CONCRETO Modulo 1 2009

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UNIVERSIDADE DE UBERABA – UNIUBE ESTRUTURAS DE CONCRETO 
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1 PROF. CAMILO 
 
CURSO ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
 
 
 
AUTOR: PROFESSOR LUIZ HUMBERTO CAMILO 
1º SEMESTRE/2009 
 
 
UNIVERSIDADE DE UBERABA – UNIUBE ESTRUTURAS DE CONCRETO 
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2 PROF. CAMILO 
MÓDULO 1 
 
1. INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS ESTRUTURAS EM CONCRETO ARMADO: 
 
1.1. OBJETIVOS DO CURSO: 
 
- estudar as propriedades do material concreto armado como elemento estrutural; 
- projetar, calcular, dimensionar e detalhar edificações usuais em concreto armado; 
- fazer corretamente a leitura de projetos estruturais em concreto armado; 
- executar corretamente obras em concreto armado; 
- conhecer as principais normas relacionadas ao projeto e execução de obras em 
concreto armado. 
 
1.2. CONCEITOS FUNDAMENTAIS: 
 
a) concreto: material de construção resultante da mistura em quantidades racionais de 
cimento (aglomerante hidráulico), agregados (miúdos: areia; graúdos: pedras) e água. 
b) traço: é a mistura convenientemente proporcionada dos elementos que compõem o 
concreto. 
 
1.3. CONSTITUIÇÃO DO MATERIAL: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NOTA: Concreto de Alto Desempenho (CAD): 
 . resistências à compressão > 50 MPa; 
 . estruturas mais duráveis; 
 . incorpora microssílica e aditivos químicos; 
 . não faz parte do nosso curso. 
 CIMENTO ÁGUA 
 PASTA 
 AREIA 
 ARGAMASSA 
 BRITA 
 CONCRETO 
 SIMPLES 
 TELA 
 ARGAMASSA 
 ARMADA 
 ARMADURA 
 PASSIVA 
 CONCRETO 
 ARMADO 
ARMADURA 
 ATIVA 
 CONCRETO 
 PROTENDIDO 
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3 PROF. CAMILO 
MATERIAL CONSTITUIÇÃO FUNÇÃO / CARACTERÍSTICA 
 
AGLOMERANTE 
HIDRÁULICO 
 
 
CIMENTO 
. os seus materiais constituintes ao serem 
misturados com a água hidratam-se, 
produzindo o endurecimento da massa 
que pode oferecer elevada resistência 
mecânica. 
 
 
 
AGREGADOS 
 
MIÚDOS: AREIAS 
 
 
GRAÚDOS: PEDRAS 
. contribuir com grãos capazes de resistir 
aos esforços solicitantes, ao desgaste e à 
ação das intempéries; 
. reduzir as variações de volume – 
retração; 
. diminuir custos devido à redução do 
consumo de pasta. 
 
 
 
PASTA 
 
 
 
CIMENTO + ÁGUA 
. envolver os agregados, enchendo os 
vazios e dando uma certa consistência ao 
concreto recém-misturado; 
. aglutinar os agregados no concreto 
endurecido, dando resistência, 
impermeabilidade e durabilidade ao 
concreto. 
ARGAMASSA PASTA + AGREGADO 
MIÚDO 
. preencher os vazios entre os agregados 
graúdos. 
 
 
CONCRETO 
SIMPLES 
 
ARGAMASSA 
 
 + 
 
 AGREGADO GRAÚDO 
. boa resistência à compressão; 
. baixa resistência à tração - aplicação 
restrita; 
. peças fletidas estão sujeitas tanto a 
tensões de compressão quanto de tração; 
. necessidade de se associar a materiais 
de alta resistência à tração. 
 
 
 
 
CONCRETO 
ARMADO 
 
 
 
CONCRETO SIMPLES 
 
 + 
 
ARMADURA PASSIVA 
. armadura passiva (aço): antes da 
atuação do carregamento a armadura 
está livre de tensões - sem forças; 
. concreto e armadura trabalham em 
conjunto devido à aderência; 
. concreto: absorve os esforços de 
compressão; 
. armadura (aço): material que tem boa 
resistência à tração e boa 
deformabilidade; disposto na região 
tracionada da peça. 
 
 
 
 
CONCRETO 
PROTENDIDO 
 
 
 
CONCRETO SIMPLES 
 
 + 
 
ARMADURA ATIVA 
. armadura ativa: aplica-se uma força na 
armadura antes da atuação do 
carregamento na estrutura; 
. armadura ativa introduz forças especiais 
(normalmente de compressão no 
concreto) antes da fase de utilização da 
estrutura; 
. aplicando-se as cargas de serviço, as 
tensões de tração nas peças são 
eliminadas ou existem de forma limitada; 
. protensão: operação de tracionar a 
armadura ativa. 
 
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P P 
DMF 
DEC 
1.4. COMPORTAMENTO DE UMA VIGA DE CONCRETO ARMADO SIMPLESMENTE 
APOIADA: 
EXEMPLO 01: 
 
COMPORTAMENTO DE UMA VIGA DE CONCRETO ARMADO SIMPLESMENTE APOIADA 
ESQUEMA –DIAGRAMAS-FISSURAS 
 
 P P 
 A B C D 
 
 a a a 
 
 
 
 
 
 
 
 Pa Pa 
 
 
 
 P P 
 
 P P 
 
 
ANÁLISE DA SEÇÃO CRÍTICA: 
 
 MMAX 
 
 
 CORTE LONGITUDINAL 
 
 
 
 
 
 
 L N 
 
 
 
 
 
 Armadura tracionada 
 
 CORTE TRANSVERSAL 
TRECHO BC: 
 . flexão pura (só atua o momento fletor): M = P . a; 
 . dependendo da intensidade do esforço atuante M podem ocorrer fissuras na 
parte inferior que está tracionada; 
 . causas destas fissuras: 
- à pequena deformabilidade que ocorre na viga de concreto; 
- à baixa resistência à tração do concreto; 
 . sem armadura na região inferior, a viga suporta um momento M muito baixo; 
 . para aumentar a capacidade da viga em resistir um momento M maior, é 
introduzida a armadura; 
 . concreto e aço devem trabalhar solidariamente; isto é possível devido à aderência 
que há entre as superfícies do aço e do concreto; 
 . as barras de aço tracionadas só começam a funcionar quando o concreto que as 
envolve sofrer deformações, passando a alongar as barras; 
 . o concreto armado é utilizado como material devido à aderência entre o concreto 
e o aço. 
Concreto 
comprimido 
FISSURAS 
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EXEMPLO 02: 
 
VIGA BIAPOIADA COM CARREGAMENTO UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDO 
SUBMETIDA À FLEXÃO SIMPLES 
 
 
 
 
VIGA E 
CARREGAMENTO 
 
 q 
 
 
 
 
 
 L 
 
 
 
 
DIAGRAMAS DE 
ESFORÇOS 
 
DMF: DEC: 
 2 
 MMAX = q . L / 8 
 
 q . L / 2 
 
 q . L / 2 
 
 
 
 
 
 
 
ARMAÇÕES DA 
VIGA 
V5 (20x40) 
 N1 – 2 Φ 5 - 290 
 15 
 
 35 
 
 P2 P5 N3 – 27 
 Φ 5 C/10 
 115 
 30 290 30 
 
 N2 – 2 Φ 10 - 350 
 
 
 
 
 
 
 
FISSURAS 
a) viga próxima ao colapso e com as fissuras que ocorrem: 
PORTA-ESTRIBO 
 
 
 
 
 Asl Ast 
 
 
 
 
 
ARMADURA LONGITUDINAL DE TRAÇÃO: Asl: absorve os esforços de 
tração provenientes do momento fletor. 
ARMADURA TRANSVERSAL: Ast: absorve os esforços de tração 
provenientes do esforço cortante. 
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 FISSURAS 
b) fissuras típicas de cisalhamento: 
inclinadas, aproximadamente a 45º, 
ocorrendo principalmente próximo 
aos apoios, onde a força cortante 
é máxima. 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) fissuras típicas de cisalhamento e 
flexão: menos inclinadas que as anteriores, 
situadas entre a zona de cortante máximo e 
momento fletor máximo. 
 
