro de ônibus às 20:00h. Ele observa que às 19:00h êle havia percorrido 270km, às
19:15 havia percorrido 290km de distância, às 19:30h, 310km até que às 20:00 ele chega
ao Rio, tendo percorrido 350km. Este é um processo de limite, onde podemos dizer que
a distância percorridatendeu a 350km quando o tempo tendeu a 20:00h.
Ainda, se observarmos que um carro das 8:00h às 8:15h percorreu uma distancia de
20km, das 8:00h às 8:10 percorreu 12km, das 8:00h às 8:05 percorreu 5km e das 8:00 às
8:01 percorreu 1km, podemos dizer que a velocidade deste carro às 8:00h era de 60km/h.
Novamente estamos diante de um processo de limite, lembrando que a velocidade média
é igual a distância percorrida dividida pelo tempo em que esta foi percorrida.
Consideremos então a função f : R\{1} → R definida por f(x) = x
2 − 1
x− 1 . É claro que
esta função não está definida para x = 1. No entanto pode-se fazer a seguinte tabela de
valores para f(x) à medida que tomamos x cada vez mais próximo de 1.Vejamos:
x 0 0, 5 0, 7 0, 9 0, 99 0, 999
f(x) 1 1, 5 1, 7 1, 9 1, 99 1, 999
Pode-se concluir que à medida que x se aproxima de 1, por valores menores que 1, f(x)
se aproxima de 2. Analogamente, quando x se aproxima de 1 por valores maiores que 1,
f(x) também se aproxima de 2, como mostra a tabela abaixo.
x 2 1, 7 1, 5 1, 3 1, 09 1, 001
f(x) 3 2, 7 2, 5 2, 3 2, 09 2, 001
Observe que 1 não pertence ao domínio de f, no entanto, tão próximo de 1 quanto se
queira existem pontos do domínio de f, ou seja, 1 é um ponto de acumulação do domínio
de f.
Observe ainda que se quisermos que f(x) esteja a uma distância de 2,menor que 0, 001,
basta tomarmos x tal que sua distância de 1 seja menor que 0, 001, isto é, |f(x) − 2| <
0, 001, desde que 0 < |x− 1| < 0, 001. É necessário que |x− 1| > 0, pois |x− 1| = 0 ⇔
x = 1 e f(1) não está definida.
Daremos a seguir a definição de limite e algumas propriedades, mas antes daremos a
definição de ponto de acumulação.
Definição 2.57 Sejam X ⊂ R, X �= ∅ e a ∈ R. Dizemos que a é um ponto de acumulação
de X quando para todo r > 0, (a− r, a+ r) \{a} ∩X �= ∅. O conjunto de todos os pontos
de acumulação de X é denominado derivado de X e denotado por X ′.
Exemplo 2.58 Considerando X = (a, b) ⇒ X ′ = [a, b] .
Exemplo 2.59 Considerando X = Q⇒ X ′ = R.
2.6. LIMITE DE FUNÇÃO DE UMA VARIÁVEL 19
Definição 2.60 Sejam f : X ⊂ R→ R, x0 ∈ X ′ e l ∈ R. Dizemos que o limite de f(x) é
igual a l, quando x tende a x0, denotado por, lim
x→x0
f(x) = l, quando para cada ε > 0 dado
, existe δ > 0 tal que ∀x ∈ X com 0 < |x− x0| < δ, tem-se que |f(x) − l| < ε.
Nota 2.61 O significado da definição é o seguinte: Pode-se tornar f(x) tão próximo de l
quanto se queira, desde que x esteja suficientemente próximo de x0, mas diferente de x0.
Assim, é claro que o valor de δ depende de ε e também, na maioria das vezes, do ponto
x0, como mostra o exemplo a seguir.
Exemplo 2.62 Considere f : R\{0} → R, definida por f(x) = 1
x
. Assim, considere
ε = 0, 008. Se x0 = 2, tomando δ = 0, 016 tem-se que para todo x ∈ R\{0}, com 0 <
|x− 2| < δ ⇒ 1, 984 < x < 2, 016 ⇒ 1
2, 016
<
1
x
<
1
1, 984
⇒ 1
2, 016
− 1
2
<
1
x
− 1
2
<
1
1, 984
− 1
2
. Portanto fazendo as contas, obtém-se que
∣∣∣∣1x − 12
∣∣∣∣ < 0, 008. No entanto se
tomarmos x0 =
1
2
, verifique que o δ obtido acima não serve considerando o mesmo ε,
pois se tomarmos x = 0, 51 tem-se que 0 <
∣∣∣∣x− 12
∣∣∣∣ = 0, 01 < 0, 016 e no entanto∣∣∣∣1x − 2
∣∣∣∣ = 251 > 0, 03 > 0, 008. Na realidade para x0 = 12 e ε = 0, 008, deve-se tomar
δ = 0, 001, isto é quase dez vezes menor.(Verifique!)
Nota 2.63 O limite de uma função num determinado ponto, apresenta o comportamento
da função em pontos próximos do ponto em questão, mas não nos diz nada sobre o valor
da função neste ponto, que pode nem mesmo existir ou se existir pode ser diferente do
valor do limite. Por exemplo:
Exemplo 2.64 Seja f : R → R, definida por f(x) =

x3 − 8
x2 − 4 , se x �= ±2
1, se x = 2
0, se x = −2
. Pode-se
observar que à medida que x se aproxima de 2, tanto por valores maiores que 2, tanto por
valores menores que 2, f(x) se aproxima de 3 �= f(2). No entanto, quando x se aproxima
de −2, por valores menores que −2, pode-se verificar que f(x) decresce indefinidamente,
ou seja, não se aproxima de nenhum valor real, apesar da função estar definida neste
ponto.
Provemos, usando a definição, que lim
x→2
f(x) = 3. De fato, para cada ε > 0, tomando
δ = min{1, 3ε
4
} > 0, segue que para todo x ∈ R com 0 < |x− 2| < δ tem-se que:
|f(x) − 3| =
∣∣∣∣x3 − 8x2 − 4 − 2
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣x2 + 2x+ 4x+ 2 − 3
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣x2 − x− 2x+ 2
∣∣∣∣ ,
20 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
pois x �= 2 e portanto pode-se fazer as simplificações. Ainda, como |x− 2| < δ ≤ 1 ⇒
−1 < x− 2 < 1 ⇒ 1 < x < 3, logo,
|f(x) − 3| =
∣∣∣∣x2 − x− 2x+ 2
∣∣∣∣ = |x+ 1| |x− 2||x+ 2| < δ |x+ 1||x+ 2| < 43δ ≤ ε,
o que implica que lim
x→2
f(x) = 3.
Nota 2.65 A definição de limite não nos fornece uma maneira de calculá-lo, apenas de
verificar se o valor dado é ou não limite de uma determinada função, num determinado
ponto. Por isso daremos algumas propriedade que nos permitirão fazê-lo, mas antes disso
necessitamos de algumas propriedades.
Proposição 2.66 Seja f : Df → R, a ∈ D′f e l ∈ R. Se lim
x→a
f(x) = l então:
a) O limite é único.
b) Existem δ > 0 e M > 0 tais que |f(x)| ≤M, ∀x ∈ (a− δ, a+ δ) ∩Df .
c) Se l �= 0 existe δ > 0 tal que f(x) tem o mesmo sinal de l, para todo x ∈ Df ∩
[(a− δ, a+ δ) \{a}].
Exemplo 2.67 Seja f : R\{0} → R, definida por f(x) = sen 1
x
. Apesar de |f(x)| ≤ 1,
∀x ∈ R, x �= 0, isto é, a função f é limitada, vamos provar que não existe lim
x→0
f(x), pois
tão próximo de 0 quanto se queira, encontramos pontos x ∈ R, tais que f (x) assume
quaisquer valores no intervalo [−1, 1]. Por exemplo se tomarmos xn = 1
npi
, n ∈ N, a
medida que n cresce, xn se torna tão próximo de 0 quanto se queira e f(xn) = 0, ∀n ∈ N.
Se considerarmos yn =
1
(pi/2) + 2npi
, ∀n ∈ N também temos que yn se torna tão próximo
de 0 quanto se queira f(yn) = 1, ∀n ∈ N. Na realidade para cada z ∈ [−1, 1] existe
θ ∈ [0, 2pi] tal que sen θ = z, assim, tomando xn = 1
θ + 2npi
, n ∈ N, temos que xn se torna
tão próximo de 0 quanto se queira, bastando tomar n suficientemente grande e f (xn) = z.
Segue portanto do teorema anterior que não existe lim
x→0
f(x), pois o limite quando existe é
2.6. LIMITE DE FUNÇÃO DE UMA VARIÁVEL 21
único. O gráfico abaixo, mostra o comportamento da função em torno do 0.
-3 -2 -1 1 2 3
-1.0
-0.5
0.5
1.0
x
y
Exemplo 2.68 Seja f : R\{0} → R, definida por f(x) = 1
x
. Então � lim
x→0
f(x) pois se
considerarmos xn =
1
n
∈ R\{0}, ∀n ∈ N, xn pode ser tornado tão próximo de 0 quanto
se queira e no entanto f(xn) = n que pode ser tornado tão grande quanto se queira e
portanto não se aproxima de nenhum número real.
Nota 2.69 Observe que nos dois exemplos acima o limte não existe, mas por diferentes
razões. No primeiro exemplo a função é limitada, mas o limite não existe pois à medida
que x se aproxima de 0, a função pode se aproximar de qualquer valor no intervalo [−1, 1] .
