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Cálculo I - ����� �� � �� �� ��� � 8. Derivada da Função Composta (Regra da Cadeia) Observação: Ao usarmos a fórmula da segunda notação devemos ter em mente que ����� se refere à derivada de � quando � é considerado como uma função de � (derivada de � em relação a � ). Analogamente, ����� se refere à derivada de � quando � é considerado como uma função de � (derivada de � em relação a �). Exemplos: Calcule as derivadas das funções indicadas abaixo: �� � � ��� � �� � ��� Fazendo: � � �� � �� � � tem-se � � �� � � �� � ���� � �� � � ���� �� � �� � � �� � �� � � � ���� � !�" � � �#$� � % �#� ���� � ���� & ���� ���� � ���� � �� � �� �!�"� �� '(��� � )�*$���+,( � � (*$���+& $(��� Regra da Cadeia (primeira notação): Se � e $ são funções diferenciáveis e ' � � - $ é a função composta definida por '��� � �*$���+, então ' é diferenciável e '′ é dada por ���� � ���� & ���� Regra da Cadeia (segunda notação): Sejam � � ���� e � � $��� duas funções diferenciáveis. Então � � �*$���+ � � - $ e a derivada de � em relação a � é dada por Cálculo I - ����� �� � �� �� ��� � .� � � /!�0� 1 Fazendo: � � !�0 � 1 tem-se � � √� � � √� 3 ���� � �.√� � �. √!�0 � 1 � � !�0 � 1 3 ���� � �4� �#$� � % �#� ���� � ���� & ���� ���� � 5 �. √!�0� 16 & ��4�� � !�√!�0� 1 1� � � 7#8�9:�:� Fazendo: � � 9:�: tem-se � � 7#8��� � � 7#8��� 3 ���� � ;<=��� � %�7�9:�:� � � 9:�: 3 ���� � 1 9:�0 �#$� � % �#� ���� � ���� & ���� ���� � ;<=�9:�:� & �1 9:�0� � 1 9:�0 ;<= �9:�:� �� > � .?@ Fazendo: � � � tem-se > � .A > � .A 3 �>�� � .B CD�.� � .?E CD �.� � � � 3 ��� � �� �#$� � % �#� �>� � �>�� & ��� �>� � .?E CD�.� & ���� � � CD�.� .?@ �>� � � .?@ CD�.� Cálculo I - ����� �� � �� �� ��� � !� � � C<F:�%�7� �� Fazendo: � � ;<= � � tem-se � � C<F:��� � � C<F:��� 3 ���� � �� CD�1� � �;<=� � CD�1� � � ;<=� � 3 ��� � �7#8� � �#$� � % �#� ��� � ���� & ��� ��� � �;<=� � CD�1� & ��7#8� �� � �7#8� �;<=� � CD�1� ��� &� �GHD� �CD �1� I� � � #JKLMNO �J� Fazendo: � � �. � ;<=��� tem-se � � #A � � #A 3 ���� � #A � #JKLMNO�J� � � �0 � ;<=��� 3 ���� � .� � 7#8��� �#$� � % �#� ���� � ���� & ���� ���� � #JKLMNO�J� & �.� � 7#8���� Observação Ao utilizar a regra da cadeia trabalhamos de fora para dentro. Primeiro diferenciamos a função externa � (considerando a função interna � � $��� como uma variável independente) e depois multiplicamos pela derivada da função interna, ou seja, ��$���� � ���� � � ′���& ���� Podemos então combinar a derivada das funções conhecidas com a regra da cadeia. Cálculo I - ����� �� � �� �� ��� � Exemplos: �� � � ��: � ��PQQ �( � �44��:� ��RR& ��� ��: � �� � �44��:� ��RR�1�0� � 144�0��:� ��RR .� S��� � �√�0� � � �: � ��0 � � � ��? P : S (��� � ��1 ��0� � � ��? ":& ��� ��0 � � � �� � ��1 ��0� � � ��? ": & �.