CALCULO NUMERICO AULA 6 a 10

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CÁLCULO NUMÉRICO AULA 6
	 1a Questão (Ref.: 201309716260)
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	Em experimentos empíricos, é comum a coleta de informações relacionando a variáveis "x" e "y", tais como o tempo (variável x) e a quantidade produzida de um bem (variável y) ou o tempo (variável x) e o valor de um determinado índice inflacionário (variável y), entre outros exemplos. Neste contexto, geralmente os pesquisadores desejam interpolar uma função que passe pelos pontos obtidos e os represente algebricamente, o que pode ser feito através do Método de Lagrange. Com relação a este método, NÃO podemos afirmar:
		
	 
	Na interpolação quadrática, que representa um caso particular do polinômio de Lagrange, precisamos de dois pontos (x,y).
	
	As interpolações linear (obtenção de reta) e quadrática (obtenção de parábola) podem ser consideradas casos particulares da interpolação de Lagrange.
	
	A interpolação de polinômios de grau "n+10" só é possível quando temos "n+11" pontos.
	
	Na interpolação linear, que pode ser obtida através do polinômio de Lagrange, precisamos de dois pontos (x,y).
	
	Na interpolação para obtenção de um polinômio de grau "n", precisamos de "n+1" pontos.
	
	 2a Questão (Ref.: 201309716264)
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	Durante a coleta de dados estatísticos referente ao número médio de filhos das famílias de uma comunidade em função do tempo, verificamos a obtenção dos seguintes pontos (x,y), nos quais "x" representa o tempo e "y" representa o número de filhos: (1, 2), (2, 4), (3,5) e (4,6). Caso desejemos representar estes pontos através de uma função, que ramo do Cálculo Numérico deveremos utilizar? Assina a opção CORRETA.
		
	
	Determinação de raízes.
	 
	Integração.
	 
	Interpolação polinomial.
	
	Derivação.
	
	Verificação de erros.
	
	 3a Questão (Ref.: 201309716289)
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	Experimentos laboratoriais visando a obtenção de pares ordenados (x,y) e posterior interpolação de funções é uma das aplicações do Cálculo Numérico. Por exemplo, empiricamente foram obtidos os seguintes pontos (-3,9), (-2,4), (0,0), (3,9), (1,1) e (2,4) que devem fornecer uma função através dos métodos de interpolação de Cálculo Numérico. Das funções descritas a seguir, qual é a mais adequada?
		
	
	Função linear.
	
	Função cúbica.
	 
	Função quadrática.
	
	Função exponencial.
	
	Função logarítmica.
	
	 4a Questão (Ref.: 201309716267)
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	Em Cálculo Numérico possuímos o Método de Lagrange para a interpolação polinomial de funções quando conhecemos alguns pontos das mesmas. Considerando este método como referência, determine o "polinômio" que melhor representa os pontos (1,3), (4,9), (3,7) e (2,5).
		
	
	y=x2+x+1
	
	y=2x-1
	
	y=2x
	 
	y=x3+1
	 
	y=2x+1
	
	 5a Questão (Ref.: 201309706381)
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	A interpolação polinomial consiste em encontrar um polinômio de grau igual ou menor que n que melhor se ajuste aos n +1 pontos dados. Existem várias maneiras de encontrá-lo, dentre as quais podemos citar:
		
	 
	o método de Lagrange
	
	o método de Euller
	
	o método de Pégasus
	
	o método de Runge Kutta
	 
	o método de Raphson
	
	 6a Questão (Ref.: 201309716274)
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	Em Cálculo Numérico, interpolação polinomial consiste em substituir a função original f(x) por outra função g(x), com o objetivo de tornar possível ou facilitar certas operações matemáticas. Este procedimento é realizado, por exemplo, quando são conhecidos somente os valores numéricos da função para um conjunto de pontos e é necessário calcular o valor da função em um ponto não tabelado, mesmo quando as operações matemáticas exigidas são complicadas ou impossíveis de serem realizadas. Com relação a interpolação linear, NÃO podemos afirmar:
		
	 
	Para interpolarmos um polinômio de grau "n", podemos utilizar o método de Newton.
	
	O polinômio de grau "n" interpolado em "n+1" pontos é único.
	
	Para interpolarmos um polinômio de grau "n", podemos utilizar o método de Lagrange.
	 
	Para interpolarmos um polinômio de grau "n", podemos utilizar o método de Newton-Raphson.
	
