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Derivadas _ parte 2

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Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 ���
�
8. Derivada da Função Composta (Regra da Cadeia) 
 
 
 
 
 
Observação: 
 
Ao usarmos a fórmula da segunda notação devemos ter em mente que ����� se refere à derivada de	� quando � é considerado como uma função 
de � (derivada de � em relação a � ). Analogamente, ����� se refere à 
derivada de �	quando � é considerado como uma função de � (derivada de � 
em relação a �). 
 
 
Exemplos: 
Calcule as derivadas das funções indicadas abaixo: 
��	� � ��� � �� � ��� 
Fazendo: � � �� � �� � � tem-se � � �� 
� � �� 																									� 					���� � �� � �	���� �� � �� 
� � �� � �� � �							 � 				���� � !�" � � 
�#$�
	�
	%
�#�
								 ���� � ���� & ���� 
���� � ���� � �� � �� �!�"� �� 
'(��� � )�*$���+,( � � (*$���+& $(��� 
Regra da Cadeia (primeira notação): 
Se � e $ são funções diferenciáveis e ' � � - $ é a função composta 
definida por '��� � �*$���+, então '	é diferenciável e '′ é dada por 
 
���� � ���� & ���� 
Regra da Cadeia (segunda notação): 
Sejam	� � ���� e 	� � $��� duas funções diferenciáveis. 
 
Então	� � �*$���+ � � - $ e a derivada de � em relação a � é dada por 
 
Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 ���
�
.�	� � /!�0� 1	 
Fazendo:	� � !�0 � 1	 tem-se � � √�	 
� � √�	 												3 									���� � �.√�	 � �.	√!�0 � 1 
� � !�0 � 1				 3 									���� � �4� 
�#$�
	�
	%
�#�
								 ���� � ���� & ���� 
					���� � 	 5 �.	√!�0� 16 & ��4�� � !�√!�0� 1	 
 1�	� � 7#8�9:�:� 
Fazendo: � � 9:�: tem-se � � 7#8���		 
� � 7#8��� 											3 									���� � ;<=��� � %�7�9:�:� 
� � 9:�: 																	3 									���� � 1	9:�0 
�#$�
	�
	%
�#�
								 ���� � ���� & ���� 
					���� � ;<=�9:�:� & �1	9:�0� � 1	9:�0	;<=	�9:�:�	 
 ��	> � .?@ 
Fazendo:	� � �		 tem-se > � .A 
> � .A 											3 									 �>�� � .B CD�.� � .?E	CD	�.� 
� � �																		 3 									 ���	 � �� 
�#$�
	�
	%
�#�
								 �>�	 � �>�� & ���	 
�>�	 � .?E CD�.� & ���� � � CD�.�		.?@ �>�	 � �	.?@ 	 CD�.�	 
 
 
Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 ���
�
!�	� � C<F:�%�7�	�� 
Fazendo:	� � ;<=	�	�	 tem-se		� � C<F:��� 
� � C<F:��� 											3 									���� � ��	CD�1� � �;<=�	�	 CD�1� 
� � ;<=�	� 																	3 									���	 � �7#8�	� 
�#$�
	�
	%
�#�
								 ���	 � ���� & ���	 
���	 � �;<=�	�	 CD�1� & ��7#8�	�� � �7#8�	�;<=�	�	 CD�1� ���	 &� �GHD�	�CD	�1� 	 
I�	� � #JKLMNO	�J�	 
Fazendo:	� � �. � ;<=��� tem-se		� � #A		 
� � #A 																																	3 									���� � #A � #JKLMNO�J�	 
� � �0 � ;<=��� 															3 									���� � .� � 7#8��� 
�#$�
	�
	%
�#�
								 ���� � ���� & ���� 
���� � #JKLMNO�J�	& �.� � 7#8���� 
 
 
Observação 
Ao utilizar a regra da cadeia trabalhamos de fora para dentro. Primeiro 
diferenciamos a função externa � (considerando a função interna � � $��� 
como uma variável independente) e depois multiplicamos pela derivada da 
função interna, ou seja, 
��$���� � ���� � � ′���& ���� 
 
Podemos então combinar a derivada das funções conhecidas com a regra da 
cadeia. 
 
Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 ���
�
 
 
Exemplos: 
��	� � ��: � ��PQQ 
�( � �44��:� ��RR& ��� ��: � �� � �44��:� ��RR�1�0� � 144�0��:� ��RR 
 
.�		S��� � �√�0� � � �: � ��0 � � � ��?
P	:
 
S (��� � ��1 ��0� � � ��?	":& ��� ��0 � � � �� � ��1 ��0� � � ��?	": & �.� � �� 
 
1�		$�	� � 5 	 � ..	 � �6
R
 
$(�	� � T 5 	 � ..	 � �6
U & ��	 5 	 � ..	 � �6 
$(�	� � T 5 	 � ..	 � �6
U & V�.	 � ��& ��	 �	 � .� � �	 � .� ��	 �.	 � ���.	 � ��0 W 
$(�	� � T 5 	 � ..	 � �6
U & X�.	 � ��& � � �	 � .�& .�.	 � ��0 Y 
$(�	� � T 5 	 � ..	 � �6
U & Z.	 � � � .	 � ��.	 � ��0 [ � T 5 	 � ..	 � �6
U & Z !�.	 � ��0[	 
$(�	� � �!	�	 � .�U�.	 � ��U�.	 � ��0 � �!	�	 � .�U�.	 � ��PQ 
 ��	� � �.� � !�:& �1� � ��" 
�( � ���� � �.� � !�:& \�1� � ��"](� �1� � ��"& \�.� � !�:]( � �.� � !�:& �	�1� � ��:\1� � �](� �1� � ��"& 1	�.� � !�0\.� � !]( � � �.� � !�:& �	�1� � ��:& �1� � �1� � ��"& 1	�.� � !�0 & �.� � � �.	�.� � !�:�1� � ��: � I	�1� � ��"�.� � !�0 
^#		8		_	�`	8a`#��	�#

	�8 b 4�#			���� � �c			d				� � $��� ��� ��c� � 8	�c?P& ���� 
Derivada da Função Potência combinada com a Regra da Cadeia 
�
Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 ���
�
 
 
Exemplos: 
 ��	� � .0J 								3 					� � .A					#		� � .� 				���� � ��� �.0J� � .0J& CD�.� ��� �	.�� � .&.0J& CD�.� � .0JLP CD�.� 
 .�	� � I	#√e 						3 			� � I	#A					#			� � √> 
				���> � ��> *I	#√e+ � I ��> *	#√e+ � I	#√e& ��> *√>+ � I	#√e& 5 �.√>6 � 1	#
√e
√> 
 1�	���� � 1JLP 															3 					���� � 1A					#						� � � � � 				�(��� � ��� �1JLP� � 1JLP& CD�1� & ��� �	� � �� � 1JLP& f8�1�& ��� � 1JLP& f8�1� 
 ��		g � 1�0#�JLP 					3 g � ����& ����		 
						�g�� � ��� �1�0#�JLP� � 1 ��� ��0#�JLP� � 1 Z�0& ��� �#�JLP� � #�JLP& ��� ��0�[ 
						�g�� � 1 Z�0& 5#�JLP& ��� �!� � ��6 � #�JLP& �.��[ 
						�g�� � 1\�0& #�JLP& ! � #�JLP& .	& ��] � �!�0#�JLP� I	�	#�JLP � 1�#�JLP�!� � .� 
 
