TEORIA E SISTEMAS ESTRUTURAIS

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TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 
 
 
 
1/80 26/3/2011 
Hb=0 (1) 
Va + Vb =3P (2) 
3Vb = 33P/4 (3) 
 
 [coef] x [reações] = [carregamento] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∑Fh ] Ha + Hb –4P = 0 Ha + Hb = 4P (1) 
 
∑Fv ] Va + Vb – 2P – (3P/a)x2a = 0 Va + Vb = 8P 
 
∑Ma ] Ma + 2aVb – a2P – (3P/a . 2a).a = 0 (2) 
 Ma + 2aVb – 2aP – 6aP = 0 
 Ma + 2aVb = 8aP (3) 
 
 
 
 
 
 
 
Número de linhas menor que o de colunas 
Reações > equações de equilíbrio 
1 0 0 
0 1 1 
0 0 3 
 
x 
Hb 
Há 
Vb 
 
0 
3P 
33P/4 
 
= 
2P 3P/a 
4P 
B 
A 
MA 
Va 
Ha 
Vb 
Hb 
+ 
1 1 0 0 0 
0 0 1 1 0 
0 0 0 2a 1 
 
4P 
8P 
8aP 
 
Ha 
Hb 
VB 
MA 
 
= x 
a a 
TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 
 
 
 
2/80 26/3/2011 
SISTEMA HIPERESTÁTICO = nº linhas < nº colunas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∑Fh ) HA - Psenα = 0 HA = Psenα (1) 
 
∑Fv ) VA + VB – P.L - Pcosα = 0 VA + VB = P.(L+cosα) (2) 
 
∑MA) -MA –P.L(L/2) - Pcosα . 7L/6 + Psenα .L/2 + VB.4L/3 = 0 
 - MA – PL2/2 - Pcosα7L/6 + PsenαL/2 + 4L/3.VB 
 - MA + 4L/3VB = PL2/2 + Pcosα7L/6 - PsenαL/2 (3) 
 
 
 
 
 
 HIPERSTÁTICO 
 GRAU = 1 
L L/3 
P 
B A 
α 
L 
MA 
Va 
Ha 
Vb 
Psenα 
Pcosα 
P . L 
L/2 L/6 L/2 L/6 
1 0 0 0 
0 1 1 0 
0 0 4L/3 -1 
 
HA 
HB 
VB 
MA 
 
Psenα 
P(L + cosα) 
PL2/2 + Pcosα(7L/6) - PLsenα/2 
 
= 
x 
TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 
 
 
 
3/80 26/3/2011 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∑FH) Ha + Hb = P (1) ∑FV) Va + Vb = P (2) 
 
∑Ma ) Vb.L – P.L/2 – P.L/2 = 0 Vb.L = P.L Vb = P (3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ∑MC) P.L/2 – Ha.L = 0 P.L/2 = Ha.L Ha = -P/2 
 
 
 
 
 
 
 
 ISOSTÁTICO 
 Nº LINHAS = Nº COLUNAS 
 
 
 
 
 (HIPOSTÁTICO) = RUÍNA 
 
 
 
+ 
L 
P 
B A 
L 
P C 
Va 
Ha 
Vb 
P 
L/2 L/2 
P 
Hb 
Va 
Ha 
C 
P 
+ 
1 1 0 0 
0 0 1 1 
0 0 0 1 
1 0 0 0 
 
HA 
HB 
VA 
VB 
 
P 
P 
P 
P/2 
 
= 
x 
L 
P 
B A 
P 
TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 
 
 
 
4/80 26/3/2011 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ∑FH = 0 ∑FV ) Va + Vb = 180kN 
 
 ∑Ma) -20.1 - 100.2 - 60.3 + 4Vb = 0 Vb = 400/4 
 Vb = 100kN 
 
 Va = 180 – 100 Va = 80kN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 V(x) = 80 – 10x x ∈ [0,2[ 
 
 
 
 
2m 
10kN/m 
B A 
30kN/m 
2m 
100kN 
100kN 20kN 60kN 
Va 
Vb 
+ 
( + ) ( - ) 
100kN 
80kN 
60kN 
40kN 
Q 
x 
10kN/m 
80kN 
TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 
 
 
 
5/80 26/3/2011 
 
 
 
 
 V(x) = 80 – 20 – 100 – 30x 
 
 V(x) = -40 + 30x x ∈ ]2,4] 
 
 
 
 
 
M(x) = ∫v(x)dx = 80x – 10x2 /2 +K M(x) = 80x – 5x2 + K [0,2] 
 
M(0) = 0 K = 0 
M(2) = 80.2 –5.22 + K ⇒ K = 160 – 20 ⇒ K= 140kN.m 
 
 
M(x) = ∫v(x)dx = 40x – 30x2 /2 +K M(x) = 40x – 15x2 + K 
 
M(0) = 0 K = 0 
M(4) = 40.4 – 15.42 + K ⇒ K = 240 – 160 ⇒ K = 80kN.m 
M(x) = 40x – 15x2 + 80 [2,4] 
 
 
TENSÕES NORMAIS σσσσ(z) e DEFORMAÇÕES εεεε(z) NA FLEXÃO PURA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Tgα = σ/ε 
 
 
 
 
 
2 
10kN/m 
80kN 
x 
30kN/m 
σ 
ε α 
Viga retangular 
M M 
dx 
TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 
 
 
 
6/80 26/3/2011 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Parte de baixo – tração 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∆s = AB = ρdθ ∆s’ = A’B’ = (ρ+h2)dθ 
 
Pela teoria da elasticidade 
ε2 = lim (∆s’ - ∆s)/∆s = lim((ρ + h2).dθ - ρdθ)/ρdθ = ε2 = h2/ρ (2) 
 
(1) ⇒ (2) 
ε(z) = h2/ρ . 1.z/h2 = ε(z) = z/ρ (3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
compressão 
encurtamento 
tração alongamento 
h1 
h2 
A B 
θ 
dθ 
Linha neutra, onde as 
tensões são neutras 
ρ 
ρ = raio de 
curvatura 
ε2 
z 
h2 
ε(z) Teorema de Tales 
 
ε2/h2 = ε(z)/z 
ε(z) = ε2.z/h2 (1) 
 ∆s ⇒0 
σ1 
Iz 
σ2 
M 
z 
h2 
σ(z) 
σ2 
TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 
 
 
 
7/80 26/3/2011 
 
 
 
 σ(z) = σ2.z/h2 (4) 
 
 M = ∫ zσ(z)dA (5) 
 
 
M = ∫ z.σ(2).z/h2dA 
 
M = σ2/h2 ∫ z2dA 
 
 
 I = Momento de inércia 
(4) ⇒ (6) 
 






=
2
2
h
I
z
hM zσ ( ) I
z
zM σ= ⇒ ( )
I
zM
z
.
−=σ (7) 
 
Exercício: 
Para uma seção retangular de dimensões b = 15cm e h = 60cm, sujeito a um momento fletor de 
50KN.m (traçãoinferior) 
 
Pede-se: 
a) Distribuição σ(z) 
b) Resultante de tração e compressão 
c) Restituição do momento fletor 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fórmula ( )
I
Mz
z −=σ M = 50KN.m = 5000KN.cm 
4
33
000.270
12
60.15
12
.
cm
hbI === 
( ) zzz .0185,0.
270000
5000
==σ 
 
 
A 
A 
A 
dA 
z 
Inércia 
∫ z2dA A 
60 
15 
M 
Y 
Z 
LN 
TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 
 
 
 
8/80 26/3/2011 
 
a) σ(0) = 0 
σ(30) = 0,0185 . 30 = 0,555KN/cm2 = 5,55MPa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
44 844 76
zárea
RC
σ
15.
2
30.555,0
−= (largura da viga) 
 
 RC = -125KN = RT 
 
 
 
 
 
 
c) MR = RC.(20) + RT.(20) MR = 125.(40) 
 
 MR = 5000KN.cm = 50KN.m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0,555 
z 
0,555 
0,555 
RC 
0,555 
M 
RT 
(2/3)30 
(2/3)30 
TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 
 
 
 
9/80 26/3/2011 
 
Exercício: Para a viga”T” abaixo sujeita a um momento M = 80kN.m calcule: 
a) σ(z) b) Rc e Rt c) MR 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
M = 80kN.m = 8.000kN.cm 
 
30000
12
30.1030000
12
10.30)10.(300
12
.)10.(300
12
.
33
2
3
2
3
+++=+++=
hbhbI 
4850005250032500 cmI =+= 
 
 z
z
z 0941,0
85000
8000
==σ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 10 10 
30 
10 
15 
35 
5 
15 15 
z = 0 y 
TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 
 
 
 
10/80 26/3/2011 
 
cm
A
M
zcg 25600
)15.(300)35.(300*
=
+
=
∑
∑
= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) σ(0) = 0 σ(15) = -0,0941 . –15 = -1,41 kN/cm2 = - 14,1MPa 
 σ(-25) = -0,0941 . –25 = 2,35 kN/cm2 = 23,5MPa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
σ(5) = -0,0941 x 5 = -0,45kN/cm2 
 
25 
15 15 
ycg 
-1,41 
z 
15 
25 
2,35 
26,67 
2,35 
10 15 
25 
2,35 
16,67 
TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 
 
 
 
11/80 26/3/2011 
 
 
( ) kNRc 0,28230*10*
2
47,041,1
2 −=


 +
−= kNRc 76,1110*
2
5*47,0
1 −=




 −
= 
Rc2 + Rc1 = -293,76kN kNRt 75,29310*2
25*35,2
=





= 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )*.)(
)(
0
0
∫
∫
= h
h
trapézioáreadxxf
dxxfx
x
⇒+=




+=+=+∫ ∫ 2323
)(
23
0 0
23
0
2 bhahhxaxbxdxaxdxbaxx
h h
h
 h = 10 b = 0,47 094,0
10
47,041,1
=




 −
=a 
 ⇒ = 54,83 4,910*
2
41,147,0
=




 +
=∆t 
 cmx 8,5
4,9
83,54
== 
 
MR = (293,75)*(16,6) + (11,75)*(3,3) + (282)*(10,8) 
MR = 7960kN.cm = 80kN.m 
 
 
 
 
 
 
 
2/3*5=3,33 
10 
25 
2/3*25 = 16,67 
5+5,8 = 10,8 
5,8 
0,47 
1,41 
10 
x 
x 
y 
TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 
 
 
 
12/80 26/3/2011 
VIGAS COMPOSTAS DE DOIS MATERIAIS 
 
MATERIAL 1: E1, ε1 
MATERIAL 1: E2, ε2 
 
 
 
 
 
 
HIPÓTESE: Os materiais trabalham de forma solidária, sem escorregamento entre si. 
 