No segundo exemplo a função não possui limite pois não é limitada.
2.6.1 Lista de Exercícios
Exercício 2.70 Mostre, por definição que:
a)lim
x→a
(αx+ β) = αa+ β.
b)lim
x→0
sen x = 0.
c)lim
x→0
ex = 1.
d)lim
x→1
ln x = 0.
e) lim
x→a
n
√
x = n
√
a, para n ∈ N, n ímpar.
f) lim
x→a
, m
√
x = m
√
a, para cada m ∈ N, m par e a ≥ 0.
Exercício 2.71 Seja f : Df → R, a ∈ D′f e l ∈ R tais que lim
x→a
f(x) = l. Prove que
lim
x→a
[f(x)]n = ln, para cada n ∈ N.
22 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
Exercício 2.72 Sejam f : Df → R, g : Dg → R, a ∈ D′f ∩D′g e l1, l2 ∈ R. Suponha que
l1 < l2. Mostre que ∃δ > 0 tal que f(x) < g(x), ∀x ∈ Df ∩Dg que satisfaz 0 < |x− a| < δ.
Dê um exemplo de duas funções f e g tais que f(x) < g(x), ∀x ∈ Df ∩ Dg e tais que
lim
x→a
f(x) = lim
x→a
g(x), para algum a ∈ D′f ∩ D′g. Este exemplo mostra que a recíproca do
resultado não éverdadeira.
Exercício 2.73 Sejam f : Df → R, g : Dg → R, a ∈ D′f ∩D′g e l1, l2 ∈ R. Suponha que
∃δ > 0 tal que f(x) < g(x), ∀x ∈ Df ∩Dg que satisfaz 0 < |x− a| < δ , lim
x→a
f(x) = l1 e
lim
x→a
g(x) = l2. Mostre que l1 ≤ l2.
2.6.2 Operações com limites
A partir do teorema anterior todas as operações que valem para seqüências também
são válidas para limite de funções, as quais enunciaremos a seguir. A demonstração
destas propiedades podem ser feitas diretamente da definição de limite ou utilizando a
caracterização de limite por seqüências e utilizando as propriedades já demonstradas para
seqüências.
Proposição 2.74 Sejam f : Df → R, g : Dg → R, a ∈ D′f ∩ D′g e l1, l2 ∈ R tais que
lim
x→a
f(x) = l1 e lim
x→a
g(x) = l2. Então:
a) lim
x→a
(f + g) (x) = l1 + l2.
b) lim
x→a
(fg) (x) = l1l2.
c) Se l2 �= 0 então lim
x→a
f(x)
g(x)
=
l1
l2
.
d) lim
x→a
|f(x)| = |l1| .
Nota 2.75 Como no caso de seqüências a recíproca do ítem (d) da proposição não é nec-
essariamente válida. No entanto, quando l1 = 0 então esta é válida, ou seja, lim
x→a
|f(x)| =
0 ⇔ lim
x→a
f(x) = 0.
Exemplo 2.76 Considere f(x) = x2 − 2x + 3, x ∈ R. Então como lim
x→−1
x = −1, segue
das propriedades de limite que lim
x→−1
f(x) = (−1)2 − 2 (−1) + 3 = 2.
Um resultado importante e bastante utilizado para cálculo de limites é o seguinte:
Proposição 2.77 Sejam f : Df → R, g : Dg → R, a ∈ D′f ∩ D′g. Suponhamos que
lim
x→a
f(x) = 0 e existe r > 0 tal que g é limitada em (a− r, a+ r)∩Dg. Então lim
x→a
(fg) (x) =
0.
2.6. LIMITE DE FUNÇÃO DE UMA VARIÁVEL 23
Prova. Como g é limitada em (a− r, a+ r)∩Dg então existe K > 0 tal que |g(x)| ≤
K, ∀x ∈ (a− r, a+ r)∩Dg. Como lim
x→a
f(x) = 0 então ∀ε > 0 existe δ > 0 tal que ∀x ∈ Df
com 0 < |x− a| < δ tem-se que |f(x)| < ε
K
. Assim, tomando δ1 = min{δ, r} > 0 segue
que ∀x ∈ Df∩Dg com 0 < |x− a| < δ1 tem-se que |g(x)f(x)| = |g(x)| |f(x)| ≤ K |f(x)| <
K
ε
K
= ε⇒ lim
x→a
(fg) (x) = 0. �
Nota 2.78 O resultado acima pode ser provado usando também um resultado análogo
para seqüências, que foi deixado como exercício, e o teorema anterior.
Exemplo 2.79 lim
x→−1
(x2 − x− 2) sen
(
1
x+ 1
)
= 0, pois
∣∣∣∣sen( 1x+ 1
)∣∣∣∣ ≤ 1, ∀x ∈ R\{−1}
e lim
x→−1
(x2 − x− 2) = 0.
Nota 2.80 Observe que no exemplo acima não se pode utilizar o resultado de produto de
limites pois a função sen
(
1
x+ 1
)
é limitada, mas não possui limite quando x tende a
−1.
Um outro teorema importante, pois nos permite fazer mudanças de variáveis nos lim-
ites conhecidos é o limite de composta de funções. Vejamos.
Teorema 2.81 (da composta I): Sejam f : Df → R, g : Dg → R, a ∈ D′f , b ∈ D′g
e l ∈ R tais que lim
x→a
f(x) = b, lim
y→b
g(y) = l. Suponhamos ainda que existe r > 0 tal que
f(x) �= b e f(x) ∈ Dg, ∀x ∈ Df com 0 < |x− a| < r. Então lim
x→a
(g ◦ f) (x) = l.
Prova. Como lim
y→b
g(y) = l então dado ε > 0, existe δ > 0 tal que para todo y ∈ Dg
com 0 < |y − b| < δ tem-se que |g(y) − l| < ε. Como lim
x→a
f(x) = b então tomando δ > 0
encontrado acima, existe δ1 > 0 tal que para todo x ∈ Df com 0 < |x− a| < δ1 tem-se
que |f(x) − b| < δ. Assim, tomando δ2 = min{δ1, r} > 0 segue que para todo x ∈ Df
com 0 < |x− a| < δ2 obtém-se f(x) ∈ Dg e 0 < |f(x) − b| < δ ⇒ |g(f(x)) − l| < ε ⇒
lim
x→a
(g ◦ f) (x) = l. �
Nota 2.82 É importante notar que sem a hipótese de f(x) �= b, ∀x ∈ Df∩[(a− r, a+ r) \{a}]
poderíamos não ter o limite da composta ou mesmo este ser diferente de l. Vejamos dois
exemplos.
Exemplo 2.83 Sejam f, g : R→ R definidas por
f(x) =
{
x+ 1, x ∈ R\Q
1, x ∈ Q ,
g(x) =
 x
2 − 1
x− 1 , x �= 1
0, x = 1
.
24 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
Então lim
x→0
f(x) = 1 e lim
y→1
g(y) = 2. No entanto, (g ◦ f) (x) =
 x
2 + 2x
x
, x ∈ R\Q
0, x ∈ Q
e
portanto �lim
x→0
(g ◦ f) (x) . Isto porque �r > 0 tal que f(x) �= 1, ∀x ∈ [(−r, r) \{0}] .
Exemplo 2.84 Sejam f, g : R → R definida por f(x) = 2 e g(x) =
 x
2 − 4
x− 2 , x �= 2
0, x = 2
.
Então lim
x→a
f(x) = 2, ∀a ∈ R e lim
y→2
g(y) = 4. No entanto (g ◦ f) (x) = 0, ∀x ∈ R e portanto
lim
x→a
(g ◦ f) (x) = 0 �= 4, ∀a ∈ R. O que não contradiz o teorema pois não existe r > 0 tal
que f(x) �= 2, ∀x ∈ [(a− r, a+ r) \{a}] .
Exemplo 2.85 lim
x→0
cosx = 1, pois cosx = cos 2
(x
2
)
= 1 − 2 sen2
(x
2
)
. Fazendo f(x) =
x
2
tem-se que lim
x→0
f(x) = 0, f(x) �= 0, ∀x �= 0 e lim
y→0
sen y = 0 (exercício abaixo), portanto
segue do teorema da composta, considerando g(y) = sen y, que lim
x→0
(g ◦ f) (x) = 0 =
lim
x→0
sen
(x
2
)
. Segue agora das operações de limite que lim
x→0
cosx = lim
x→0
(
1 − 2 sen2
(x
2
))
=
1.
Exemplo 2.86 Calculemos lim
x→a
ex. Temos que ex = eaex−a. Assim considerando f(x) =
x − a e g(y) = ey, segue do teorema da composta que lim
x→a
ex−a = 1, pois lim
x→a
f(x) = 0,
f(x) �= 0, ∀x �= a e lim
y→0
g(y) = 1, (exercício abaixo) logo das operações de limite obtém-se
que lim
x→a
ex = lim
x→a
eaex−a = ea.
Um resultado importante, análogo ao que foi visto para seqüências, é o teorema do
confronto, que pode ser demonstrado usando o teorema de caracterização de limite por
sequ˜encias e o próprio teorema do confronto para seqüências e pro isso será deixado como
exercício.
Teorema 2.87 Sejam f : Df → R, g : Dg → R, h : Dh → R, a ∈ D′f ∩D′g ∩D′h e l ∈ R.
Se lim
x→a
f(x) = lim
x→a
h(x) = l e f(x) ≤ g(x) ≤ h(x), ∀x ∈ Df∩Dg∩Dh∩[(a− r, a+ r) \{a}] ,
para algum r > 0 então lim
x→a
g(x) = l.