 
 
 
 
 
d) fissuras típicas de flexão: quase verticais, 
localizadas na região de momento fletor 
máximo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 3: O aço também possui boa resistência à compressão, colaborando com o 
concreto em regiões comprimidas, como no caso dos pilares em concreto armado, 
conforme figura abaixo: 
 
 N 
 
 
 
 
 
 
 A A 
 
 
 
 
 CORTE AA 
 
 
 N 
 
Concreto 
comprimido 
Armadura 
comprimida 
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CONCLUSõES: 
 
a) Em resumo, o material concreto armado transformou-se nos últimos 150 anos no 
material de construção mais utilizado no mundo devido: bom desempenho (há uma 
divisão de tarefas no interior das peças, ou seja, o concreto que possui ótima 
resistência à compressão ocupa as regiões comprimidas da peça estrutural, enquanto 
que o aço, que possui ótima resistência à tração, se posiciona nas partes tracionadas 
da peça); economia e facilidade de execução. 
 
b) O grande desenvolvimento do concreto armado se deve, basicamente, a 3 fatores: 
 . aderência entre o concreto e o aço: responsável pela transferência das tensões 
de tração não absorvidas pelo concreto para as barras da armadura; 
 . coeficiente de dilatação térmica praticamente igual entre os materiais concreto e 
aço: ausência de tensões internas nas estruturas de concreto armado, devido a variações 
de temperatura; 
 . proteção das armaduras feita pelo concreto envolvente: o concreto protege o aço 
contra oxidação, intimamente relacionada com a durabilidade das estruturas em concreto 
armado. 
 
 
1.5. VANTAGENS E DESVANTAGENS DO CONCRETO ARMADO: 
 
 
 O concreto armado para uso estrutural possui vantagens e desvantagens como 
todo material que se utiliza na construção civil. Tem sempre um caráter relativo, 
dependendo do padrão de referência adotado e do local da obra. 
 
CONCRETO ARMADO 
VANTAGENS DESVANTAGENS 
1. material de boa resistência à maioria dos tipos 
de solicitações. 
2. em diversas situações pode competir com a 
estrutura de aço em termos econômicos 
(agregados graúdos e miúdos obtidos próximos 
ao local da obra). 
3. boa trabalhabilidade, adaptando-se a várias 
formas. 
4. obtenção de estruturas monolíticas; há aderência 
entre o concreto já endurecido e o que será 
lançado posteriormente. 
5. técnicas de execução são razoavelmente 
dominadas em todo o país. 
6. material durável, desde que bem executado 
dentro das normas técnicas. 
7. apresenta durabilidade e resistência ao fogo 
superiores à madeira e ao aço, quando bem 
executados: cobrimento da armadura e 
qualidade do concreto. 
8. possibilita a utilização de pré-moldagem; 
proporciona maior rapidez e facilidade de 
execução. 
9. resistente a choques e vibrações, efeitos 
térmicos, atmosféricos e desgastes mecânicos 
10. baixos custos de manutenção quando 
executados com critérios. 
1. resulta elementos com maiores dimensões que o 
aço: devido ao seu peso específico elevado 
acarreta elementos com peso próprio muito alto, 
limitando o seu uso em determinadas situações 
ou elevando muito o seu custo. 
2. reformas e adaptações são de difícil execução na 
maioria das situações. 
3. bom condutor de calor e som, em determinadas 
situações exige associação com outros materiais 
para minimizar estes problemas. 
4. moldado in loco, exige um escoramento que 
permanecerá no local até que o concreto adquira 
uma certa resistência para suportar os esforços 
iniciais. 
5. ocorrendo fissuração do concreto, ela é aparente, 
causando um péssimo efeito visual. 
 
 
OBS: A fissuração é um fenômeno inevitável nas 
peças de concreto armado tracionadas, devido ao 
baixo grau de resistência à tração do concreto. 
Deve-se fazer um controle das aberturas máximas 
destas fissuras na face do concreto a fim de não 
comprometer a vida útil do concreto armado. 
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1.6. NORMAS TÉCNICAS: 
 
 As normas técnicas dão as diretrizes, a base para a elaboração de projetos, a 
execução e o controle das obras em concreto armado, visando garantir a segurança e a 
qualidade final das construções. 
 Algumas palavras chave que aparecem ao longo dos textos das normas que 
devemos estar atentos: 
 
a) DEVER: “obrigação imposta ao profissional, a ser seguida sem restrições ou 
condições” 
b) PODER: “faculta-se ao usuário a sua utilização, reconhecendo existir outros 
procedimentos igualmente aceitos, ainda que não citados” 
c) RECOMENDAR: “entende-se como uma alternativa dentre outras de uso corrente já 
consagradas” 
 
PRINCIPAIS NORMAS QUE REGULAMENTAM O PROJETO E EXECUÇÃO DE 
OBRAS DE CONCRETO: 
NÚMERO NA ABNT TÍTULO 
NBR 6118: 2003 Projeto de estruturas de concreto - procedimento 
NBR 6120: 1980 Cargas para cálculo de estruturas de edificações – procedimento 
NBR 14931: 2003 Execução de estruturas de concreto – procedimento 
NBR 8681: 2003 Ações e segurança nas estruturas – procedimento 
NBR 6123: 1988 Forças devidas ao vento em edificações – procedimento 
NBR 12655:1996 Concreto – Preparo, controle e recebimento 
NBR 7480:1996 Barras e fios de aço destinados à armadura para concreto 
armado – especificação 
NBR 8953:1992 Concreto para fins estruturais – classificação por grupos de 
resistência 
 
 A evolução da NB-01 (recebeu este número por ter sido a primeira Norma da 
ABNT): 
 
. NB-1/1940: cálculo e execução de obras de concreto armado; 
. NB-1/1960: cálculo e execução de obras de concreto armado; 
. NB-1/1978: projeto e execução de obras de concreto armado; 
 
. NBR 6118:2003: projeto de estruturas de concreto - entrou em vigor em Março/2004. 
 
 A NBR 6118:2003: 
 
- exclusiva de projeto de estruturas em concreto simples, armado e protendido; 
- quanto à execução consultar a NBR 14931:2003 ( execução de estruturas de concreto). 
 
 Segundo o Código de Defesa do Consumidor (Lei 8078 de 11 de setembro de 
1990), Capítulo V – Das práticas comerciais, Seção IV – Das práticas abusivas, Art. 39 – 
É vedado ao fornecedor de produtos e serviços. Item VIII – Colocar, no mercado de 
consumo, qualquer produto ou serviço, em desacordo com as normas expedidas pelos 
órgãos oficiais competentes ou, se normas específicas não existirem, pela Associação 
Brasileira de Norma Técnicas ou outra entidade credenciada pelo Conselho Nacional de 
Metrologia, Normalização e Qualidade Industrial – CONMETRO. 
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1.7. HISTÓRICO DO CONCRETO: 
 
 A seguir, é apresentado algumas datas e acontecimentos marcantes ao longo da 
história, visando mostrar a evolução do concreto armado na construção civil. 
 O material composto concreto armado surgiu a mais de 150 anos e se transformou 
neste período no material de construção mais utilizado no mundo, devido, principalmente, 
ao seu ótimo desempenho, economia e facilidade de produção. 
 
