lista 2 de estruturas

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UNIVERSIDADE REGIONAL DO CARIRI – URCA 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 
 UNIDADE DESCENTRALIZADA DE CAMPOS SALES – UDCS 
 CURSO DE LICENCIATURA EM CIÊNCIAS MATEMÁTICA 
 
 Lista 2 de Estruturas Algébricas 
1)Em cada caso, verifique se 𝑓: 𝐺 → 𝐽 é um homomorfismo. 
Observação: Se for homomorfismo, devemos mostrar que 𝑓 𝑥 ∗
𝑦 = 𝑓 𝑥 ∆( 𝑦),∀ 𝑥, ∈ 𝐺 . Se 𝑓 não for homomorfismo devemos 
mostrar um contra- exemplo, ou seja, escolher valores particulares 
de 𝑎 𝑒 𝑏 ∈ 𝐺 tais que 𝑓 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑓 𝑎 ∆ 𝑓(𝑏) aqui ∗ representa a 
operação de 𝐺 e ∆ e a operação em 𝐽. 
a) 𝐺 = ℤ, + , 𝐽 = ℤ, + , 𝑓 𝑥 = 7𝑥 
b) 𝐺 = ℤ, + , 𝐽 = ℤ, + , 𝑓 𝑥 = 7𝑥 + 1 
c) 𝐺 = ℤ, + , 𝐽 = ℤ, + , 𝑓 𝑥 = 7𝑥2 
d) 𝐺 = ℝ, + , 𝐽 = ℝ, + , 𝑓 𝑥 𝑥 
e) 𝐺 = ℝ, . , 𝐽 = ℝ, . , 𝑓 𝑥 = 𝑥 
2)Seja 𝐺 = (ℤ8 , +) e um subgrupo H= {0,2,4,6} 
a) A classe lateral à esquerda definida pelo elemento 1 é¿ 
b)A classe lateral à direita definida pelo elemento 2 é¿ 
c) Considere 𝐺 = (ℝ∗ , . ) e um subgrupo H ={3𝑘 /𝑘 ∈ ℤ} ou seja , H = 
{ 1/9,1/3, 1,3,9,27}. A classe lateral à direita definida pelo elemento 
 2 ∈ 𝐺 é 
3) Mostre que um grupo G é abeliano se, e somente se,𝑓 ∶ 𝐺 → 𝐺 
definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥−1 é um homomorfismo. 
4) Seja (ℤ4, + ) um grupo: 
a) construa a tábua, 
b) Determine seus geradores 
c) verifique se é cíclico, determinando seus possíveis geradores 
5) O grupo aditivo ℤ8 = 1,2,3,4,5,6,7 com os seguintes 
subconjuntos 
H1 = {2,4,6,0} H2= {6,4,2,0} H3= { 4,0} H4 { 4,3,6} .Verifique quais 
são subgrupo de ℤ8. 
6) No < ℤ6 , +> encontre o subgrupo gerado por 
 𝑎) < 2 > 
 b)< 4 > 
 c)< 3 > 
 d)< 5 >