!�		h�	� � � � 	0#@K 								3 g � �������� 	 i ���� � � � 	0			���� � #A					� � 	0 
			h(�	� � ��	 j� � 	0#@K k � #
@K & ��	 �� � 	0� � �� � 	0�& ��	 *#@K+*#@K+0 
			h(�	� � #@
K & ��.	� � �� � 	0�& j#@K & ��	 �	0�k
*#@K+0 � )�.	& #
@K � �� � 	0�& #@K & �.	�,*#@K+0 
			h(�	� � #@K\�.	 � .	 � .	:]*#@K+0 � .	�	
0� .�#@K 
^#		
 l 4i 
 b �					#					���� � 
A			d				� � $��� ��� �
A� � 
A& CD�
�	&���� m`	n
�	�%�
�i										���� � #A			d				� � $��� ��� �#A� � #A&����	 
Derivada da Função Exponencial combinada com a Regra da Cadeia 
Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 �	�
�
 
 
Exemplos: 
 ��	� � �	 C<F0�!�� 		3 			� � �	 C<F0��� 		#				� � !� 
 
			�o � ��� ��	 C<F0�!��� � � ��� �C<F0�!��� � �!�
8�.� & ��� �!�� � .4!�
8�.� � ��
8�.� 
 .�	��	� � CD�.	 � �� 		3 				���� � CD��� 		#		� � .	 � � 
 						�(�	� � ��	 \CD�.	 � ��] 	� �.	 � � & ��	 �.	 � �� � ..	 � � 
 1�	> � CD��0� �� 		3 				> � CD��� 		#		� � �0 � � 
 
						�>�� � ��� �CD��0 � ��� 	� 	 ��0 � �	 & ��� ��0 � �� � .��0� � 
 
��	� � #:e CD*√>	+ 3 			� � ��>�& ��>�			 
 
				�( � #:e& ��	 )CD*√>	+, � 	CD*√>	+ & ��	 	�#:e�		 
				�( � #:e& Z �√> & ��> �√>�[ � 	CD*√>	+ & Z#:e& ��> 	�1>�[ 
				�( � #:e& Z �√> & �.√>[ � 	CD*√>	+ & \#:e& 1] � #
:e.> � 1#:e CD*√>	+ 
				�( � #:e.> � 1#:e CD 5>P0	6 � #:e.> � 1#:e CD�>	�. 
 
^#		
 l 4i 
 b �i � l 4					#					���� � C<F� � 				d				� � $��� ��� �C<F� �� � ��& CD 
 & ����	 m`	n
�	�%�
�i										���� � CD � 						d				� � $��� ��� �CD �� � �� & ���� 
Derivada da Função Logarítmica Combinada com a Regra da Cadeia 
Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 ���
�
 
 
 
 
Exemplos: 
 ��	� � 7#8�9	�0�		 			�( � ��� *7#8�9	�0�+ � %�7�9	�0�& ��� �9	�0� � %�7�9	�0�& 9& ��� �	�0�� .9�	%�7�9	�0� 
 
 .�>�	� � 7#8�	0� � ;<=�1#@� 	3 		> � ��	� � $�	� 
				>(�	� � ��	 �7#8�	0� � ;<=�1#@�� � ��	 *7#8�	0�+ � ��	 �;<=�1#@�� 
				>(�	� � %�7�	0�& ��	 �	0� � =dD�1#@� & ��	 �1#@� 				>(�	� � %�7�	0�& �.	� � =dD�1#@� & �1#@� � .	 ;<=�	0� � 1	#@	7#8�1#@� 
 1�	$��� � %�7 p/�0� .�q		 
			$(��� � ��� 5%�7 p/�0� .�q6 � �7#8p/�0� .�q & ��� p/�0 � .�q 
			$(��� � �7#8 p/�0� .�q & ��� Z��0 � .��P0[ 
			$(��� � �7#8 p/�0� .�q & Z�. & ��0� .��?P0& ��� ��0 � .��[ 
			$(��� � �7#8 p/�0� .�q & r �.√�0� .� & �.� � .�s 
$(��� � � 7#8*√�0� .�+�� � ��√�0� .� � 
 
