TRABALHO COMPLETO

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TRABALHO DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I – AV1 
PROFª CLAUDIA JULIATO ARAÚJO 
Derivadas 
Aluno: Jeferson Luis Turma 3001 Matricula 201301097292 
Calcular a derivada primeira das seguintes funções: 
1) 5 ² 3 7
' 10 3R y
y x x
x

 


 
 
 
 
5 7
2) 8 3
3 ³ 2 ²
3 25. 7.
8 3
3 2
5. 3
'
F x x
x x
x x
F x x
F x
   
 
   


  4.
3
x

7.  2  3.
2
x
8
 
 
 
 
5 7
' 8
4 ³
45 7 8
'
4
48 7 5
'
4
F x
xx
x x
F x
x
x x
R F x
x

 
  

  
 

 
3)
' 0R
Y m
Y


 
(3 1)
4)
5
3 1
'
5 5
x
Y
x
Y
 


 
3
'
5
R Y 
 
 
4 1'( )
1
5) ( )
4 ²
1 )
1
.( ² 1
k x
k x x x
x x
  

  
4 2'( ) 1( ² 1) .(4 ³ 2 )
4 ³ 2
'( )
4( ² 1)²
k x x x x x
x x
R k x
x x
    
 
 
 
 
2
6)
³
x
Y
x

 
. ' . '
²
v u u v
v

 
 
³.2 2 .3 ²
'
³ ²
x x x
Y
x


 
2 ³ 6 ³ 4 ³ 4
'
6 6 ³
x x x
R Y
xx x
  
   
 
 
     
1 1
1
' 6 5 . 6 5 .62 2
6 5
2
7)g t t
g t t t

   
 
 
 
3
'
6 5
R g t
t
 

 
 
 
   
1
8)
6
1
1. 6 5
5
2h t
h t
t
t

 

 
   
 
 
3
1
' 6 5 .62
2
3
'
6 5 ³
h t t
R h t
t


 

 

 
 
   
     
1
39
7 ² 4 3 3
2
1
' 7 ² 4 3 . 14 43
) 7
3
² 4 3
f z z z
f z
f z
z
z
z
z
z
  

 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
14 4 1
' *
33 7 ² 4 3 ²
14 4
'
33 7 ² 4 3 ²
z
f z
z z
z
R f z
z z


 

 
 
 
 
   
51 )
1
² 5
3
3
0 ²
f w
w w
w
f


 
   
 
 
4
1 6 1
3 ² .6 .5
5 5 45 3 ²
6
'
5 85 81
w
f w w w
x
w
R f w
x

 
 
 
 
 
6
11)
4
3 ² 1
g x
x


 
 
       4 56. 3 ² 1 6. 4 . 3 ² 1 .6g x x x x     
 
 
 
144
'
5
3 ² 1
x
R g x
x

 

 
 
 43 ² 1
12)
6
x
h x


 
 
 
 4. 3 ² 1 ³.6x
h x


6
x 
   ' 4 3 ² 1 ³R h x x x  
 
   
     
 
 
 
2 1
2 32 ² .
2
2 213)
2 2
32 2 2
'
2² ³
f r r r r r
r r
f r
r r
f r r r
 
    
 



 
 
   
     
     
5 44' 5.[ ² 1 1] .10 . ² 1
5
5 514)
44' 50 [ ² 1 1] . ² 1
[ ² 1 1]
h z z z z
R h z z z z
h z z
   
   


 
 
 
 
 
5
' ² 1
4
' 5 ² 1 .2
4
' 10 . ² 1
u z
u z z
u z z
 
 
 
 
 
   4515) 3 2g x x 
 
 
   
   
4
3 2 5
1
4
' 3 2 .35
5
g x x
g x x
 

 
 
 
 
 
 
12 1
' .
55 3 2
12
'
55 3 2
g x
x
R g x
x


 

 
   
   
   
1
2
11
12 .(1 )
²
2 1'
6)
2 .
²
P x
P x x x
x
P x x x
x x
x
  
     
 
 
 
 
 
2 ² 2 ² 1
' .
²
42 2 ²
'
x x
P x
x x
x x
P x
    
    
   


2 ²x
 
2
³
42 2
'
³
x
x
R P x
x


 
 
 
 
 
 
 
 
44 8 ² 48 ² 4
17)
41 9² 1 9²
4 8 ² 4 ³.16 64
'
40960000
ss
r
s s
r s
s
R

 
 
  


 
 8 ² 4 ³
40960000
s s 
 
 
 8 ² 4 ³
'
640000
s s
R r s

 
 