	Para interpolarmos um polinômio de "n", devemos ter "n+1" pontos.
		1.
		A interpolação polinomial consiste em encontrar um polinômio que melhor se ajuste aos pontos dados. Suponha que você tenha que determinar por interpolação o polinômio P(x) que se ajuste aos pontos pontos A (1,2), B(-1,-1), C(3, 5).e D(-2,8). Qual dos polinômios abaixo pode ser P(x)
	
	
	
	
	 
	Um polinômio do quarto grau
	
	
	Um polinômio do décimo grau
	
	 
	Um polinômio do terceiro grau
	
	
	Um polinômio do sexto grau
	
	
	Um polinômio do quinto grau
	
	
		2.
		Para analisar um fenômeno um engenheiro fez o levantamento experimental em um laboratório. Nesta análise concluiu que que as duas variáveis envolvidas x e y se relacionam linearmente, ou seja, através de um polinômio P(x) do primeiro grau. Qual o número mínimo de pontos que teve que obter no ensaio para gerar o polinômio P9x) por interpolação polinomial?
	
	
	
	
	 
	2
	
	
	5
	
	 
	1
	
	
	3
	
	
	4
	
	
		3.
		Considere a situação em que você disponha de 20 pares ((x0,f(x0)), (x1,f(x1)),..., (x19,f(x19)) ) de dados distintos no plano cartesiano. Suponha que você utilize o método de Newton para a determinação do polinômio interpolador. Qual dos polinômios abaixo pode representar este polinômio?
	
	
	
	
	 
	X19 + 5X + 9
	
	 
	X20 + 2X + 9
	
	
	X30 + 8X + 9
	
	
	X21 + 3X + 4
	
	
	X20 + 7X - 9
	
	
		4.
		Você, como engenheiro, efetuou a coleta de dados em laboratório referentes a um experimento tecnológico de sua empresa. Assim, você obteve os pontos (0,3), (1,5) e (2,6). Com base no material apresentado acerca do Método de Lagrange, tem-se que a função M0 gerada é igual a:
	
	
	
	
	 
	(x2 - 3x + 2)/2
	
	 
	(x2 + 3x + 2)/3
	
	
	(x2 + 3x + 2)/2
	
	
	(x2 - 3x - 2)/2
	
	
	(x2 + 3x + 3)/2
		1.
		Dados os 13 pontos ( (x0,f(x0)), (x1,f(x1)),..., (x12,f(x12)) ) extraídos de uma situação real de engenharia. Suponha que se você tenha encontrado o polinômio P(x) interpolador desses pontos. A respeito deste polinômio são feitas as seguintes afirmativas: I ¿ seu grau máximo é 13 II - Existe apenas um polinômio P(x) III - A técnica de Lagrange não é adequada para determinar P(x). Desta forma, é verdade que:
	
	
	
	
	 
	Apenas II e III são verdadeiras
	
	
	Apenas I é verdadeira
	
	
	Todas as afirmativas estão erradas
	
	 
	Apenas II é verdadeira
	
	
	Todas as afirmativas estão corretas
	
		2.
		Você é estagiário de uma empresa de engenharia que trabalha com testes em peças para grandes motores. Em um ensaio laboratorial você gera 10 pontos ( (x0,f(x0)), (x1,f(x1)),..., (x9,f(x9))). Suponha que se você tenha encontrado o polinômio P(x) interpolador desses pontos. A respeito deste polinômio é verdade que:
	
	
	
	
	 
	Nunca poderá ser do primeiro grau
	
	
	Poderá ser do grau 15
	
	 
	Será de grau 9, no máximo
	
	
	Pode ter grau máximo 10
	
	
	Sempre será do grau 9
		4.
		Considere que são conhecidos 3 pares ordenados: (x0,y0), (x1,y1) e (x2,y2). Dado que foram apresentados em sala dois métodos de interpolação polinomial (Lagrange e Newton), você pode aplica-los, encontrando, respectivamente, as funções de aproximação f(x) e g(x). Pode-se afirmar que:
	
	
	
	
	
	f(x) é igual a g(x), se todos os valores das ordenadas
forem negativos.
	
	 
	f(x) é igual a g(x), independentemente dos valores dos pares ordenados.
	
	 
	f(x) é igual a g(x), se todos os valores das abscissas forem positivos.
	
	
	f(x) é igual a g(x), se todos os valores das abscissas forem negativos.
	
	
	f(x) é igual a g(x), se todos os valores das ordenadas forem positivos.
	
	
		5.
		Em um método numérico iterativo determinado cálculo é realizado até que o critério de  convergência seja satisfeito. Que desigualdade abaixo pode ser considerada um critério de convergência, em que k é a precisão desejada:
 
DADO: considere Mod como sendo o módulo de um número real.
	