 
 
 
 
σ = E*σ 
2
2
1
1
EE
σσ
= 
 
 
2
2
1
1 *σσ E
E
= 
 
 
 
 
Idéia: transformar a viga de 2 materiais em um material único. 
 Desenvolver as tensões σ(z) e restituí-las em 2 grupos pelo fator η 
 
 
2I
M z
−=σ 
 
 
12
*
*
3
21
hbI
I
Mz
I
Mz
==





−=− η 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
2 
ε1 + ε2 
200GPa 
10GPa 
η 
h1 
h2 
h 
b2 
b1 
2 
B2 
B1=B2*(E1/E2) 
 
TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 
 
 
 
13/80 26/3/2011 
Exemplo 1) 
Para uma viga composta de 2 materiais, sendo madeira (10GPa) e aço (200Gpa) pede-se: 
 
a) Distribuição de tensão 
b) Resultado de tração e compressão 
c) Restituição do momento 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
M = 120 kN.m b/10 = 10/200 b = 10*10/200 = 0,5cm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
12
.1
12
.
33
AhbAhbI +++= 
 
 
 
 
 
 
 
 
48cm 
Y 
10cm 
2cm 
10 
48 
2 
10 
48 
2 
0,5 
Linha de referência 
26 
1 
TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 
 
 
 
14/80 26/3/2011 
 
( ) ( ) ( )
cm
A
M
zG 64,1444
644
2420
62420
)5,0*48()2*10(
)26(*5,0*481*2*10
=
+
+
=
+
+
==
∑
∑
 
 
2
2
2
3
)26*64,14(*)5,0*48(
12
)48(*5,0)164,14(*)2(*10
12
2*10
++−+=I 
 
 Fig 1 fig2 
 
I = 11.433cm4 
 
⇒ Teorema dos eixos paralelos (Papis) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
zz
I
M z
z 05,1433.11
000.12
2
=−=−=σ 
 
σ(0) = 0 
σ(35,4) = 37,1kN/cm2 
σ(-14,6) = 15,4 kN/cm2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aço Compressão 37,1 
Madeira 12,6 
35,4 
14,6 
Tração 15,4 
Aço 2 
50 Linha neutra 
σm = N*σσσσa 
σm(35,4) = 0,05*(37,1) 
 σm(2) = 0,5*pis*(-12,6) 
(Na linha neutra) 
N=E1/E2 
 
Linha neutra 
15,4 
37,1 
35,4 
14,6 
15,4 
1,86kN/cm2 
13,27 0,66 
σm = 1,86 (compressão) 
 
σm(2) = 0,05*(+13,27)= 0,66 tração 
σz = -1,05z 
σ(12,6) = -1,05*12,6 = +13,27 
TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 
 
 
 
15/80 26/3/2011 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
kNRt
vigadaural
aço 286*2*2
4,1527,13( 10
..arg
≅


 +
= 
 
Rc = Rt ⇒ 329 = 42 + 286 ⇒ 329 = ~ 328 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Área trapézio = uralhbb menormaior arg**
2 









 +
 
 
 
 
 
 
 
 
1,86kN/cm2 
12,6 
0,66 
35,4 
kNRc
vigadaural
madeira 329*2
4,35*86,1 10
..arg
≅





= 
kNRt
vigadaural
madeira 42*2
6,12*66,0 10
..arg
≅





= 
2/3(35,4) 
2/3(12,6) 
Rcm 
Rtm 
Rtaço 
Distâncias muito pequenas adotar 
metade de L (até 10% do L total) 
MR = 329*(2/3)*35,4 + 42*(2/3)*12,6 + 286*13,6 
 
MR = 12.006kN.cm (OK) 
TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 
 
 
 
16/80 26/3/2011 
 
 
Exercício: 
Viga de concreto armado sobre o ponto de vista RESMAT 
 
HIPÓTESES: 
 
a) Materiais trabalham de forma solitária. 
b) Concreto não resiste à tração 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b = largura da viga 
h = altura da forma 
d = altura útil 
σc = tensão admissível concreto 
σs = tensão admissível aço 
As = Área do aço 
Ac = Área do concreto 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∑f = 0 ∑M = 0 
 
Rc = Rs (Resultante) Assbxc **
2
*
σ
σ
=





 (1) 
 
M h 
d 
b 
LN 
x 
d 
Rc 
d-x 
2/3 *x 
Rs 
TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 
 
 
 
17/80 26/3/2011 
 
M = Rc*(2x/3) + RS*(d-x) 
 
M = Rc (2x/3 + d – x) ⇒ resultante do concreto igual a resultante do aço 
 ⇒ M = Rc*(d – x/3) (2) 
 
M = (σc*x/2)* b * ((d-x)/3) = ((σc* b * d)/2)* x – ((σc* b)/6)* x2 
 
((σc * b)/6)* x2 - ((σc* b * d)/2) * x + M = 0 (3) 
 
 x
s
bcAs *
*2
*






=
σ
σ
 (4) 
 
Exemplo 01 
 
Calcular para a viga de concreto armado abaixo, a posição da linha neutra e a área de aço necessária 
para suportar um momento de 120kN.m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
σc = 20MPa /10 = 2kN/m2 
σs = 500MPa /10 = 50kN/m2 
M = 120kN.m 
 
⇒ obs: um tijolo baiano resiste a 18MPa 
 
000.12*
2
54*12*2
*
6
12*20 2 +





−





= xx = 4x2 – 648x + 12.000 = 0 
 
(se x > que a viga, desprezar o negativo também) 
 
120kN.m 
d = 0,9h = 54cm 60 
12 
TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 
 
 
 
18/80 26/3/2011 
a
cab
*2
**4648
2
−±− 
 
4*2
12000*4*4648648
2
−±− 
 
8
3,477)648(
8
904.227648 ±−−=±− 
 
x = 140,62 (não) e x = 21,33 
 
x = 21,33 
 
212,533,21*
50*2
12*2
cmAs =





= 
 
 
Para uma viga retangular de largura 12cm e altura útil de 41cm, calcular o valor de M sabendo que a 
LN está a 0,5 de “d” 
 
x = 0,5d = 0,5* 41 ⇒ x = 20,5cm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(4) 292,45,20*
50*2
12*2
cmAs =





= 
 
cmkNM .405.85,20*
2
41*12*2)5,20(*
6
12*2 2 ≅





+





−= 
 
 
 
 
20,5 
41cm 20,5 
12 
TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 
 
 
 
19/80 26/3/2011 
CARREGAMENTOS ASSIMÉTRICOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
xM y 80240 −= [0,3] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Y 
X 
Z 
50kN 
80kN 
Z 
B 
A D 
Y 
C 
20 
50 
X 
Y 
80kN 
3m 
+ 
240 kN*m 
50kN 
150kN*m 
+ 
150kN*m 
TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 
 
 
 
20/80 26/3/2011 
Momento engaste 
 
My = 240kN*m = 24.000kN.cm 
My = 150kN*m = 15.000kN.cm 
4
3
333.208
12
)50(*20
cmIy == 
4
3
333,33
12
)20(*50
cmIz == 
 






+−= y
Iz
Mz
z
Iy
My
zy **),(σ 





+−= yzzy *333.33
000.15
*
333.208
000.24
),(σ σ(y,z) = -(0,115z +0,450y) 
σ(y,z) = -( 0,115z + 0,450y) 
 
Ponto y z σ(y,z) 
A 10 25 -7,375
B 10 -25 -1,625
C -10 -25 7,375
D -10 25 1,625
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde passa a linha neutra ⇒ σ(y,z) = 0 -(0,115z +0,450y) z = - 3,9y 
 
 
y = 10 ⇒ z = -39 y = -10 ⇒ z = 39 
 
 
 
 
 
 
 
Z 
-1,6 
-7,4 1,6 
Y 
7,4 
TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 
 
 
 
21/80 26/3/2011Para x = 1,2 metros 
 
My (x) = 240 – 80*1,20 = 144kN*m = 14.400kN.cm 
My (x) = 150 – 50*1,20 = 90kN*m = 9.000kN.cm 
4
3
333.208
12
)50(*20
cmIy == 
 
-1,6 
-7,4 
7,4 
1,6 
LN 
y 
z 
Z 
-1,6 
-7,4 1,6 
Y 
7,4 
(-10,39) 
(10,-39) 
LN 
- 
+ 
TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 
 
 
 
22/80 26/3/2011 
 
4
3
333,33
12
)20(*50
cmIz == 
 






+−= y
Iz
Mz
z
Iy
My
zy **),(σ 





+−= yzzy *333.33
000.9
*
333.208
400.14
),(σ σ(y,z) = -(0,07z +0,27y) 
 
 
Ponto y z σ(y,z) 
A 10 25 -4,45
B 10 -25 -0,95
C -10 -25 4,45
D -10 25 0,95
 
 
 
Onde passa a linha neutra ⇒ σ(y,z) = 0 -(0,07z +0,27y) z = - 3,86y 
 
y = 10 ⇒ z = -38,6 y = -10 ⇒ z = 38,6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-0,95 
-4,45 
4,45 
0,95 
LN 
y 
z 
Y 
Z 
-0,95 
-4,45 0,95 
4,45 
(-10,38,6) 
(10,-38,6) 
LN 
- 
+ 
TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 
 
 
 
23/80 26/3/2011 
Para a viga abaixo, calcular a distribuição σ para a seção C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 VA = 900kN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
My = -900 + 300*x - [(50*x)*x/2] ⇒ My = -900 + 300x -25x2 [0,6] 
Mz = 1800 – 300*x ⇒ Mz = 1800 – 300x [0,6] 
 