 
   
   
 
           
    
 
   
    
 
 
 
 
( 1 . 3 ). 2 4 ( 1 . 3 ). 2 4
'
1 . 3 ²
( ² 4 3). 2 4 ( ² 4 3). 2 4
'
1 . 3 ²
2 ³ 8 ² 6 4 ² 16
1 . 3 . ' .
12 2 ³ 8 ² 6 4 ² 1
'
18
6 12
'
² 4 3 ²
8 ² 24
'
² 4
)
²1 .
3 ²
3
w w w w w w
g w
w w
w w w w
w w u v u u v
g w
v v
w w
g w
w w
w w w w w w w w w w
g w
w w
w
R g w
w w
w w
      

 
   
  
  

  

 
          

 



 

 
   
   
   
   
1 . 3 . ' . '
1 .1 3 .1
1 . 3 . '
2 4
. '
1 .1 3 . 2 41
'
'
u w w u v v u
w w
v
w
w w u v v u
w ww
u
v
    
   
    


   


 
     
         
          
       
       
4
6
4
6
4
6
4
6 5 6
6
5 36
5
5
6 6 5
6 5
19)
' 1 3 2 ².
' 1 3 2 ².
' 1 3 2 ².
1 . 3
' 1 .9 3 2 ² 3 2 ³.30 1
2
1. .9 30 . 3 2
. 9 9 90 60
. 99 60 9
. . ' . 'F
F x x x
F x x x
F x x x
x
F x x
x
x
x
x
x x x
u v u v v
x x
x x x
x x
u
  
  
  
    



   
 
  
 
 
   
 
   
 
5 4
6 6 5
4
5 6
1 ' 5 1 .6
' 30 1
3 2 ³ ' 3 3 2 ².3
' 9 3 2 ²
u x u x x
u x x
v x v x
v x
    
 
    
 
 
   
     
 
 
 
 
1
1 1
1 2[ ² ² 9 ] .2 ² 92 2
2
1 1 2
' . .
2 1 ² 9
² ²
1
1
220) [ ² ² 9 ]2
9 2
2
'
1
2. ² ² 9 . ² 92
k z z z z z z
z z
k z
z
z z
z z
R
n
k x
k z z z dz u
z z z


    



 


  


 
 
 
1
2
1 2
u z   
1
² 9 . 22z


 
1
' 2 . ² 9 21
z
u z z z

  
 
     
         
         
          
     
     
3
4
4
4
' 36. 9 1
' 36. 2 ² 3 1 . 9 1 ³ 9 1 . 4 3
' 9 1 ³.
' 9 1 ³.
' 9
2
1
)
³.
1
2 ² 3 1 . 9 1 . 4 3
36. 2 ² 3 1 9 1 . 4 3
72 ² 108 36 36 ² 27 4 3
108 ² 139 3
2 ² 3 1 . 9 1
9
. . ' '
k s s
R k s s s s s s
R k s s
R k s s
R k
k
s s
s s s s
s s s s
s s s s s
s s
s s s s u v u v vu
 
      
 



 
    
     
      
 


    
 
 
   
 
2 ² 3 1 ' 4 3
4
9 1 ' 4 9 1 ³.9
' 36 9 1 ³
u s s u s
v s v s
v s
     
    
 
 
 
 
42 3 ² 1
22)
4
²
2
'
x x
x
x
x
x
R p
p
 
 

²x
3 ²x

²x
1
²x

  
 
2' 2 ² 3 1
2
' 4
³
R p x x x
R p x x
x
   
  
 
 
   
   
2
16 ² 5 2 ² 3
5
42' 12 5 ² .
5 2
23) 6 ²
3 ²
23
3
f x x x
f x x
x x
x
f x x x x x

  

 


 
 
 
 
5 8
' 12
² 533 ²
x
R f x x
x
x
   
 
 
 
 
   
 
 
 
² 2 .10 5 ² 7 .
5 ² 7
2
2
'
² 2 ²
10 ³ 20 10 ³ 14
'
²
4)
² 2
2 ²
t t t t
f t
t
t t t t
f x
t
t
f t
t
  


  





 
 
 
5 ² 7 ' 10
²
34
'
² 2 ²
2 ' 2
u t u t
v t v
t
R f
t
x
t
   
  
 


 
 
 
 
 
 
 
 
1
2 5 2
7 9
1
1 2 5 532' .
2 7 9 7 9 ²
7 9
2 5
25)7
53
' .
2 5 2 7 9 ²
9
w
f w
w
w
f w
w
w
f w
w
w
w
R f w
w w
 