Exemplo 2.88 Limite fundamental: Calculemos lim
x→0
sen x
x
, utilizando o teorema do con-
fronto. De fato para x ∈
(
0,
pi
2
)
tem-se que
0 < senx < x < tg x⇒ 1 < x
senx
<
1
cosx
.
2.6. LIMITE DE FUNÇÃO DE UMA VARIÁVEL 25
Ainda para x ∈
(
−pi
2
, 0
)
tem-se que
tg x < x < senx < 0 ⇒ 1 < x
senx
<
1
cosx
.
Logo, para todo x ∈
[(
−pi
2
,
pi
2
)
\{0}
]
tem-se que
1 <
x
sen x
<
1
cosx
⇒ cosx < sen x
x
< 1
e como lim
x→0
1 = 1 = lim
x→0
cosx, segue do teorema do confronto que lim
x→0
sen x
x
= 1.
Segue abaixo o gráfico da função f(x) =
sen x
x
.
Exemplo 2.89 Calculemos o lim
x→0
sen (x/2)
x/2
. Consideremos a função f(x) =
x
2
, ∀x ∈
R, então lim
x→0
f(x) = 0 e f(x) �= 0, ∀x ∈ R\{0}. Sabe-se ainda que lim
x→0
sen x
x
= 1.
Portanto, considerando g(y) =
sen y
y
, segue do teorema composta que lim
x→0
(g ◦ f) (x) = 1.
Mas lim
x→0
sen (x/2)
x/2
= lim
x→0
(g ◦ f) (x) = 1.
Exemplo 2.90 lim
x→0
1 − cosx
x2
=
1
2
, pois cosx = cos 2
(x
2
)
= 1 − 2 sen2
(x
2
)
. Assim,
1 − cosx
x2
=
2 sen2(x/2)
x2
=
1
2
(
sen(x/2)
(x/2)
)2
=
1
2
.
Exemplo 2.91 lim
x→1
tg (x2 − 1)
x− 1 = 2, pois g (y) =
tg y
y
=
1
cos y
sen y
y
, ∀y ∈ V̂pi/2 (0) ⇒
lim
y→0
tg y
y
= lim
y→0
1
cos y
sen y
y
= lim
y→0
1
cos y
lim
y→0
sen y
y
= 1. Ainda f (x) = x2 − 1 é tal que
26 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
lim
x→1
f (x) = 0, f (x) �= 0, ∀x ∈ (0, 2) \{1}, portanto do teorema da composta tem-se
que lim
x→1
(g ◦ f) (x) = lim
x→1
tg (x2 − 1)
x2 − 1 = 1. Mas
tg (x2 − 1)
x− 1 =
tg (x2 − 1)
x2 − 1 (x+ 1) e como
lim
x→1
(x+ 1) = 2, segue das operações de limites que
lim
x→1
tg (x2 − 1)
x− 1 = limx→1
tg (x2 − 1)
x2 − 1 limx→1 (x+ 1) = 2.
Exemplo 2.92 lim
x→0
tg x
x
= 1, pois
tg x
x
=
1
cosx
sen x
x
⇒ lim
x→0
tg x
x
= lim
x→0
1
cosx
sen x
x
=
lim
x→0
1
cosx
lim
x→0
senx
x
= 1.
2.6.3 Limites laterais
Considere a função f : R→ R definida por f(x) =

x2 − 1, x ≤ 1
lnx, 1 < x ≤ e
1 x > e
, Se quisermos
saber o limite de f quando x tende a 1, por exemplo, devemos analisar o comportamento
da função para valores de x próximos de 1 e maiores que 1 e para valores menores que 1.
E se estes limites forem iguais, pode-se concluir que o limite existe? Parece intuitivo que
sim e é o que veremos a seguir. Para isso daremos algumas definições.
Definição 2.93 Seja X um subconjunto não vazio de R.
a) Dizemos que a ∈ R é um ponto de acumulação à direita de X quando para todo
r > 0, tem-se que (a, a+ r) ∩X �= ∅. Denotamos o conjunto de todos os pontos de
acumulação à direita de X por X ′+.
b) Dizemos que a ∈ R é um ponto de acumulação à esquerda de X quando para
todo r > 0, tem-se que (a− r, a)∩X �= ∅. Denotamos o conjunto de todos os pontos
de acumulação à esquerda de X por X ′−.
Exemplo 2.94 Se X = [−2, 7] então X ′+ = [−2, 7), pois (7, 7 + r) ∩ X = ∅, ∀r > 0 e
(a, a+ r) ∩X �= ∅, ∀a ∈ [−2, 7).
Exemplo 2.95 Se X = (−1, 5] ∪ [9,+∞) então X ′+ = [−1, 5) ∪ [9,+∞).
Definição 2.96 Sejam f : D → R, a ∈ (D)′+ e l ∈ R. Dizemos que f(x) tende a l quando
x tende a a pela direita, denotado por, lim
x→a+
f(x) = l, quando dado ε > 0 existe δ > 0 tal
que ∀x ∈ D ∩ (a, a+ δ) obtém-se que |f(x) − l| < ε.
Nota 2.97 Da definição de limite à direita, pode-se notar que estamos apenas inter-
essados no comportamento da função em valores próximos de a, mas maiores que a.
Analogamente, define-se limite à esquerda.(Faça-o).
2.6. LIMITE DE FUNÇÃO DE UMA VARIÁVEL 27
Nota 2.98 É claro que todos os resultados válidos para limite são também válidos para
limites laterais com as devidas modificações.(Pense nisso!)
Agora daremos o resultado que responde à pergunta inicial, isto é, se existem os limites
laterais e são iguais então o limite existe e é igual ao limite lateral?
Teorema 2.99 Sejam f : D → R e a ∈ (D)′+ ∩ (D)′− . Então limx→af(x) = l ⇔ limx→a+f(x) =
l = lim
x→a−
f(x).
Prova. (⇒) Dado ε > 0, existe δ > 0 tal que ∀x ∈ D ∩ V̂δ (a) ⇒ |f(x) − l| < ε. Logo
∀x ∈ D ∩ (a, a+ δ) tem-se que 0 < x− a = |x− a| < δ ⇒ |f(x) − l| < ε. Analogamente,
∀x ∈ D ∩ (a− δ, a) tem-se que 0 < a − x = |x− a| < δ ⇒ |f(x) − l| < ε. Portanto
lim
x→a+
f(x) = l = lim
x→a−
f(x).
(⇐) Dado ε > 0, existe δ1 > 0 tal que ∀x ∈ D∩(a, a+ δ1) obtém-se que |f(x) − l| < ε.
Ainda existe δ2 > 0 tal que ∀x ∈ D ∩ (a− δ2, a) obtém-se que |f(x) − l| < ε. As-
sim, tomando δ = min{δ1, δ2} > 0, segue que ∀x ∈ D ∩ V̂δ (a) tem-se que x ∈ D ∩
[(a− δ, a) ∪ (a, a+ δ)], logo se x ∈ D ∩ (a− δ, a) ⇒ x ∈ D∩ (a− δ2, a) ⇒ |f(x) − l| < ε.
Ainda, se x ∈ D ∩ (a, a+ δ) ⇒ x ∈ D ∩ (a, a+ δ1) ⇒ |f(x) − l| < ε. Portanto, ∀x ∈ D
com 0 < |x− a| < δ obtém-se que |f(x) − l| < ε, o que prova que lim
x→a
f(x) = l. �
Exemplo 2.100 Considere f : R → R definida por f(x) =

x2 − 1, x ≤ 1
ln x, 1 < x ≤ e
1 x > e
.
Então como lim
x→1+
f(x) = lim
x→1+
ln(x) = 0 e lim
x→1−
f(x) = lim
x→1−
x2 − 1 = 0 ⇒ lim
x→1
f(x) = 0.
Ainda como lim
x→e+
f(x) = lim
x→e+
1 = 1 e lim
x→e−
f(x) = lim
x→e−
lnx = ln e = 1 ⇒ lim
x→e
f(x) = 1.
Como pode se ver graficamente:
28 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
Exemplo 2.101 Seja f : R→ R, definida por f(x) = [x]− x, onde [x] é o maior inteiro
menor ou igual a x. Assim, lim
x→1+
f(x) = 0 e lim
x→1−
f(x) = −1 ⇒ �lim
x→1
f(x). Segue abaixo o
gráfico de f.
2.6.4 Limites infinitos e limites no infinito
Vimos que uma função pode não ter limite num ponto de acumulação porque seus limites
laterais existem, mas são distintos ou porque a função oscila à medida que x se aproxima
do ponto de acumulação. Mas também pode acontecer da função não admitir limite
num ponto porque cresce indefinidamente ou decresce indefinidamente à medida que x se
aproxima do ponto de acumulação. Por exemplo f(x) =
1
x2
, x �= 0. Observe que à medida
que x tende a 0, f(x) cresce indefinidamente e portanto não se aproxima de nenhum
valor real. Neste caso, dizemos que lim
x→0
f(x) = +∞, para indicar o comportamento de f,
próximo a 0. Vejamos então a definição.
Definição 2.102 Sejam f : D → R e a ∈ D′.
a) Dizemos que f(x) tende a +∞ quando x tende a a, denotado por lim
x→a
f(x) = +∞,
quando ∀M > 0, existe δ > 0 tal que ∀x ∈ D ∩ V̂δ (a) ⇒ f(x) > M.
b) Dizemos que f(x) tende a −∞ quando x tende a a, denotado por lim
x→a
f(x) = −∞,
quando ∀N < 0, existe δ > 0 tal que ∀x ∈ D ∩ V̂δ (a) ⇒ f(x) < N.