My(3) = -225kN*m = -22.500kN.cm 
Mz(3) = -900kN*m = -90.000kN.cm 
 
4
3
500.22
12
)30(*10
cmIy == 4
3
500.2
12
)10(*30
cmIz == 





+−−= yzzy *500.2
000.90
*
500.22
500.22
),(σ 
 
σ(y,z) = -(- 1z +36y) σ(y,z) = 1z -36y 
 
 
Ponto y z σ(y,z) 
A 5 15 -165
B 5 -15 -195
C -5 -15 165
D -5 15 195
 
 
300kN 
3m 3m 
50kN/m Z 
B 
A D 
Y 
C 
10 
30 
300kN 
x/2 
50kN/m 
300kN x/2 
900kN.cm 
y 
x 
z 
TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 
 
 
 
24/80 26/3/2011 
Onde passa a linha neutra ⇒ σ(y,z) = 0 0 = z – 36y z = 36y 
 
y = 1 ⇒ z = 36 y = -1 ⇒ z = -36 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
195 
-195 
-165 
165 
LN 
y 
z 
(-10,38,6) 
Z 
-195 
-165 195 
165 
LN 
- 
+ 
TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 
 
 
 
25/80 26/3/2011 
 
TRABALHO TSE: PROF: FERRÃO 
 
 Calcular σ(y,z) em C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Y) RzA + RzB = 200 ∑MyA = 0 -200*1 + RyB*6 = 0 RzB = 33,33kN 
 RzA = 166,67kN 
 
Z) -RyA –RyB = 100 ∑MzA = 0 100*4 - RzB*6 = 0 RyB = 66,67kN 
 RyA = 33,33kN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
B 
100kN/m 
A 
1m 
100kN 
1m 1m 1m 1m 1m 
RzA RzB 
200kN 
RyA RyB 
100kN 
Y 
Z 
Z 
B 
A D 
Y 
C 10 
20 
166,67kN 
B 
1m 
Vz 
1m 1m 1m 1m 1m 
- 
+ 
33,33 kN 
Vy 
33,33kN 
66,67kN 
TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 
 
 
 
26/80 26/3/2011 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ∑My(C) = -166,67*x + 200*(x-1) ⇒ ∑My(C) = 33,33x - 200 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ∑Mz(C) = 33,33*x - 100*(x-1) ⇒ ∑My(C) = - 66,67x + 400 
 
 
My ⇒ Diagrama de cortante no carregamento V(x) = 166,67 – 100x 
 Qdo V = 0 ⇒ Momento é máximo 166,67 – 100x = 0 ⇒ x = 1,67m 
 
 Mmaximo = 33,33*1,67 -200 Mmaximo = 144,34kN*m 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mz 
 
 
 
200kN 
A 
166,67kN 
X 
X - 1 
33,33 
100kN 
My(C) 
Mz(C) 
A 
X 
X - 4 
1,67 
144,34kN.m 
+ + 
2m 
+ + 
TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 
 
 
 
27/80 26/3/2011 
 
 
 
∑My(c) = 33,33*5 – 200 ∑My(c) = -33,35kN.m = -3.335kN.cm 
 
∑Mz(c) = -66,67*5 + 400 ∑Mz(c) = 66,66N.m = 6.667kN.cm 
 
4
3
667.6
12
)20(*10
cmIy == 4
3
667.1
12
)10(*20
cmIz == 





+
−
−−= yzzy *667.1
667.6
*
667.6
335.3
),(σ 
 
σ(y,z) = -(- 0,5z +4y) σ(y,z) = 0,5z -4y 
 
 
Ponto y z σ(y,z) 
A 5 10 -15
B 5 -10 -25
C -5 -10 15
D -5 10 25
 
 
Onde passa a linha neutra ⇒ σ(y,z) = 0 0 = 0,5z – 4y z = 8y 
 
y = 5 ⇒ z = 40 y = -5 ⇒ z = -40 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
133,32kN.m 
(5,40) 
Z 
-25 
-15 25 
15 
LN 
- 
+ 
(-5,-40) 
-25 
-15 
15 
LN 
y 
z 
25 
TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 
 
 
 
28/80 26/3/2011 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
N(x) = -100kN [0,3] 
My(x) = -300 + 100*x [0,3] 
Mz(x) = 600 – 200*x [0,3] 
 
 
4
3
667.106
12
)40(*20
cmIy == 4
3
667.26
12
)20(*40
cmIz == 
 
 σ(y,z) = σN + σM 
 
 
 
 
 






−−+−= y
Iz
Mz
z
Iy
My
A
N
zy **),(σ Espressão Geral 
 
Momento no engaste 
 






−
−
−+−= yzzy *667.26
60000
*
667.106
30000
40*20
100
),(σ 
 
yzzy 25,2*28,013,0),( −+−=σ 
 
 
 
 
Onde passa a linha neutra ⇒ σ(y,z) = 0 0 = -0,13 + 0,28z – 2,25y 
 z = 0,44 + 8,04y Equação da linha neutra 
 
 
 
100kN 
200kN 
100kN 3m 
Z 
B 
A D 
Y 
C 20 
40 
(cm) 
z y 
x 
Norma
l 
Momentos 
Norma
l 
Momentos 
TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 
 
 
 
29/80 26/3/2011 
 
y z
10 80,84
-10 -79,96
 
 
 
Ponto y z σ(y,z) 
A 10 20 -17,03
B 10 -20 -28,23
C -10 -20 16,77
D -10 20 27,97
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-25 
-15 
15 
LN 
y 
z 
25 
(10, 80,84) 
Z 
-28,23 
-17,03 27,97 
16,77 
LN 
_ 
+ 
(-10, -79,96) 
y 
TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 
 
 
 
30/80 26/3/2011 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na situação de momento máximo, qual o valor de P para que a σ de tração não exceda 0,30kN/cm2 . 
 
cmkNmkNlpM .000.2.20
8
4*10
8
*
22
max ==== 
4
3
467.104
12
)50(*10
cmIy == 
 
z
A
P
z
A
P
zy 01914,0467.104
2000
),( −−=−−=σ z = + 25 σmax = + 0,4786kN/cm
2
 
 
 
0,30 = -P/500 + 0,4789 ⇒ P = 89,31~=100kN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
σ(z) = -0,2 = 0,02z = 0 z = -10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10kN/m 
P 
4m 
P 
Z 
B 
A D 
Y 
C 10 
50 
(cm) 
-P/A = -0,2 
25 
25 
-P/A = -0,2 
-0,4786 
0,4786 
-0,7 
0,3 
TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 
 
 
 
31/80 26/3/2011 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
N = -400kN 
Vz = 600kN 
Vy = -600kN 
ΣMy = -750 + 300*x/3 + 300*x/2 ⇒ ΣΣΣΣMy = -750 + 250x em x = 1,5 = -355kN 
 ΣΣΣΣMz = 1800 – 600*x em x = 1,5 = 900kN 
 
 
4
3
667.106
12
)40(*20
cmIy == 4
3
667.26
12
)20(*40
cmIz == 
 






−
−
−+−= yzzy *667.26
000.90
*
667.106
500.35
40*20
400
),(σ ⇒ σσσσ(y,z) = - 0,5 + 0,3328z – 3,374y 
 
Linha Neutra ⇒ σ(y,z) = 0 0 = - 0,5 + 0,33z – 3,4y ⇒ z =1,52 + 10,30y 
 
y z
10 104,52
-10 -101,48
 
 
 
100kN 
600kN 
400kN 3m 
300kN 
1,5m 
1,5m 
Z 
B 
A D 
Y 
C 20 
40 
(cm) 
x/3 x/6 X/2 
300kN 300kN 
z y 
x 
TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 
 
 
 
32/80 26/3/2011 
 
Ponto y z σ(y,z) 
A 10 20 -96,844
B 10 -20 -110,156
C -10 -20 95,844
D -10 20 109,156
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-110,2 
-96,84 
95,84 
LN 
y 
z 
109,2 
(10; 104,52) 
Z 
-110,2 
-96,84 109,2 
95,84 
LN 
_ 
+ 
(-10; -101,48) 
y 
TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 
 
 
 
33/80 26/3/2011 
 
TENSÕES DE CISALHAMENTO ( τ ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∫=
A
dbdx στ 
zdA
I
xMdbdx
A
∫=
)(
τ 
 
zdA
I
xMdbdx
A
∫=
)(
τ 
∫=
A
zda
Ibdx
xdM
*
1
*
)(
τ d 
 
 
 
 
 
 
 
 
It
QxV
ou
Ib
MxV
*
*)(
*
*)(
=τ 
 
τ(x) 
dx 
z 
y 
x 
dx 
M M + dM 
τ 
σ σ + dσ 
dx 
b 
_ 
+ 
Derivação da 
força 
cortante V(x) 
M 
TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 
 
 
 
34/80 26/3/2011 
TENSÃO DE CISALHAMENTO ( τ ) PARA VIGAS RETANGULARES 
 
 
 
 
Ib
zMxV
z
*
)(*)()(
&
=τ 
 
 )(*
*
)()( zM
Ib
xV
z &





=τ 
 
 
 
 
DISTÂNCIAÁREA
z
h
zz
hb
Ib
xV
z 











−+











−



=
22
1
*
2
**
*
)()(τ 
















−











=
2
2
2
*
2
*
*
)()( zhb
Ib
xV
zτ 
 0)
2
( =hτ 








−











=
2
2
2
*
*2
)()( zh
I
xV
zτ 0)
2
( =− hτ 
 
4
*
*2
)()0(
2h
I
xV
Máx == ττ 
 
 
A
V
hb
V
hb
hxV
Máx *2
3
*
*
2
3
12
*
*8
*)(
3
2
==






=τ 
 
 
 
Provar que a τ(z) é geradora da cortante 
∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫
− − − −−








−





=








−





=====
A
s
h
h
b
b
h
h
h
h
h
h
dzzh
I
xVbdzzh
I
xVbdzzbdydzzdydzzdazV
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2*2
)(*
2*2
)()()()()( ττττ
( )