  
 

  
  
  
 



 
  
 
 
   
 
   
2 5 ' 2
7 9 ' 7
7 9 .2 2 5 .7
7 9 ²
14 18 14 35 53
7 9 ² 7 9 ²
u w u
v w v
w w
dx
w
w w
dx dx
w w
   
   
  


   
  
 
 
 
     
 
 
 
 
 
 
1 1
² 1 . 4 92 3
2 14 3² 1. 4 9.
3 2 ² 13
326) ²
4 9 ²
3 4 9. 2 14 ² 1
'
3 2 ² 13
1. 4 9 . . ' .
4 9 ²
'
s t t t t
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R s
s t t t t du v u
t
t t
v v u
t
   

    
 
 
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
 




 
     
   
   
   
1 1
1
² 1 ' ² 1 . 2 12 2
2
2 1 2 11
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2 ² 1 2 ² 1
1 2
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3
4 1 4
' . '
3 33 4 9 ² 3 4 9 ²
u t t u t t t
t t
u u
t t t t
v t v t
v v
t t

       
 
  
   

    
  
 
 
 
   
   
1
1 cos 2 2
1
1
' 1 cos 2
2
.
7
22
) 1 cos
2
2
g r r
g r s r
g r r
r en

 




 
 
2
'
2 1 cos 2
sen r
R g r
r
 

 
 
   
 
' 2 . cossec ²2 .2
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ec ²2
.cot 2
)
f x x x
f x
R x
g
x
x x
f x
 

  
 
   
     4' 5 sec . sec ² sec
5
9)
.
2 sec
R h x x tgx x
h x x tg
x gx
x
t
 
   
 
sec ²
sec ' sec . .1
' sec ² .
se
1
sec . .1 sec ² .1
c .
u x u x tgx
v tgx v x
dx x
dx x x tgx
tgx x
  
 


 

 
 
 
 
 
 
 
2 33 5
2
3 3² . ' . '
30)
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33
3 5 ²
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3 5 3 5 ²
0 33 ²
33
'
3 5 ²
t t
t
g t
t
t
t
t
R g t
t t u v u u v
g t
t v
t
t v

 




 

 

 
 
2
'
2 1
2 2 13 3' . .
33 3
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3
u t u t
t
v t
u
t
v

    
  


  
 
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 
 
 
 
. '
1
2 ² 4 8 . . 4 4
2
'
2 ² 4 8 ²
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. 4
. '
31)
2 ² 4 8
4
2
'
2 ² 8 ²
²
4
x x x x
x
f x
x x
x x
x x
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x
x u v u u v
f x
x
x
x v v
   

  

 
 
 
 
 
 
 
 
1 1
1 1 12 2' .
2 2
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1
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2
' 4 4
uu x x u x
x
v x v xx
x

     
   


  
       
 
 
2 3 41 1. 1 1. 2 . 1. 3 .
2 3 4' 1 2 3
1 2 3
'
1 1 1
32) 1
²
1
4² ³
³
p x x x x
p x x x x
R p x
x x
x
x
x
p
x x
     

  
     
  





 
   
     
   
5
4 . 3 .3
5
' 12.
4
33) 3
3
k
k s s
R s
s
k
s
s

 
  



 
    
   
34) 5
2. 5 4 .
4 ²
5h x x
h x x 
 
    
 
' 10 5 4
' 50 40
h x x
R h x x
 
  
 
   
     
   
3
2 . 3 1 .3
3
6
2
35 3 1
. 3 1
)
s x x
s x
s x x
R x

  
  





 
   
   
   
36) ² 2 cos . '
' cos ² 2 .2
' 2. .cos ² 2
k x sen
k x x x
R k x x
x u
x
dx u
 
 
  


 
   
     
   
37) cos 4 3
' 4 3 . 3
' 3
'
4 3
.
.
F t t dx senu
F t sen t
u
R F t sen t

    
  
   
  
   
 
 
5
cos3
4' 5.cos 3 . 3. .3
538)
4' 15.cos 3 . .3
cos 3
h x x
h x x sen x
h x x
R h x x sen x

 
 


  cos3 3 .3
3. (3 )
dx x sen x
dx sen x
  
 
 
 
   
   
 
 
3
' 4. ³ .cos ³.3 ²
' 4. ³ ³.cos ³.3 ²
' 1
439) ³
4
2 ². ³ ³.co
³
s ³
g x senx x x
g x sen x x x
R g x x se
g x sen x
n
g
x x
x senx