DATA ACONTECIMENTO 
1824 � Josef Aspdim, escocês, desenvolveu um processo industrial para 
fabricação do Cimento Portland; 
� Cimento Portland: recebeu este nome devido à semelhança com a cor 
das pedras calcárias encontradas na Ilha de Portland. 
1855 � O francês, J. L. Lambot constrói um barco com argamassa de cimento e 
areia entremeados por fios de arame; 
� Processo de fabricação totalmente empírico. 
1861 � O paisagista e horticultor francês Joseph Monier constrói um vaso de 
flores com argamassa de cimento e areia, reforçado com uma malha de 
aço; 
� Considerado por muitos como o pai do concreto armado; 
� Em 1865, construiu nos arredores de Paris uma ponte de concreto 
armado com 16,5 m de vão por 4 m de largura. 
1867 � J. Monier obtém uma patente para seus vasos. Posteriormente, consegue 
novas patentes para tubos, lajes e pontes. 
1873 � O americano W. E. Ward constrói em Nova York uma casa de concreto 
armado – o Ward´s Castle- existente até os dias atuais. 
1888 � Dohring, de Berlim, obtém uma patente segundo a qual é possível 
aumentar a resistência de placas e pequenas vigas por meio de 
protensão da armadura; com ela aparece, pela primeira vez, o conceito 
da protensão. 
1900 � Início do desenvolvimento da teoria do concreto armado, por Koenen; 
posteriormente, Mörsch desenvolveu a teoria iniciada por Koenen, com 
base em numerosos ensaios; 
� Os conceitos desenvolvidos por Morch e publicados em 1902 constituem 
ao longo do tempo e em quase todo o mundo os fundamentos da teoria 
de dimensionamento de peças de concreto armado. 
1908 
(Brasil) 
� Concreto armado no Brasil começou com François Hennebique - 
compreendeu a função das armaduras, longitudinais e transversais, no 
concreto; 
� Primeira obra: ponte de 9 m de vão, executada no Rio de Janeiro com 
projeto e cálculo de Hennebique. 
Várias 
Datas 
Brasil 
 
� Emílio Henrique Baumgart: um dos primeiros brasileiros a trabalhar com o 
cálculo estrutural em concreto armado; possuía grande senso estrutural, 
conseguia visualizar os caminhos seguidos pelas cargas através dos 
elementos estruturais antes mesmo de calculá-las. 
� Paulo Rodrigues Fragoso: colaborador de Baumgart, montou seu próprio 
escritório de cálculo após a falência do escritório de Baumgart (1932). 
� Antônio Alves de Noronha: também colaborador de Baumgart; em 1955, 
recebeu em Zurique, o título de doutor “honoris causa” pelos relevantes 
serviços prestados à engenharia; projetista do estádio de futebol do 
Maracanã, no Rio de Janeiro. 
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2. PROPRIEDADES DOS MATERIAIS (NBR 6118:2003 - CAPÍTULO 8): 
 
Atualmente está se dando grande importância à durabilidade e segurança das 
estruturas, o que exige maior conhecimento das propriedades dos materiais concreto e 
aço por parte das Engenharias de Estruturas, de Materiais e das Construções. 
 O projetista de estruturas de concreto armado precisa ter conhecimento e saber 
levar em consideração certos parâmetros importantes relacionados com as propriedades 
do concreto e do aço, e que influem significativamente no comportamento e na 
durabilidade das estruturas em concreto armado. 
 
2.1. CONCRETO: 
2.1.1. CLASSES 
 
 
 
 
NBR 6118:2003 
 
 
 
CONCRETO 
ARMADO 
(ARMADURA 
PASSIVA) 
 
. 20 MPa ≤ fck ≤ 50 MPa 
 
. C20 ≤ CLASSE ≤ C50 
 
. concretos normais 
. estruturas em geral 
. classe mínima C20 : 
aumentar a durabilidade 
da estrutura 
 
 
 
 
NBR 6118:2003 
 
 
 
CONCRETO 
PROTENDIDO 
(ARMADURA 
ATIVA) 
 
. 25 MPa ≤ fck ≤ 50 MPa 
 
. C25 ≤ CLASSE ≤ C50 
 
OBS: 1) fck > 50 MPa: concreto de alto desempenho - consultar normas específicas. 
 
2) Classes e grupos de concreto segundo a NBR 8953/91: 
 
GRUPO CLASSE fck (MPa) 
 
 
 
 
 
I 
C10 
C15 
C20 
C25 
C30 
C35 
C40 
C45 
C50 
C55 
10 
15 
20 
25 
30 
35 
40 
45 
50 
55 
 
 
II 
C60 
C65 
C70 
C75 
C80 
60 
65 
7075 
80 
NOTA: C20: 20 representa a resistência característica do concreto à compressão (fck) em 
MPa. 
 
 3) Em fundação e obras provisórias admite-se 15 MPa ≤ fck < 20 MPa. 
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2.1.2. MASSA ESPECÍFICA (ρρρρc): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
. PESO DO CONCRETO = (MASSA ESPECÍFICA) X ( 9,81m/s²) 
 
. EX.: concreto armado: 
 
 
 
 
 
 
 
 CONCRETOS 
 NORMAIS 
 ρc ≥ 2000 Kg/m³ 
 ρc ≤ 2800 Kg/m³ 
 INEXISTÊNCIA 
 DE ENSAIOS 
 CONCRETO SIMPLES: ρc = 2400 Kg/m³ 
 CONCRETO ARMADO: ρc = 2500 Kg/m³ 
HAVENDO ENSAIOS CONCRETO ARMADO: 
 
MASSA ESPECÍFICA 100 Kg/m³ 
CONHECIDA DO + a 
CONCRETO SIMPLES 150 Kg/m³ 
 (aço) 
 
 PESO = (2500 Kg/m³) x (9,81 m/s²) = 24 525 N/m³ = 24,525 KN/m³ ≅ 25 KN/m³ 
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2.1.3. COEFICIENTE DE DILATAÇÃO TÉRMICA: 
 
. 
oc
c
/10 5−=α : coeficiente de dilatação térmica do concreto 
 
 
. As variações volumétricas das peças podem ser causadas por: 
 
 - variação uniforme de temperatura: casos usuais 
 
 - variação não uniforme de temperatura: casos muito especiais, onde as condições 
de funcionamento da estrutura a submetem a sensíveis gradientes térmicos, deve ser 
considerada a variação diferencial das fibras superiores em relação às inferiores. 
Ex.: chaminés, altos-fornos, frigoríficos, etc. 
 
 
 
 
 
Exemplo: variação uniforme de temperatura 
 
 
FONTE: curso sobre a NBR 6118:2003 – 
 Concreto Armado - QISAT 
 
 
Valor do alongamento (∆l) sofrido 
pela peça quando submetida à 
variação de temperatura ∆t: 
 
 ∆l = l . αc . ∆t 
 
Onde: l: distância do centro de 
dilatação da estrutura à seção 
considerada. 
 
t
l
l
cct
∆=∆= .αε 
Єct: deformação específica do 
concreto referente à temperatura. 
 
 
OBS: 
1) αC é o mesmo do aço, isto viabiliza o funcionamento conjunto do concreto e do aço no 
concreto armado; compatibilização de deformações internas devido à variação de 
temperatura. 
 
2) Com o objetivo de diminuir os efeitos da temperatura nas estruturas, em termos 
práticos, adota-se uma ou mais juntas de dilatação, que consistem em dividir a estrutura 
em várias partes independentes uma da outra. 
 
3) Para qualquer peça permanentemente envolvida por terra ou água dispensa-se a 
consideração da influência da variação de temperatura. 
 
 
 
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OBS: Outros exemplos: 
 
a) Peças isostáticas: 
. ∆t uniforme . ∆t não uniforme 
 
 
 
 
 
 
 
b) Peças hiperestáticas: 
. ∆t uniforme . ∆t não uniforme 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FONTE: Curso sobre a NBR 6118:2003 - CONCRETO ARMADO – QISAT 
 
2.1.4. RESISTÊNCIA À COMPRESSÃO: 
 
. Principal propriedade mecânica do concreto. 
. Obtida através do ensaio de corpos de prova cilíndricos, submetidos à compressão 
centrada: - NBR 5738:1994: “MOLDAGEM E CURA DE CORPOS DE PROVA 
 CILÍNDRICOS OU PRISMÁTICOS DE CONCRETO” 
 
 - NBR 5739:1994: “CONCRETO - ENSAIOS DE COMPRESSÃO DE CORPOS 
 DE PROVA CILÍNDRICOS” 
 
. Fatores que influenciam a resistência do concreto endurecido: 
 - relação entre as quantidades de cimento, agregados e água 
 - idade do concreto 
 
. Resistência à compressão (c), obtida por ensaio de curta duração, do corpo de prova de 
concreto na idade de (j) dias (fcj): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
. Deve ser relacionada à idade de 28 dias. 
 
 fcj = (N rup) / A ; onde N rup: carga de ruptura do corpo de prova 
 
 A: área da seção transversal do corpo de prova 
 
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14 PROF. CAMILO 
2.1.5. AVALIAÇÃO DA RESISTÊNCIA À COMPRESSÃO DO CONCRETO AO LONGO 
DO TEMPO (NBR 6118:2003, ITEM 12.3.3): 
 
 A evolução da resistência à compressão com a idade deve ser obtida através de 
ensaios especialmente executados para tal. Na ausência desses resultados 
experimentais pode-se adotar, em caráter orientativo, os valores indicados no item 12.3.3 
da NBR 6118:2003: 
 
 ckj ckf f= β1. 
 