Nota 2.103 A definição também é válida para limites laterais com as devidas modifi-
cações.
Exemplo 2.104 Considerando f(x) =
1
x2
, x �= 0, segue que lim
x→0
f(x) = +∞, pois ∀M >
0, existe δ =
1√
M
> 0, tal que ∀x ∈ V̂δ (0) ⇒ 0 < x2 < δ2 ⇒ 1
x2
>
1
δ2
=M.
2.6. LIMITE DE FUNÇÃO DE UMA VARIÁVEL 29
Exemplo 2.105 lim
x→0+
ln x = −∞ pois ∀N < 0, existe δ = eN > 0 tal que ∀x ∈ (0, δ)
⇒ ln x < ln δ = N. Assim, ln x < N, ∀x ∈ (0, δ) .
Exemplo 2.106 lim e1/x
x→0+
= +∞, pois ∀M > 0, considere M ′ = max{M, e} e δ =
1
lnM ′
> 0. Assim, ∀x ∈ (0, δ) tem-se que 0 < x < δ ⇒ 1
x
>
1
δ
= lnM ′ ⇒ e1/x >
e1/δ =M ′ ≥M.
Quando desejamos traçar o gráfico de uma função e o domínio desta não é limitado
superiormente ou inferiormente, precisamos saber como se comporta a função quando x
cresce indefinidamente ou decresce indefinidamente. Estes são os chamados limites no
"infinito", cuja definição veremos a seguir.
Definição 2.107 Seja f : D → R, tal que D não é limitado superiormente.
a) Dizemos que lim
x→+∞
f(x) = l ∈ R quando ∀ε > 0, ∃K > 0 tal que ∀x ∈ D com x > K
tem-se que |f(x) − l| < ε.
b) Dizemos que lim
x→+∞
f(x) = +∞ quando ∀M > 0, ∃K > 0 tal que ∀x ∈ D com x > K
tem-se que f(x) > M.
c) Dizemos que lim
x→+∞
f(x) = −∞ quando ∀N < 0, ∃K > 0 tal que ∀x ∈ D com x >
K tem-se que f(x) < N.
Nota 2.108 Analogamente, define-se os casos acima quando x decresce indefinidamente,
isto é, x→ −∞, e deixamos a cargo do aluno escrever tais definições..
Nota 2.109 Quando temos o caso (a) da definição acima, as propriedade vistas anteri-
ormente para limite são válidas, com as devidas modificações.
Exemplo 2.110 lim
x→+∞
ln x = +∞, pois ∀M > 0, ∃K = eM > 1 tal que ∀x ∈ R com
x > K ⇒ ln x > lnK =M.
Exemplo 2.111 lim
x→−∞
ex = 0, pois ∀ε > 0, considere ε′ = min{ε, 1
2
} > 0 e tome K =
ln ε′ < 0, então ∀x < K ⇒ 0 < ex < eK = ε′ ≤ ε, isto é, |ex| < ε.
Exemplo 2.112 lim
x→−∞
x3 = −∞, pois ∀N < 0, ∃K = 3√N < 0, tal que ∀x ∈ R com
x < K ⇒ x3 < K3 = N.
Deixaremos como exercício a demonstração das propriedades com limites infinitos, que
enunciaremos a seguir.
Proposição 2.113 Sejam f : Df → R, g : Dg → R, a ∈ D′f ∩D′g. Então:
30 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
a) Se lim
x→a
f(x) = ±∞ e lim
x→a
g(x) = c ∈ R então lim
x→a
[f(x) ± g(x)] = ±∞.
b) Se lim
x→a
f(x) = ±∞ e lim
x→a
g(x) = c > 0 (podendo ser +∞ ) então lim
x→a
f(x)g(x) = ±∞.
c) Se lim
x→a
f(x) = ±∞ e lim
x→a
g(x) = c < 0 (podendo ser −∞ ) então lim
x→a
f(x)g(x) = ∓∞.
d) Se lim
x→a
f(x) = 0 e ∃δ > 0 tal que f(x) > 0, ∀x ∈ Df ∩ [(a− δ, a+ δ) \{a}] ( dizemos
então que f(x) tende a zero por valores positivos) então lim
x→a
1
f(x)
= +∞.
e) Se lim
x→a
f(x) = 0 por valores negativos então lim
x→a
1
f(x)
= −∞.
Se Df e Dg não forem limitados superiormente e/ou inferiormente a pode ser substi-
tuído por ±∞ e os resultados continuam válidos.
2.6.5 Lista de exercícios
Exercício 2.114 Determine os limites abaixo, caso existam, justificando os resultados
utilizados:
a) lim
x→3
3
√
x− 3√3
x− 3 .
b) lim
x→−3
x2 + 5x+ 6
x2 − x− 12 .
c) lim
x→0
cos
1
x
.
d) lim
x→0
tg x2
x
.
e) lim
x→−2
3x+ 6
sen (x+ 2)
.
f) lim
x→pi/2
(
x− pi
2
)
secx
g) lim
x→0
log2
(
1 − cos (2x)
x2
)
.
h) lim
x→1
(3 − x3)4 − 16
x3 − 1 .
i) lim
x→−1
sen (x2 − 1)x+ 1
.
2.6. LIMITE DE FUNÇÃO DE UMA VARIÁVEL 31
j) lim
x→a
sen x.
l) lim
x→a
cosx.
m) lim
x→a
ln x.
n) lim
x→a
bx, onde b > 0 e b �= 1.
o) lim
x→a
logb x, onde b > 0 e b �= 1.
p) lim
x→0
√
x+ 2 − √2
x
.
q) lim
x→1
√
x− 1√
2x+ 3 − √5 .
Exercício 2.115 Determine, caso exista, lim
x→2
( |2x− 4|
x2 − 4
)
, justificando.
Exercício 2.116 Seja f : Df → R, a ∈ (Df)′− tal que existem r > 0 e M ∈ R satis-
fazendo
f(x) ≤M, ∀x ∈ (a− r, a) ∩Df .
Suponha ainda que f é não decrescente em (a− r, a) ∩Df . Mostre que existe lim
x→a−
f(x).
Exercício 2.117 Enuncie e demonstre um resultado análogo ao exercício anterior para
limite lateral à direita.
Exercício 2.118 Determine, os limites abaixo, caso existam, justificando:
a) lim
x→+∞
3
√
x3 + 2x− 1√
x2 + x+ 1
.
b) lim
x→+∞
sen x
x
.
c) lim
x→+∞
(1 − cos (1/x)) x2.
Exercício 2.119
d) lim
x→−∞
3x5 + x4 + 1
2x5 + x− 3 .
e) lim
x→−∞
x
x2 + 3x+ 6
.
32 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
Exercício 2.120 Sejam f : Df → R, g : Dg → R, l ∈ R, a ∈ D′f e Dg ilimitado
superiormente. Suponhamos que ∃r > 0 tal que f(x) ∈ Dg, ∀x ∈ Df com 0 < |x− a| < r.
Se lim
x→a
f(x) = +∞ e lim
y→+∞
g(y) = l então lim
x→a
(g ◦ f) (x) = l.
Exercício 2.121 Sejam f : Df → R, g : Dg → R, Df ilimitado inferiormente e Dg
ilimitado superiormente, tal que Im f ⊂ Dg. Se lim
x→−∞
f(x) = +∞, lim
x→+∞
g(x) = +∞,
mostre que lim
x→−∞
(g ◦ f) (x) = +∞.
Exercício 2.122 Determine os limites abaixo, caso existam:
a) lim
x→0−
1
1 + e1/x
.
b) lim
x→2+
1
ln (x4 − 16) .
Exercício 2.123 Seja f : [a,+∞) → R limitada superiormente e não decrescente em
[K,+∞), para algum K > a. Prove que existe lim
x→+∞
f(x).
Exercício 2.124 Enuncie e demonstre um resultado análogo ao exercício anterior para
limite quando x→ −∞.
Exercício 2.125 Seja f : [a,+∞) → R não decrescente em [K,+∞), para algum K > a.
Mostre que ou lim
x→+∞
f(x) existe ou lim
x→+∞
f(x) = +∞.
Exercício 2.126 Seja f : Df → R, a ∈ (Df)′− tal que f é não decrescente em (a− r, a)∩
Df , para algum r > 0. Prove que ou lim
x→a−
f(x) existe ou lim
x→a−
f(x) = +∞.
2.7 Continuidade de função de uma variável real
Intuitivamente, sabe-se que uma função f é contínua se o seu gráfico não apresenta
"saltos", isto é, à medida que x, no domínio de f, se aproxima de um outro ponto a
deste domínio, espera-se que f(x) se aproxime de f(a). É exatamente este o conceito que
enunciaremos a seguir.
Definição 2.127 Seja f : Df → R e a ∈ Df . Dizemos que f é contínua em a se e
somente se ∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que ∀x ∈ Df com |x− a| < δ então |f(x) − f(a)| < ε.
Nota 2.128 Observe que agora a deve ser um ponto do domínio de f e ainda, quando
analisamos a continuidade de f em a, estamos interessados no comportamento de f numa
vizinhança de a e no próprio ponto a.
2.7. CONTINUIDADE DE FUNÇÃO DE UMA VARIÁVEL REAL 33
Nota 2.129 Assim, da definição de continuidade, pode-se concluir que se a ∈ Df ∩
D′f então f é contínua em a se e somente se lim
x→a
f(x) = f(a). Portanto os resultados
apresentados na seção anterior para limite são também válidos para continuidade, os
quais apenas enunciaremos em seguida.