 
³ cos ³.3 ²dx senx x x 
 
   
       
40) sec ² 3 7 se
' sec ² 3 7 .
c . . '
² 3 7 . 2 3
f x x x u tgu
R
u
f x x x tg x x x
   
     
 
   
     
1
41) ² 3 cos . '
2
1
' cos ² 3 . 2 3
2
f x
f x sen x x
x x
u
x
u  
  
 
 
'
4 ln ln
1
.
1 ²
'
1
2
.
)
'
xe u
d
x u
xe x
xx e x
y y
xe
y
x
 
   
 


  


 1 ²x 
.
1x 
xe
'
1
x
R y
x
 

 
 
 
.1
1 1
1 . .1
1 ²
.
x x xu e e e
v x
x xx e eu
v x
x x xu e x e e
v
  
  
 


 

   
.
1 ² 1 ²
xe x
x x

 
 
 
ln
43
2
ln
1
) .ln . . '
2
2
1 1 1
' .ln .
2 2
x
R y
x
u uy d a a a u
x

 
    

     
       
    



 
' 2
ln ln
u
d u
u
  
2
1
xx
 
 
 
 
   
   
 
2 .2 . 2 5 ² 5 .
2
2' . 2
244) . ² 5
5 ² 5 .
2
³ 5 ²2' . 2
.
5
.
2
' . '
t
t
e t
R e t t t
t
t
R y e t t t
t
y e t t du
t
t t
y e t
v u v v u
   
 
     
 
    
 
   
 
 
 
2
³ 5
² 5 2 5
²
.2 2 . '
2
42' .
2
10
2
t
t t
t
t
v t
t e t
u
t t
t t
R e
e e u
y
   
 
   
  

 


 
 
 
 
   
 
3. 7 1 ².7
' .
2 ² 3 ³
21
3
7 1 1. . '
2 ²
7 1 ²
'
2 ² ³ 3. 2 ² ².3 3.2 ².3² 3³
21 7 1 ²
'
6 48 36 54 ²
45)
27
3
x
y
t
x
y
t
x n ny d u n u u
t t
x
R y
t t
t
t





  
  

 
 
   
 



 
1
2 1
' .log
31
1 1
' .
'
46) l
.log
32 1 1
1
' .log
32. ² 1
1
og 1 log .l
' .log
32. 2
og
3
s ey
s
ey
s s
u ey s d u
a
ey
s
e
s
au
R y



 




 

 
 
 
 
1
1 1 2
1
1
' 1 .12
2
1 1 1
' . '
2 1 2 1
u s s
u s
u u
s s
   

 
  
 
 
 
     
         
         
          
       
     
6 5
5 2 .9. 3 1 ² 3 1 ³.30. 5 2
6 2 5 3
' 9 5 2 . 3 1 30 5 2 . 3 1
5
' 3. 5 2 . 3 1 ²
6
47) 5 2
3. 5 2 .1 10.1 3 1
5
' 3. 5 2 . 3 1 ² 15 6 30 10
5
( ) 3. 5 2 . 3 1 ². 4
. 3 1 ³ . . ' . '
5 16
f x
f x x
x x x x
f x x x x x
f x x x x x
f x x x
x du v u v
x x
R x x
v u
x x
     
     
     
     
   
   

 
 
   
 
   
 
6 5
5 2 6. 5 2 .5
5
' 30 5 2
3 1 ³ 3. 3 1 ².3
' 9. 3 1 ²
u x x
u x
v x x
v x
   
 
   
 
 
 
   
     
     
coss
48) cot ³ 2 cot cossec ². .
ec ² ³ 2 . 3 ² 2
' 3 ² 2 cossec ². ³ 2
'g
g z z z z
R g z z
z g z z d gu u u
z z
   
   
    

 
 ³ 2
' 3 ² 2
u z z
u z
 
 
 
 
ln ²
5 5 2
' .ln .
3
49
ln ²
5
) .ln .
3
'
3
x
u uy da aa u
x
R y
x
     
     
 
   

 
     

 
ln ²
2
'
u x
x
u


²x
2
x

 
 
 
 
 
 
2
3 4 45
3. .
3
3 4
50)
6 7 6 7 ²
2
135 3 4
' .
6 7 ² 6
7
7
6
t
f t
t
t
f t
t t
t
R f t
t t
  
  
 
 
  
 
  
   
 



 
   
