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Filtros Banda de Rejeição

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Conteúdo
1 - Filtro de Banda de Passagem - Análise 
Quantitativa (Resposta em Freqüência)
2 - Exercícios
3 - Filtro de Banda de Rejeição - Análise 
Quantitativa (Resposta em Freqüência)
4 - Exercícios
5 - Lista de Exercícios Número 5 - LE 5
3 - FILTRO DE BANDA DE REJEIÇÃO
∴
ω
−ω+
ω
−ω
ω=ω
••
C
jLjR
C
jLj
)j(V)j(V io ∴
ω
−ω+
ω
−ω
=
ω
ω
•
•
C
jLjR
C
jLj
)j(V
)j(V
i
o
∴
ω
−ω+
ω
−ω
=ω
C
jLjR
C
jLj
)j(H ∴





 ω






ω
−ω+





 ω






ω
−ω
=ω
L
j
C
jLjR
L
j
C
jLj
)j(H
)j(Vi ω
•
- j / (ωωωω C)
j ωωωω L
+
-
)j(Vo ω
•
R
a) Função de Transferência→→→→ H ( jωωωω )
3.1 - Circuito RLC em série (Tensão de Saída na combinação série Indutor 
e Capacitor): Análise Quantitativa
3 - FILTRO DE BANDA DE REJEIÇÃO
∴
+ω−
ω
+ω−
=ω
CL
1
L
Rj
CL
1
)j(H
2
2
b) Resposta de freqüência→→→→ gráficos do módulo e do ângulo de H ( jωωωω ) em
função de ωωωω.
∴












ω−
ω
∠




ω+





ω−
∠





ω−
=ω
2
22
2
02
CL
1
L
R
tgarc
L
R
CL
1
0
LC
1
)j(H
Transformando o numerador e denominador da função de transferência da forma
retangular para polar, tem-se: 
∴





 ω






ω
−ω+





 ω






ω
−ω
=ω
L
j
C
jLjR
L
j
C
jLj
)j(H
L
Rj
CL
1
CL
1
)j(H
2
2
ω
+





ω−
ω−
=ω
3 - FILTRO DE BANDA DE REJEIÇÃO












ω−
ω
−∠





ω+





ω−
ω−
=ω
222
2
2
CL
1
L
R
tgarc
L
R
CL
1
CL
1
)j(H
⇓⇓⇓⇓
22
2
2
L
R
CL
1
LC
1
)j(H





ω+





ω−
ω−
=ω












ω−
ω
−=ωθ
2
CL
1
L
R
tgarc)j(
00)j(e1)j(H =ωθ=ωPara ωωωω →→→→ 0:
00)j(e1)j(H =ωθ=ωPara ωωωω →→→→ ∞∞∞∞:
3 - FILTRO DE BANDA DE REJEIÇÃO 
ωωωω
)j( ωθ
θ ( jωc1 )
ωωωωc1
ωωωωc2
θ ( jωc2 )
Parâmetros importantes: 
1) ωωωωc1 e ωωωωc2 →→→→ freqüências de 
corte (rad/s); correspondem às 
duas freqüências nas quais o 
módulo da função de 
transferência é 70,7% do valor 
máximo, que neste caso é 1.
ωωωω
)j(H ω
BPBP BR
ββββ
2) ωωωω 0 →→→→ freqüência central ou 
freqüência de ressonância 
(rad/s); corresponde à freqüência 
na qual o módulo da função de 
transferência é mínimo (zero) - o 
ângulo sofre uma 
descontinuidade (± 900).
3) ββββ →→→→ largura da banda rejeitada 
(rad/s); corresponde à diferença 
entre as freqüências de corte: 
β = ωc2 - ωc1
4) Q →→→→ fator de qualidade 
(adimensional); corresponde à
relação entre a freqüência central 
(ou de ressonância) e a banda 
rejeitada : Q = ω0 / β
02c1c0 f2π=ωω=ω
BR →→→→ banda rejeitada (ωωωωc1 < ωωωω < ωωωωc2 )
BP →→→→ banda passante (ωωωω < ωωωωc1 e ωωωω > ωωωωc2 )
2c2c
1c1c
f2
f2
π=ω
π=ω
0,707
ωωωωc1 ωωωωc2
1
- 900
900
00 ωωωω 0
ωωωω 0
)j(V i ω
•
- j / (ωωωω C)
j ωωωω L
+
-
)j(V o ω
•
R
3 - FILTRO DE BANDA DE REJEIÇÃO
c) Determinação das expressões matemáticas dos 5 parâmetros que
caracterizam um Filtro de Banda de Passagem:
Nesta freqüência a função de transferência possui módulo mínimo (zero) ⇒⇒⇒⇒
0)j(V
)j(V
)j(V
)j(H0)j(H 0
i
0
=ω∴
ω
ω
=ω∴=ω
•
•
•
c.1 - Freqüência central ou de ressonância (ωωωω0):
Assim, o indutor e o 
capacitor comportam-se
como um curto-circuito
e, portanto, a soma de 
suas impedâncias tem 
que ser nula.
∴=+ 0ZZ CL ∴=ω
−ω 0
C
jLj
0
0 ∴
ω
=ω
C
jLj
0
0 ∴=ω CL
12
0 CL
1
0 =ω
Verifica-se que na freqüência de ressonância (ou central):
1) O circuito é puramente resistivo.
2) A impedância equivalente é mínima, uma vez que as impedâncias do 
indutor e do capacitor se cancelam (pois apresentam efeitos subtrativos).
3) O módulo da função de transferência é mínimo (0) - vide gráfico na página anterior.
3 - FILTRO DE BANDA DE REJEIÇÃO 
Nestas freqüências o módulo da função de transferência é 70,7 % do valor 
máximo (1) ⇒⇒⇒⇒ EPC!!VERIFICAR1)j(H)0j(HHmax −⇒=∞==
c.2 - Freqüências de corte (ωωωωc1 e ωωωωc2 ):
∴===ω 707,0
2
1
2
)j(H maxHc
∴=