 
 1
1
2 8
1
2
β = −


























e
s
t
 
 
 
onde: 
 
 s = 0,38 para concreto de cimento CPIII e IV 
 
 s = 0,25 para concreto de cimento CPI e II 
 
 s = 0,20 para concreto de cimento CPV-ARI 
 
 t = é a idade efetiva do concreto, em dias 
 
 CPI: cimento portland comum 
 
CPII: cimento portland composto 
 
CPIII: cimento portland de alto forno 
 
CPIV: cimento portland pozolânico 
 
CPV: cimento portland de alta resistência inicial 
 
 Simbologia adotada: 
 
� fck: resistência característica à compressão do concreto na idade de 28 dias; 
� fckj: resistência característica à compressão do concreto na idade j < 28 dias. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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15 PROF. CAMILO 
2.1.6. RESISTÊNCIA CARACTERÍSTICA DO CONCRETO À COMPRESSÃO (fck): 
 
PROBLEMA SOLUÇÃO 
Para um determinado 
concreto a ser utilizado em 
uma obra foi feita uma série 
de corpos de prova e 
ensaiados à compressão. 
Obteve-se vários valores 
para a resistência à 
compressão deste 
concreto, mostrando-se 
valores mais ou menos 
dispersos. Conhecidos os 
resultados da resistência à 
compressão de diversos 
corpos de prova de um 
mesmo concreto, qual será 
o valor da resistência que 
caracteriza o lote ensaiado? 
 
 
 
 
 FREQÜÊNCIA 
 
 
 fck fcmj 
 
 
 
 
 
 
 
 RESISTÊNCIAS fci 
 
 
 
a) adotar a média aritmética fcm (resistência média à compressão) dos 
n valores obtidos dos ensaios; não reflete a verdadeira qualidade do 
concreto na obra; não considera a dispersão dos resultados 
b) adotar o conceito de RESISTÊNCIA CARACTERÍSTICA DO 
CONCRETO À COMPRESSÃO (fck) (NBR 6118:2003; ITEM 12.2): 
é o valor que tem apenas 5% de probabilidade de não ser 
atingido pelos elementos de um dado lote de material. Leva em 
conta a média aritmética fcm das cargas de ruptura dos ensaios 
dos corpos de prova e o desvio da série de valores. 
FORMULÁRIO (NBR 12655:1996) 
 
 fck = fcmj - 1,65 . sd 
 
 
 
n
n
i
ci
cmj
f
f ∑== 1
 
 1
)(
1
2
−
−
=
∑
=
n
n
i
cmjci
d
ff
s
 
 
fcmj: resistência média do concreto à 
 compressão, prevista para a idade de 
 j dias, em MPa 
 
sd : desvio-padrão da dosagem, em MPa 
 
fci : resistência aos j dias ( normalmente 28 
dias), determinada convencionalmente pela 
máxima tensão que pode ser aplicada ao 
corpo de prova genérico i 
 
n : número de corpos de prova ensaiados 
 
 
 
CRITÉRIOS PARA DEFINIÇÃO DO VALOR DE fck PELO PROJETISTA: 
 
. basear-se em ensaios prévios realizados pela construtora, geralmente inexistem; 
. basear-se em ensaios já realizados pela construtora em obras análogas, com mesmo tipos de materiais, 
mão de obra, equipamentos e dosagens; 
. fixar previamente tendo em vista as necessidades do projeto, desde que sejam números tradicionalmente 
alcançáveis com dosagens especificadas e dentro das normas. 
Distribuição 
normal de 
resistência 
ou Curva de 
Gauss 
5% da área 
abaixo da 
curva 
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16 PROF. CAMILO 
Na prática: 
 
a) Projetista: especifica um valor de fck e usa-o em seus cálculos (influi na dimensão 
e na quantidade de aço nas peças em concreto armado) 
 
b) Executor-Construtor: 
. cabe fabricar ou comprar um concreto com as mesmas características usadas pelo 
projetista em seus cálculos; 
. ensaiar concreto com diversos traços (relação entre água, cimento, areia e brita) até 
encontrar o adequado; 
. controle tecnológico durante a execução da obra por meio de um número mínimo de 
ensaios, onde irá verificar se o concreto que está sendo empregado na obra atende à 
resistência especificada. 
 
. Importância do controle tecnológico: 
 
 - a resistência do concreto à compressão é fixada muito antes de iniciar a obra 
(fase dos projetos estruturais) pelo projetista, portanto, serve para verificar se o concreto 
empregado na obra atende à resistência especificada pelo projetista; 
 - avaliar a evolução da resistência à compressão do concreto ainda durante o 
andamento da obra; 
 - ter base para programação da retirada das fôrmas e escoramentos; 
 - reavaliar a segurança dos elementos estruturais ; 
 - auxiliar na análise de uma estrutura seja para correção de uma falha executiva ou 
de projeto, seja, para uma alteração de uso com acréscimo de carga. 
 A partir de medições e ensaios feitos em centenas de obras, verificou-se que o 
desvio padrão se mostra independente da resistência do concreto, influindo 
primordialmente sobre seu valor a qualidade de execução. 
 A NBR 12655:1996 (concreto-preparo, controle e recebimento) no seu item 6.4.3, 
estabelece que a resistência de dosagem deva atender às condições de variabilidade 
prevalecentes durante a construção. Esta variabilidade medida pelo desvio-padrão sd é 
levada em conta no cálculo da resistência de dosagem, segundo a equação: 
 
 fcj = fck + 1,65sd 
 O cálculo da resistência de dosagem do concreto depende, entre outras variáveis, 
da condição de preparo do concreto, definidas a seguir: 
 
a) condição A (aplicável às classes C10 até C80): o cimento e os agregados são 
medidos em massa, a água de amassamento é medida em massa ou volume com 
dispositivo dosador e corrigida em função da umidade dos agregados; 
 
b) condição B: 
- aplicável às classes C10 até C25: o cimento é medido em massa, a água de 
amassamento é medida em volume mediante dispositivo dosador e os agregados 
medidos em massa combinada com volume, ou seja, o cimento sempre medido em 
massa e que o canteiro deva dispor de meios para medir a umidade da areia e efetuar 
as correções necessárias, além de balanças com capacidade e precisão aferidas, de 
modo a permitir a rápida e prática conversão de massa para volume de agregados, 
sempre que for necessário ou quando o responsável técnico pela obra o exigir. 
- aplicável às classes C10 até C20: o cimento é medido em massa, a água de 
amassamento é medida em volume mediante dispositivo dosador e os agregados 
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17 PROF. CAMILO 
medidos em volume. A umidade do agregado miúdo é determinada pelo menos três 
vezes durante o serviço do mesmo turno de concretagem. O volume de agregado 
miúdo é corrigido através da curva de inchamento estabelecida especificamente para 
o material utilizado. 
 
c) condição C ( aplicável apenas aos concretos de classe C10 e C15): o cimento é 
medido em massa, os agregados são medidos em volume, a água de amassamento é 
medida em volume e a sua quantidade é corrigida em função da estimativa da 
umidade dos agregados e da determinação da consistência do concreto, conforme 
disposto na NBR 7223, ou outro método normalizado. 
 