 
3 4 ' 3
6 7 ' 6
6 7 .3 3 4 .6 18
'
6 7 ²
u t u
v t v
t t t
duv d uv
t
   
   
  
  

21 18t 
 
 
24
6 7 ²
45
'
6 7 ²
t
d uv
t





 
 
   
 
 
 
 
12 2' . 3 ² 4 ³ 4 . .
2
251) . ³
2³ 4 .2' . 3 ² 4
2
³ 42' . 3 ² 4
2
4 . . ' . '
x x
y e x x x e
x
x
x x e
R y e x
x
x x
x
y e x x du v
y e
u v
x
u
R
v
   

   
 
 
 
  

 


 
 
12 2' .
2
³ 4 ' 3 ² 4
x x
u e u e
v x x v x
  
    
 
   
     
   
 
2
' 2
52 2 . 3 1 ³ . '
.9 3 1 ² 3 1 ³.
2
3 1 ³. 2
' 2 .9 3 1
.
²
2
'
f x x
f x x x duv u v v u
x x
x
x
R f x x x
x
   

   
    
 
     
1
22 2.
1
1 1 22' 2. . ' 2. '
2 2 2
3 1 ³ ' 3. 3 1 ².3 ' 9 3 1 ²
u x u x
u x u u
x x
v x v x v x
  

   
       
 
 
   
     
 
   
2
53) cos ³ 4 c
2
³ 4 . 3 ² 4
3
2. 3 ² 4 . ³ 4
o .
'
'
3
s
3
f x sen x x x
x sen x x
R f
f x x x d senu u
x
   
 
 
   


 
   ³ 4 ' 3 ² 4u x x u x    
 
 
 '
1
1 '
54) ln ln
z u
f z d u
z
z
ue
z zef z
z ze
ze



 
   




.
ze
 
1
'
1
z
z
R f z
z


 

 
 
 
1 . ' . '
²
1 ' 1
'
.1 1 .
2
z u v u u v
d d
z v ve
u z u
z zv e v e
z ze ez ze z eu
d
v ze
  
   
 
   
  

 
 
. zz e
  2ze
 
 
 
u z
d
zv e


 
 
1
3 3 2 ²
' .lo
'355) log 3 2 .l
2
og
g
2
3 3 2
u ey x d
a
x eR
u
y
x
   

 

 
 
1
3 3 2 3 2 3
1
'
3
u x x
u
   
  
2
3 2 .33x


   
1 1
' 1. '
3 33 2 ² 3 2 ²
u u
x x
  
 
 
2
1 1 2 1
' 3
3
1 1
5
1 .
² ³
6
²
) 1
²
ny
R y
x x x x
d u
x x
   
  
 
  
     
   
  



 
1 22 31. ' 2. '
² ³
1 11 21. ' 1. '
²
1 ' 0
a x a x a
x x
b x b x b
x x
c c
       
       
  
 
 
 
1
157) . '
1
21' .
1
1
1.
'
²
2
1 ²
x
u uxy e d e e
x
xe
R y
u
x
xy e
x
x

   



 



 
   
   
 
1 . ' . '
1 ²
1 ' 1
1 ' 1
1 .1 1 .1 1 1
'
1 ² 1 ²
2
'
1 ²
u x v u u v
d d
v x v
u x u
v x v
x xu x x
d
v x x
u
d
v x
 
  

   
   
     
 
 


 
   
   
 
1 1
. .
. ' . '
58)
'
2
'
²
.
x x x x x xe e e e e e
x xe
x x
e
y
x x x xe e e
e e u v
e
x
u u v
y d
x x v ve e
e
y

           
   
 
 
 



 

 
1
²
x xe e
x x xe e e
    
2
xe
 
1
²
x xe e
x x xe e e
  
 
 
²
4
'
²
x xe e
R y
x xe e


 

 
 
1
'
1
'
x x xu e e u e
xe
x x xv e e v e
xe
    
    
 
1
ln 2
1 1
ln
1 ln 2
' . .
2
1
ln . ' . '
ln
'
159) 1 2
²
.
ln2
x u v u u vny d
x
y
xe
x
x xy
x xe e
x
u d
x v ve
xexR y
x xe
 
  
 
  
  
 


     

 
 
1
ln '
'
1
. ln .
2
²
u x u
x
x xv e v e
xx x ee x e
xd
xe
  
  

 
 
1
. ln
²
x
x
xe
 
 
 
1
ln
2
x
xd
xe


 
 
 
 
 
 
 
 