� � �� 1� $� � � 5 � .. � �6 R $(� � � T 5 � .. � �6 U & �� 5 � .. � �6 $(� � � T 5 � .. � �6 U & V�. � ��& �� � � .� � � � .� �� �. � ���. � ��0 W $(� � � T 5 � .. � �6 U & X�. � ��& � � � � .�& .�. � ��0 Y $(� � � T 5 � .. � �6 U & Z. � � � . � ��. � ��0 [ � T 5 � .. � �6 U & Z !�. � ��0[ $(� � � �! � � .�U�. � ��U�. � ��0 � �! � � .�U�. � ��PQ �� � � �.� � !�:& �1� � ��" �( � ���� � �.� � !�:& \�1� � ��"](� �1� � ��"& \�.� � !�:]( � �.� � !�:& � �1� � ��:\1� � �](� �1� � ��"& 1 �.� � !�0\.� � !]( � � �.� � !�:& � �1� � ��:& �1� � �1� � ��"& 1 �.� � !�0 & �.� � � �. �.� � !�:�1� � ��: � I �1� � ��"�.� � !�0 ^# 8 _ �` 8a`#�� �# �8 b 4�# ���� � �c d � � $��� ��� ��c� � 8 �c?P& ���� Derivada da Função Potência combinada com a Regra da Cadeia � Cálculo I - ����� �� � �� �� ��� � Exemplos: �� � � .0J 3 � � .A # � � .� ���� � ��� �.0J� � .0J& CD�.� ��� � .�� � .&.0J& CD�.� � .0JLP CD�.� .� � � I #√e 3 � � I #A # � � √> ���> � ��> *I #√e+ � I ��> * #√e+ � I #√e& ��> *√>+ � I #√e& 5 �.√>6 � 1 # √e √> 1� ���� � 1JLP 3 ���� � 1A # � � � � � �(��� � ��� �1JLP� � 1JLP& CD�1� & ��� � � � �� � 1JLP& f8�1�& ��� � 1JLP& f8�1� �� g � 1�0#�JLP 3 g � ����& ���� �g�� � ��� �1�0#�JLP� � 1 ��� ��0#�JLP� � 1 Z�0& ��� �#�JLP� � #�JLP& ��� ��0�[ �g�� � 1 Z�0& 5#�JLP& ��� �!� � ��6 � #�JLP& �.��[ �g�� � 1\�0& #�JLP& ! � #�JLP& . & ��] � �!�0#�JLP� I � #�JLP � 1�#�JLP�!� � .� !� h� � � � � 0#@K 3 g � �������� i ���� � � � 0 ���� � #A � � 0 h(� � � �� j� � 0#@K k � # @K & �� �� � 0� � �� � 0�& �� *#@K+*#@K+0 h(� � � #@ K & ��. � � �� � 0�& j#@K & �� � 0�k *#@K+0 � )�. & # @K � �� � 0�& #@K & �. �,*#@K+0 h(� � � #@K\�. � . � . :]*#@K+0 � . � 0� .�#@K ^# l 4i b � # ���� � A d � � $��� ��� � A� � A& CD� � &���� m` n � �%� �i ���� � #A d � � $��� ��� �#A� � #A&���� Derivada da Função Exponencial combinada com a Regra da Cadeia Cálculo I - ����� �� � �� �� � � � Exemplos: �� � � � C<F0�!�� 3 � � � C<F0��� # � � !� �o � ��� �� C<F0�!��� � � ��� �C<F0�!��� � �!� 8�.� & ��� �!�� � .4!� 8�.� � �� 8�.� .� �� � � CD�. � �� 3 ���� � CD��� # � � . � � �(� � � �� \CD�. � ��] � �. � � & �� �. � �� � .. � � 1� > � CD��0� �� 3 > � CD��� # � � �0 � � �>�� � ��� �CD��0 � ��� � ��0 � � & ��� ��0 � �� � .��0� � �� � � #:e CD*√> + 3 � � ��>�& ��>� �( � #:e& �� )CD*√> +, � CD*√> + & �� �#:e� �( � #:e& Z �√> & ��> �√>�[ � CD*√> + & Z#:e& ��> �1>�[ �( � #:e& Z �√> & �.√>[ � CD*√> + & \#:e& 1] � # :e.> � 1#:e CD*√> + �( � #:e.> � 1#:e CD 5>P0 6 � #:e.> � 1#:e CD�> �. ^# l 4i b �i � l 4 # ���� � C<F� � d � � $��� ��� �C<F� �� � ��& CD & ���� m` n � �%� �i ���� � CD � d � � $��� ��� �CD �� � �� & ���� Derivada da Função Logarítmica Combinada com a Regra da Cadeia Cálculo I - ����� �� � �� �� ��� � Exemplos: �� � � 7#8�9 �0� �( � ��� *7#8�9 �0�+ � %�7�9 �0�& ��� �9 �0� � %�7�9 �0�& 9& ��� � �0�� .9� %�7�9 �0� .