� Concreto com desvio-padrão conhecido: 
 Quando o concreto for elaborado com os mesmos materiais, mediante 
equipamentos similares e sob condições equivalentes, o valor numérico do desvio-padrão 
sd deve ser fixado com no mínimo 20 resultados consecutivos obtidos no intervalo de 30 
dias, em período imediatamente anterior. Em nenhum caso o valor de sd adotado pode 
ser menor que 2 MPa. 
 
� Concreto com desvio-padrão desconhecido: 
No início da obra, ou em qualquer outra circunstância em que não se conheça o 
valor do desvio-padrão sd, deve-se adotar para o cálculo daresistência de 
dosagem o valor apresentado na tabela 1, de acordo com a condição de preparo, 
que deve ser mantida permanentemente durante a construção. 
 
Tabela 1 – Desvio-padrão a ser adotado em função da condição de preparo do concreto: 
 
CONDIÇÃO DESVIO-PADRÃO 
MPa 
A 4,0 
B 5,5 
C¹ 7,0 
1) Para condição de preparo C, e enquanto não se conhece o desvio-padrão, exige-se 
para os concretos de classe C15 o consumo mínimo de 350 Kg de cimento por metro 
cúbico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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18 PROF. CAMILO 
2.1.7. RESISTÊNCIA DO CONCRETO À TRAÇÃO (NBR 6118:2003; ITEM 8.2.5): 
 
a) Através de ensaios segundo a NBR 7222:1994 (fct,sp) e a NBR 12142:1991 (fct,f): 
 
fct,sp: resistência do concreto à tração indireta 
 
fct,f: resistência do concreto à tração na flexão 
 
fct: resistência do concreto à tração direta 
 
 
 
 
 
b) Na falta de ensaios para determinação de fct,sp e fct,f: 
 
fct,m: resistência média à tração do concreto 
fctk,inf: resistência característica do concreto à tração inferior 
fctk,sup: resistência característica do concreto à tração superior 
 
32
,
.3,0 ff
ckmct
=
 (MPa) 
 
 ff
mctctk ,inf,
.7,0=
 (MPa): maior interesse nas análises estruturais 
 
 ff
mctctk ,sup,
.3,1=
 (MPa): determinação de armaduras mínimas 
 
OBS: Para idades inferiores a 28 dias e fckj ≥ 7 MPa, pode-se utilizar as expressões 
anteriores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
fct ≤ 
 
0,9 . fct,sp 
 
0,7 . fct,f 
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19 PROF. CAMILO 
2.1.8. DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO NA COMPRESSÃO (NBR 6118:2003; 
ITEM 8.2.10.1): 
 
É o diagrama que mostra as relações entre tensões (σ) e deformações específicas 
(Є) do concreto na compressão. 
 
 
DIAGRAMA σ/Є CARACTERÍSTICAS/FORMULÁRIO 
 
 
 
 
 σc 
 
 fck 
 
 
 0,85fcd 
 A B 
 
 
 
 
 
 O 2 3,5 Єc (‰) 
 
 
 
 
 fcd: resistência de cálculo do concreto à compressão 
. trecho AO: parábola do 2º grau com vértice 
no ponto A de equação: 
 
















−−=
2
2
1185,0 εσ ccdc f ; Єc em ‰ 
 
. Determinação de fcd (NBR 6118:2003; item 
12.3.3): 
a) verificação em data j igual ou superior a 28 
dias: 
 
γ
c
ck
cd
ff = ; 4,1=γ c (tabela 12.1; 
 NBR 6118:2003) 
 
b) verificação em data j inferior a 28 dias: 
 
 
γβγ
c
ck
c
ckj
cd
fff 1≅= 
 
f
f
ck
ckj
=β 1 ; 1
1
28
1
2
β = −


























e
s
t
 
. trecho AB : reta paralela à abscissa 
. :γ
c
 coeficiente de ponderação da 
resistência do concreto à compressão 
 
 
OBS: Normalmente o ensaio de compressão em corpos de prova é de curta duração e 
sabe-se a partir dos ensaios realizados pelo alemão Rusch, que este valor é ligeiramente 
superior ao obtido quando o ensaio é de longa duração. Isto se deve a microfissuração 
interna do concreto, que se processa mesmo no concreto descarregado, e que no ensaio 
de longa duração tem seu efeito ampliado devido a interligação entre as microfissuras, 
diminuindo assim a capacidade resistente do corpo de prova a compressão. Uma vez que 
grande parcela do carregamento que atua em uma estrutura é de longa duração deve-se 
corrigir os resultados do ensaio de curta duração por um fator, denominado coeficiente de 
Rusch, igual a 0,85. 
 
 
 
 
 
 
 
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20 PROF. CAMILO 
2.1.9. MÓDULO DE ELASTICIDADE DO CONCRETO (Ec): 
 
 
 
DIAGRAMA σC/Єc FORMULÁRIO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 σc 
 
 
 
 
 
 fc 
 α 
 A arc tg Ecs 
 
 
 arc tgEci 
 
 
 
 O 2 3,5 Єc (‰) 
 
 
 
 
 
a) MÓDULO TANGENTE (Ec): seu 
valor é variável em cada ponto (Ex. 
A) e é dado pela inclinação da reta 
tangente à curva nesse ponto: 
 
 α
ε
σ
tg
d
d
c
c
cE == 
b) módulo de elasticidade ou 
módulo de deformação tangente 
inicial (Eci): dado pela inclinação 
da reta tangente à curva na 
origem. 
 
c) módulo de elasticidade secante 
ou módulo de deformação secante 
(Ecs): seu valor é variável em cada 
ponto e é obtido pela inclinação da 
reta que une a origem com esse 
ponto (A): 
 
 
ε
σ
=E cs ; Lei de Hooke 
 
. Na falta de ensaios, valor 
estimado (NBR 6118:2003; item 
8.2.8): 
a) idade j de 28 dias: 
 
 fE ckci .5600= ; MPa 
 
b) idade j ≥ 7 dias: 
 
 fE ckjci .5600= ; MPa 
 
 
OBS: 
 
1. Eci deve ser especificado em projeto e controlado em obra. 
 
2. O módulo de elasticidade secante a ser utilizado nas análises elásticas de projeto, 
especialmente para determinação de esforços solicitantes e verificação de estados 
limites de serviço (por exemplo, cálculo de flechas), deve ser calculado pela 
expressão: 
 
 
Ecs = 0,85 . Eci ; MPa 
 
σ
 
Reta tangente à 
curva no ponto 
A 
Reta unindo 
o ponto A à 
origem O 
Reta tangente à 
curva σ na 
origem 
 
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21 PROF. CAMILO 
2.1.10. DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO NA TRAÇÃO (NBR 6118:2003; ITEM 
8.2.10.2): 
 
 σct 
 
 
 fctk 
 
 
 
 0,9fctk 
 
 
 
 
 
 Eci 
 
 0,15‰Єct 
 DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO BILINEAR NA TRAÇÃO 
 
2.1.11. MÓDULO DE ELASTICIDADE TRANSVERSAL (Gc) E COEFICIENTE DE 
POISSON (ν) (NBR 6118:2003; ITEM 8.2.9): 
 
Gc = 0,4. Ecs ; ν = 0,2 para tensões de compressão ≤ 0,5fc; tensões de 
 tração < fct. 
 