	
	
	
	 
	todos acima podem ser utilizados como critério de convergência
	
	
	Mod(xi+1 - xi) > k
	
	
	Mod(xi+1 + xi) > k
	
	 
	Mod(xi+1 - xi) < k
	
	
	Mod(xi+1 + xi) < k
	 4a Questão (Ref.: 201309179630)
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	Considere que são conhecidos dois pares ordenados, (2,5) e (1,2). Utilizando o método de Lagrange de interpolação polinomial, obtém-se a função:
		
	
	x + 2
	
	3x + 7
	 
	x - 3
	
	2x + 5
	 
	3x - 1
	 2a Questão (Ref.: 201308506175)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	Você, como engenheiro, efetuou a coleta de dados em laboratório referentes a um experimento tecnológico de sua empresa. Assim, você obteve os pontos (0,3), (1,5) e (2,6). Com base no material apresentado acerca do Método de Lagrange, tem-se que a função M1 gerada é igual a:
		
	
	-2x2 + 3x
	 
	-x2 + 2x
	 
	-x2 + 4x
	
	x2 + 2x
	
	-3x2 + 2x
		2.
		Em um experimento, foram obtidos os seguintes pontos (0,1), (4,9), (2,5), (1,3) e (3,7) que devem fornecer uma função através dos métodos de interpolação de Cálculo Numérico. Das funções descritas a seguir, qual é a mais adequada?
	
	
	
	
	
	Função cúbica.
	
	
	Função exponencial.
	
	
	Função logarítmica.
	
	 
	Função linear.
	
	 
	Função quadrática.
  CÁLCULO NUMÉRICO AULA 7
	 1a Questão (Ref.: 201309241685)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	Dados os ¨n¨ pontos distintos ( (x0,f(x0)), (x1,f(x1)),..., (xn,f(xn)) Suponha que se deseje encontrar o polinômio P(x) interpolador desses pontos pelo método de Newton. A fórmula de Newton para o polinômio interpolador impõe que
		
	 
	Que a função e as derivadas sejam contínuas em dado intervalo [a,b]
	
	Somente as derivadas sejam contínuas em dado intervalo [a,b]
	
	      Que somente a primeira e segunda derivadas sejam contínuas em dado intervalo [a,b]
	
	Somente a função seja contínua em dado intervalo [a,b]
	
	Não há restrições para sua utilização.
	
	 2a Questão (Ref.: 201309336125)
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	Seja o método numérico de integração conhecido como regra dos retângulos, isto é, a divisão do intervalo [a,b] em n retângulos congruentes. Aplicando este método para resolver a integral definida I = Integral de 0 a 5 de f(x), com  n = 200, cada base h terá que valor?
		
	
	0,025
	
	0,100
	 
	0,500
	
	0,250
	
	0,050
	
	
	
	 3a Questão (Ref.: 201309247653)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	Dados ¨31¨ pontos distintos ( (x0,f(x0)), (x1,f(x1)),..., (x31,f(x31)). Suponha que se deseje encontrar o polinômio P(x) interpolador desses pontos por algum método conhecido - método de Newton ou método de Lagrange. Qual o maior grau possível para este polinômio interpolador?
		
	
	grau 20
	 
	grau 15
	
	grau 31
	
	grau 32
	 
	grau 30
	
	
	
	 4a Questão (Ref.: 201309241683)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	Dados os pontos ( (x0,f(x0)), (x1,f(x1)),..., (x20,f(x20)) ) extraídos de uma situação real de engenharia. Suponha que se deseje encontrar o polinômio P(x) interpolador desses pontos. A respeito deste polinômio são feitas as seguintes afirmativas:
 
 I - Pode ser de grau 21
II - Existe apenas um polinômio P(x)
III - A técnica de Lagrange permite determinar P(x).
 
Desta forma, é verdade que:
		
	
	 Todas as afirmativas estão erradas
	
	 Apenas I e III são verdadeiras
	 
	 Todas as afirmativas estão corretas
	 
	Apenas II e III são verdadeiras.
 
	
	 Apenas I e II são verdadeiras
	
	
	
	 5a Questão (Ref.: 201309210427)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	Empregue a regra dos Retângulos para calcular o valor aproximado da integral de f(x) = x3, no intervalo de 0 a 1, com 4 intervalos.
		