 
 
^#						���� � =dD���		d				� � $��� ��� *=dD���+ � ;<=��� & ���� 
Derivada da Função Seno Combinada com a Regra da Cadeia 
^#						���� � ;<=���			d				� � $��� ��� *;<=���+ � �=dD���& ����		 
Derivada da Função Co-SenoCombinada com a Regra da Cadeia 
Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 ���
�
9. Derivadas de Ordem Superior 
Em algumas ocasiões precisamos derivar uma função mais de uma vez. Se 
uma função � � ���� for derivável, isto é, existe � ′���, podemos pensar na 
derivada de � ′��� e assim sucessivamente. 
 
Definimos e denotamos as derivadas sucessivas de uma função � � ���� de 
acordo com a tabela abaixo: 
 
�t	�#���
�
	��	�#���
�
	�#	�t	���#`	 � (���						��						 ���� 
.t	�#���
�
	��	�#���
�
	�#	.t	���#`	 � (o���						��						 �0���0 
1t	�#���
�
	��	�#���
�
	�#	1t	���#`	 � (((���						��						�:���: 
�t	�#���
�
	��	�#���
�
	�#	�t	���#`	 � �"����						��						�"���" 
8t	�#���
�
	��	�#���
�
	�#	8t	���#`	 � �c����						��						�c���c 
 
Exemplos: 
 
I) Dada uma função calcule as derivadas de ordem superior até a quarta 
ordem: ��	���� � �"� .� � � � (��� � ��:� . � ((��� � �.�0 � (((��� � .�� � �"���� � .� 
 .�	� � #0J ���� � .#0J �0���0 � ��� 5����6 � �#0J �:���: � ��� j�0���0k � �#0J �"���" � ��� j�:���:k � �I#0J 
 1�		> � 7#8�9	� >( � 				9	%�7�9	� >oo � �90	7#8�9	� >ooo � �9:	%�7�9	� >�"� � 9"	7#8�9	� 
Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 �
�
�
��		���� � .� � � � .	�� � ��?P � (��� � 			.& ����& �� � ��?0& \� � �]( � 	�.	�� � ��?0 � ((�J� � 		�.& ��.�& �� � ��?:& \� � �]( � 	�	�� � ��?: � (((��� � 		�& ��1�& �� � ��?"& \� � �]( �	��.	�� � ��?" � �"���� � ��.& ����& �� � ��?�& \� � �]( � 	��	�� � ��?� 
 
II) Dada a equação de movimento retilíneo de uma partícula, encontre o 
instante em que a aceleração instantânea é nula. Para este instante calcule 
o valor da velocidade da partícula e a distância orientada a partir da origem 
do movimento. 
7�	� � �1 	:� 1. 	0� .	 � �	 
Sendo 7 em metros distância orientada entre a posição da partícula e a 
origem no instante 	 em segundos. 
 
Velocidade Instantânea �: ��	� � 7( � 	0 � 1	 � .					`�7 
 
Aceleração Instantânea 7: 
�	� � �(�	� � 7((�	� � .	 � 1				`�70 
 
Desejamos calcular o instante em que a aceleração é nula, ou seja, 
�	� � 4: 
�	� � .	 � 1		 � 4 
	 � 1. � �i!			7 
 
Cálculo da velocidade instantânea quando 	 � �i!		7 
�51.6 � 51.60 � 1& 51.6 � . � T� � T. � . � T � ��� �� �	��� 
� 51.6 � �	4i.!	`�7 
 
Cálculo da posição da partícula quando 	 � �i!		7 
7 51.6 � �1 & 51.6: � 1. & 51.60 � . 51.6 � � � T� � .�� � � � ��� � 1.� � ��� 
7 51.6 � �� 		` 
 
 
 
 
Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 ���
�
10. Diferenciação Implícita 
 