)1(2 ν+=
EG ν = deformação específica transversal 
 deformação específica 
 
 
2.1.12. CARACTERÍSTICAS REOLÓGICAS DO CONCRETO 
 
a) Retração do concreto: é uma deformação volumétrica que independe do 
carregamento, e, portanto, de direção, ocorrendo devido à perda de parte da água 
dissociada quimicamente do processo de produção do concreto, quando este perde água 
principalmente por evaporação para o meio ambiente. 
 A retração do concreto ocasiona uma redução do volume da peça devido à 
expulsão da água quimicamente dissociada do concreto. Inicialmente, a água é expulsa 
das fibras externas o que, criando condições de deformações diferenciais entre a periferia 
e o centro, geram tensões de tração capazes de provocar fissuração do concreto, caso 
este não disponha de uma armadura que possa evitar estas fissuras, como se verá 
oportunamente. 
 A NBR 6118:2003 trata da retração do concreto no seu item 8.2.11. A deformação 
específica de retração do concreto (єcs) é obtida segundo indicação do anexo A da 
norma quando se exige um cálculo mais preciso. 
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22 PROF. CAMILO 
 Em casos onde não são necessárias grandes precisões, o valor de єcs, para 
concreto submetido a tensões menores que 0,5fc quando do primeiro carregamento, 
podem ser obtidos, por interpolação linear, a partir da tabela 8.1. 
 Esta tabela fornece o valor característico superior da deformação específica de 
retração entre os instantes to e t∞, єcs(t∞,to), em função da umidade ambiente e da 
espessura fictícia em, dada por: 
 
 
u
Ac
me
2
=
 
 
Onde: Ac: área da seção transversal 
 u: perímetro da seção em contato com a atmosfera 
 
 Os valores da tabela são relativos à temperatura do concreto entre 10ºc e 20ºc, 
podendo-se, entretanto, admitir temperaturas entre 0ºc e 40ºc. Esses valores são válidos 
para concretos plásticos e de cimento Portland comum. 
 
 
Tabela 8.1 – Valores característicos superiores da deformação específica de retração 
 єcs(t∞,to) e do coeficiente de fluência φ(t∞,to) – NBR 6118:2003 
 
 
Umidade 
Ambiente 
% 
 
40 
 
55 
 
75 
 
90 
 
Espessura fictícia 
2Ac/u em (cm) 
 
 
 20 60 
 
20 60 
 
20 60 
 
20 60 
5 4,4 3,9 3,8 3,3 3,0 2,6 2,3 2,1 
30 3,0 2,9 2,6 2,5 2,0 2,0 1,6 1,6 
 
 
Φ(t∞,to) 
60 3,0 2,6 2,2 2,2 1,7 1,8 1,4 1,4 
5 -0,44 -0,39 -0,37 -0,33 -0,23 -0,21 -0,10 -0,09 
30 -0,37 -0,38 -0,31 -0,31 -0,20 -0,20 -0,09 -0,09 
 
єcs(t∞,to) 
‰ 
 
 
 
 
 
to 
dias 
60 -0,32 -0,36 -0,27 -0,30 -0,17 -0,19 -0,08 -0,09 
 
 
 Analisando os valores da tabela 8.1, nota-se que quanto mais úmido estiver o 
ambiente que cerca a peça em concreto menor será sua deformação específica de 
retração e, consequentemente, menor a probabilidade de ocorrer fissuras ou elas serão 
em número muito inferior. Com o objetivo de retardar o início da retração recomenda-se 
executar uma boa cura, visando a evitar a expulsão prematura da água quimicamente 
inerte. 
 O tempo normal de cura para uma peça é de 7 dias (idade a partir da qual a 
resistência do concreto o habilita a receber os primeiros efeitos da retração). 
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23 PROF. CAMILO 
 Se em função das características da peça estrutural em concreto, exige-se reduzir 
o valor da deformação específica de retração, isto será possível, bastando aumentar-se o 
tempo de cura. 
 
 Cálculo das deformações lineares ∆l devidas a єcs(t∞,to): 
 
 ∆l = єcs(t∞,to) . l 
Onde: 
 l: distância do centro de dilatação C da estrutura até a seção considerada 
 
Ex.: 
 
 
 
 ∆l A= єcs(t∞,to) . lAC 
 Em alguns casos não basta somente reduzir o valor de єcs(t∞,to) com o objetivo 
de diminuir os efeitos da retração. Torna-se necessário reduzir o valor de “l” , usando 
juntas definitivas na estrutura, denominadas juntas de dilatação ou ainda criando juntas 
provisórias, chamadas juntas de concretagem, sendo fechadas após ter ocorrido um 
percentual de retração suficiente para minimizar o valor da deformação final ∆l, situando-
o dentro de limites compatíveis. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex. 01: estrutura dividida por junta de dilatação (tem-se duas estruturas distintas) 
C A A´ 
∆lA 
EIXO DE 
SIMETRIA 
lAC 
Separação definitiva 
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24 PROF. CAMILO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex. 02: estrutura dividida por junta de concretagem 
 O item 11.3.3.1. da NBR 6118:2003, diz que nos casos correntes das obras de 
concreto armado, em função da restrição à retração do concreto, imposta pela armadura, 
satisfazendo o mínimo especificado nesta Norma, o valor de єcs(t∞,to) pode ser adotado 
igual a – 0,00015. Este valor admite elementos estruturais de dimensões usuais, entre 10 
cm e 100 cm sujeitos a umidade ambiente não inferior a 75%. Para esta situação a 
retração pode ser encarada como uma diminuição uniforme de temperatura de 15 ºc 
imposta à estrutura, o que torna o problema da retração idêntico ao de uma variação 
uniforme de temperatura. 
b) Fluência ou deformação lenta: é uma deformação que depende do carregamento, 
sendo caracterizada pelo aumento da deformação imediata ou inicial, mesmo quando se 
mantém constante a tensão aplicada. Devido a esta deformação imediata, ocorrerá 
redução de volume para a peça, provocando este fato o deslocamento de água 
quimicamente inerte, existente no concreto em suas camadas mais internas, para regiões 
externas onde sua evaporação já se tenha processado. Isto desencadeia um processo, 
ao longo do tempo, análogo ao da retração, verificando-se o crescimento da deformação 
inicial até um valor máximo no tempo infinito, mesmo sob tensão constante. 
 
 σc(to) σc(to)σc(to) 
 
 ∆lci ∆lct 
 ∆lcc 
 l 
 
 
 
 
 
Esquema estático Deformação Deformação final 
(compressão simples) imediata (tempo infinito) 
 
 
Fechamento após o 
processamento da parcela 
principal de retração 
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25 PROF. CAMILO 
 Deformação específica total de uma peça de concreto entre os instantes to e t∞ 
єc(t∞,to): 
 
 єc(t∞,to) = єc(to) + єcc(t∞,to) 
 
onde: 
i) єc(to): deformação imediata por ocasião do carregamento. 
 
 
 E toci
toc
toc
)(
)(
)(
σ
ε =
 
 
σc(to): tensão no concreto devida ao carregamento aplicado em to 
Eci(to): módulo de elasticidade inicial Ecij para j=to dias 
 
ii) єcc(t∞,to): deformação por fluência no instante de tempo (t∞,to), calculada no Anexo A 
ou pela equação: 
 
 
ϕσε ),(
)28(
)(
),( . tot
ci
toc
totcc E ∞∞
=
 
 
 
Eci(28):módulo de elasticidade inicial aos 28 dias 
Φ(t∞,to): é o limite para o qual tende o coeficiente de fluência provocado por 
carregamento aplicado em to, pode ser calculado por interpolação da Tabela 8.1, 
NBR 6118:2003. 
 
 Item 11.3.3.2, NBR 6118:2003: 
 
 







+=
∞
∞ EE ci
tot
toci
toctotc
)28(
),(
)(
)(),(
1 ϕ
σε
 
 
 Os ensaios realizados mostraram ser a deformação lenta tanto maior quanto: 
 
- mais seco o ambiente; 
 
- menos espessa a peça; 
 
- maior o fator água-cimento; 
 
- consumo de cimento no concreto; 
 
- mais jovem for o concreto na idade do carregamento. 
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2.2. AÇO 
 
2.2.1. INTRODUÇÃO: 
 
- Armaduras usadas no concreto armado: 
 . barras ou fios de aço lisos ou providos de saliências ou mossas; 
 . armaduras pré-fabricadas em forma de telas ou malhas, obtidas por solda 
eletromecânica. 
 