�>� � � 7#8� 0� � ;<=�1#@� 3 > � �� � � $� � >(� � � �� �7#8� 0� � ;<=�1#@�� � �� *7#8� 0�+ � �� �;<=�1#@�� >(� � � %�7� 0�& �� � 0� � =dD�1#@� & �� �1#@� >(� � � %�7� 0�& �. � � =dD�1#@� & �1#@� � . ;<=� 0� � 1 #@ 7#8�1#@� 1� $��� � %�7 p/�0� .�q $(��� � ��� 5%�7 p/�0� .�q6 � �7#8p/�0� .�q & ��� p/�0 � .�q $(��� � �7#8 p/�0� .�q & ��� Z��0 � .��P0[ $(��� � �7#8 p/�0� .�q & Z�. & ��0� .��?P0& ��� ��0 � .��[ $(��� � �7#8 p/�0� .�q & r �.√�0� .� & �.� � .�s $(��� � � 7#8*√�0� .�+�� � ��√�0� .� � ^# ���� � =dD��� d � � $��� ��� *=dD���+ � ;<=��� & ���� Derivada da Função Seno Combinada com a Regra da Cadeia ^# ���� � ;<=��� d � � $��� ��� *;<=���+ � �=dD���& ���� Derivada da Função Co-SenoCombinada com a Regra da Cadeia Cálculo I - ����� �� � �� �� ��� � 9. Derivadas de Ordem Superior Em algumas ocasiões precisamos derivar uma função mais de uma vez. Se uma função � � ���� for derivável, isto é, existe � ′���, podemos pensar na derivada de � ′��� e assim sucessivamente. Definimos e denotamos as derivadas sucessivas de uma função � � ���� de acordo com a tabela abaixo: �t �#��� � �� �#��� � �# �t ���#` � (��� �� ���� .t �#��� � �� �#��� � �# .t ���#` � (o��� �� �0���0 1t �#��� � �� �#��� � �# 1t ���#` � (((��� �� �:���: �t �#��� � �� �#��� � �# �t ���#` � �"���� �� �"���" 8t �#��� � �� �#��� � �# 8t ���#` � �c���� �� �c���c Exemplos: I) Dada uma função calcule as derivadas de ordem superior até a quarta ordem: �� ���� � �"� .� � � � (��� � ��:� . � ((��� � �.�0 � (((��� � .�� � �"���� � .� .� � � #0J ���� � .#0J �0���0 � ��� 5����6 � �#0J �:���: � ��� j�0���0k � �#0J �"���" � ��� j�:���:k � �I#0J 1� > � 7#8�9 � >( � 9 %�7�9 � >oo � �90 7#8�9 � >ooo � �9: %�7�9 � >�"� � 9" 7#8�9 � Cálculo I - ����� �� � �� �� � � � �� ���� � .� � � � . �� � ��?P � (��� � .& ����& �� � ��?0& \� � �]( � �. �� � ��?0 � ((�J� � �.& ��.�& �� � ��?:& \� � �]( � � �� � ��?: � (((��� � �& ��1�& �� � ��?"& \� � �]( � ��. �� � ��?" � �"���� � ��.& ����& �� � ��?�& \� � �]( � �� �� � ��?� II) Dada a equação de movimento retilíneo de uma partícula, encontre o instante em que a aceleração instantânea é nula. Para este instante calcule o valor da velocidade da partícula e a distância orientada a partir da origem do movimento. 7� � � �1 :� 1. 0� . � � Sendo 7 em metros distância orientada entre a posição da partícula e a origem no instante em segundos. Velocidade Instantânea �: �� � � 7( � 0 � 1 � . `�7 Aceleração Instantânea 7: � � � �(� � � 7((� � � . � 1 `�70 Desejamos calcular o instante em que a aceleração é nula, ou seja, � � � 4: � � � . � 1 � 4 � 1. � �i! 7 Cálculo da velocidade instantânea quando � �i! 7 �51.6 � 51.60 � 1& 51.6 � . � T� � T. � . � T � ��� �� � ��� � 51.6 � � 4i.! `�7 Cálculo da posição da partícula quando � �i! 7 7 51.6 � �1 & 51.6: � 1. & 51.60 � . 