 −
=





−=











−−





−−=








−





=
12
13*
*
*2
)(*
124
*
*2
)(*
248248
*
*2
)(*
32*2
)(* 333333332 h
I
xVbhh
I
xVbhhhh
I
xVbz
z
h
I
xVb
)(
12
*
1
12
*
*)(
12
2
*2
)(*
3
33
xV
hb
hb
xVh
I
xVb
=−=





− V = V(x) ⇒ OK 
Z 
B 
A D 
Y 
C b 
h h/2 
z 
τ(z) 
3/2 *V/A 
Ribler capítulo 7 
TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 
 
 
 
35/80 26/3/2011 
Exercício: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Calcular τ(z) para a seção C 
 
 
V(x) = 20 – 10x 
 
 
 
 
 
 
V(1) = 10kN 
 
 
 
4
33
106667
12
40*20
12
*
cm
hbI === 
 
( )2220*
106667*2
10)( zz −=τ 
 
τ(20) = τ(-20) = 0 
2
max /01875,040*20
10
*
2
3)0( cmkNima ==τ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Z 
B 
A D 
Y 
C 20 
40 
(cm) 
10kN/m 
C 
3m (m) 1m 
20kN 
20kN 
x 
10 
20 
20 – 10x 
_ + ( + ) ( - ) 
0,019kN/cm2 
TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 
 
 
 
36/80 26/3/2011 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
V = 100kN 
I = 85.000cm4 ( ) ( )



−+− zzz 15*
2
1
*15 
Zcg = 25cm ( ) 





−+−
22
15
*15 zzz 
τ(z) = 25cm ( ) 



+−
2
15
2
*15 zz 
 ( ) ( )zz +− 15*15*
2
1
 
a) τ(z) mesa 
 
 
 
 
 
 
 
( ) ( ) 











−+−= zzzz 15*2
1
*15*30*
000.85*30
100
τ 
( )215*
2
1
*
000.85
100
zz −=τ 
( ) ( )2222 15*
700.1
115*
8500
5
zzz −=−=τ 
 
τ(5) = 0,12kN/m2 
τ(0) = 0 
 
10 10 10 
30 
10 
Alma superior 
Alma inferior 
Mesa 
25 
0,12kN/cm2 
z = 5 
z = 15 
Alma superior z 
10 
TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 
 
 
 
37/80 26/3/2011 
 
b) Alma inferior 
 
 
( )225*
2
10
*
000.85
100
zz −=τ 
( )2225*
700.1
1
zz −=τ 
τ(25) = 0 
τ(0) = 0,37 kN/cm2 
 
 
C) Alma Superior 
 
 
 
 
 
 
( ) 



−+= 25*
2
30)10(*10*30*
000.85
100
zzτ 
 
 
( )[ ]225*153000*
000.85
1
zz −+=τ 
2
5 /35,0000.85
3000
cmkN==τ 
 
2
0 /37,0000.85
3753000
cmkN=+=τ 
 
 
 
 
dzzVmesa ∫ −=
15
5
2215
1700
30
 ∫
15
5
)( dzzb τ 
 
3
225
12
225)15(
315
5
12
22 zz
z
zdzz −=
+
−⇒−∫
+
 
 






−=
3
225*
1700
30 315
5
z
zVmesa 
25 
z 
0,37 kN/cm2 
5 z 
Alma 
superior 
Área da 
mesa, fixa 
0,12kN/cm2 
 
0,37 kN/cm2 
0,35 kN/cm2 
0,37 kN/cm2 
0,35 kN/cm2 
TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 
 
 
 
38/80 26/3/2011 
 
PERFIL DELGADO ( I ) 16/03 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) τ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
la 
dx 
g(x) 
e2 
z 
e1 
∆z 
M 
σ + dσ 
 
M + dm 
σ 
TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 
 
 
 
39/80 26/3/2011 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 




















−





+




 +
==
∗
44 844 76
44 344 21
44 344 21
44 844 76
iável
almaaba
fixa
z
heeh
ela
Ie
V
zM
Ie
V
z
var
2
2
21
1
22 2
*
22
***
*
)(*
*
)(τ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 











 +






−==
∗
2
**
2
*
*
)(*
*
12
1
11
),(
eh
eyla
Ie
V
zM
Ie
V
yxτ 
 
Item 7.5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
τ 
dσ 
alma 
TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 
 
 
 
40/80 26/3/2011 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R = 50kN V(x) = ? 
M = -125kN*m M(x) = -125 + 50*x 
 
 
 
 M 
 
 
 
 
 V(x) = 50 – 10*x [0,5] 
 
( ) ( ) 432
3
101993
12
)50(*226*2*30
12
2*30
*2 cmI =+
















+= 
 
Calcular τ nas abas e na alma para o engaste. 
 
X = 0 
V(0) = 50 
M(0) = -125 
 
a) Alma 
[ ] )]25(1560[10*5,2425*
2
226*2*30*
10*102*2
50)(*
*
)( 225225 zzzMIb
V
z
aba
fixaalma
−+=








−+== −
∗ 48476
43421
τ 
 
τ(0) = 0,54kN/cm2 
 
τ(25) = 0,38kN/cm2 
 
 
 
 
 
 
 
10kN/m 
5m 
2 
30 
2 
2 
50 
125kN.m 
z 
0,54 
0,38 
TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS41/80 26/3/2011 
b) Aba 
 
)]26*2*)15[(10*5,24)(*
*
)( 5 yzM
Ib
Vy
aba
−==
−
∗
τ 
τ(y) = 24,5*10-5 * (15 –y ) * 52 
 
τ(15) = 0 
 
τ(0) = 0,20kN/cm2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) σ(z) e τ(z) para a seção C; 
b) Para um ponto situado 10cm abaixo da linha neutra calcular σ e τ. 
 
 
 
 
 
Va + Vb = 40 
∑MA = 0 -40*1 + Vb*4 = 0 Vb = 10kN Va = 30kN 
2 
y 
15 
+ 
_ 
0,20 
0,20 
20 20 10 
10 
40 
z 
y 
(cm) 2m 
20kN/m 
B A 
C 
2m 1m 
(m) 
Va Vb 
40 
TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 
 
 
 
42/80 26/3/2011 
 
∑M(C) = -30*x + 40*(x -1)*1/2 
∑M(C) = 10x – 40 
 
 
V(x) = 30 – 20x [0,2[ 
30 – 20x = 0 x = 1,5 ⇒ V(cortante) = 0 e M (momento) = máximo 
V(x) = 10 ]2,4] em C, V = -10kN 
 
 
 
 
 M(x) = 30x – 10x2 [0,2[ 
 M(0) = 0 ; M(2) = 20kN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 M(x) = -10x + k 
 M(4) = -40 + k = 0 k + 40 
 
 M(y) = -10x + 40 [2,4] 
 M(3) = -30 +40 = 10kN*m 
 
 cmcgz 9,33
900
)20(*40045*)500()( =+= 
 
42
3
2
3
196000)2034(*400
12
)40(*10)3445(*500
12
10*50
cmI =−++−+= 
 zz
EI
Mz
z 005,0*
3196
1000)( −=−=−=σ 
 
 σ(16) = -0,08kN/cm2 Compressão 
 σ(-34) = 0,17kN/cm2 Tração 
 
 
 
 
 
 
 
 
-30x + 20x2 - 20 
Integrar para conseguir o diagrama de momento 
20kN 
0,17 
-0,08 
16 
34 
TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 
 
 
 
43/80 26/3/2011 
 
Calcular a resultante de tração e compressão e restituir o momento fletor 
 
Mesa: 
 
)(*
*
)( zM
Ib
V
z
∗
=τ 
( )



−
−
=
2216*
2
50
*
3196*50
10)( z
E
zτ 
( )2216*3025,0)( zEz −−−=τ 
τ(16) = 0 
τ(6) = -5,5*10-3 kN*cm2 
 
Alma Inferior: 
 
( )



−
−
=
2234*
2
10
*
3196*50
10)( z
E
zτ 
( )[ ]2234*5*3005,0)( zEz −−−=τ 
τ(34) = 0 
τ(0) = -0,029 kN*cm2 
 
Alma Superior: 
 
( ) ( ) ( )








−
−
=
226*
2
10
*1*11*500*
3196*50
10)( z
E
z
mesa
43421
τ 
( )[ ]236*5500.5*3005,0)( zEz −+−−=τ 
τ(0) = -29E-3kN/cm2 
τ(0) = -0,028 kN*cm2 
 
Para casa, calcular a cortante absorvida na mesa e na alma. 
 
 
b) Repetir o exercício em uma viga 10x40 
 
∫ ∫
− −
−
16
34
5
5
)005,0( zdydzz exercício. 
 