- Ver as normas da ABNT: 
 . NBR-7480: Barras e fios de aço destinados à armadura para concreto armado -
especificação 
 . NBR-7481: Telas de aço soldada para armadura de concreto – especificação 
 
- Diferença entre aço e ferro: a principal é o teor de carbono: 
 . aço: inferior a 2,04% 
 . ferro: entre 2,04% e 6,7% 
 
- Barras e fios destinados a armaduras para concreto armado: teor de carbono entre 
0,08% e 0,5%, portanto, a denominação técnica correta a utilizar nos projetos e nos 
canteiros de obra é aço e não ferro, como usualmente se fala. 
- Tipos de superfície: 
 
Nervuradas: Lisas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O coeficiente de conformação superficial mínimo, ηb, deve atender ao indicado na 
NBR 7480. A conformação superficial é medida pelo coeficiente η1, cujo valor está 
relacionado ao coeficiente de conformação superficial ηb, como estabelecido na tabela 
8.2 da NBR 6118:2003. O coeficiente η1 é utilizado para cálculo da tensão de aderência 
a ser determinado quando do estudo da ancoragem e aderência. 
 
 
TABELA 8.2 – RELAÇÃO ENTRE η1 E ηb TIPO DE BARRA 
ηb η1 
LISA (CA-25) 1,0 1,0 
ENTALHADA (CA-60) 1,2 1,4 
ALTA ADERÊNCIA (CA-50) ≥ 1,5 2,25 
 
 
 
 
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2.2.2. CARACTERÍSTICAS DO AÇO PARA A ARMADURA PASSIVA (NBR6118:2003; 
ITEM 8.3) 
a) Categoria: resistência de escoamento mínima, 
em KN/cm² 
CA: concreto armado 
 
CA-25 
 
CA-50 
 
CA-60 
b) Resistência característica do aço à tração (fyk) 
em MPa 
250 500 600 
c) Barra de aço: 
. fabricada por laminação a quente; 
 
. Φ ≥ 5 mm 
CA-25 CA-50 
 
 
 
 
 
d) Fio de aço: 
. fabricado por trefilação ou processo equivalente, 
como estiramento ou laminação a frio; 
. Φ ≤ 10 mm 
CA-60 
e) massa específica 7850 Kg/m³ 
f) coeficiente de dilatação térmica 
 
oc
s
/10 5−=α 
g) módulo de elasticidade Es = 210 GPa = 210000 MPa 
h) Resistência característica de escoamento do 
aço à tração (fyk): é a máxima tensão que a barra 
deve suportar, sem que haja o surgimento de 
deformações permanentes 
. aços com patamar de escoamento 
definido: CA-25 e CA-50 
. aços que não possuem patamar de 
escoamento definido, sendo que o 
valor fyk é obtido 
convencionalmente, 
correspondendo a uma deformação 
específica permanente de 2‰: CA-
60 
i) Diagrama tensão/deformação do aço para o 
cálculo das estruturas para aços com ou sem 
patamar de escoamento: 
 
 σs 
 TRAÇÃO 
 
 fyk 
 fyd 
 A B 
 
 
 -3,5 Arc tg Es 
 
 0 Єyd 10 
 Єs (10‰) 
 - fyd 
 
 COMPRESSÃO 
. trecho AO: reto, com inclinação Es 
. trecho AB: patamar de escoamento 
. fyd: resistência de cálculo do aço à tração 
. Es: módulo de elasticidade do aço 
. Єyd: deformação específica de cálculo, 
correspondente ao início do patamar de 
escoamento 
. σs: tensão no aço 
. Єs: deformação específica do aço 
. 
γ
s
yk
yd
ff = 
 
. γs = 1,15: coeficiente de ponderação da 
resistência do aço 
. fyd = Es . Єyd: Lei de Hooke 
 
. trecho OA: 0 ≤ Єs ≤ Єyd: 
 σs = Es . Єs 
 
. trecho AB: Єyd ≤ Єs ≤ 10‰ 
 σs = fyd 
 
Superfície 
lisa Superfície 
nervurada 
(mossas) 
Superfície provida de 
saliências, entalhada 
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2.2.3. CARACTERÍSTICASDOS FIOS E BARRAS: 
 
 A massa real das barras deve ser igual à sua massa nominal, com tolerância de 
6% para diâmetros nominal igual ou superior a 10,0 mm, e de 10% para diâmetro nominal 
inferior a 10,0 mm. Para os fios, essa tolerância é de 6%, conforme a Tabela 1 do Anexo 
B (apresentada abaixo) da NBR 7480:1996. A densidade linear de massa da barra ou do 
fio (em Kg/m) é obtida pelo produto da área em m² por 7850 Kg/m³. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
� Como determinar a área da seção transversal (mm²) de uma barra de diâmetro D: 
 
Área = A = 0,7854.D² = 0,7854.D.D; Ex.: D = 10 mm, A = 0,7854 . 10 . 10 = 78,5 mm² 
 
� Como determinar a massa nominal (Kg/m) de uma barra de diâmetro D: 
 
Massa nominal M = 0,006165.D.D; Ex.: D=10 mm, M = 0,006165 . 10 . 10 = 0,617 Kg/m 
 
 
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 Para efeito de cálculo pode-se adotar a tabela abaixo, que representa as bitolas 
mais empregadas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
BITOLAS Φ (mm) VALOR NOMINAL PARA CÁLCULO 
FIOS BARRAS ÁREA (cm²) PESO (Kg/m) 
4.2 -- 0,139 0,109 
5 5 0,2 0,16 
6.3 6.3 0,315 0,25 
8 8 0,5 0,40 
10 10 0,8 0,63 
-- 12.5 1,25 1,00 
-- 16 2,0 1,60 
-- 20 3,15 2,50 
-- 25 5,0 4,00 
-- 32 8,0 6,30 
-- 40 12,5 10,0 
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2.3. APLICAÇÕES: 
 
1) Determinar qual o peso próprio dos seguintes elementos estruturais em concreto 
armado: 
a) uma viga de base 25 cm e altura 80 cm (25x80) 
b) uma laje maciça de espessura 12 cm 
 
2) A viga em concreto indicada abaixo sofreu uma variação uniforme de temperatura de 
+ 25 cº. Determinar qual a variação sofrida no seu comprimento. 
 
 
 
 
 
 
 
 12 m 
 
 
 
3) Complete a tabela abaixo: 
 
 
 
4) O concreto de um determinado andar de um edifício foi ensaiado, obtendo-se para a 
resistência média à compressão aos 28 dias o valor de 22,5 MPa. O desvio padrão deste 
concreto é de 2 MPa. Consultando os projetos estruturais, verificou-se que o projetista 
utilizou em seus cálculos o concreto de classe C20. Pergunta-se: qual a sua avaliação 
deste concreto, ou seja, o concreto utilizado na obra atendeu ao valor mínimo 
especificado pelo projetista? Justifique. 
 
5) Para a obtenção da resistência à tração direta de um concreto foram feitos ensaios 
conforme os padrões estabelecidos pela ABNT, obtendo os valores para a resistência de 
concreto à tração indireta e para a resistência do concreto à tração na flexão, 
respectivamente, 4 MPa e 3,2 MPa. Determine a resistência à tração direta deste 
concreto. 
 
6) Para um concreto de classe C30, determine os valores das suas resistências 
características à tração inferior e superior. Sabe-se que não foram feitos ensaios 
relacionados à tração para este concreto. 
RELAÇÃO fckj / fck = ββββ1 
CIMENTO 
PORTLAND 
IDADE EM DIAS 
 
 3 7 14 28 60 90 120 240 360 720 
CPIII e CPIV 
 
 
CPI e CPII 
 
 
CP V 
 
 
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7) Para um concreto de resistência característica à compressão de 40 MPa, determinar: 
a) o seu diagrama tensão/deformação 
b) as tensões correspondentes às seguintes deformações específicas na idade de 28 
dias: 
 Єc = 1,5‰ Єc = 2,8‰ 
 
8) O concreto de um edifício é da classe C25. Faça uma avaliação da sua resistência 
característica à compressão na idade de 14 dias, sabendo-se que o cimento a ser 
utilizado é o CPIII. 
 