	 
	0,245
	
	0,237
	
	0,250
	 
	0,242
	
	0,247
	
	
	
	 6a Questão (Ref.: 201309210437)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	Empregando-se a Regra dos Trapézios para calcular a integral de x2 entre 0 e 1 com dois intervalos, tem-se como resposta aproximada o valor de:
		
	 
	0,33
	
	0,36
	 
	0,38
	
	0,35
	
	0,40
		1.
		Integrais definidas de uma função podem ser interpretadas como a área sob a curva limitada a um determinado intervalo, porém a execução do cálculo desta área nem sempre é simples através de métodos analíticos, necessitando-se de método numéricos, como a Regra do Retângulo. Considerando o exposto, determine a área sob a função f(x)=x2+1 no intervalo [0; 1,2], considerando este intervalo dividido em três partes e o resultado com três casas decimais.
	
	
	
	
	
	Integral = 1,000
	
	 
	Integral = 1,700
	
	
	Integral = 2,000
	
	 
	Integral = 1,760
	
	
	Integral = 3,400
	
		2.
		Empregando-se a Regra dos Trapézios para calcular a integral de x3 entre 0 e 1 com dois intervalos, tem-se como resposta o valor de:
	
	
	
	
	
	0,2750
	
	
	0,3225
	
	 
	0,2500
	
	
	0,3000
	
	 
	0,3125
	
	
		3.
		Em relação ao método de Runge - Kutta de ordem "n" são feitas três afirmações:
I - é de passo um;
II - não exige o cálculo de derivada;
III - utiliza a série de Taylor.
É correto afirmar que:
	
	
	
	
	
	apenas I e II estão corretas
	
	 
	todas estão corretas
	
	
	apenas II e III estão corretas
	
	
	todas estão erradas
	
	
	apenas I e III estão corretas
	
	
		4.
		A regra de integração numérica dos trapézios para n = 2 é exata para a integração de polinômios de que grau?
	
	
	
	
	
	nunca é exata
	
	
	segundo
	
	 
	primeiro
	
	
	quarto
	
	
	terceiro
	
	
		5.
		Em diversas situações associadas a manipulação de funções matemáticas, não conseguimos ou não é prática a obtenção de soluções analíticas de integrais definidas, o que nos conduz a métodos numéricos. Com base na Regra do Retângulo e considerando a função f(x)=x2, obtenha a sua integração no intervalo [0, 1], considerando-o dividido em 2 partes. Expresse o resultado com uma casa decimal e escolha opção CORRETA.
	
	
	
	
	
	Integral = 0,63
	
	
	Integral = 1,00
	
	
	Integral = 0,15
	
	
	Integral = 1,50
	
	 
	Integral = 0,31
	
	
		6.
		O cálculo de área sob curvas mereceu especial atenção nos métodos criados em Cálculo Numérico, originando dentre outros a Regra de Simpson, que, se considerada a função f(x) e a área sob a curva no intervalo [a,b], tem-se que esta última é dada por h/3 [f(x1)+ 4.f(x2)+ 2.f(x3)+ 4.f(x4)....+ 4.f(xn-1)+f(xn)], onde "h" é o tamanho de cada subintervalo e x1, x2, x3....xn são os valores obtidos com a divisão do intervalo [a,b] em "n" partes. Considerando o exposto, obtenha a integral da função f(x)=3x no intervalo [0,4], considerando-o dividido em 4 partes. Assinale a opção CORRETA.
	
	
	
	
	 
	73,3
	
	
	146,6
	
	 
	293,2
	
	
	220
20,0
		2.
		Muitas situações de engenharia necessitam do cálculo de integrais definas. Por vezes devemos utilizar métodos numéricos para esta resolução. Considere o método numérico de integração conhecido como regra dos trapézios. A aplicação deste método consiste em dividir o intervalo de integração (de a a b) em trapézios com mesma altura h = (b ¿ a)/n. Quando se aumenta n, ou seja, o número de trapézios, o valor da integral definida:
	
	
	
	
	
	Varia, podendo aumentar ou diminuir a precisão
	
	 
	Varia, diminuindo a precisão
	
	 
	Varia, aumentando a precisão
	
	
	Nada pode ser afirmado.
	
	
	Nunca se altera
	
	
		3.
		A literatura especializada oferece diversos métodos para cálculo de área sob a curva, sendo a Regra dos Trapézios de fácil execução, fornecendo bons resultados quanto a precisão. Considerando que a integral definida de uma função f(x) no intervalo [a,b] neste método é dada por h/2 [f(x1)+ 2.f(x2)+ 2.f(x3)+.... f(xn)], onde "h" é o tamanho de cada subintervalo e x1, x2, x3....xn são os valores obtidos com a divisão do intervalo [a,b] em "n" partes, obtenha a integral da função f(x)=2x no intervalo [0,4], considerando-o dividido em 4 partes. Assinale a opção CORRETA.
	