Sempre que temos uma função escrita na forma � � ����, onde a variável 
dependente � aparece isolada de um lado e a expressão da função do outro, 
dizemos que �	é função explícita de �. Caso isto não ocorra dizemos que � é 
uma função implícita de �. 
Exemplo de função explícita:		� � �0 � � 
Exemplo de função implícita:		.� �.�.� � � � � 													�	�0� 7#8��	�� � � 
O objetivo da derivação implícita é determinar a derivada de funções 
implícitas sem que haja a necessidade de explicitar a variável dependente �. 
O processo de explicitar a variável � pode ser trabalhoso ou até mesmo 
impossível como, por exemplo, na função 7#8��& �� � � � I. A desvantagem 
do método é que a função derivada ��(� pode ser também uma função 
implícita. 
 
A ideia é derivar ambos os lados da equação e aplicar as regras de 
derivação, bem como a regra da cadeia quando necessário. Devemos 
lembrar que a variável dependente é uma função da variável independente. 
 
Se � é uma função de � então pela regra da cadeia tem-se: 
 
�� ��� ��c� � 8	�c?P& ���� � 8	�c?P�o 
.� ��� �=dD���� � %�7���& ���� � ;<=��� �o 
1� ��� �;<=���� � �7#8���& ���� � �7#8����o 
�� ��� �
u� � 
uCD	�
�& ���� � 
u CD�
� �o 
!� ��� �#u� � #u& ���� � #u�o 
I� ��� �C<F����� � ��	
8�
� & ���� � �(�	
8�
� 
�� ��� �CD	���� � �� & ���� � �(� 
 
 
Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 ���
�
Exemplos: 
 
I) Para cada uma das equações, encontre 
vuvJ (ou �o) por derivação implícita. 
 ��	.� � �0� � � � � ��� �.� � �0� � �� � ��� ��� ��� �.�� � ��� ��0�� � ��� ��� � ��� ��� 
.& ��� ��� � 5�0& ��� ��� � �& ��� ��0�6 � 4 � � 
.& ���� � 5�0& ���� � �& .��6 � 4 � � ���� ��0 � .� � .�� � � 
�( � ���� � � � .���0 � . 
 .�	� � �07#8��� ��� ��� � ��� ��07#8���� ���� � �0& ��� *7#8���+ � 	7#8���& ��� ��0� ���� � �0& ;<=��� & ���� � 	7#8���& �.��	 ���� �� � �0;<=	���� � .�	7#8��� 
�( � ���� � .�	7#8���� � �0;<=	��� 
 1�		.u � �0 � %�7��0� ��� �	.u � �0� � ��� �%�7��0�� ��� �	.u� � ��� ��0� � ��� �%�7��0�� 
.u CD�.� ���� � .� ���� 	� �7#8��0� ��� ��0� ���� 	�.u CD�.� � .�� 	� �7#8��0�	.	� 
�( � ���� 	� �.	�	7#8��0�.u CD�.� � .� 
 
Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 ���
�
��	/�	� � .� � /� ��� */�	� � .�+ � ��� �/�� ��� 5	��	��P0 	� .�6 � ��� ��P0� ��� 5	��	��P0	6 � ��� �.�� � ��� ��P0� �. ��	��?P0 	 ��� ��	�� � . ��� ��� � �.	�?P0 ��� ��� �. ��	��?P0 	Z ��� ���& � � ��� ���& �[ � . � �.	�?P0 ���� �./�	�	Z� � ���� 	 & �[ � . � �./	�		���� �./�	� �	 �./�	�	���� � . �	 �./	�		���� 
X �./	� � �./�	�Y	���� � �./�	� � . 
X√� � �./�	� Y	���� � � � �/��./�	� ���� � � � �/��√� � � 
 