9) O ensaio de 30 corpos de prova mostrou os seguintes valores para a tensão de ruptura 
do concreto aos 28 dias: 
 
 
 
Corpo de prova fc28,i (MPa) Corpo de prova fc28,i (MPa) 
01 23,5 16 22,8 
02 23,2 17 31,5 
03 18,5 18 32,8 
04 33,2 19 31,7 
05 30,2 20 29,0 
06 26,5 21 27,8 
07 23,9 22 35,5 
08 18,5 23 22,9 
09 28,2 24 21,7 
10 30,2 25 29,0 
11 18,2 26 27,0 
12 29,7 27 28,1 
13 31,6 28 30,2 
14 19,7 29 22,1 
15 21,6 30 33,2 
 
 Determine o valor da resistência característica deste concreto à compressão. 
 
10) Qual o módulo de elasticidade de um concreto com resistência característica à 
compressão aos 28 dias igual a 35 MPa? 
 
11) Qual o módulo de elasticidade do concreto especificado no exercício 10 aos 14 dias? 
 Considere cimento CP-III. 
 
12) Qual o módulo de elasticidade secante aos 28 dias de um concreto de classe C40, 
utilizado na verificação do ELS (Estado Limite de Serviço)? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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13) Complete a tabela abaixo: 
 
CONCRETO fck 
(MPa) 
fctk,inf 
(MPa) 
fctk,sup 
(MPa) 
Eci 
(MPa) 
Ecs 
(MPa) 
C20 
C25 
C30 
C35 
C40 
C45 
C50 
 
 
14) Um momento Md é aplicado à viga esquematizada abaixo. Determine: 
a) a força normal resultante de compressão que atua na seção transversal comprimida 
b) a força normal resultante na armadura tracionada, supondo que a mesma trata-se do 
aço CA-50. Dado: fck = 25 MPa. 
 
 
 
 
 
 
 
 ENCURTAMENTO 3‰ 20 cm 
 Md 
 
 
 
 
 
60 50 cm 
cm 
 
 
 
 10 cm 
 
 
 ALONGAMENTO 
 7‰ 3 Φ 10 mmDEFORMAÇÃO DA SEÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seção 
deformada 
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15) Complete a tabela abaixo: 
 
DIAGRAMA σs/Єs AÇO Fyk 
(MPa) 
fyd 
(MPa) 
Єyd 
(‰) 
σs (MPa) p/ 
Єs=2 ‰ 
σs (MPa) p/ 
Єs=3,5 ‰ 
 
 
CA-25 
 
 
 
 
 
 
CA-50 
 
 
 
 σs (MPa) 
 
 
fyk 
 
 
fyd 
 
 
 
 
 
 
 
 O Єyd 10 Єs (‰) 
 
 
 
CA-60 
 
 
 
 
 
16) Para Єs=3,17‰ e Єs=1,05‰, determinar σs para o aço CA-25. 
 
 17) Para Єs=3,113‰ e Єs=1,654‰, determinar σs para o aço CA-50. 
 
18) Calcular as forças resultantes na armadura superior e na armadura inferior da viga 
abaixo representada. A armadura superior é constituída por 2 barras de 12,5 mm de 
diâmetro e a armadura inferior por 3 barras de 16 mm de diâmetro. Dado: aço CA-50. 
 
 
 
 
 
 
 ENCURTAMENTO 3‰ 10 cm 
 Md 
 
 5 cm 
 
 
 
60 50 cm 
cm 
 
 
 
 
 5 cm 
 
 ALONGAMENTO 
 9‰ 
 
 
 DEFORMAÇÃO DA SEÇÃO 
Armadura 
superior 
Armadura 
inferior 
Seção 
deformada 
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19) Uma seção retangular de uma peça de concreto está sujeita a uma tensão de 
compressão permanente σo = 10 MPa na idade to=28 dias. Considere os seguintes 
dados: . espessura fictícia 54 cm; 
 . umidade relativa do ar= 70%; 
 . resistência média do concreto à compressão na idade 28 dias = 31,5 MPa. 
 Determinar: 
a) o valor final da deformação de fluência; 
b) a deformação imediata e a total. 
 
20) Uma obra em que a resistência à compressão do concreto aos 28 dias é de 22 MPa, 
determine a sua resistência característica à compressão considerando as condições A, B 
e C de execução da NBR 12655. 
 
21) Admita que a estrutura (marcação de pilares) mostrada na figura abaixo seja a de um 
edifício onde nota-se que foi lançado um núcleo rígido, composto pelas caixas de escada 
e elevadores (cuja inércia pode ser considerada infinita em presença daquela das demais 
peças verticais), ficou situado no centro do prédio, coincidindo com o seu centro de 
dilatação, enquanto, nas fibras externas, foram dispostos pilares flexíveis (de pequena 
inércia). Supondo uma variação de temperatura de – 10 ºc e retração equivalente a uma 
diminuição de temperatura de 15 ºc, determine o deslocamento horizontal máximo dos 
pilares de bordo dos diversos andares para estes dois efeitos, ou seja, variação de 
temperatura e retração. 
 30 m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 30 m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22) Admitindo a mesma peça do exercício 21, determinar o valor final da retração contada 
a partir de t0 = 28 dias. 
 
 
 
 
 
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3. REQUISITOS GERAIS DE QUALIDADE DA ESTRUTURA E AVALIAÇÃO DA 
CONFORMIDADE DA ESTRUTURA E AVALIAÇÃO DA CONFORMIDADE DO 
PROJETO: 
 
 O aluno deverá fazer uma leitura minuciosa do Capítulo 5 da NBR 6118:2003. A 
seguir, são apresentados alguns itens deste capítulo que merecem destaque. 
 
3.1. REQUISITOS DE QUALIDADE DA ESTRUTURA: 
 
 Para que uma estrutura possa trabalhar de forma eficaz, satisfazendo todas as 
condições para as quais foi concebida, deve-se atender aos requisitos mínimos de 
qualidade em três grupos (item 5.1.2): 
 
a) Grupo 1: capacidade resistente adequada: deve resistir no todo ou em parte : 
� ações previstas em projeto; 
� sem ruptura; 
� sem perda de estabilidade. 
 
b) Grupo 2: bom desempenho em serviço: capacidade de a estrutura manter-se em 
condições plenas de utilização, não devendo apresentar danos que comprometam em 
parte ou totalmente o uso para o qual foi projetado. A estrutura deve ser verificada para 
se evitar: 
� fissuração excessiva; 
� deformação abusiva ou incompatível com sua finalidade; 
� vibrações indesejáveis. 
 
c) Grupo 3: durabilidade: capacidade da estrutura de manter-se em utilização durante o 
período previsto para sua vida útil, sem necessidade de reparos adicionais àqueles 
contidos no manual de manutenção da construção, se mantidas as condições ambientais 
e de uso estabelecidas quando da elaboração do projeto. 
 
 
 
3.2. REQUISITOS DE QUALIDADE DO PROJETO: 
 
 A solução estrutural adotada em projeto deve atender aos requisitos de qualidade 
estabelecidos nas normas técnicas, relativos à capacidade resistente, ao desempenho 
em serviço e à durabilidade da estrutura. O projeto estrutural deve: 
� dar subsídios para a obra cumprir os requisitos de qualidade de estrutura; 
� estar integrado com os demais projetos (arquitetônico, elétrico, prevenção e 
combate a incêndio, hidro-sanitário, ar-condicionado e outros). 
 O produto final do projeto estrutural é constituído por desenhos, especificações e 
critérios de projeto. As especificações e os critérios de projeto podem constar nos 
próprios desenhos ou constituir documento separado. 
 No mínimo, a documentação do projeto deverá constar de: 
 
 
 
 
 
 
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36 PROF. CAMILO 
 
ITEM DESCRIÇÃO 
FÔRMAS . resistência característica do concreto – fck 
. módulo de elasticidade secante do concreto – Ecs 
. fator água-cimento 
. pesos específicos e volumes de enchimentos 
. cargas atuantes