	
	
	
	 
	22,5
	
	
	45,0
	
	 
	12,3
	
	
	10,0
	
	
	20,0
	
		4.
		Muitas situações de engenharia necessitam do cálculo de integrais definas. Por vezes devemos utilizar métodos numéricos para esta resolução. Considere o método numérico de integração conhecido como regra dos retângulos, isto é, a divisão do intervalo [a,b] em n retângulos congruentes. Aplicando este método para resolver a integral definida cujos limites de integração são 0 e 3, n = 10, cada base h do retângulo terá que valor?
	
	
	
	
	
	Indefinido
	
	
	30
	
	 
	0,3
	
	
	3
	
	 
	0,5
		6.
		Empregue a regra dos Retângulos para calcular a integral de f(x) = x2, no intervalo de 0 a 1, com 4 intervalos.
	
	
	
	
	 
	0,333
	
	
	0,125
	
	
	0,385
	
	
	0,48125
	
	 
	0,328125
  CÁLCULO NUMÉRICO AULA 8
		1.
		No método de Romberg para a determinação de uma integral definida de limites inferior e superior iguais a a e b, respectivamente, o intervalo da divisão é dado por hk = (a-b)/2 ^(k-1). . Se a = 1, b = 0 e k =2, determine o valor de h.
	
	
	
	
	
	1/4
	
	
	1/5
	
	 
	1/2
	
	
	1/3
	
	
	0
	
	
		2.
		Uma técnica importante de integração numérica é a de Romberg. Sobre este método é correto afirmar que:
	
	
	
	
	 
	Tem como primeiro passo a obtenção de aproximações repetidas pelo método dos retângulos
	
	
	É um método de pouca precisão
	
	
	É um método cuja precisão é dada pelos limites de integração
	
	 
	Tem como primeiro passo a obtenção de aproximações repetidas pelo método do trapézio
	
	
	Só pode ser utilizado para integrais polinomiais
	
	
		3.
		Métodos numéricos para a resolução de problemas que envolvam integrais definidas nos fornecem boas aproximações, especialmente se for utilizado o Método de Romberg. Entre as opções oferecidas a seguir, determine aquela que apresenta expressão relacionada a este método.
	
	
	
	
	
	Ax=B, com A, x e B representando matrizes
	
	 
	R2,1=1/2 [R1,1+h1.f(a+h2)]
	
	
	[f(x1)+ 4.f(x2)+ 2.f(x3)+ 4.f(x4)....+ 4.f(xn-1)+f(xn)]
	
	
	xk=Cx(k-1)+G
	
	
	xn+1=xn- f(x) / f'(x)
	
		4.
		Seja o método numérico de integração conhecido como regra dos retângulos, isto é, a divisão do intervalo [a,b] em n retângulos congruentes. Aplicando este método para resolver uma integral definida com limites inferior e superior iguais a zero e cinco e tomando-se n = 200, cada base h terá que valor?
	
	
	
	
	
	0,250
	
	 
	0,100
	
	
	0,500
	
	 
	0,025
	
	
	0,050
	
	
		5.
		Sobre o método de Romberg utilizado na integração numérica são feitas as seguintes afirmações:
 
I - É um método de alta precisão
II - Tem como primeiro passo a obtenção de aproximações repetidas pelo método do trapézio
III - só pode ser utilizado para integrais polinomiais
 
É correto afirmar que:
	
	
	
	
	 
	todas são corretas
	
	 
	apenas I e II são corretas
	
	
	apenas II e III são corretas
	
	
	apenas I e III são corretas
	
	
	todas são erradas
	
	
		6.
		O Método de Romberg nos permite obter o resultado de integrais definidas por técnicas numéricas. Este método representa um refinamento de métodos anteriores, possuindo diversas especificidades apontadas nos a seguir, comEXCEÇÃO de:
	
	
	
	
	
	A precisão dos resultados é superior a obtida no método dos retângulos.
	
	 
	Permite a obtenção de diversos pontos que originam uma função passível de integração definida.
	
	
	Utiliza a extrapolação de Richardson.
	
	
	As expressões obtidas para a iteração se relacionam ao método do trapézio.
	
	
	Pode se utilizar de critérios de parada para se evitar cálculos excessivos.
		2.
		Considere o gráfico de dispersão abaixo.
 