ω+





ω−
ω
=ω
2
1
L
R
CL
1
L
R
)j(H
2
c
2
2
c
c
c
Aplicando a definição de freqüência de corte na expressão do módulo da função de 
transferência, tem-se: 
Explicitando ωωωωc na equação acima, obtém-se dois valores para esta variável:






+





+−=ω
CL
1
L2
R
L2
R 2
1c 





+





+=ω
CL
1
L2
R
L2
R 2
2c
As equações acima podem ser utilizadas para determinar a relação entre as 
freqüências de corte e a freqüência de ressonância (ou central):
EPC!!VERIFICAR2c1c0 −⇒ωω=ω
3 - FILTRO DE BANDA DE REJEIÇÃO 
∴ω−ω=β 1c2cÉ definida como a diferença entre as duas freqüências de corte ⇒⇒⇒⇒
c.3 - Largura da Banda Rejeitada ou Banda Rejeitada ( ββββ ):
∴














+





+−−





+





+=β
CL
1
L2
R
L2
R
CL
1
L2
R
L2
R 22
L
R
=β
É definido como a relação entre a freqüência de ressonância (ou central) e a banda 
rejeitada ⇒⇒⇒⇒
c.4 - Fator de Qualidade ( Q ):
∴β
ω
=
0Q ∴=
L
R
CL
1
Q 2RC
LQ =
NOTA - As freqüências de corte podem ser expressas em função da banda rejeitada 
(ou largura da banda rejeitada) e da freqüência de ressonância (ou central):
∴





+





+−=ω
CL
1
L2
R
L2
R 2
1c
2
0
2
1c 22
ω+




 β
+
β
−=ω
∴





+





+=ω
CL
1
L2
R
L2
R 2
2c
2
0
2
2c 22
ω+




 β
+
β
=ω
L
C R)j(Vi ω
•
)j(Vo ω
•
-
+
3 - FILTRO DE BANDA DE REJEIÇÃO
d - Função de Transferência - CARACTERIZAÇÃO:
NOTA - Todo circuito cuja função de transferência é da forma apresentada 
acima, comporta-se como um Filtro de Banda de Rejeição.
)(j
)j(H 22
o
22
o
ω−ω+βω
ω−ω
=ω
RESPOSTA:
CR
1
=β
CL
1
0 =ω
∴
ω
+





ω−
ω−
=ω
L
Rj
CL
1
CL
1
)j(H
2
2
e - Exercício - EPC - Mostre que o circuito abaixo corresponde a um Filtro de 
Banda de Rejeição. Calcule os parâmetros ωωωωc1, ωωωωc2 , ωωωω0 , ββββ e Q.
)(j
)j(H 22
o
22
o
ω−ω+βω
ω−ω
=ω
L
CRQ
2
=






+





+−=ω
CL
1
CR2
1
CR2
1 2
1c 





+





+=ω
CL
1
CR2
1
CR2
1 2
2c

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