 
 
 
 
 
 
z 
5,5E-3kN/cm2 
 
29E-3 kN/cm2 
28E-3 kN/cm2 
TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 
 
 
 
44/80 26/3/2011 
 
CIRCULO DE MOHR 
 
Equilíbrio da cunha de tensões: 
 
 
 
‘ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
θθ
θθθ
θθθ
θθθθ
θθθ
2
22
2
22
cos
2
1)2cos(
coscos1)2cos(
cos)2()2cos(
cos)cos(
cos2)2(
=




 +
=−+
=+
−=+
=
sen
sen
sensen
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
)(**)cos(**)(**)cos(*** θτθτθσθσσ senbxzdzBxzdxsenbzdxbxdzbds +++= 
θτθτθσθσσ sen
ds
dz
xz
ds
dx
xzsen
ds
dx
z
ds
dz
x *cos**cos* +++= 
σ = σx cos2θ + σz sen2θ + τxz sen θ cos θ + τxz cos θ sen θ 
σ = σx cos2θ + σz (1 – cos2θ) + 2τxz senθ cosθ 
σ = (σx - σz)cos2θ + σz + τxz sen θ 
σ = (σx - σz) * ((cos(2θ) + 1)/2) + σz + τxz sen (2θ) 
dz 
dx 
b 
P P 
σx 
σx 
σz 
σz 
τxz 
σx 
σz 
σ 
τxz 
dx 
dz τ θ 
θ 
θ 
ds 
TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 
 
 
 
45/80 26/3/2011 
)2(*)2cos(*
22
θτθσσσσσ senxzzxzx +




 −
+




 +
= 
 
σ = σ(θ) 
 
(I) ( ) ( ) 0)2cos(2*)2(2*
2
=+−




 −
= θτθσσ
θ
σ
xzsen
zx
d
d
 
 )2cos(*)2(*
2
θτθσσ xzsenzx =




 −
 
 





 −
==
2
)2()2cos(
)2(
zx
xz
tgsen
σσ
τθ
θ
θ
 (II) 
 
a = τxz sem(2θ) = a / c 





 −
=
2
zxb σσ cós(2θ) = b / c 
2
2
2





 −
+=
zx
xzc
σς
τ tan(2θ) = a / b 
 
2
2
2
2
max
2
)(*
*
2
2
*
2
2





 −
+




 −
+





 −





 −
+




 +
=
zx
xz
xzxz
zx
xz
zxzx
zx
imo
σσ
τ
ττ
σσ
τ
σσσσ
σσ
σ
 
 
A) 
2
2
2
2
22
2
2
*
2
*
2





 −
+





 −
+




 −
⇒





 −
zx
xz
zx
xz
zxzx
σσ
τ
σσ
τ
σσσσ
 
2
2
2
22
2
2
2
*





 −
+





 −
++
⇒
zx
xz
zx
xzxz
xz
σσ
τ
σσ
ττ
τ
 
2
2
min
max 22
*
444 3444 2143421
masimoRaiocentro
zx
xz
zx
τ
σσ
τ
σσ
σ 




 −
+±




 +
 
TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 
 
 
 
46/80 26/3/2011 
 
 
Exercício: 
 
 
 
Mc = ? 
Vc = ? 
I = ? 
 
RV = 100kN M = 1000 kN.m 
 
∑Mc = -1000 + 100*x ∑Mc = 500kN*m = 50.000kN*m 
 
Vc = 100kN [0,10] 
 
4
33
64000
12
40*12
12
*
cm
hbI === 
 
Tensão = σp*τxz*p 
 
σmax p e ângulo θ 
σp = 0 (L.N.) 
} ( ) 2/31,0
12*40
100
*
2
3
*
2
3
cmkN
A
Vp
seção
da
máximo
tocisalhamen
xz ===τ 
zz
I
Mz
z 78,0
000.64
)000.50(
=
−
−=−=σ 
 
 
 
( )2220
2
12
*
000.64*12
100)(*
*
)( zzM
Ib
V
z −==
∗
τ 
( )222000078,0)( zz −=τ 
( ) 2/31,040000078,0)0( cmkN==τ 
 
 
 ∞=





 −
=
2
)2(tan max zx
xz
σσ
τθ 
 
 
 2θ = 90º ⇒ + s = infinito em 90º θ = 45º 
100kN 
5m 5m 
C 
x 
100kN 
1000 
Z 
B 
A D 
Y 
C 12 
40 
(cm) 
15,6kN/cm2 
-15,6kN/cm2 
P 
σx = σz = 0 
τxz 
0 
TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 
 
 
 
47/80 26/3/2011 
 
 
 
 
 
44 344 21
max)(
2
max 22
τ
σσ
τ
σσ
σ
raio
zx
xz
zx





 −
++




 −
= 
 xzτσ =max 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
{{
)31,0;0(
τσ
=PV 
 
 
{{
)31,0;0(
τσ
=PH 
 
 
 PV ∩ PH = Polo 
 
 
)2(*)2cos(*
22
θτθσσσσσ θ senxz
zxzx
+




 −
+




 +
= 
σ(45º) = τxz 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P 
σmax 
σmin 
σmax σmin 
0,31 
τ PV 
PH polo 
-0,31 0,31 
R = 0,31 
45º 
45º 
σ 
P 
0,31 
0,3
1 
PV 
TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 
 
 
 
48/80 26/3/2011 
 
Exercício: 
 
 
 
Mc = ? 
Vc = ? 
I = ? 
 
RV = 100kN M = 1000 kN.m 
 
∑Mc = -1000 + 100*x ∑Mc = -500kN*m = -50.000kN*m 
 
Vc = 100kN [0,10] 
 
4
33
64000
12
40*12
12
*
cm
hbI === 
 
 P ⇒ σp´ = ? τxz*p´ = ? 
 
σmaxP´ ; θmax } analítico/ círculo de Mohr 
 
2/8,710*
000.64
)000.50()10( cmkN
I
Mz
−=−
−
−=−=−σ 
( ) 222 /23,01020
2
12
*
000.64*12
100)(*
*
)10( cmkNzM
Ib
V
=−==−
∗
τ 
 
σx = -7,8 
σz = 0 
 
06,0
2
8,7
23,0)2tan( max =





 −
=θ 
2θmax~= -40 θmax ~= -2º 
 
9,39,3
2
8,7)23,0(
2
8,7 22
min
max ±−=




 −
+±




 −
=σ 
σmax = 0 σmin = - 7,8 
 
PV (-7,8 ; 0,23 ) 
PH ( 0 ; 0,23 ) 
 
PV ∩ PH = Polo 
 
100kN 
5m 5m 
C 
x 
100kN 
1000 
Z 
B 
A D 
Y 
C 1240 
(cm) 
10 P 
92º 
τ 
PV 
PH 
polo 
-7,8 
2º 
σ 
3,8 τmax 
P 
0,23 
0,23 
7,8 
7,8 
TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 
 
 
 
49/80 26/3/2011 
 
LINHA ELÁSTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
w (x) = Deslocamento 
w´(x) = Rotação 
 
Hipótese da barra Euler-Bernoulli 
a) Pequenas deformações e pequenos deslocamentos 
b) Seção constante ao longo d trecho; ( I = constante ) 
c) Propriedades mecânicas constantes; ( I = constante ) 
d) Seções permanecem planas antes e após deformação (não há empenamento) – hipótese de Navier 
e) Carregamento no plano da seção transversal 
 
M(x) = P*(x-l) [0,l] 
 
)(*
**
)(*)´´(
*
)()´´(
xl
IE
P
IE
xlP
xw
IE
xM
xw
−=
−
=
−=
 
ROTAÇÃOKxlx
IE
P
xw ⇒+−= )1
2
(*
*
)´(
2
 
TODESLOCAMENKxKxlx
IE
P
xw ⇒++−= )21
62
(*
*
)(
32
 
 
CÁLCULO DE K1 e K2 
 
Condição de contorno (C.C.) 
w (0) = 0 02)21
6
0
2
0(*
*
)0(
32
=⇒++−= KKxKl
IE
P
w 
w´(0) = 0 01)1
2
00(*
*
)´(
2
==⇒+−= KKl
IE
P
xw 
 
x P 
w(x) 
2α = w´(x) 
w´´(x) = -M(x)/E*I 
l 
0 
TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 
 
 
 
50/80 26/3/2011 
)
62
(*
*
)(
32 xlx
IE
P
xw −= 
)
2
(*
*
)´(
2
xlx
IE
P
xw −= 
IE
lPlll
IE
Plw
*
*)
62
*(*
*
)(
332
=−=
 
 
IE
lPlll
IE
Plw
**2
*)
2
*(*
*
)´(
22
=−=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E*I = Constante w(l/2) 
 
2
*
**)(
2xq
xlqxM −= 
)*
2
(*
*
)´´(
2
xlx
IE
q
xw −= 
)1
2
*
6
(*
*
)´(
23
Kxlx
IE
q
xw +−= 
)21
6
*
24
(*
*
)(
34
KxKxlx
IE
q
xw ++−= 
Condição de contorno 
w(0) = 0 ⇒ K2 = 0 w(l) = 0 w´(l/2) = 0 
48
51
48
1
8
1
*1
01
848
*
*
)
2
´(
3
3
33
lKlK
Kll
IE
ql
w
=⇒





−=
=





+−=
 






+−=
48
*5
6
*
24*
)(
334 xlxlx
IE
q
xw ⇒ 





+−=
2*48
*5
2*6
*
2*24*
)
2
(
3
3
3
4
4 lllll
IE
ql
w 
 
IE
lql
w
**384
**13)
2
(
4
=
 
q 
l Flecha máxima 
TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 
 
 
 
51/80 26/3/2011 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
M1(x) = P*(x-a) [0,a] 
M2(x) = 0 [a,2a] 
 
)(*
**
)(1)(''1 xa
IE
P
IE
xM
xw −== 
)1
2
(*
*
)('1
2
Kxax
IE
P
xw +−= 
)2*1
62
(*
*
)(1
32
KxKxax
IE
P
xw ++−= 
 
Condição de Contorno 
 
w1(0) = 0; w’(0) = 0 
 
w(0) ⇒ K2 = 0 
w’(0) ⇒ K1 = 0 
 






−=
62
*
*
*
)(1
32 xxa
IE
P
xw [0,a] 
0
*
)(2)(''2 =−=
IE
xM
xw 
3)('2 Kxw = 
43)(2 KxKxw += 
 
 
 
 
 
P 
w(x) 
a a 
_ 
P*a 
TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 
 
 
 
52/80 26/3/2011 
 
Condição de contorno 
 
w1(a) = w2(a) (I) 
w’1(a) = w’2(a) (II) 
 
(I) 4*3
62
*
*
33
KaKaa
IE
P
+=





− 
4*3
**3
*
3
KaK
IE
aP
+=
 
 
(II) 3
2
*
*
2
2 Kaa
IE
P
=





− 
3
**2
*
2
K
IE
aP
=
 
 
 
3
**3
*4
3
K
IE
aPK −= 
 
IE
aP
IE
aP
IE
aaP
IE
aPK
**6
*
**6
)32(*
**2
**
**3
*4
3323
−=
−
=−=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 
 
 
 
53/80 26/3/2011 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
M1(x) = q*a*x [0,a] 
 2
)(
**)(2
2axqxaxM −−=
 
 )2(*
2
**)(2 22 aaxxqxaqxM +−−= 
 
2
*
**
2
*
**)(2
22 aq
xaqxqxaqxM −+−= 
 
2
*
***2
2
*)(2
22 aq
xaqxqxM −+−= [a,2ª] 
w1(x) 
w2(x) 
 