 
Analisando o gráfico acima, qual a curva que os pontos acima melhor se ajustam?
	
	
	
	
	 
	Y = a.2-bx
	
	
	Y = ax2 + bx + 2
	
	 
	Y = ax + 2
	
	
	Y = b + x. ln(2)
	
	
	 Y = a.log(bx)
		4.
		O erro no cálculo de integrais utilizando o método do trapézío deve-se ao fato de que:
	
	
	
	
	 
	Os trapézios nunca se ajustarem perfeitamente à curva da função
	
	
	Os trapézíos se ajustarem a curva da função
	
	 
	Esta regra não leva a erro.
	
	
	O melhor é utilizar uma calculadora para o calculo
	
	
	Os trapézios não terem uma boa aplicação de calculo de integrais
	
	
		5.
		Considere o conjunto de pontos apresentados na figura abaixo que representa o esforço ao longo de uma estrutura de concreto.
 
 
 
A interpolação de uma função que melhor se adapta aos dados apresentados acima é do tipo
	
	
	
	
	
	 Y = b + x. log(a)
	
	 
	Y = ax2 + bx + c
	
	
	Y = ax + b
	
	 
	Y = abx+c
	
	
	 Y = b + x. ln(a)
	
	
		6.
		Existem diversos métodos para a obtenção de uma integral definida, porém um deles aplica a regra do trapézio de forma repetida e "refina" a expressão obtida através da extrapolação de Richardson. Identifique nas opções a seguir o método que MAIS SE ADÉQUA ao descrito.
	
	
	
	
	
	Extrapolação de Richardson.
	
	 
	Método da Bisseção.
	
	 
	Método de Romberg.
	
	
	Método do Trapézio.
	
	
	Regra de Simpson.
	1a Questão (Ref.: 201309685559)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	O Método de Romberg é uma excelente opção para a obtenção de integrais definidas, exigindo menos esforço computacional e oferecendo resultados mais precisos que outros métodos através de cálculos sequenciais. As duas primeiras etapas são obtidas através R1,1=(a-b)/2 [f(a)+f(b)] e R2,1=1/2 [R1,1+h1.f(a+h2)], e fornecem aproximações para a integral definida da função f(x) sobre o intervalo [a,b]. Considerando o exposto, obtenha R2,1 para a função f(x)=x2, no intervalo [0,1]. Assinale a opção CORRETA com três casas decimais.
		
	
	1,053
	 
	0,382
	
	0,725
	 
	0,351
	
	1,567
	2a Questão (Ref.: 201309685608)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	Integrais definidas representam em diversas situações a solução de um problema da Física e podem ser obtidas através da Regra do Retângulo, da Regra do Trapézio, da Regra de Simpson e do Método de Romberg. Este último utiliza as expressões R1,1=(a-b)/2 [f(a)+f(b)] e R2,1=1/2 [R1,1+h1.f(a+h2)] para as primeiras
aproximações, considerando a função f(x) sobre o intervalo [a,b]. Considerando o exposto, obtenha R2,1 para a função f(x)=x3, no intervalo [0,1]. Assinale a opção CORRETA com três casas decimais.
		
	
	0,939
	 
	0,313
	
	1,313
	
	1,230
	
	0,625
	6a Questão (Ref.: 201309305372)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	Considere a equação ex - 4x = 0, onde e é um número irracional com valor aproximado de 2,718. É correto afirmar que existe uma raiz real no intervalo:
		
	 
	(0,0; 0,2)
	
	(0,9; 1,2)
	
	(-0,5; 0,0)
	
	(0,5; 0,9)
	 
	(0,2; 0,5)
  CÁLCULO NUMÉRICO AULA 9
		1.
		O Método de Euler nos fornece pontos de curvas que servem como soluções de equações diferenciais. Sabendo-se que um dos pontos da curva gerada por este método é igual a (4; 53,26) e que a solução exata é dada por y=ex, determine o erro absoluto associado. Assinale a opção CORRETA.
	
	
	
	
	
	2,50
	
	 
	3,00
	
	 
	1,34
	
	
	2,54
	
	
	1,00
	
		2.
		O Método de Euler é um dos métodos mais simples para a obtenção de pontos de uma curva que serve como solução de equações diferenciais. Neste contexto, geramos os pontos, utilizando a relação yk+1=yk+h.f(xk,yk), onde "h" representa o passo adotado. Considerando a equação diferencial y'=y com y(0)=2, gere o ponto da curva para k=1 e passo igual a 0,5. Assinale a opção CORRETA.
	