51.6 � � � T� � .�� � � � ��� � 1.� � ��� 7 51.6 � �� ` Cálculo I - ����� �� � �� �� ��� � 10. Diferenciação Implícita Sempre que temos uma função escrita na forma � � ����, onde a variável dependente � aparece isolada de um lado e a expressão da função do outro, dizemos que � é função explícita de �. Caso isto não ocorra dizemos que � é uma função implícita de �. Exemplo de função explícita: � � �0 � � Exemplo de função implícita: .� �.�.� � � � � � �0� 7#8�� �� � � O objetivo da derivação implícita é determinar a derivada de funções implícitas sem que haja a necessidade de explicitar a variável dependente �. O processo de explicitar a variável � pode ser trabalhoso ou até mesmo impossível como, por exemplo, na função 7#8��& �� � � � I. A desvantagem do método é que a função derivada ��(� pode ser também uma função implícita. A ideia é derivar ambos os lados da equação e aplicar as regras de derivação, bem como a regra da cadeia quando necessário. Devemos lembrar que a variável dependente é uma função da variável independente. Se � é uma função de � então pela regra da cadeia tem-se: �� ��� ��c� � 8 �c?P& ���� � 8 �c?P�o .� ��� �=dD���� � %�7���& ���� � ;<=��� �o 1� ��� �;<=���� � �7#8���& ���� � �7#8����o �� ��� � u� � uCD � �& ���� � u CD� � �o !� ��� �#u� � #u& ���� � #u�o I� ��� �C<F����� � �� 8� � & ���� � �(� 8� � �� ��� �CD ���� � �� & ���� � �(� Cálculo I - ����� �� � �� �� ��� � Exemplos: I) Para cada uma das equações, encontre vuvJ (ou �o) por derivação implícita. �� .� � �0� � � � � ��� �.� � �0� � �� � ��� ��� ��� �.�� � ��� ��0�� � ��� ��� � ��� ��� .& ��� ��� � 5�0& ��� ��� � �& ��� ��0�6 � 4 � � .& ���� � 5�0& ���� � �& .��6 � 4 � � ���� ��0 � .� � .�� � � �( � ���� � � � .���0 � . .� � � �07#8��� ��� ��� � ��� ��07#8���� ���� � �0& ��� *7#8���+ � 7#8���& ��� ��0� ���� � �0& ;<=��� & ���� � 7#8���& �.�� ���� �� � �0;<= ���� � .� 7#8��� �( � ���� � .� 7#8���� � �0;<= ��� 1� .u � �0 � %�7��0� ��� � .u � �0� � ��� �%�7��0�� ��� � .u� � ��� ��0� � ��� �%�7��0�� .u CD�.� ���� � .� ���� � �7#8��0� ��� ��0� ���� �.u CD�.� � .�� � �7#8��0� . � �( � ���� � �. � 7#8��0�.u CD�.� � .� Cálculo I - ����� �� � �� �� ��� � �� /� � � .� � /� ��� */� � � .�+ � ��� �/�� ��� 5 �� ��P0 � .�6 � ��� ��P0� ��� 5 �� ��P0 6 � ��� �.