IE
xaq
xw
*
**)(''1 −= 
1
**2
**)('1
2
K
IE
xaq
xw +−= 
2*1
**6
**)('1
3
KxK
IE
xaq
xw ++−= 






+−=
2
**2
2
*
*
)(''2
22 a
xa
x
IE
q
xw 






++−= 3
2
*
*
6
*
*
)('2
2
2
3
Kxaxax
IE
q
xw 






+++−= 4*3
4
*
3
*
24
*
*
)(2
2234
KxKxaxax
IE
q
xw 
w1(0) = 0 ⇒ K2 = 0 
w1(a) = w2(a) (I) 
w’1(a) = w’2(a) (II) 
w’2(2a) = 0 (III) 
 
q 
2a 
Flecha máxima 
a a 
qa qa 
qa2 
E*I = constante 
TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 
 
 
 
54/80 26/3/2011 
 
 






+++−=+− 4*3
4
*
3
*
24
*
*
*1
**6
**
22343
KaKaaaaa
IE
q
aK
IE
aaq
 (I) 
 






++−=+− 3
2
*
*
6
*
*
1
**2
**
2
2
32
Kaaaax
IE
qK
IE
aaq
 (II) 
 
03*4
3
*4
*
*
33
3
=





++− Kaaa
IE
q
 (III) 
 
3
*5
3
*4
*33
33
3 aaaK =−= 
 






++−=+−
3
*5
2
*
*
6
*
*
1
**2
**
32
2
32 aaa
aa
x
IE
qK
IE
aaq
 
 






=




 ++−
=+−
3
4
*
*
*
6
10361
*
*
*1
**2
3* 33
IE
aq
IE
aqK
IE
aq
 
 
IE
aq
IE
aqaq
IE
aq
IE
aqK
**6
**11
**6
**3**8
**2
*
**3
**41
33333
=
+
=+= 
 
(K1) em (I) 
 






+++−=+− 4*
3
*5
4
*
3
*
24
*
*
*
**6
**11
**6
*
3223434
Kaaaaaaa
IE
q
a
IE
aq
IE
aq
 
 






+++−=+− 4
3
*5
4324
*
***6
**11
**6
*
444444
Kaaax
IE
q
IE
aq
IE
aq
 
 






+++−=+− 4
444 4
3
5
4
1
3
1
24
1
*
*
*
**6
**11
**6
*
a
K
IE
aq
IE
aq
IE
aq
 
 






+= 4
4
24
39
3
5
a
K
 ⇒ 
24
14
4 =a
K
 ⇒ 
24
4
4aK =
 
 
 
 
TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 
 
 
 
55/80 26/3/2011 






+++−=
24
*
3
**5
4
*
3
*
24
*
*
)(2
432234 a
a
xaxaxax
IE
q
xw
 






+++−==
24
*
3
*2**5
4
*2*
3
*2*
24
*2
*
*
)(2
432223344 a
a
aaaaaaa
IE
q
xwflecha 






+++−=
24
*
3
*10
4
*4
3
8
24
16
*
*
)(2
44444 a
a
aaaa
IE
q
xw 





 +++−
=
24
180246416
*
*
*)(2
4
IE
aq
xw 
 
IE
aq
xw
**8
**19)(2
4
=
 ⇒ FLECHA 
 
13/04/09 
 
 
 
 
 
 
 
 
∑FH = 0 ⇒ HA = 0 ∑FV = 0 VA + VB = q*l (1) 
∑MA = 0 ⇒ 2
*
*0
2
*
*
22 lqlVMlqlVM BB =+⇒=−+ (2) 
IE
xM
xw
*
)()('' −= 
2
*
*)(
2lq
xVMxM A −+−= 
Equação da linha elástica 






+−=
2
*
**
*
1)(''
2xq
xVaM
IE
xw 






++−= 1
6
*
2
*
*
*
1)('
32
KxqxVaMx
IE
xw w’(0) = 0 ⇒ K1 = 0 






++−= 2
24
*
6
*
2
*
*
1)(
432
KxqxVaMx
IE
xw w (0) = 0 ⇒ K2 = 0 
W(l) = 0 ⇒ 0
24
*
6
*
2
*
*
1 432
=





+−
lqlVaMl
IE
 (3) 
 
 
q 
l 
VB VA 
HB 
M
l
 
q
 
TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 
 
 
 
56/80 26/3/2011 
 
(1) ⇒ VA = q*l - VB 
 
(2) ⇒ lMlqlqV
l
MlqV
l
Mlq
V ABB *2
*
*
2
*2
*
2
+−=∴−=⇒






−
= 
 
l
MlqVA += 2
*
 substituindo em (3) 0
24
*
6*
2
*
2
*
232
=+





+−
lql
l
MlqlM
 
 
 
24
*
3
*
24
*
12
*
6
*
2
*
424422 lqlMlqlqlMlM
=⇒+=− 
 
8
*
2lqM = 
 
8
**5
8
*
2
*
2
* lqlqlq
l
MlqVA =+=+= 
8
**3 lqVB = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∑FH = 0 ⇒ HA = 0 ∑FV = 0 VA + VB = (q*l)/2 (1) 
∑MA = 0 ⇒ 3
*
*0
3
*2
*
2
*
*
2lqlVMLlqlVM BB =+⇒=−+ (2) 
IE
xM
xw
*
)()('' −= 
l
xq
x
l
xq
Rx
l
xq
xq
l
q
x
q
*2
*
2
*
*
*)(''
2
=






=⇒=⇒= 






−+−=
3
*2
*
*2
*
*)(
2 x
l
xq
xVMxM A 
l
xq
xVMxM A
*3
*
*)(
3
−+−= 
 
q 
l VB VA 
HB 
M
2*l/3
 
q
 
l/3
 
x 
q’ 
TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 
 
 
 
57/80 26/3/2011 
 
Equação da linha elástica 






+−=
l
xq
xVM
IE
xw A 3
*
**
*
1)(''
3
 
 






++−= 1
*12
*
2
*
*
*
1)('
42
K
l
xqxVaMx
IE
xw w’(0) = 0 ⇒ K1 = 0 






++−= 2
*60
*
6
*
2
*
*
1)(
532
K
l
xqxVaMx
IE
xw w (0) = 0 ⇒ K2 = 0 
W(l) = 0 ⇒ 0
60
*
6
*
2
*
*
1 432
=





+−
lqlVaMl
IE
 (3) 
 
 
(1) ⇒ VA = (q*l)/2 - VB 
 
(2) ⇒
l
MlqV
l
Mlq
V BB −=⇒






−
=
3
*3
*
2
 (4) 
l
MlqlqVA +−= 3
*
2
*
 
 
l
MlqVA += 6
*
 (5) 
 
Substituindo em 3 ⇒ 0
60
*
6
*
6
*
2
*
432
=+





+−
lql
l
MlqlM
 
 
 
90
*
3
*0
90
*
36
*2
60
*
6
*
36
*
2
*
42424242 lMlMlMlMlqlMlMlM
=⇒=−=+−− 
 
30
*
2lqM = 
 
5
*
30
8*6
30
***5
*30
*
6
*
6
*
2 lqlqlqlq
l
lqlq
l
MlqVA ==
+
=+=+=
 
 
( )
10
**3
30
**9
30
**110
*30
*
3
*
2 lqlqlq
l
lqlqVB ==
−
=−=
 
 
TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 
 
 
 
58/80 26/3/2011 
14/04 
13/04/09 
 
 
 
 
 
 
 
 
∑FH = 0 ⇒ HA = 0 (1) ∑FV = 0 VA + VB - p = 0 (2) 
∑MA = 0 ⇒ lplVMlplVM BBA **2*0*2** =+⇒=−+ (3) 
 
M1(x) [0,l] ⇒ M1(x) = -MA + VA*x 
M2(x) [l,2*l] ⇒ M2(x) = -MA + VA*x + VB * (x – l) = -MA + VA*x + VB*x –VB* l 
 
Equação da linha elástica 
IE
xM
xw
*
)()('' −= 
( )xVM
IE
xw AA **
*
1)(''1 −= 






+−= 1
2
*
*
*
1)('1
2
KxVxM
IE
xw AA w1’(0) = 0 ⇒ K1 = 0 






+−= 2
6
*
2
*
*
*
1)(
32
K
xVxM
IE
xw A w1 (0) = 0 ⇒ K2 = 0 
W1(l) = 0 ⇒ 0
6
*
2
*
*
*
1 32
=





−
lValM
IE
A
 ⇒ 
3
* lVaM A = (4) 
 
substituindo em (3) 0**
3
*
=−+ lplVlV BA ⇒ p
VV AB *23
+−= 
substituindo em (2) ppVV AA =





+−+ *2
3
 ⇒ pp
VV AA =+− *23
 ⇒ pp
VA
=+ *2
3
*2
 
 
2
*3 pVA −= 
 
ppVB *23*2
*3
+
−
−= ⇒ 
2
*5 pVB −= 
 
3
*
2
*3 lpM A −= ⇒ 2
* lpM A −= 
p 
l 
VB VA 
HB 
MA 
l
 
p
 
l l 
TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 
 
 
 
59/80 26/3/2011 
14/04/09 Pede-se a) A flexa B) Flecha máxima no vão (δ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
∑FH = 0 ⇒ HC = 0 (1) ∑FV = 0 VA + VB + VC = p/a * 2a = 2*p (2) 
∑MA = 0 ⇒ PVVaa
a
p
aVcaV CBB *20**2**2** =+⇒=−+ (3) 
 
M(x) ⇒ 
a
xp
xVxMxx
a
p
zVxM AA
*2
*
*)(1
2
***)(
2
−=⇒−= [0,a] 
 
Equação da linha elástica 
IE
xM
xw
*
)()('' −= 






−=
a
xp
xV
IE
xw A
*2
*
**
*
1)(''1
2
 






+−= 1
*6
*
2
*
*
*
1)('1
32
K
a
xpxV
IE
xw A (deslocamento) 