	
	
	
	
	-2
	
	
	1
	
	 
	0
	
	
	-3
	
	 
	3
	
	
		3.
		Encontrar a solução da equação diferencial ordinária y' = f ( x, y ) = 3x + 2y + 2 com a condição de valor inicial y (3) = 4. Dividindo o intervalo [3;4] em apenas uma parte, ou seja, fazendo h =1e, aplicando o método de Euler, determine o valor aproximado de y (4) para a equação dada.
	
	
	
	
	
	25
	
	 
	23
	
	
	22
	
	
	21
	
	
	24
	
		4.
		Considere a equação diferencial ordinária y´= y +3, tal que y é uma função de x, isto é, y (x). Marque a opção que encontra uma raiz desta equação.
	
	
	
	
	
	y = ex + 3
	
	
	y = ln(x) -3
	
	
	y = ex -  2
	
	
	y = ex + 2
	
	 
	y = ex - 3
	
		5.
		Na descrição do comportamento de sistemas físicos dinâmicos, frequentente utilizamos equações diferenciais que, como o nome nos revela, podem envolver derivadas de funções. Um método comum para resolução de equações diferenciais de primeira ordem é o Método de Euler, que gera pontos da curva aproximada que representa a resolução do sistema. Para gerarmos os pontos, utilizamos a relação yk+1=yk+h.f(xk,yk), onde "h" representa o passo adotado. Considerando a equação diferencial y'=y com y(0)=1, gere o ponto da curva para k=1 e passo igual a 1. Assinale a opção CORRETA.
	
	
	
	
	
	-2
	
	
	-1
	
	
	0
	
	 
	1
	
	 
	2
	
	
		6.
		Considere a equação diferencial ordinária y´= y, sendo y uma função de x, ou seja, y = y (x). A solução geral desta EDO é a função y(x) = k.ex, onde k é um número real e e um número irracional cujo valor aproximado é 2,718. Considerando a condição inicial tal que y(0) = 5, determine o valor da constante k para esta condição.
	
	
	
	
	
	2
	
	 
	1/2
	
	 
	5
	
	
	4
	
	
	1/5
		1.
		Os métodos de integração numérica em regra não são exatos. Suponhamos o método de Simpson (trapézios) em sua apresentação mais simples mostrado na figura a seguir.
  
                                                          
 Se considerarmos a integral definida  , o valor encontrado para F(x) utilizando a regra de Simpson será equivalente a:
 
	
	
	
	
	
	Soma entre a área do trapézio e a área sob a curva
	
	 
	Área sob a curva
	
	
	Média aritmética entre as áreas sob a curva e a do trapézio
	
	 
	Área do trapézio
	
	
	Diferença entre a área do trapézio e a área sob a curva
	
	
		2.
		Considere a equação diferencial y´= y, sendo y uma função de x. Sua solução geral é y(x) = a.e^x, onde a é um numero real e e um número irracional cujo valor aproximado é 2,718. Se a condição inicial é tal que y(0) = 2, determine o valor de a para esta condição.
	
	
	
	
	
	1
	
	
	1/2
	
	 
	2
	
	
	0
	
	
	3
	
	
		3.
		Seja o método numérico de integração conhecido como regra dos retângulos, isto é, a divisão do intervalo [a,b] em n retângulos congruentes. Aplicando este método para resolver a integral definida  com a n = 10, cada base h terá que valor?
 
	
	
	
	
	 
	indefinido
	
	
	0,1
	
	
	1
	
	
	2
	
	 
	0,2
	
	
		4.
		Abaixo tem-se a figura de uma função e várias tangentes ao longo da curva.
 
 
Esta é a representação gráfica de um método conhecido como:
 
	
	
	
	
	
	Gauss Jordan
	
	 
	Bisseção 
	
	
	Ponto fixo
	
	 
	Newton Raphson 
	
	
	Gauss Jacobi
	
	
		5.
		Dado (n + 1) pares de dados, um único polinômio de grau ____ passa através dos dados (n + 1) pontos. 
	
	
	
	
	
	menor ou igual a n - 1
	
	
	n + 1
	
	 
	menor ou igual a n
	
	
	menor ou igual a n + 1
	
	
	n
	
	
		6.
		Encontrar a solução da equação diferencial ordinária y' = f ( x, y ) = 2x + y + 1 com a condição de valor inicial y ( 1) = 3. Dividindo o intervalo [ 1; 2 ] em 2 partes, ou seja, fazendo h =0,5 e, aplicando o método de Euler, determine o valor aproximado de y ( 1,5 ) para a equação dada.
	