 
II) Utilize a derivação implícita para encontrar a derivada das funções 
trigonométricas inversas. ��	� � 
�%	7#8��� 
Se � � 
�%	7#8��� então 7#8��� � � ��� �7#8���� � ��� ��� 
;<=��� ���� � �		 ���� � �;<=���	 
Mas ;<=��� � /� � 7#80��� e 		7#80��� � �0 			 � 		 ;<=��� � 	√� � �0, então: ���� � �√� � �0 								 � 	 ��� *
�%	7#8���+ �	 �√� � �0 
 
 
 
Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 ���
�
.�	� � 
�%	%�7��� 
Se � � 
�%	%�7��� então %�7��� � � ��� �%�7���� � ��� ��� 
�=dD��� ���� � �		 ���� � � �=dD���	 
Mas =dD�w� � /� � ;<=0��� e ;<=0��� � �0 			 � 		=dD�w� � 	 √� � �0, então: ���� � � �√� � �0 								 � 	 ��� *
�%	%�7���+ � �	 �√�� �0 
 
III) Considere a curva dada pela equação 	.�0 � ��0 � �: 
a) Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico da curva no ponto ���i��	
Conhecendo um ponto ���Qi �Q� e o coeficiente angular, a equação de 
uma reta fica estabelecida por � � `�� � �Q� � �Q . A reta tangente 
desejada passa pelo ponto ���i�� e seu coeficiente angular `x é igual à 
derivada da função neste ponto, isto é, `x � �( . Precisamos então 
calcular o valor de �o por derivação implícita. ��� �.�. � ��.� � ��� ��:� ��� �.�0� � ��� ���0� � 1�0 
.& ��� ��0� � 5�& ��� ��0� � �0 & ��� ���6 � 1�0 
�& �& ���� � 5.	�	�& ���� 	� �0& �6 � 1�0 
��	 ���� � .	�	�	 ���� � �0 � 1�0 ���� � 1�0 � �0��� � .��	� 							� `x � �( � ���� � 1�0� �0��� � .��� 
 
No ponto ���i�� tem-se �Q � �		#	�Q � � 
`x � �( � 1&� � ���&� � .&�&�� � �. � . 
A equação da reta tangente é dada por � � .�� � �� � � � � .� � � 
 
 
Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 ���
�
b) Obtenha a equação da reta normal ao gráfico da curva no ponto ���i�� 
O coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto ���i�� é `x � . e 
o coeficiente angular da reta normal ` y neste ponto é dado por: `y � � �`x � ��. 
A equação da reta normal é dada por: 
� � � � �. �� � �� � � � � �. � �. � � 1. � �. � � �i!	� � 4i!	� 
 
IV) Ache a taxa de variação de � em relação a � no ponto (3,2) se ��0 � ��: � � ��� ���0 � ��:� � ��� ��� ��� ���0� � ��� ���:� � 4 
�& �.�� ���� � Z ��� ���	& �: � ��� ��:�& �[ � 4 
��	�	 ���� � Z�& �: � �& 51�0 ����6[ � 4 ���� 	���	� � 1�0�� � �: ���� 	� �:��	� � 1	�0	� 
 
No ponto (3,2) tem-se � � 1 e � � ., então a taxa neste ponto é: ����zJ{:u{0 	�
�.�:��	�.� � 1	�.�0	�1� 
����zJ{:u{0 	�
�.� � 1I 
����zJ{:u{0 	�
��� 
����zJ{:u{0 	� �� 
 
 
Cálculo I - �������	
	�
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��																				 
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V) Calcule a derivada de segunda ordem da função implícita: 
 .	� � �	� � � 
Cálculo da primeira derivada: ��� �.� � ��� � ��� ��� 
. ��� ��� � ��� ��	�� � ��� ��� 
.���� � Z ��� ���& � � ��� ���& �[ � � 
.���� � Z� � ���� & �[ � � 
�. � ��	���� � � � � ���� � � � �. � � 
 