Nota 2.130 Se A ⊂ Df , dizemos que f é contínua em A se e somente se f |A é contínua
em cada ponto de A. Dizemos simplesmente que f é contínua se for contínua em cada
ponto de seu domínio Df . Portanto para cada a ∈ A, estamos interessados em pontos de
A, que estão numa vizinhançã de a.
Exemplo 2.131 f : R → R, tal que f (x) = x2 é contínua. De fato, provamos que para
cada a ∈ R, lim
x→a
x2 = a2. É fácil confirmar nossa intuição de que o gráfico não admite
"salto"nem "buraco", como pode ser visto abaixo.
Exemplo 2.132 f : R → R, tal que f (x) = sen x é contínua. De fato, provamos que
para cada a ∈ R, lim
x→a
senx = sen a. Novamente vemos também através do gráfico abaixo
que esta função não apresenta saltos.
34 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
Proposição 2.133 Seja f : Df → R e a ∈ Df tal que f é contínua em a. Então.
a) ∃r > 0 tal que f é limitada em Df ∩ (a− r, a+ r) .
b) Se f(a) �= 0 então ∃δ > 0 tal que f(x) tem o mesmo sinal de f(a), para todo
x ∈ (a− δ, a+ δ) .
Proposição 2.134 Sejam f : Df → R, g : Dg → R, a ∈ Df ∩ Dg tal que f e g são
contínuas em a. Então f ± g, fg e |f | são contínuas em a. Ainda, se g(a) �= 0 então f
g
é
contínua em a.
O próximo resultado sobre limite de composta de funções é uma alternativa para o
teorema que demonstramos anteriormente, onde não havia a hipótese de continuidade de
nenhuma das funções envolvidas.
Teorema 2.135 (da composta II): Sejam f : Df → R, g : Dg → R, a ∈ D′f , l ∈ Dg
tais que lim
x→a
f(x) = l e g é contínua em l. Então lim
x→a
(g ◦ f) (x) = g(l).
Nota 2.136 Observe que com a hipótese da continuidade de g, não precisamos mais
exigir que f(x) �= l numa vizinhança de a. O resultado acima continua válido se no lugar
de limite tivermos limites laterais e se a for ±∞, quando Df for ilimitado superiormente
e/ou inferiormente.
Teorema 2.137 Sejam f : Df → R, g : Dg → R, a ∈ Df , f(a) ∈ Dg tais que f(x) é
contínua em a e g é contínua em f(a). Então g ◦ f é contínua em a.
Exemplo 2.138 Calculemos lim
x→0
ln
(
sen (x2 + x)
x2 + x
)
. Como lim
x→0
x2 + x = 0, x2 + x �= 0,
para todo x ∈ (−1,+∞)\{0} e lim
y→0
sen y
y
= 1, então pelo teorema da composta I, segue
que lim
x→0
sen (x2 + x)
x2 + x
= 1. Ainda como ln é contínua em (0,+∞), segue do teorema da
composta II, que
lim
x→0
ln
(
sen (x2 + x)
x2 + x
)
= 0. (2.1)
Um resultado intuitivo é que se f é uma função contínua e o seu domínio é um
intervalo I então f(I) também é um intervalo, caso contrário seu gráfico apresentaria um
"salto". Mais ainda se o intervalo é fechdado e limitado, então a imagem também é um
intervalo fechado e limitado, pois da mesma forma se não fôsse o caso então o gráfico de
f apresentaria um "salto". Estes resultados fazem parte de importantes teoremas sobre
continuidade.
Teorema 2.139 Teorema de Bolzanno: Seja f : [a, b] → R, contínua em [a, b] tal que
f(a)f(b) < 0. Então existe c ∈ (a, b) tal que f(c) = 0.
2.7. CONTINUIDADE DE FUNÇÃO DE UMA VARIÁVEL REAL 35
Teorema 2.140 Teorema do valor intermediário: Seja f : [a, b] → R, contínua em [a, b]
tal que f(a) < f(b). Então para qualquer d ∈ (f(a), f(b)) existe c ∈ (a, b) tal que f(c) = d.
Prova. Considere g(x) = f(x) − d, ∀x ∈ [a, b] então g é contínua em [a, b] pois
f o é e a função constante também. Além disso tem-se que g(a) = f(a) − d < 0 e
g(b) = f(b)− d > 0, o que implica pelo teorema de Bolzanno que existe c ∈ (a, b) tal que
g(c) = 0 ou seja f(c) = d. �
Como conseqüência deste teorema, segue que:
Corolário 2.141 Seja f : I → R contínua no intervalo I. Então f(I) também é um
intervalo.
O teorema a seguir será muito importante para o estudo de máximos e mínimos abso-
lutos. Como conseqüência deste resultado tem-se que a imagem de um intervalo fechado
e limitado por uma função contínua é também é um intervalo fechado e limitado.
Teorema 2.142 Seja f : X → R uma função contínua no conjunto fechado e limitado
X. Então existem a, b ∈ X tais que
f(a) ≤ f(x) ≤ f(b), ∀x ∈ X.
Corolário 2.143 Seja f : [a, b] → R contínua. Então f ([a, b]) é também um intervalo
fechado e limitado.
A demonstração deste resultado segue do corolário do teorema do valor intermediário
e do teorema acima.
Daremos a seguir um resultado que não será demonstrado, mas que pode ser encon-
trado em bons livros de Análise, mas que será necessário quando estudarmos derivada de
funções inversas.
Proposição 2.144 Seja f : I → R injetora e contínua no intervalo I. Então f−1 :
f(I) → I também é contínua no intervalo f(I).
Exemplo 2.145 A função f : [−1, 1] → [0, pi] definidapor f(x) = arccos x é contínua,
pois g : [0, pi] → R definida por g(x) = cosx é contínua e injetora no intervalo [0, pi],
g ([0, pi]) = [−1, 1] e g−1 = f. O gráfico abaixo, mostra em verde a função cosseno e em
36 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
azul a sua inversa.
Exemplo 2.146 A função f : [−1, 1] →
[
−pi
2
,
pi
2
]
definida por f(x) = arcsen x é con-
tínua, pois g :
[
−pi
2
,
pi
2
]
→ R definida por g(x) = cosx é contínua e injetora no intervalo[
−pi
2
,
pi
2
]
, g
([
−pi
2
,
pi
2
])
= [−1, 1] e g−1 = f. Segue o gráfico abaixo, com a função seno
em marrom e a inversa em rosa.
Nota 2.147 Se I na proposição acima não for um intervalo o resultado pode não ser
válido. Vejamos um exemplo.
Exemplo 2.148 Seja f : [0, 1) ∪ [2, 3] → R, definida por f(x) =
{
x+ 1, 0 ≤ x < 1
x, 2 ≤ x ≤ 3 ,
f é contínua e injetora, pois o é em cada intervalo e [0, 1]∩[2, 3] = ∅, ou seja, existe δ > 0,
tal que (2 − δ, 2 + δ) ∩ ([0, 1) ∪ [2, 3]) = (2 − δ, 2 + δ) ∩ [2, 3] . Ainda f ([0, 1) ∪ [2, 3]) =
[1, 3]. Seja f−1 : [1, 3] → R, f−1(y) =
{
y − 1, 1 ≤ y < 2
y, 2 ≤ y ≤ 3 , tem-se limy→1−f
−1(y) = 1 �=
lim
y→1+
f−1(y) = 2 = f−1(1) ⇒ f−1 não é contínua em 2 e portanto não é contínua em seu
2.7. CONTINUIDADE DE FUNÇÃO DE UMA VARIÁVEL REAL 37
domínio. Seguem os gráficos de f em rosa e f−1 em azul.
Nota 2.149 Apesar do gráfico de f apresentar um salto, observe que o ponto 1 não é
ponto de acumulação do intervalo [2, 3, ] nem 2 é ponto de acumulação do intervalo [0, 1)
e por isso a função é contínua. O que não acontece com a inversa, pois agora o domínio
é um intervalo, onde todos os pontos são pontos de acumulação.
Exemplo 2.150 A função f : R →
(
−pi
2
,
pi
2
)
definida por f(x) = arctg x é contínua,
pois g :
(
−pi
2
,
pi
2
)
→ R, definida por g(x) = tg x é contínua e injetora no intervalo(
−pi
2
,
pi
2
)
, g
((
−pi
2
,
pi
2
))
= R e g−1 = f.
2.7.1 Lista de exercícos
Exercício 2.151 Analise a continuidade das funções abaixo em todo R:
a) f(x) =
 x
2 − 9
x− 3 , x �= 3
4, x = 3
.
38 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
b) f(x) =
 |x− 2|x− 2 , x �= 21, x = 2 .
c) f(x) =
{
x, x < 1
1
x
, x ≥ 1 .
Exercício 2.152 Seja f : Df → R tal que f é contínua em 2 ∈ Df e f(2) = 8. Mostre
que existe r > 0 tal que ∀x ∈ Df ∩ (2 − r, 2 + r) então f(x) > 7.
Exercício 2.153 Seja f(x) = x5+x+1. Justifique a afirmação : f tem pelo menos uma
raiz no intervalo [−1, 0] .
Exercício 2.154 Prove que a equação x3 − 4x+ 2 = 0 admite três raízes reais distintas.
Exercício 2.155 Seja f : [−1, 1] → R definida por f(x) = x+ x
2
1 + x2
.
a) Mostre que f(1) é o valor máximo de f.
b) Mostre que existe d ∈ (−1, 0) tal que f(d) é o valor mínimo de f.