++−= 21
*24
*
6
*
*
*
1)(
43
KxK
a
xpxV
IE
xw A (rotação) 
C.C. 
W1(0) ⇒ K2 = 0 
 
W1’ (a/2) = 0 ⇒ 01
8
*
48
*
*
*
1)
2
('1
22
=





+−= K
aVap
IE
aW A (4) 
 
W1(a) = 0 ⇒ 0*1
6
*
24
*
*
*
1 33
=





++ aKaVap
IE
A
 ⇒ (5) 
2,3,4,5 (VA, VB, VC, K1) 
 
01
8
*
48
*
22
=+− K
aVap A
 
 (-a) 
01
6
*
24
*
33
=+− K
aVap A
 
 
p/a 
a a 
p
 
A
 
B
 
C
 VB VA 
p
 
Hc
 
p
 
p
 
l
 
VC 
TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 
 
 
 
60/80 26/3/2011 
 
01
8
*
6
*
48
*
24
*
3333
=++−− K
aVaVapap AA
 
 
24
*
48
*
24
34
*
33
3 apap
aVA −=




 +−
 
48
*
24
*
33
apaVA
−=
−
 ⇒ VA = p/2 VC = p/2 VB = P 
 
24
*
48
13
**
48
*
16
*
48
*
8
*1
2
2
2232
ap
apapapap
aVK A =




 −
=−=−=
 
 






−−=
48
*
12
*
*24
*
*
*
1)(1
234 apxp
a
xp
IE
xW 






−−=
2
*
24
*
96
*
*384
*
*
*
1)
2
(1
233
aapap
a
ap
IE
aW 
Flecha
IE
ap
ap
IE
aW ⇒=




 +−
=
**384
**5
384
841
***
*
1)
2
(1
3
3
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 
 
 
 
61/80 26/3/2011 
27/04 FLAMBAGEM 
 
 
Deformações provocadas por ações de forças axiais. 
 
Ex: 
 
 
 
 
 
 
Ocorrem geralmente em estruturas verticais com pilares. 
 
Casos típicos 
 
1) Sistema Apoio-Apoio 
 
 
 
 
 E*I =Cte 
0)(*
*
)"(
*
)(*)"(
*
)()"(
)(*)(
=+
−=
⇒−=
=
xw
IE
P
xw
IE
xwP
xw
curvatura
IE
xM
xw
xwPxM
 
EDO ⇒Equação diferencial Ordinária 
 
0)(*)"(
*
0)(
*
)"(
2
2
=+
=
=+
xwxw
IE
P
xw
IE
P
xw
β
β 
)*cos()*(*)"( xxsenAxw ββ +=
 
 
A e B constantes 
 
)*(**)*cos(**)'( xsenBxBAxw βββ −=
 
 
)*cos(**)*(**)"( 22 xBxsenAxw ββββ −−=
 
 
x w(x) h 
TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 
 
 
 
62/80 26/3/2011 
))*cos(*)*(*(*)*cos(**)*(** 222 xBxsenAxBxsenA βββββββ ++−− 
)*cos(*)*(*)( xBxsenAxw ββ += 
 
C.C. 
0)*(*
0)(
0
)0cos(*)0(*)0(
0)0(
=
=
=
+=
=
hsenA
hw
B
BsenAw
w
β
 
A = 0 NÃO PODE 
Então β*h = n * pi (n = 1,2,3............) 
 
2
2
2
2
2
22
2
22
)(
****
***
*
*
*
*
*
h
IE
h
IEP
h
IEnP
h
n
IE
P
h
n
IE
P
h
n
crítico
pipi
pi
pi
pi
piβ
==
=
=
=
=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Comprimento da 
flambagem 
TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 
 
 
 
63/80 26/3/2011 
 
2) Sistema Engaste-Livre 
 
 
 
 
 
 
 E*I =Cte 
0)(*
*
)"(
*
)(*)"(
*
)()"(
)(*)(
=+
−=
⇒−=
=
xw
IE
P
xw
IE
xwP
xw
curvatura
IE
xM
xw
xwPxM
 
)*cos()*(*)( xBxsenAxw ββ +=
 
 
)*cos(**)'(
)*cos(**)'(
)*(*)(
0)'(
00)0(
hAxw
xAxw
xsenAxw
hw
Bw
ββ
ββ
β
=
=
=
=
=⇒=
 
cos(β*h) = 0 
Então β*h = (n * pi) (n = 1,3,5,7............) 
 
2
2
2
22
2
22
2
)*2(
**
*4
***
2
*
*
*
2
*
*
*
h
IEP
h
IEnP
nh
IE
P
nh
IE
P
crítico
pi
pi
pi
pi
=
=
=
=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Comprimento da 
flambagem 
w(x)TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 
 
 
 
64/80 26/3/2011 
28/04/09 
3) Sistema Engaste-Apoio 
 
 
 
 
E*I =Cte ( )
x
IE
Rv
xw
IE
P
xw
xRvxwP
IE
xw
curvatura
IE
xM
xw
xRvxwPxM
*
*
)(*
*
)"(
*)(*
*
1)"(
*
)()"(
*)(*)(
−=+
+−=
⇒−=
+=
 
 
 ⇒ x
IE
Rv
xwxw
IE
P
*
*
)(*)"(
*
22
−=+⇒





= ββ 
 
Particular
P
Homogênea
H wwxw +=⇒ )( 
 
0)("
)('
)(
)*cos(*)*(*)(
=
=
+=
+=
xw
Cxw
DCxxw
xBxsenAxw
P
P
P
H ββ
 
( )
x
P
Rv
xBxsenAxw
x
P
Rv
xw
P
RvC
IE
PIE
RvC
IE
RvC
IE
RvC
D
x
IE
RvDxC
x
IE
RvDCx
P
*)*cos(*)*(*)(
*)(
*
**
**
*
0
*
*
*
*
*
*
2
2
2
2
−+=
−=
−=






−==−=
−=
=
−=+
−=+
ββ
β
β
β
β
 
x 
h 
w(x) 
P 
Rv 
Rh M 
TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 
 
 
 
65/80 26/3/2011 
C.C. 
 
0?*
*)*(
)*(
*
)*cos(**
)*(*
2
1
)2()*cos(**
0)*cos(**)('
)*cos(**)('
0)('
)1(*)*(*
0*)*(*)(
0)0(
≠=
=
=
==
=
=−⇒
−⇒
=
=
=−⇒
⇒=
h
hhtg
hhtg
P
Rv
P
hRv
xA
hsenA
P
RvhA
P
RvhAhw
P
Rv
xAhw
hw
P
hRvhsenA
P
hRvhsenAhw
Bw
β
ββ
β
β
ββ
β
ββ
ββ
ββ
β
β
 
 
 
 
 
 
 
β ~= 4,49rad 
2
2
2
2
2
2
2
2
)*7,0(
**
*49,0
**
***04,2**16,20
16,20*
*
49,4*
*
h
IE
h
IEP
h
IE
h
IEP
h
IE
P
h
IE
P
crítico
crítico
crítico
pipi
pi
==
==
=
=
 
 
 
 
tg(β) 
β 
tgβ*h 
β 
TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 
 
 
 
66/80 26/3/2011 
29/04/09 
4) Sistema Engaste- Engaste 
 
 
 
 
E*I =Cte 
 
 
 
 
 
 
 
2
2
)*5,0(
**
h
IEPcrítico
pi
= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
h 
 
h/2 
h/4 
h/4 
TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 
 
 
 
67/80 26/3/2011 
 
EXERCÍCIOS 
 
Um pilar possui dimensão 12x40cm, e é aplicado sobre o mesmo uma carga de 3000KN. Sabendo que o 
E do material vale 30Gpa, calcule o comprimento de flambagem do mesmo sistema (apoio-apoio) 
 
 
242
23
26
444
3
454
3
*10*92,110*192*
*10*73,1*
/10*3030
10*4,6000.64
12
40*12
10*76,5760.5
12
12*40
mkNIzE
mkNIyE
mkNGPaE
mcmIz
mcmIy
==
=
==
===
===
−
−
 
 
ml
ml
P
IEl
l
IEP
fz
fy
crítico
f
f
crítico
95,7
10*3
10*92,1
*
39,2
10*3
10*73,1
*
*
*)(
**
3
4
3
3
2
2
==
==
=⇒=
pi
pi
pi
pi
 
 
Qual o valor do Pcrítico sabendo que o pilar obrigatoriamente terá 3,5m 
 
kN
l
IEP
f
crítico
3
2
32
2
2
10*4,183,393.1)5,3(
10*73,1*
)(
**
==⇒=
pipi
 
 
Exercício para a prova ⇒ Deduzir a expressão de Pcrítico em um sistema apoio-apoio 
considerando a carga axial e um momento inicial Ma 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
z 
3000kN 
y 
h 
E=30GPa 
TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 
 
 
 
68/80 26/3/2011 
0,87kN/cm2 
38 
22 
5,6kN/cm2 
24 
5,1kN/cm2 
0,51kN/cm2 
1) Uma viga retangular de madeira (E=20GPa) de 20cm de base e 60cm de altura, está sujeita a um 
momento de tração na parte inferior de 150kNm. Para reforçar a viga foi colocada uma chapa de aço 
(E=200GPa) de 2m. Pede-se: 
a) Novo centro de gravidade: 
 
cmb
E
Ebb
Aço
madeira
madeira
uraNoval
2
200
20
*20***
arg
==⇒= 
Novo CG. 
cmz
z
CG
figuraMfiguraM
CG
243,24
160
880.3
12040
32*2*601*2*20
2211
≅==
+
+
=
−−
 
 
b) Momento de inércia Iz: 
444
02
2
3
01
2
3
10*49,6853.648*120
12
60*223*40
12
2*20
cmcmIzIz
FIGURAFIGURA
==⇒+++= 
c) Distribuição das tensões normais na viga aço+madeira: 
 
Tração na parte inferior = 150kN*m = 15.000kN*cm 
Compressão
cm
kN
Tração
cm
kN
zzz
I
M
z
)(7,8)38(
)(6,5)24(
*23,0*
10*49,6
10*5,1
*)(
2
2
4
4
−⇒−=
+⇒=−
−=−=−=
σ
σ
σ
 
aço+madeira 
)(*1,0)(
1,0
200
20
)(
)()(*)(
1,5)22( 2
zz
n
z
z
nznz
cm
kN
AM
A
M
AM
σσ
σ
σ
σσ
σ
=
=⇒==⇒=
=−
 
 
A
A
EMM
M
M
A
A
MA
AAA
σσ
σσ
ε
εσ
εσ
*
*
*
Ε
=
Ε
=
Ε
Ε=
Ε=
Ε=
 
2 
20 
60 
2 LR 
Nova posição da L.R. 
24 
8,7 kN/cm2 
24 
5,6 kN/cm2 
38 
TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 
 
 
 
69/80 26/3/2011 
2º)Para a viga do exercício anterior pede-se: 
a) A resultante de tração e compressão e sua posição, Rt e Rc 
 
kNkN
kNRt
kNRt
kNRc
Aço
Madeira
Madeira
331326
21420*2*
2
1,56,5
11220*
2
22*51,0
33120*
2
87,0*38
≅=














=











 +
=
≅





=
≅





=
 
 
b) Restituição do momento original, a partir das resultantes, MR = ? 
 