	
	
	
	
	4
	
	 
	6
	
	
	2
	
	
	5
	
	 
	1
  CÁLCULO NUMÉRICO AULA 10
	 1a Questão (Ref.: 201309244679)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	Considere a equação diferencial y´= y, sendo y uma função de x. Sua solução geral é y(x) = a.ex, onde a é um numero real e e um número irracional cujo valor aproximado é 2,718. Se a condição inicial é tal que y(0) = 2, determine o valor de a para esta condição.
		
	 
	0,5
	
	0
	 
	2
	
	1
	
	0,25
	
	 2a Questão (Ref.: 201309241911)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	Considere a equação x3 - x2 + 3 = 0. É correto afirmar que existe uma raiz real no intervalo:
		
	
	(-1,0; 0,0)
	 
	(1,0; 2,0)
	
	(-2,0; -1,5)
	
	(0,0; 1,0)
	 
	(-1,5; - 1,0)
	
	
	
	 3a Questão (Ref.: 201309242215)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	Considere a equação ex - 3x = 0, onde e é um número irracional com valor aproximado de 2,718. É correto afirmar que existe uma raiz real no intervalo:
		
	
	(0,9; 1,2)
	
	(0,2; 0,5)
	
	(0,0; 0,2)
	 
	(-0,5; 0,0)
	 
	(0,5; 0,9)
	
	 4a Questão (Ref.: 201309199895)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	Seja a função f(x) = x3 - 8x. Considere o Método da Bisseção para cálculo da raiz, e o intervalo [-8, 10] o escolhido para a busca. Assim, empregando o método, na iteração seguinte, a raiz deverá ser pesquisada no intervalo:
		
	
	[-4,1]
	 
	[1,10]
	
	[-4,5]
	
	[-8,1]
	 
	[0,1]
	
	
	
	 5a Questão (Ref.: 201309241832)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	Existem alguns métodos numéricos que permitem a determinação de integrais definidas. Dentre estes podemos citar o de Newton, o de Simpson e o de Romberg. Analise as afirmativas abaixo a respeito do método de Romberg:
 
I - O método de Romberg é mais preciso que o método dos trapézios
II - O método de Romberg exige menor esforço computacional que o método dos trapézios
III - O método de Romberg utiliza a regra dos trapézios repetida para obter aproximações preliminares
 
Desta forma, é verdade que:
		
	
	 Apenas I e III são verdadeiras
Apenas I e II são verdadeiras
	
	 Todas as afirmativas estão erradas.
	 
	Todas as afirmativas estão corretas
	
	 Apenas II e III são verdadeiras.
	
	
	
	 6a Questão (Ref.: 201309241836)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	 
O valor de aproximado da integral definida   utilizando a regra dos trapézios com n = 1 é: 
		
	
	30,299
	 
	20,099
	
	15,807
	 
	11,672
	
	24,199
		1.
		Encontrar a solução da equação diferencial ordinária y' = f ( x, y ) = 2x + y + 1 com a condição de valor inicial y ( 1) = 1. Dividindo o intervalo [ 1; 2 ] em 2 partes, ou seja, fazendo h =0,5 e, aplicando o método de Euler, determine o valor aproximado de y ( 1,5 ) para a equação dada.
	
	
	
	
	 
	2
	
	
	1
	
	 
	3
	
	
	4
	
	
	7
	
	
		2.
		Seja a função f(x) = x2 - 5x + 4. Considere o Método da Bisseção para cálculo da raiz, e o intervalo [0, 3] o escolhido para a busca. Assim, empregando o método, na iteração seguinte, a raiz deverá ser pesquisada no intervalo:
	
	
	
	
	 
	[0,3]
	
	
	[1,2]
	
	 
	[0,3/2]
	
	
	[3/2,3]
	
	
	[1,3]
	
		3.
		De acordo com o Teorema do Valor Intermediário, indique a opção correta de pontos extremos do intervalo para determinação da raiz da função f(x) = x3 - 4x +1
	
	
	
	
	
	4 e 5
	
	 
	5 e 6
	
	 
	1 e 2
	
	
	2 e 3
	
	
	3 e 4
	
		4.
		De acordo com o Teorema do Valor Intermediário, indique a opção correta de pontos extremos do intervalo para determinação da raiz da função f(x) = x3 -7x -1
	
	
	
	
	 
	2 e 3
	
	
	1 e 2
	
	
	4 e 5
	
	
	3 e 4
	
	
	0 e 1