60 - Determine os pontos de mínimo e máximo das funções 
 
 
a) f(x)= 3x²-12x+5; [0,3] 
 
2
2
2
3x² 12x 5; 0,3
6 12
6 12
2
0 : 3(0) 12(0) 5 5
2 : 3(2) 12(2) 5 7
3: 3(3) 12(3) 5 4
x
x
x
 



  
   
   
 
min 7
5
imo
máximo
 

 
 
 
b) f(x)= x³-3x+1; [0,3] 
 
   
 
2
2
'( ) 3 3
0 0 4.3. 3
2.3
6
' 1 '
f x x³ 3x 1; 0,3
' 1
6
f x x
x x
 
  



  

 

 
   
3
3
3
3
0 3.0 1 1
1 3.1 1 1
1 3. 1 1 3
3 3.3 1 19
min 1
19
imo
máximo
  
   
    
  
 

 
 
 
c) f(x)= 2x³+3x²+4; [-2,1] 
 
2
3 2
3 2
'( ) 6 6
'( ) 6 ( 1)
:
1 0
2 1
/ 2 2( 2) 3( 2) 4 0
/ 1 2( 1) 3( 1) 4 5
f x x x
f x x x
raizes
x
x
P x
P x
 
 

 
       
       
 
3 2
3 2
/ 0 2(0) 3(0) 4 4
/ 1 2(1) 3(1) 4 9
min 0
max 9
P x
P x
imo
imo
    
    


 
 
d) f(x)= ; [-1,2] 
2 1/2
2 1/2
2
2
( ) (9 )
1
'( ) (9 ) .( 2 )
2
1
'( ) .( 2 )
2 9
'( ) 0
9
f x x
f x x x
f x x
x
x
f x
x

 
  
 


   

 
( ) 9 ² [ 1;2]
/ 1 9 1² 2.83
/ 2 9 2² 2.24
min 2.24
max 2.83
f x x
P x
P x
imo
imo
   
    
   


 
60) Aplicando a regra de L’Hopital, encontre os seguintes limites: 
a) 
1
ln1 0
lim
1 1 0
1
ln
2 1 1
x
d x
x
d x



 
  
 
1
1
1
lim 1
1 1x
x

 
 
b) 
lim
²
1 .1
2 ² 2
x
x
x x x
e e
x x
d e e e
d x x



 

  
 
 
lim
2 2
2 2 2
lim
2 2
x
x
x
x
e e
x
d x
e e





 
 
 
  
 
c) 
   
   
       
0
0
0
1 0 0 sec ² .1 1 sec ² 1
2 ³ 3 ²
1 sec ² 1 (sec )² 1 2. sec . s
0 0
lim
³ 0³
sec ² 1 sec ²0 1 0
lim
3 ² 3.0² 0
2. sec . sec . 2.
ec . .1
2. sec . sec .
2 3 ² 6
1
sec0 . sec0. 0 0
lim
6
2
0
.
6
s
.0
x
x
x
d tg x x
d x x
d x x x x tg
tgx x tg
x
x
x
x x tgx
x
x
t
x tgx
d x
g
x
d
x



 

 
 
 
     
 
    
 
            
 
 
 
0
ec . sec . . 2. sec . sec .sec ² ².sec sec . .2 sec .
sec . . sec .sec ² .1 .sec . .1
sec .sec ² ².sec
2. sec 2sec . .1
2sec .
2 6 6
2. sec . sec .sec ² ².se
lim
x
x x tgx u v x x x tgx x x tgx x tgx
CA x tgx u v x x tgx x tgx
CA x x tgx x
ca x x tgx
ca x tgx
d x
x x x tgx

   
   
 




 
     c sec . .2 sec . 0
0 !!!!
6 6
x x tgx x tgx
ufa

 
 
 
 
 
61) A posição de uma partícula é dada pela equação do movimento s=f(t)= 1/(1+t), onde t é 
medido em segundos e s em metros. Encontre a velocidade após 2 segundos. 
 
2 2
1
1
1 1 1
'
2 1 2 2.2 1 9
s
t
v s
t t


  
   
  
 
 
62) Seja P(t) a população dos Estados Unidos no instante t. A seguinte tabela dá valores 
aproximados dessa função fornecendo as estimativas da população do ano de 1988 a 1996. 
Interprete e estime os valores de P´(1992). 
 
t P(t) 
1988 244.499.000 
1990 249.440.000 
1992 255.002.000 
1994 260.292.000 
1996 265.179.000 
 
265.179.000 244.499.000
1996 1988
20680000
2585000
8
1992 2585000
Creio que para 1992 a media do crescimento foi de 2585000 pessoas
x
p
t
p
 
 
 
 

 
63) Suponha que a bola foi deixada cair do posto de observação da torre, 450m acima do 
solo. 
a) Qual a velocidade da bola após 5 s? 
b) Com qual velocidade a bola chega ao solo? 
 