 
Cálculo da segunda derivada: �0���0 � ��� 5� � �. � �6 
�0���0 �
��� �� � ��& �. � �� � ��� �. � ��& �� � ���. � ��0 
�0���0 � �
���� & �. � �� � �& �� � ���. � ��0 
`
7				 ���� � � � �. � � 		i #8	|� 
�0���0 � �p
� � �. � �q & �. � �� � �� � ���. � ��0 �0���0 � ��� � � � � ��. � ��0 �0���0 � �.� .��. � ��0 
 
 
 
 
 
Cálculo I - �����	��	
	�
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	�
�
11. Taxas Relacionadas 
Suponha que � e � sejam funções de outra variável 	 , ou seja, � � ��	� e � � $�	�. E, além disso, suponha que as funções � e � estejam relacionadas 
entre si por uma equação ���i ��. Como � e � são funções de 	, � também é 
função de		, ���i �� � ����	�i$�	��. Assim, ao derivar a função � em relação a 	, as taxas de � e de � em relação a 	 continuam relacionadas através de 
uma equação. Este tipo de problema é chamado de taxas relacionadas. 
 
Exemplos: 
 
I) Considere �, � e �	variáveis dependentes de t, ou seja, ��	�, ��	� e ��	�i	as quais estão relacionadas pela equação �0 � .	�0 � �:. Encontre 
a taxa de variação instantânea de � em relação a 		 pv}v@q. 
Derivando implicitamente a equação �0 � .�0 � �: ��	 ��0� � ��	 �.	�0� �:� 
.	�	 ���	 � .&.	� ���	 � 1	�0 ���	 
���	 � �	�	
���	 � 1	�0 ���	.	� 
���	 � �	�	
���	 � 1	�0 ���	./	.	�. � �1 
 
II) Duas variáveis � e � estão ligadas pela equação �: � .�0 � !� � �I. 
Se 
vJv@ � � quando � � . e � � ��, determine vuv@ ��	 ��1 � .�. � !�� � ��	 ��I� ��	 ��1� � . ��	 	��.� � ! ��	 ��� � 4 
1�0 ���	 � �� ���	 � !���	 � 4	 
�	�	 ���	 � 1�0 ���	 � !���	 	 
	���	 � j1�0 � !�� k���	 	 ���	 z J{0u{?P � j
1�0� !�� k ���	 	 
���	 z J{0u{?P � j
1&.0� !����� k	& � � 	��� 
Cálculo I - �����	��	
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��
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III) Uma escada de 6 metros de comprimento está apoiada em uma 
parede vertical. Se a base da escada for puxada horizontalmente, 
afastando-se da parede à razão de 4iI	`�7, qual é a velocidade que o 
topo da escada percorre a parede, quando o topo da escada está a �	` do solo? 
 
 
 
 
 
 g0 � �0 � �0 
.	g	 �g�	 � .	� ���	 � .	� ���	 								`
7		�g�	 � 4 ���	 � 	� ��		���	 
Quando � � �	`	i vJv@ � 4iI	` 7⁄ 	#		� � /g0 � �0 � √I0 � �0 � √.4	` ���	 zu{" �	�√.4� 	�4iI� � �I√.4�4 			`�7 
A taxa negativa significa que a distância � está diminuindo. 
 
IV) Em um determinado instante o navio A está a .!	` ao sul do navio 
B. O navio A está navegando para o oeste à velocidade de �I	`��	e o 
navio B está navegando para o sul à velocidade de .4	`�� . 
Determine a razão na qual varia a distância entre os dois navios após 
meia hora de viagem? 
 
 
 
 
 
 
 
 
g � /�0� �0 � /�0 � �!0 � √.�T � ��	 `
	g0 � �0� �0 																	3 											g	 �g�	 � 	����	 � 	� ���	 								 
	�g�	z@{@€ �
���& ��I� � ��!�& ��.4��� 	� ���.�� 				`��		 
A taxa negativa significa que a distância entre os navios está 
diminuindo. 
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