Exercício 2.156 Seja f : [0, 1] → R contínua em [0, 1] e tal que f(0) = 1 e f(x) ∈ Q,
∀x ∈ [0, 1] . Mostre que f(x) = 1, ∀x ∈ [0, 1] .
1. Exercício 2.157 Seja f : [−1, 1] → R definida por f(x) = x+ x
2
1 + x2
.
Exercício 2.158 a) Mostre que f(1) é o valor máximo de f.
b) Mostre que existe d ∈ (−1, 0) tal que f(d) é o valor mínimo de f.
Exercício 2.159 Mostre que o conjunto A = { x
1 + x2
;−2 ≤ x ≤ 2} possui máximo e
mínimo e determine-os.
1. Exercício 2.160 Seja f : [0, 1] → R contínua em [0, 1] e tal que f(0) = 1 e f(x) ∈
Q, ∀x ∈ [0, 1] . Mostre que f(x) = 1, ∀x ∈ [0, 1] .
2.7. CONTINUIDADE DE FUNÇÃO DE UMA VARIÁVEL REAL 39
Exercício 2.161 Seja f : [0, 1] → R contínua em [0, 1] e tal que 0 ≤ f(x) ≤ 1,
∀x ∈ [0, 1] . Prove que existe c ∈ [0, 1] tal que f(c) = c.
Exercício 2.162 Seja f : [a, b] → R contínua e injetora em [a, b] e tal que f (a) <
f (b) . Prove que f é crescente.
Exercício 2.163 Seja f : [a, b] → R contínua e injetora em [a, b] e tal que f (a) >
f (b) . Prove que f é decrescente.
Exercício 2.164 Considere f : I → R contínua no intervalo I. Sejam a, b ∈ I com
a < b, tais que a e b sejam as únicas raízes de f em I. Sejam x0, x1, x2 ∈ I com
x0 < a, a < x1 < b e b < x2. Estude o sinal de f em I, a partir dos sinais de f(x0),
f(x1) e f(x2). Justifique.
Exercício 2.165 Justifique a seguinte afirmação: f : [1,+∞) → [0, pi
2
) definida
por f(x) = arcsecx é contínua em todo seu domínio.
Exercício 2.166 Determine domínio e contradomínio de f(x) = arcctg x, de modo
que f seja uma função contínua em todo seu domínio. Justifique sua escolha.
40 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
Capítulo 3
Diferenciabilidade de função de uma
variável
Um conceito importante do Cálculo é o de derivada, que é um limite, como veremos na
definição. Fisicamente o conceito de derivada está relacionado ao de taxa de variação
instantânea, por exemplo, a velocidade de uma partícula num determinado instante t0
é a taxa de variação da distância percorrida em função do tempo, neste instante t0.
Geometricamente a derivada de uma função f num ponto a ∈ Df é o coeficiente angular
da reta tangente ao gráfico desta função, no ponto (a, f(a)). Vejamos então:
3.1 Derivabilidade e diferenciabilidade
Definição 3.1 Sejam f : D → R e a ∈ D ∩ D′. Dizemos que f é derivável no ponto a
quando existe lim
x→a
f(x) − f(a)
x− a . Neste caso dizemos que este limite é a derivada de f no
ponto a a qual denotamos por f ′ (a) = lim
x→a
f(x) − f(a)
x− a ou também,
df
dx
(a) .
Nota 3.2 A razão
f(x) − f(a)
x− a é denominada razão incremental de f no ponto a, ou
simplesmente razão incremental de f. Geometricamente a razão incremental é o coeficiente
angular da reta secante ao gráfico de f pelos pontos (a, f(a)) e (x, f (x)) . Assim, no limite,
quando x → a obtemos o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto
(a, f (a)) , como pode ser visto no gráfico abaixo.
41
42 CAPÍTULO 3. DIFERENCIABILIDADE DE FUNÇÃO DE UMA VARIÁVEL
Exemplo 3.3 Seja f(x) = c, ∀x ∈ R, então para todo a ∈ R, tem-se que f(x) − f(a)
x− a =
0, ∀x �= a⇒ lim
x→a
f(x) − f(a)
x− a = 0 ⇒ f
′ (a) = 0, ∀a ∈ R.
Exemplo 3.4 Seja f(x) = αx+β, ∀x ∈ R então para todo a ∈ R tem-se que f(x) − f(a)
x− a =
α (x− a)
x− a = α. Portanto f é derivável em todo R e f
′(a) = α, ∀a ∈ R.
Exemplo 3.5 Seja f (x) = xn, para algum n ∈ N, então para todo a ∈ R tem-se que
f(x) − f(a)
x− a =
xn − an
x− a = (x
n−1 + xn−2a+ · · · + xan−2 + an−1) . Assim, f ′ (a) = nan−1.
Para determinarmos a derivada da função exponencial e logarítmica precisamos do
seguinte limite que vamos considerar sabido:
lim
x→0
(1 + x)1/x = e . (3.1)
Exemplo 3.6 Seja f(x) = ex, ∀x ∈ R. Vamos provar que f é derivável em toda a reta.
Primeiramente vamos mostrar que f é derivável em a = 0 Para isso devemos provar que,
lim
x→0
f(x) − f(0)
x
= lim
x→0
ex − 1
x
. Mas da definição acima e do fato de ln ser contínua em e,
segue que
lim
y→0
ln (1 + y)1/y = ln e = 1. (3.2)
Portanto
lim
y→0
1
ln (1 + y)1/y
= 1. (3.3)
Mas lim
x→0
(ex−1) = 0 e (ex−1) �= 0, para todo x �= 0, portanto pelo teorema da composta
I, segue que
lim
x→0
1
ln (1 + ex−1)1/(ex−1)
= lim
x→0
ex − 1
x
= 1. (3.4)
3.1. DERIVABILIDADE E DIFERENCIABILIDADE 43
Assim, f ′(0) = 1. Agora, para cada a ∈ R tem-se que lim
x→a
ex− ea
x− a = lim e
a
x→a
ex−a−1
x− a = e
a .
Assim f é derivável em toda a reta e f ′(a) = ea, ∀a ∈ R.
Exemplo 3.7 Seja f(x) = ln x, ∀x ∈ (0,+∞) . Vamos para provar que f é derivável em
(0,+∞) . Primeiramente, temos que f é derivável em a = 1, pois
lim
x→1
f(x) − f(1)
x− 1 = limx→1
ln x
x− 1 = limx→1 ln x
1/(x−1) = lim
x→1
ln (1 + (x− 1))1/(x−1) =
= ln lim
x→1
(1 + (x− 1))1/(x−1) = ln e = 1.
Assim, f ′(1) = 1. Agora, para cada a ∈ (0,+∞) temos que,
lim
x→a
f(x) − f(a)
x− a = limx→a
ln
(x
a
)
a
(x
a
− 1
) = 1
a
lim
x→a
ln
(x
a
)
x
a
− 1
=
1
a
e portanto f éderivável em (0,+∞) e f ′(a) = 1
a
.
Exemplo 3.8 Considere f(x) = senx, ∀x ∈ R então f é derivável em toda a reta
e f ′(x) = cosx, ∀x ∈ R. De fato, para cada x ∈ R tem-se que lim
y→x
f(y) − f(x)
y − x =
lim
y→x
sen y − sen x
y − x = limy→x
2 sen
(
y − x
2
)
cos
(
y + x
2
)
y − x = limy→x
sen
(
y − x
2
)
y − x
2
cos
(
y + x
2
)
=
cosx.
Exemplo 3.9 A função definida por f(x) = cosx é derivável em R e f ′(x) = − sen x,
∀x ∈ R. De fato, lim
y→x
cos y − cosx
y − x = limy→x
−2 sen
(
y − x
2
)
sen
(
y + x
2
)
y − x =
= −lim
y→x
sen
(
y − x
2
)
y − x
2
sen
(
y + x
2
)
= − sen x.
Exemplo 3.10 A equação da reta tangente ao gráfico de f(x) = ln x no ponto (1, 0) é
y = x − 1, pois f ′ (1) = 1
1
= 1 é o coeficiente angualr desta reta e ela passa pelo ponto
(1, 0) . Veja o gráfico a seguir.
44 CAPÍTULO 3. DIFERENCIABILIDADE DE FUNÇÃO DE UMA VARIÁVEL
Vejamos qual a relação entre uma função derivável e uma função contínua.
Proposição 3.11 Se f : D → R é derivável em a ∈ D ∩D′ então f é contínua em a.
Prova. Para todo x ∈ D, x �= a tem-se que f(x) = f(x) − f(a)
x− a (x− a) + f(a), então
lim
x→a
f(x) = lim
x→a
[
f(x) − f(a)
x− a (x− a) + f(a)
]
= lim
x→a
f(x) − f(a)
x− a limx→a (x− a) + limx→af(a) =
f ′ (a) 0 + f(a) = f (a) , já que f é derivável em a. Logo, f é contínua em a. �
Nota 3.12 A recíproca deste resultado não é verdadeira. Observe que f(x) = |x| é con-
tínua em a = 0, no entanto não é derivável neste ponto pois não existe lim
x→0
|x|
x
, já que
lim
x→0+
|x|
x
= 1 enquanto que lim
x→0−
|x|
x
= −1. Sendo assim a continuidade é apenas condição
necessária para que f seja derivável, mas não é condição suficiente, como mostra o
exemplo.
Calculamos pela definição a derivada de algumas funções. A seguir daremos as regras
de derivação, que nos permitirão calcular a derivada de outras funções, sem ter que utilizar
a definição.