2
2
2
( ) 4,9
2
' 9,8
(5) 9,8.5 49 /
450 4,9 9,6
(9,6) 9,8.9,6 94 /
gt
s t t
V s t
v m s
t t s
v m s
 
 
 
   
 
 
 
64) O custo da produção de x onças (1 libra = 12 onças) de ouro provenientes de uma nova 
mina é C=f(x) dólares. 
a) Qual o significado da derivada f´(x)? quais são suas unidades? 
 
 custo marginal e suas unidades de x onças.. Dólares 
b) O que significa f´(800)=17? 
 
F’(800) significa que custa 17 dólares para produzir 800 onças. 
 
c) Você acha que os valores de f´(x) irão crescer ou decrescer a curto prazo? E a longo prazo? 
 
Trata-se de produção não tendo relação direta com prazo, f’(x) será o custo mínimo para a 
quantidade de peças encontrada. 
 
 
65) Um fazendeiro tem 2400 pés de cerca e quer cercar um campo retangular que está na 
margem de um rio reto. Ele não precisa de cerca ao longo do rio. Quai são as dimensões do 
campo que tem maior área? 
 
2
2 2400
2400 2
. .(2400 2 ) 2 2400
' 4 2400
4 2400 0
4 2400
2400
600
4
x y
y x
A x y x x x x
A x
x
x
x x
 
 
     
  
  
  

  

 
2400 2.600
2400 1200 1200
 As dimensões seriam
para x=600unm e y=1200unm ou
720000 unm²
y
y
R
 
  

 
 
 
66) Uma lata cilíndrica é feita para receber um litro de óleo. Encontre as dimensões que 
minimizarão o custo do metal para produzir a lata. 
 
 
1 r². A= r²
2
1
r²
² 2 .
2 ² 2 .
At r
V
r h
At r r
l h
h
 





 

 
 
1
 r ²
   
1
2 ² 2.
r
2 2 ³ 2
2 ²
r r
. 6 ² 2 ³ 2 .1
'
²
At r
r
At r
r r r
A t
r



 
 

  
 

 
 
3
3
6 ³ 2 ³ 2 4 ³ 2
'
² ²
4 ³ 2
' 0 4 ³ 2 ².0
²
2 2
4 ³ 2 0 ³
4 4
1
0,54
2
1 1
1,09
r² 0,54 ²
r r r
A t
r r
r
A t r r
r
r r r
r
h h h
  



 

 
  
 

    
     
 
   
 
R: A dimensões são para r ~0,54 e para h~1,09 
67) Certo corpo movimenta-se segundo a função horária x(t) = 2.t3+ 4.t2 - 5 , sendo x 
dimensionado em metros e t em segundos. Com base nessa informação, determine a 
velocidade instantánea. 
 3
2
2
'( ) 6
) 2 4 5
8
(
x
x t t
t t
t
v t 


  
68) Algumas das aplicações mais importantes do cálculo diferencial são os problemas de 
otimização, em que devemos encontrar a maneira ótima (melhor maneira) de fazer alguma 
coisa. Encontre os máximos e mínimos relativos da função f(x)= x3 - 3x2 -24x + 32. 
2'( ) 3 6 24
:
' 2 '' 4
4
2
f x x x
raízes
x x
Máximo
Mínimo
  
   

 
 
69) Não existe nada que prove ao se tomar, sucessivamente, derivadas de uma função 
tantas vezes quantas forem necessárias, que as funções derivadas permanecem 
diferenciáveis em cada estágio. Conforme a afirmativa, determine as derivadas de todas as 
ordem da função polinomial f(x)=3x5 - 2 x4 + 5x² + 2x – 8 
 
4 3
3 2
2
'( ) 15 8 10 2
''( ) 60 24 10
'''( ) 180 48
''''( ) 360 48
'''''( ) 360
''''''( ) 0
f x x x x
f x x x
f x x x
f x x
f x
f x
   
  
 
 


 
70) Suponhamos que o óleo derramado através da ruptura de um navio-tanque se espalhe 
em uma forma circular cujo raio cresce a uma taxa constante de 2 pés/s. Com que velocidade 
a área do derramamento está crescendo quando seu raio for de 50 pés ? 
 
