apostila_gradientes_(1)

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Resumo com exercícios resolvidos do assunto: 
(I) Derivadas Direcionais; 
(II) Vetor Gradiente. 
 
(I) Derivadas Direcionais 
 
 
A derivada direcional de uma função f com relação ao vetor v no ponto (x0,y0) é geralmente 
denotada por duas formas: 
𝜕𝑓
𝜕𝑣
 xₒ, yₒ , 𝐷𝑣𝑓 xₒ, yₒ 
 
A essa altura do campeonato, você já provavelmente se familiarizou com as derivadas parciais 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
 e 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
. Essas derivadas podem igualmente serem chamadas de derivadas direcionais nos eixos 
x e y, respectivamente. 
Definição: É a taxa de variação do valor de uma função 
em uma determinada direção, ou seja, a derivada 
parcial da função com relação ao vetor que representa 
a direção desejada.
Mas como encontrar a derivada parcial na direção de um vetor v em um determinado ponto, 
ou seja, como medir a taxa de variação da função f no ponto (x0,y0) sobre a reta r = (x0,y0) + t∙v , 
sendo v um vetor unitário (v1,v2)? 
 
𝑓 𝑥,𝑦 , 𝑥 𝑡 = 𝑥ₒ + 𝑡𝑣₁, 𝑦 𝑡 = 𝑦ₒ + 𝑡𝑣₂ 
 
𝑑𝑓
𝑑𝑡
=
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑡
 
 
Se derivarmos as funções x e y com relação a t, é fácil verificar que teremos: 
 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝑣₁ 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 𝑣₂ 
𝑑𝑓
𝑑𝑡
(𝑥ₒ,𝑦ₒ) =
𝜕𝑓
𝜕𝑥
(𝑥ₒ,𝑦ₒ) 𝑣₁ +
𝜕𝑓
𝜕𝑦
(𝑥ₒ,𝑦ₒ) 𝑣₂ 
 
Note que temos agora a soma de dois produtos, o que pode ser escrito como o produto 
escalar: 
𝑑𝑓
𝑑𝑡
(𝑥ₒ,𝑦ₒ) = ( 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
 𝑥ₒ,𝑦ₒ ,
𝜕𝑓
𝜕𝑦
 𝑥ₒ,𝑦ₒ ) ∙ ( 𝑣₁, 𝑣₂) 
OBS: Como a derivada 
𝑑𝑓
𝑑𝑡
 depende apenas da direção do vetor v, devemos sempre usar um 
vetor v unitário, ou seja, de módulo igual a 1. 
 
(II) Vetor Gradiente 
 
 
O gradiente é representado pelo caractere ∇. Denota-se o gradiente da função f no ponto 
 𝑥ₒ,𝑦ₒ por 𝛻𝑓 𝑥ₒ,𝑦ₒ . 
E como calcular o gradiente de uma função? 
Definição: É o vetor que indica a direção de maior 
crescimento de uma função em um determinado ponto. 
Sempre é perpendicular às curvas de nível.
𝛻𝑓 𝑥ₒ,𝑦ₒ = ( 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
 𝑥ₒ,𝑦ₒ ,
𝜕𝑓
𝜕𝑦
 𝑥ₒ,𝑦ₒ ) 
 
Percebeu que o vetor cujas componentes são as derivadas parciais da função com relação a x e 
y é o gradiente da função? Vamos retomar a equação do item 1.3: 
𝑑𝑓
𝑑𝑡
(𝑥ₒ,𝑦ₒ) = ( 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
 𝑥ₒ,𝑦ₒ ,
𝜕𝑓
𝜕𝑦
 𝑥ₒ,𝑦ₒ ) ∙ ( 𝑣₁, 𝑣₂) 
Substituindo o primeiro vetor pelo gradiente, teremos: 
𝑑𝑓
𝑑𝑡
(𝑥ₒ,𝑦ₒ) = 𝛻𝑓 𝑥ₒ,𝑦ₒ ∙ ( 𝑣₁, 𝑣₂) 
Essa é a equação mais importante que precisaremos utilizar para resolver problemas 
envolvendo esse conteúdo e os conteúdos posteriores, portanto, aprenda a usá-la, 
exercitando com as questões propostas a seguir. 
Exercícios Resolvidos 
a)(Stewart, capítulo 14) Determine o gradiente de f, calcule-o no ponto P e determine a taxa 
de variação de f em P na direção do vetor v, dados: 
𝑓 𝑥,𝑦 = 5𝑥𝑦2 − 4𝑥3𝑦 , 𝑃 1,2 , 𝑣 =<
5
13
,
12
13
> 
Resolução: 
a) Para determinar o gradiente de f, primeiro devemos determinar as derivadas parciais da 
função. 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 5𝑦2 − 12𝑥2𝑦 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 10𝑥𝑦 − 4𝑥3 
Substituindo esses valores na equação do gradiente, obtemos: 
𝛻𝑓 𝑥ₒ,𝑦ₒ = ( 5𝑦ₒ2 − 12𝑥ₒ2𝑦ₒ , 10𝑥ₒ𝑦ₒ − 4𝑥ₒ3) 
 