�� � ��� ��P0� �. �� ��?P0 ��� �� �� � . ��� ��� � �. �?P0 ��� ��� �. �� ��?P0 Z ��� ���& � � ��� ���& �[ � . � �. �?P0 ���� �./� � Z� � ���� & �[ � . � �./ � ���� �./� � � �./� � ���� � . � �./ � ���� X �./ � � �./� �Y ���� � �./� � � . X√� � �./� � Y ���� � � � �/��./� � ���� � � � �/��√� � � II) Utilize a derivação implícita para encontrar a derivada das funções trigonométricas inversas. �� � � �% 7#8��� Se � � �% 7#8��� então 7#8��� � � ��� �7#8���� � ��� ��� ;<=��� ���� � � ���� � �;<=��� Mas ;<=��� � /� � 7#80��� e 7#80��� � �0 � ;<=��� � √� � �0, então: ���� � �√� � �0 � ��� * �% 7#8���+ � �√� � �0 Cálculo I - ����� �� � �� �� ��� � .� � � �% %�7��� Se � � �% %�7��� então %�7��� � � ��� �%�7���� � ��� ��� �=dD��� ���� � � ���� � � �=dD��� Mas =dD�w� � /� � ;<=0��� e ;<=0��� � �0 � =dD�w� � √� � �0, então: ���� � � �√� � �0 � ��� * �% %�7���+ � � �√�� �0 III) Considere a curva dada pela equação .�0 � ��0 � �: a) Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico da curva no ponto ���i�� Conhecendo um ponto ���Qi �Q� e o coeficiente angular, a equação de uma reta fica estabelecida por � � `�� � �Q� � �Q . A reta tangente desejada passa pelo ponto ���i�� e seu coeficiente angular `x é igual à derivada da função neste ponto, isto é, `x � �( . Precisamos então calcular o valor de �o por derivação implícita. ��� �.�. � ��.� � ��� ��:� ��� �.�0� � ��� ���0� � 1�0 .& ��� ��0� � 5�& ��� ��0� � �0 & ��� ���6 � 1�0 �& �& ���� � 5. � �& ���� � �0& �6 � 1�0 �� ���� � . � � ���� � �0 � 1�0 ���� � 1�0 � �0��� � .�� � � `x � �( � ���� � 1�0� �0��� � .��� No ponto ���i�� tem-se �Q � � # �Q � � `x � �( � 1&� � ���&� � .&�&�� � �. � . A equação da reta tangente é dada por � � .�� � �� � � � � .� � � Cálculo I - ����� �� � �� �� ��� � b) Obtenha a equação da reta normal ao gráfico da curva no ponto ���i�� O coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto ���i�� é `x � . e o coeficiente angular da reta normal ` y neste ponto é dado por: `y � � �`x � ��. A equação da reta normal é dada por: � � � � �. �� � �� � � � � �. � �. � � 1. � �. � � �i! � � 4i! � IV) Ache a taxa de variação de � em relação a � no ponto (3,2) se ��0 � ��: � � ��� ���0 � ��:� � ��� ��� ��� ���0� � ��� ���:� � 4 �& �.�� ���� � Z ��� ��� & �: � ��� ��:�& �[ � 4 �� � ���� � Z�& �: � �& 51�0 ����6[ � 4 ���� ��� � � 1�0�� � �: ���� � �:�� � � 1 �0 � No ponto (3,2) tem-se � � 1 e � � ., então a taxa neste ponto é: ����zJ{:u{0 � �.�:�� �.� � 1 �.�0 �1� ����zJ{:u{0 � �.� � 1I ����zJ{:u{0 � ��� ����zJ{:u{0 � �� Cálculo I - ������� � �� �� �� � V) Calcule a derivada de segunda ordem da função implícita: . � � � � � � Cálculo da primeira derivada: ��� �.� � ��� � ��� ��� . ��� ��� � ��� �� �� � ��� ��� .���� � Z ��� ���& � � ��� ���& �[ � � .���� � Z� � ���� & �[ � � �. � �� ���� � � � � ���� � � � �. � � Cálculo da segunda derivada: �0���0 � ��� 5� � �. � �6 �0���0 � ��� �� � ��& �. � �� � ��� �. � ��& �� � ���. � ��0 �0���0 � � ���� & �. � �� � �& �� � ���. � ��0 ` 7 ���� � � � �. � � i #8 |� �0���0 � �p � � �. � �q & �. � �� � �� � ���. � ��0 �0���0 � ��� � � � � ��. � ��0 �0���0 � �.