MR = (331)*(25,3) + 112 * (14,7) + 214 * (23) 
MR = 8.374 + 1.646 + 4.922 
MR = 14.843 ≅ 15.000 kN*cm OK 
 
3º) Para uma viga retangular 25x50cm, submetida a uma cortante de 200kN pede-se: 
a) Distribuição de tensões de cisalhamento na seção. 
b) Valor da tensão de cisalhamento em um ponto situado a 15cm acima da linha neutra (elaborar o 
circulo de Mohr deste ponto). 
 
V = 200kN 
a)τ(z) b)τ(15) com circulo de Mohr 
 
Iy = b*h3 /12 = 25*503 /12 = 2,6E5cm4 
 
)(*
*
)(
*
tan
zM
Ib
V
z
teCons






=τ 
 
M(z) = A * d’ = [(h/2 – z)*b] * [z + ½ *(h/2 * z)] 
M(z) = b/2 * [(h/2)2 – z2 ] 








−





=⇒








−

















=
2
2
2
2
2
*
*2
)(
2
*
2
*
*
)( zh
I
V
zz
hb
Ib
V
z ττ
 
 
( ) 2max224 /24,000)25(0)25()25(*10*85,3)( cmkNzz imo ===−=⇒−= − τττττ 
 
 
 
 
 
 
 
25,3cm 
14,7cm 
23cm 
2/3 
2/3 
112kN 
214kN 
331kN 
Z 
Y 
25 
50 
(cm) 
M(z) 
LN 
d' h/2 
b 
* 
τmáximo 
z
 
h/2
 
h/2
 
τmáximo = (3*V) / (2*A) 
z
 
Seção retangular 
TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 
 
 
 
70/80 26/3/2011 
τ(z) = a*z2 + b*z + c (equação da parábola) 
τ(h/2) = 0 
τ(-h/2) = 0 
τ(0) = τmáximo 
 
τ(0) = a*(0)2 + b*(0) + C = τmáx ⇒ τmáx = C 
τ(h/2) = a*(h/2)2 + b*(h/2) + τmáx = 0 
τ(-h/2) = a*(h/2)2 - b*(h/2) + τmáx = 0 
2*a*(h/2)2 = -2*τmáx 
a = -τmáx /(h/2)2 
 
b = 0 τ(z) = [ -τmáx /(h/2)2 ]*z2 + τmáx -(0,24/(25)2 = 3,85E4 
 
zdeestáticomomentozM =)(
*
 
 
 )25(*10*85,3)( 224 zz −= −τ τ(15) = 0,15kN/cm2 





 +
=
2
xzC σσ R = τmáx 
 
 
 
 
 
 
 





 +
=
±=
+




 +±




 +
=
2
)2(
22
min
max
2
2
min
max
zx
xz
tg
xz
zxzx
σσ
τθ
τσ
τ
σσσσ
σ
 
 
tg(2θ) = 0 2θ = 90 θ = 45º 
 
∫
∫
−
−
−−=
=
25
25
22
2/
2/
)25(485,325
)(
dzzEV
dzzbV
h
h
τ
 
V = 200,2kN (OK) 
+ 
τ 
PV 
PH polo 
σ 
0 
TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 
 
 
 
71/80 26/3/20115º) Uma viga retangular de concreto armado de 22cm de base e 55cm de altura, está sujeita a um 
momento de tração na parte inferior de 150kN*m. 
Dados: tensão admissível do aço 50kN/cm2; Tensão admissível do concreto 2,5kN/cm2; altura útil 
d=50cm. 
Pede-se: 
Posição da linha neutra (x) 
Resultante de tração e compressão: 
Área do aço. 
 
σA = 50kN/cm2 
σC = 2,5kN/cm2 
 
 
( )
)1.......(*
2
*
*
2
*
*
0
x
b
s
cAs
bxcAss
RcRt
F






=






=
=
=∑
σ
σ
σ
σ 
 
( )
)2(0*
2
**
*
6
*
*
6
*
*
2
**
3
*
2
6*
*
3
2
**
2
*
..'*
0
2
2
⇒=+





−











−





=






−





=






−+





=
=
=∑
Mxdbcxbc
x
bc
x
dbcM
xdcM
xdxbxcM
bináriododistânciadRcM
M
σσ
σσ
σ
σ
 
 
σc = 2,5kN/m2 b = 22cm d = 50cm M = 15.000kN*cm 
 
Hipóteses de trabalho 
a) Aço e concreto solidários, não há escorregamento. 
b) Concreto não resiste à tração 
55cm 50cm 
22cm 
150kN*m 
2*x/3 x 
M 
d*x 
Rc 
Rt As 
d 
(σs*As) 
s = steel 
TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 
 
 
 
72/80 26/3/2011 
9,17*x2 - 1.375*x + 15.000 
( )
cm8,11
34,18
144.1375.1
17,9*2
000.15*17,9*4375.11375 2
=
±−
=
−±−
 
 
 
6º) Para a viga do exercício 5 pede-se: 
Caso queira aumentar a largura da viga para 30cm, mantendo-se a área de aço, qual o valor do momento 
para que a linha neutra fique na posição 20 cm (x = 20cm)? Quais os novos valores das resultantes de 
tração e compressão? 
 
As = 6,49cm2 
b = 30 cm 
x = 20 cm 
Rt, Rc, Mmax 
 
 
Rc = Rt M = Rc * d’ 
 
kNRc 750)30(*
2
)20(*25
== 
Rt = Rc 
 
As * σs = 750 As = 750/50 = 15cm2 
 
Obs: Não é possível manter a mesma As, pois os parâmetros fixados não o permitem ( Rt = Rc ) 
 
Rc = Rt = 750kN M = Rc * d’ M = 750 * (50 – 20/3) = 32.500kN*cm = 32,5kN*m 
 
 
11/05/09 
9º) Para a estrutura abaixo, pede-se: a) A equação da lina neutra; b) Distribuição das tensões normais 
obs: fazer para o ponto de engaste; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
My(x) = -1000 + 200*x – 10*x2 [0,10] 
Mz(x) = 500 – 100*x [0,5] 
Rc = (σc*x*b)/2 
x 
d' = (d – x/3) 
d 
Rt = (σs*As) 
s = steel 
Z 
D 
B A 
Y 
C 20 
60 
(cm) 
20kN/m 
100kN 3m 
300kN 
5m 
5m 
TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 
 
 
 
73/80 26/3/2011 
Mz(x) = 0 [5,10] 
 
No engaste: My = - 1000kN*m 
 Mz = 500kN*m 
 
Iy = 20*(60)3 /12 = 360.000cm4 = 3,6E5cm4 
Iz = 60*(20)3 /12 = 40.000cm4 = 4E10cm4 
 














+





−= y
Iz
Mz
z
Iy
My
zy **),(σ 





−
−
−−= y
E
E
z
E
E
zy *44
45
*
56,3
510
),(σ ⇒ σσσσ(y,z) = + 0,28z – 1,25y 
 
a) Equação da Linha Neutra ⇒ σ(y,z) = 0 0 = + 0,28z – 1,25y ⇒ z = 4,5y 
 
Ponto y z σ(y,z) 
A 30 -10 21
B 30 10 -4
C -30 -10 4
D -30 10 -21
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9º-b) Para a estrutura abaixo, pede-se: a) A equação da lina neutra; b) Distribuição das tensões normais 
obs: fazer para o ponto de engaste; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
My(x) = -1000 + 200*x – 10*x2 [0,10] 
Mz(x) = 500 – 100*x [0,5] 
Mz(x) = 0 [5,10] 
-21 
-4 
4 
LN 
y 
z 
21 
Z 
-21 
-4 21 
4 
LN 
_ 
+ 
y 
Z 
D 
B A 
Y 
C 20 
60 
(cm) 
20kN/m 
100kN 3m 
300kN 
5m 
5m 1000kN 
 
TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 
 
 
 
74/80 26/3/2011 
 
No engaste: My = - 1000kN*m 
 Mz = 500kN*m 
 
Iy = 20*(60)3 /12 = 360.000cm4 = 3,6E5cm4 
Iz = 60*(20)3 /12 = 40.000cm4 = 4E10cm4 
 














+





−= y
Iz
Mz
z
Iy
My
zy **),(σ 





−
−
−−= y
E
E
z
E
E
zy *44
45
*
56,3
510
),(σ ⇒ σσσσ(y,z) = + 0,28z – 1,25y 
 
a) Equação da Linha Neutra ⇒ σ(y,z) = 0 0 = + 0,28z – 1,25y ⇒ z = 4,5y 
 
Ponto y z σ(y,z) 
A 30 -10 21
B 30 10 -4
C -30 -10 4
D -30 10 -21
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-21 
-4 
4 
LN 
y 
z 
21 
Z 
-21 
-4 21 
4 
LN 
_ 
+ 
y 
TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 
 
 
 
75/80 26/3/2011 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 
 
 
 
77/80 26/3/2011 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 
 
 
 
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79/80 26/3/2011 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TEORIA DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 
 
 
 
80/80 26/3/2011