Determinado o gradiente, vamos calculá-lo no ponto P(1,2), substituindo os valores das 
coordenadas de P na equação acima: 
𝛻𝑓 1,2 = (5 ∗ 22 − 12 ∗ 12 ∗ 2 , 10 ∗ 1 ∗ 2 − 4 ∗ 13) 
𝛻𝑓 1,2 = (−4 , 16) 
 
Por fim, a parte mais importante do exercício, determinar a taxa de variação de f no ponto 
P(1,2) na direção do vetor v. O primeiro passo deve ser sempre verificar se o módulo de v é 
igual a 1. 
 𝑣 = (
5
13
)2 + (
12
13
)2 = 1 
De fato, o módulo de v é igual a 1. Então, vamos calcular a derivada na direção de v, que é 
simplesmente o produto escalar do gradiente de f pelo vetor direcional v. 
𝐷𝑣𝑓 = 𝛻𝑓 1,2 ∙ ( 
5
13
 ,
12
13
 ) 
𝐷𝑣𝑓 = (−4 , 16) ∙ ( 
5
13
 ,
12
13
 ) 
𝐷𝑣𝑓 =
172
13
 
 
(UFRJ-2014.1) Seja z = f(x,y) uma função diferenciável no ponto (1,2) e considere os vetores u = 
𝑢 = (
 2
2
 ,
 2
2
) e 𝑣 = (
 2
2
 ,
− 2
2
). 
Sabendo-se que 𝐷𝑢𝑓 1,2 = 1 e 𝐷𝑣𝑓 1,2 = 3, calcule 𝑓𝑥(1,2) e 𝑓𝑦(1,2). 
Resolução: 
Perceba que para resolver esse problema vamos ter que percorrer o caminho oposto ao do 
exercício anterior. Perceba que ele fornece as derivadas direcionais, bem como os vetores, e 
pede as derivadas parciais com relação a x e y. Isto é, o problema quer as componentes do 
gradiente. 
Vamos usar novamente aquela equação mágicaessencialcapitalsensacional para os vetores nas 
direções de u e v. 
𝐷𝑢𝑓 1,2 = 𝛻𝑓 1,2 ∙ 𝑢 𝐷𝑣𝑓 1,2 = 𝛻𝑓 1,2 ∙ 𝑣 
1 = 𝛻𝑓 1,2 ∙ 
 2
2
 ,
 2
2
 𝑒 3 = 𝛻𝑓 1,2 ∙ 
 2
2
 ,
− 2
2
 
Sendo 𝛻𝑓 1,2 = 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
 1,2 ,
𝜕𝑓
𝜕𝑦
 1,2 
Com essas duas equações montamos um sistema: 
 
 
 
 
 
𝑓𝑥 1,2 ∗
 2
2
+ 𝑓𝑦 1,2 ∗
 2
2
= 1
𝑓𝑥 1,2 ∗
 2
2
+ 𝑓𝑦 1,2 ∗
− 2
2
= 3
 
Resolvendo as equações acima temos: 
𝛻𝑓 1,2 = 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
 1,2 ,
𝜕𝑓
𝜕𝑦
 1,2 = (2 2,− 2) 
As componentes do gradiente são as derivadas parciais da função, conforme pedido no 
enunciado. 
É isso aí pessoal, espero que a partir de agora vocês tenham aprendido a resolver questões de 
gradiente e derivadas direcionais. Esse é um dos conteúdos que a P2 de Cálculo II cobra 
sempre, então é importante que você continue exercitando, fazendo questões de provas 
anteriores e de livros didáticos. E se você tiver que levar deste resumo apenas uma coisa, que 
seja a equação: 
𝑑𝑓
𝑑𝑡
(𝑥ₒ,𝑦ₒ) = 𝛻𝑓 𝑥ₒ,𝑦ₒ ∙ ( 𝑣₁, 𝑣₂) 
Exercícios Recomendados: 
1)(UFRJ-2013.2) (UFRJ-2012.1) 
 
Gabaritos: 1)a 2)0 3)-4/5 4) -4 
Bons Estudos!! 
 
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