Proposição 3.13 (Operações com funções deriváveis) Sejam f, g : D → R, a ∈
D ∩D′. Se f e g são deriváveis em a então:
a) f ± g é derivável em a e (f ± g)′ (a) = f ′ (a) ± g′ (a) .
b) Se c ∈ R, cf é derivável em a e (cf)′ (a) = cf ′(a).
c) fg é derivável em a e (fg)′ (a) = f ′ (a) g(a) + f(a)g′ (a) .
d) Se g(a) �= 0 então f
g
é derivável em a e
(
f
g
)′
(a) =
f ′ (a) g (a) − f (a) g′ (a)
(g (a))2
.
3.1. DERIVABILIDADE E DIFERENCIABILIDADE 45
Prova. Demonstraremos apenas o ítem (d) e deixaremos os demais a cargo do aluno.
Determinemos a razão incremental da função
f
g
, ou seja,(
f
g
)
(x) −
(
f
g
)
(a)
x− a =
f(x)g(a) − f(a)g(x)
(x− a) g(x)g(a) =
g(a) (f(x) − f(a)) − f(a) (g(x) − g(a))
(x− a) g(x)g(a) ,
mas como g é derivável em a então g é contínua em a, isto é, lim
x→a
g(x) = g(a) �= 0, portanto
utilizando as propriedade de limite obtemos,
lim
(
f
g
)
(x) −
(
f
g
)
(a)
x− a = lim
f(x) − f(a)
x− a lim
g(a)
g(x)g(a)
− lim g(x) − g(a)
x− a lim
f(a)
g(x)g(a)
,
portanto
lim
(
f
g
)
(x) −
(
f
g
)
(a)
x− a =
f ′(a)g(a) − g′(a)f(a)
(g(a))2
.
�
Assim, pode-se calcular outros limites tais como:
Exemplo 3.14 Tem-se que (tg x)′ = sec2 x, em cada ponto x ∈ D = {x ∈ R; x �=
pi
2
+ kpi, k ∈ Z}, pois tg x = sen x
cosx
com cosx �= 0, ∀x ∈ D, logo, (tg x)′ =
(sen x
cosx
)′
=
(sen x)′ cosx− sen x (cosx)′
cos2 x
. Assim, utilizando as derivadas de seno e cosseno, já calcu-
ladas por definição, obtemos que (tg x)′ =
cos2 x+ sen2 x
cos2 x
=
1
cos2 x
= sec2 x.
Exemplo 3.15 (senh x)′ = cosh x, pois senh x =
ex− e−x
2
=
ex ex−1
2 ex
. Assim, (senhx)′ =
1
2
(ex ex−1)′ ex− (ex)′ (ex ex−1)
e2x
. Mas (ex ex−1)′ = (ex)′ ex+ex (ex)′ − (1)′ = 2 e2x . Por-
tanto,
(senh x)′ =
1
2
2 e3x− e3x+ex
e2x
=
ex+e−x
2
= cosh x.
Um outro resultado importante é o teorema da inversa, que nos permite calcular
derivada de funções inversas, quando estas existem.
Teorema 3.16 (Teorema da derivada da inversa) Sejam f : D → R, injetora em
D, a ∈ D ∩D′ tal que f é derivável em a com f ′(a) �= 0 e f−1 é contínua em b = f(a).
Então f−1 : f(D) → D é derivável em b = f(a) e(
f−1
)′
(b) =
1
f ′ (f−1 (b))
=
1
f ′ (a)
.
46 CAPÍTULO 3. DIFERENCIABILIDADE DE FUNÇÃO DE UMA VARIÁVEL
Prova. Como f é derivável em a, segue que lim
x→a
f(x) − f(a)
x− a = f
′(a) e como tal limite
é não nulo, considerando q(x) =
x− a
f(x) − f(a) , segue que limx→aq(x) = limx→a
x− a
f(x) − f(a) =
1
f ′(a)
. Ainda lim
y→b
f−1 (y) = f−1(b) = a, pois f−1 é contínua em b e f−1(y) �= f−1(b),
∀y �= b, pois f−1 é injetora, já que f o é. Assim, pelo teorema da composta I, segue
que, lim
y→b
q(f−1(y)) = lim
y→b
f−1(y) − a
y − f(a) = limy→b
f−1(y) − f−1(b)
y − b =
1
f ′(a)
=
1
f ′(f−1(b))
, o que
implica que f−1 é derivável em b e(
f−1
)′
(b) =
1
f ′ (f−1 (b))
=
1
f ′ (a)
.
�
Exemplo 3.17 Determinemos a derivada de arcsen y, y ∈ (−1, 1) . Como senx é con-
tínua, injetiva em
(
−pi
2
,
pi
2
)
e (sen)′ (x) = cosx �= 0, ∀x ∈
(
−pi
2
,
pi
2
)
, segue que arcsen
é derivável em (−1, 1) e (arcsen)′ (y) = 1
cos (arcsen y)
. Mas cosx =
√
1 − sen2 x, ∀x ∈(
−pi
2
,
pi
2
)
, assim, cos (arcsen y) =
√
1 − sen2 (arcsen y) =
√
1 − y2. Portanto, (arcsen)′ (y) =
1√
1 − y2 .
Exemplo 3.18 Seja n ∈ N, n par. Então n√x, x ∈ [0,+∞) é a inversa de f(x) =
xn, x ∈ [0,+∞). Neste intervalo f é contínua, injetora, derivável e f ′(x) = nxn−1.
Assim, do teorema da inversa, f−1(x) = n
√
x é derivável em (0,+∞) e (f−1)′ (x) =
1
f ′ (f−1 (x))
=
1
n
n
√
xn−1
. Em a = 0, tal função não é derivável, pois não existe o limite da
razão incremental.(Verifique!)
Nota 3.19 Quando f ′ (a) = 0, o teorema da derivada da inversa não afirma que f−1
não é derivável em f (a) . Após a regra da cadeia, veremos que podemos concluir a não
derivabilidade de f−1, no ponto f (a).
Um conceito importante do Cálculo é a noção de diferenciabilidade. No caso de funções
de uma variável, mostraremos que derivabilidade e diferenciabilidade são noções equiv-
alentes, mas existe uma diferença conceitual. A derivabilidade está relacionada à taxa
de variação de uma função. Por exemplo a velocidade é a taxa de variação instantânea
da distância percorrida em relação ao tempo. No entanto a diferenciabilidade está rela-
cionada com a aproximação de uma função numa vizinhança de um ponto por uma função
linear. Assim, a pergunta que se coloca é: qual a função linear, cujo gráfico é uma reta,
aproxima melhor uma dada função numa vizinhança de um ponto?
3.1. DERIVABILIDADE E DIFERENCIABILIDADE 47
Definição 3.20 Seja f : D → R e a ∈ D ∩ D′. Dizemos que f é diferenciável em a
quando existe m ∈ R e uma função Ea : D → R contínua em a, com Ea(a) = 0 tais que
f(x) = f(a) +m (x− a) + Ea(x) (x− a) , ∀x ∈ D.
Nota 3.21 Observe que a definição garante que, numa vizinhança de a contida em D,
pode-se aproximar f(x) pela função linear f(a) +m(x− a). Este é o conceito de diferen-
ciabilidade: poder aproximar uma função numa vizinhança de um ponto por uma função
linear.
Exemplo 3.22 Seja f : R → R, definida por f (x) = x3. Então, para cada a ∈ R,
f (x) − f (a) = x3 − a3 = (x− a) (x2 + xa+ a2) = 3a2 (x− a) + (x− a) (x2 + xa− 2a2) .
Assim, considerando m = 3a2 e Ea : R → R, definida por Ea (x) = (x2 + xa− 2a2) , é
fácil verificar que Ea é contínua em a e Ea (a) = 0 e portanto f é diferenciável em cada
a ∈ R.
Exemplo 3.23 Seja f : R→ R, definida por f (x) = ex . Então, para cada a ∈ R, f (x)−
f (a) = ex− ea = ea (x− a) + (x− a)Ea (x) , onde Ea (x) =
{ ex− ea
x− a − e
a; x �= a
0; x = a
.
Assim, considerando m = ea, tem-se quelim
x→a
Ea (x) = lim
x→a
[
ex− ea
x− a − e
a
]
= lim
x→a
ex− ea
x− a −
ea = 0 = Ea (a) . Portanto f é diferenciável em cada a ∈ R.
Vamos mostrar que "f ser diferenciável em a”é equivalente a "f ser derivável em a” e
que a reta que melhor aproxima f numa vizinhança de a é a reta tangente ao gráfico de
f no ponto (a, f(a)), como pudemos perceber nos exemplos acima.
Teorema 3.24 Seja f : D → R e a ∈ D ∩ D′. f é derivável em a ⇔ f é diferenciável
em a. Neste caso m = f ′(a). Isto é, o coeficiente angular da reta que aproxima f numa
vizinhança de a é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto (a, f(a)).
Prova. (⇒)Como f é derivável então existe f ′(a) = lim
x→a
f(x) − f(a)
x− a . Considere então
Ea : D → R definida por Ea(x) =
 f(x) − f(a)x− a − f ′(a), x �= a0 x = a . Da definição de Ea,
segue que
f(x) = f(a) + f ′(a) (x− a) + Ea(x) (x− a) , ∀x ∈ D.