� .��. � ��0 Cálculo I - ����� �� � �� �� � � 11. Taxas Relacionadas Suponha que � e � sejam funções de outra variável , ou seja, � � �� � e � � $� �. E, além disso, suponha que as funções � e � estejam relacionadas entre si por uma equação ���i ��. Como � e � são funções de , � também é função de , ���i �� � ���� �i$� ��. Assim, ao derivar a função � em relação a , as taxas de � e de � em relação a continuam relacionadas através de uma equação. Este tipo de problema é chamado de taxas relacionadas. Exemplos: I) Considere �, � e � variáveis dependentes de t, ou seja, �� �, �� � e �� �i as quais estão relacionadas pela equação �0 � . �0 � �:. Encontre a taxa de variação instantânea de � em relação a pv}v@q. Derivando implicitamente a equação �0 � .�0 � �: �� ��0� � �� �. �0� �:� . � ��� � .&. � ��� � 1 �0 ��� ��� � � � ��� � 1 �0 ��� . � ��� � � � ��� � 1 �0 ��� ./ . �. � �1 II) Duas variáveis � e � estão ligadas pela equação �: � .�0 � !� � �I. Se vJv@ � � quando � � . e � � ��, determine vuv@ �� ��1 � .�. � !�� � �� ��I� �� ��1� � . �� ��.� � ! �� ��� � 4 1�0 ��� � �� ��� � !��� � 4 � � ��� � 1�0 ��� � !��� ��� � j1�0 � !�� k��� ��� z J{0u{?P � j 1�0� !�� k ��� ��� z J{0u{?P � j 1&.0� !����� k & � � ��� Cálculo I - ����� �� � �� �� �� � III) Uma escada de 6 metros de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a base da escada for puxada horizontalmente, afastando-se da parede à razão de 4iI `�7, qual é a velocidade que o topo da escada percorre a parede, quando o topo da escada está a � ` do solo? g0 � �0 � �0 . g �g� � . � ��� � . � ��� ` 7 �g� � 4 ��� � � �� ��� Quando � � � ` i vJv@ � 4iI ` 7⁄ # � � /g0 � �0 � √I0 � �0 � √.4 ` ��� zu{" � �√.4� �4iI� � �I√.4�4 `�7 A taxa negativa significa que a distância � está diminuindo. IV) Em um determinado instante o navio A está a .! ` ao sul do navio B. O navio A está navegando para o oeste à velocidade de �I `�� e o navio B está navegando para o sul à velocidade de .4 `�� . Determine a razão na qual varia a distância entre os dois navios após meia hora de viagem? g � /�0� �0 � /�0 � �!0 � √.�T � �� ` g0 � �0� �0 3 g �g� � ���� � � ��� �g� z@{@ � ���& ��I� � ��!�& ��.4��� � ���.�� `�� A taxa negativa significa que a distância entre os navios está diminuindo. ��7� g � I ` ��� � 4iI `�7 �g0 � �0 � �0�#7# � 7#���� � 8�� � � � ��� �� g� ��7� � � ��� � �I` �⁄ � � ��� � �.4 `���8� #`n� �8�%� Q �� � 4 ` # � � .! ` �8� #`n� P � � � � 4i! ��� � � & � �I& 4i! � � `�� � .! � �& � .! � .4&4i! � �! ` �#7# � 7#��g� � 8�� � P � Q � 4i! ��� �� .! `� �� � g�
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