Resta mostrar que Ea é contínua em a, isto é, lim
x→a
Ea(x) = 0. De fato:
lim
x→a
Ea(x) = lim
x→a
(
f(x) − f(a)
x− a − f
′(a)
)
,
48 CAPÍTULO 3. DIFERENCIABILIDADE DE FUNÇÃO DE UMA VARIÁVEL
e como f é derivável em a, então
lim
x→a
Ea(x) = (f
′ (a) − f ′ (a)) = 0 = Ea (a) .
Assim, conclui-se que f é diferenciável em a e que m = f ′(a).
(⇐) Como f é diferenciável em a, então f(x) − f(a)
x− a = m + Ea(x), ∀x ∈ D, x �= a
então lim
x→a
f(x) − f(a)
x− a = limx→a [m+ Ea(x)] = m. Portanto f é derivável em a e m = f
′(a).
�
Exemplo 3.25 Determine aproximadamente 3
√
1, 03. Sabe-se que f(x) = 3
√
x é derivável
em a = 1 e f ′(a) =
1
3
3
√
a2
=
1
3
, portanto f é diferenciável em a = 1 logo f(x) =
f(a)+ f ′(a) (x− a)+Ea(x) (x− a) , ∀x ∈ R. Portanto 3
√
1, 03 ≈ 3√1+ 1
3
3
√
12
(1, 03 − 1) =
1 + 0, 01 = 1, 01. Veja a seguir o gráfico de f e o gráfico da reta tangente ao gráfico de f
no ponto (1, f (1)) , na vizinhança centrada em 1, de raio
1
2
, ou seja V0,5 (1) =
(
1
2
,
3
2
)
.
Observe que em torno do ponto (1, f (1)) , os gráficos se confundem.
Exemplo 3.26 Determine aproximadamente sen (0, 001) . Como a função seno é de-
rivável em R, então ela é diferenciável em R. Assim,
sen (0, 001) ≈ sen (0) + cos (0) (0, 001− 0) = 0, 001.
Exemplo 3.27 Determine aproximadamente arcsen (0, 002) . Como a função arcsen é
derivável em (−1, 1), segue que arcsen é diferenciável em (−1, 1) e portanto
arcsen x ≈ arcsen a+ 1√
1 − a2 (x− a) .
Considerando a = 0 e x = 0, 002 segue que arcsen (0, 002) ≈ 0 + 0.002 = 0.002.
3.1. DERIVABILIDADE E DIFERENCIABILIDADE 49
O próximo resultado nos dará mais um regra de derivação, a última que faltava.
Proposição 3.28 (Regra da cadeia) Sejam f : Df → R e g : Dg → R tal que Im f ⊂
Dg, a ∈ Df ∩D′f e f(a) ∈ Dg ∩D′g. Se f é derivável em a e g é derivável em f(a) então
g ◦ f é derivável em a e (g ◦ f)′ (a) = g′ (f(a)) f ′(a).
Prova. Como g é derivável em f(a) então g é diferenciável em f(a), então existe
Ef(a) : Dg → R contínua em f(a) com Ef(a)(f(a)) = 0 tal que
g(y) = g(f(a)) + g′ (f(a)) (y − f(a)) + Ef(a) (y) (y − a) , ∀y ∈ Dg.
Portanto
(g ◦ f) (x) − (g ◦ f) (a)
x− a =
g (f(x)) − g(f(a))
x− a =
= g′(f(a))
f(x) − f(a)
x− a +Ef(a) (f(x))
f(x) − f(a)
x− a , ∀x ∈ Df , x �= a. Assim, como Ef(a)
é contínua em f(a) com Ef(a)((f(a)) = 0 e f é contínua em a, pois é derivável em a,
então,
(g ◦ f)′ (a) = lim
x→a
(g ◦ f) (x) − (g ◦ f) (a)
x− a = g
′(f(a))f ′(a). �
Exemplo 3.29 Determine os pontos onde f(x) = cosh
√
x4 + x2 + 1 é derivável e nestes
pontos determine sua derivada.
Como cosh é derivável em R,
√
y é derivável em (0,+∞) , x4 + x2 + 1 é derivável em
R e x4 + x2 + 1 > 0, ∀x ∈ R, segue que f é derivável em R e
f ′(x) = senh
(√
x4 + x2 + 1
) 4x3 + 2x
2
√
x4 + x2 + 1
= senh
(√
x4 + x2 + 1
) 2x3 + x√
x4 + x2 + 1
,∀x ∈ R.
Exemplo 3.30 A função f (x) = xx é derivável em (0,+∞) , pois f(x) = exp (x lnx) . A
função h (x) = x ln x é derivável em (0,+∞), Imh ⊂ R e a função g (x) = ex é derivável
em R. Portanto como f é composta de funções deriváveis, segue que f é derivável em
(0,+∞) e ainda
f ′(x) = exp (x ln x) (ln x+ 1) = xx (lnx+ 1) .
Nota 3.31 Observe que a regra da cadeia nos diz que se f é derivável em a e g é derivável
em f (a), então g ◦ f é derivável em a. Mas nada podemos afirmar se uma delas não é
derivável. Por exemplo: Considere f : R → R, f (x) = x4 e g : R → R; g (x) = 3√x.
Tem-se que f é derivável em cada ponto de R, em particular em a = 0. A função g é
derivável em R\{0} (mostre!). No entanto g ◦ f = 3√x4 é derivável em R e portanto
derivável em a = 0. Portanto quando falhar uma das hipótese da regra da cadeia, deve-se
apelar para a definição.
Como já havíamos dito a regra da cadeia nos permitirá concluir que a função inversa
de uma função derivável f, não é derivável nos pontos onde a derivada de f for igual a 0.
50 CAPÍTULO 3. DIFERENCIABILIDADE DE FUNÇÃO DE UMA VARIÁVEL
Proposição 3.32 Seja f : D → R, injetora em D, a ∈ D ∩D′ tal que f é derivável em
a, com f ′ (a) = 0 e f−1 : f (D) → D contínua em a. Então f−1 não é derivável em f (a) .
Prova. Suponha por absurdo que f−1 é derivável em f (a) , então como f é de-
rivável em a, segue pela regra da cadeia que f−1 ◦ f é derivável em a e (f−1 ◦ f)′ (a) =
(f−1)′ (f (a)) f ′ (a) = 0. Mas (f−1 ◦ f) (x) = x, ∀x ∈ D e portanto (f−1 ◦ f)′ (a) = 1, o
que é um absurdo. Logo, f−1 não é derivável em a.
Exemplo 3.33 A função f (x) = sen x é contínua e injetora no intervalo
[
−pi
2
,
pi
2
]
e
portanto admite inversa f−1 (x) = arcsen x, tal que f−1 : [−1, 1] →
[
−pi
2
,
pi
2
]
é contínua
em [−1, 1] . Como f é derivável em
[
−pi
2
,
pi
2
]
, f ′ (x) �= 0, ∀x ∈
(
−pi
2
,
pi
2
)
e f ′
(pi
2
)
=
f ′
(
−pi
2
)
= 0, então f−1 é derivável apenas em (−1, 1) .
Exemplo 3.34 A função f (x) = arctg x é derivável em R, pois tg :
(
−pi
2
,
pi
2
)
→ R é
derivável, portanto contínua, injetora, com (tg)′ (x) = sec2 x �= 0, ∀x ∈
(
−pi
2
,
pi
2
)
. Ainda
tg
((
−pi
2
,
pi
2
))
= R. Logo, como f = g−1 : R →
(
−pi
2
,
pi
2
)
, segue que f é derivável em R
e f ′ (x) =
1
g′ (f (x))
=
1
sec2 (arctg x)
=
1
1 + tg2 (arctg x)
=
1
1 + x2
.
�
3.1.1 Lista de exercícios
Exercício 3.35 Determine os pontos onde as funções abaixo são deriváveis e determine
sua derivada nestes pontos:
a) f(x) = tg x.
b) f(x) = loga x, 0 < a e a �= 1.
c) f(x) = secx.
d) f(x) = senh x.
e) f(x) = coshx.
Exercício 3.36 Determine a derivada de arccos y, y ∈ (−1, 1) .
Exercício 3.37 Determine a derivada de arctg y, y ∈ R.
Exercício 3.38 Seja f : Df → R injetora em Df e a ∈ Df ∩D′f tal que f é derivável em
a,com f ′(a) = 0 e f−1é contínua em b = f(a). Prove que f−1 não é derivável em f(a).
3.1. DERIVABILIDADE E DIFERENCIABILIDADE 51
Exercício 3.39 Determine o intervalo onde arcsenh x é derivável e determine nestes
pontos sua derivada.
Exercício 3.40 Determine o intervalo onde as funções abaixo são deriváveis e determine
nestes pontos suas derivadas. Verifique ainda em que pontos f ′ é contínua:
a) f(x) = arcsen x.
b) f(x) = x arctg x.
c) f(x) = arcsen
(
2 − x
x
)
.
d) f(x) =
{
x2 cos
1
x
+ (x2 + 3x) , x �= 0
0 x = 0
e) f(x) =
{
x cos
1
x
+ (x2 + 3x) , x �= 0
0 x = 0
f) f(x) =

ex, x ≤ 0
ln(x+ 1) 0 < x < (e− 1)
x+ 1
e
x ≥ e
3.1.2 Derivada de ordem superior
Observe que se f é derivável num subconjunto D de Df , obtemos então uma nova função
g = f ′ cujo domínio é D. Pode-se então verificar em que pontos de D, a função g é
derivável. Assim, se g é derivável em a ∈ D∩D′, dizemos que f é duas vezes derivável em
a e g′(a) = f”(a), denominada derivada segunda de f em a. E assim sucessivamente,
pode-se verificar se g′ é derivável em a e se