( ) 2. .2
(50) 4. (50)
(50) 4 .50
50 200 ² / 62
( ) 2
8,31 /
/ ²
' 2 .
²
taxa t pés s A r
A r
A r r
A
t
A
A pés s pes s










 


 
71) Um Engenheiro está projetando uma lata de refrigerante com a forma de um cilindro 
circular reto. Esse recipiente deve conter 330 ml. Determine as dimensões para as quais a 
quantidade de material usada seja a menor possível. 
330 r². Ab= r²
2 ² 2 .
2 ² 2 .
330
r²
V ml h
h
At r r h
At r r
 
 



 





330
 r ²
   
330
2 ² 2.
r
660 2 ³ 660
2 ²
r r
. 6 ² 2 ³ 660 .1
'
²
At r
r
At r
r r r
A t
r



 
 

  
 

 
 
3
3
6 ³ 2 ³ 660 4 ³ 660
'
² ²
4 ³ 660
' 0 4 ³ 660 ².0
²
660 660
4 ³ 660 0 ³
4 4
165
3,74
330 330
7,50
r² 3,74 ²
r r r
A t
r r
r
A t r r
r
r r r
r
h h h
  



 

 
  
 

    
     
 
   
 
R: As dimensões mínimas seriam para r=3,74cm e h=7,50 cm 
72) Uma carga de dinamite lança uma pedra pesada para cima com uma velocidade de 
lançamento de 160 m/seg. A pedra atinge uma altura de s(t) = 160t - 16t2 após t segundos e S 
(trajetória em metros). Encontre para qualquer instante t a velocidade da pedra e a altura 
máxima atingida pela pedra. 
2
' 160 32 .
160 16
160 32
5
.s t Eq da ve
t
l
s t
t
t
 





 
25.160 16.(5)
800 400
400
max
s
s
s m
altura ima
 
 

 
73) Podemos aplicar o desenvolvimento de técnicas com o uso de derivadas sucessivas, 
fazendo uma interpretação da segunda derivada, mostrando aplicações na Física e 
Economia, por exemplo.Seja s = 2t + 3t², para t > 0, a equação do movimento de uma 
partícula P, com s em metros e t em segundos. Determine a velocidade e a aceleração da 
partícula quando t = 5 segundos. 
22 3
' 2 6
2 6.5 32 /
'' 6
an
s t t
s t
velocidade m s
s
aceleracao
const te
 
 
   

 
74) Uma escada com 5 m de comprimento está apoiada em uma parede vertical . Se a base 
da escada desliza, afastando-se da parede a uma taxa de 1m/s, quão rápido o topo da 
escada está escorrendo para baixo na parede quando a base da escada está a 3m da 
parede? 
 . 1
( ) . o sinal de y é negativo
pois indica o sentido do movimento que é oposto
² ² ²
5² 3² ²
25 9 ²
² 9 25
16
3
.1 0, 75 /
4
4
x
Razão a t
y
Y H x y
y
y
y
y
substituindo
a m s
y




  
 
 
  

  

 
 Y HP=5m 
75) Uma partícula se desloca para cima e para a direita ao longo de uma curva y=lnx. Sua 
abcissa aumenta as uma taxa de dxdt=xms. A que taxa a ordenada varia no ponto (e2,3)? 
 
76) Calcule a área de um triângulo equilátero com vértice no ponto (0, 0) e os outros dois sobre a 
parábola Y = 2x2 
². 3
4
l
A 
 
77) O ar está sendo bombeado para dentro de um balão esférico e seu volume cresce a uma 
taxa de 100 cm3/s. Quão rápido o raio do balão esta crescendo quando o diâmetro for 50 cm? 
x=3m 
3
3
2
2
4 / 3. .
( ) 4 / 3. . .
'( ) 4 .
'( ) var
100 4 .100
1/ 25
4 .25.25
v r
f x r tx
f x r tx
f x taxade iaçãovolume
r tx
tx











 
 
78) O conceito de derivada pode ser utilizado como uma ferramenta matemática de 
relacionamento entre as dimensões comprimento, área e volume. 
R : Sim, pois atreves das derivadas alternamos de volumen para área e etc. 
 
 
79) Identifica-se a área de um terreno com dois lados iguais. Se o lado aumentar em 3%, 
qual será o aumento aproximado da área do terreno? 
 
 
² 3%
².
' 2 .
2 .3 0 2.3 6%
A l txa
A área txa aumento do terreno
A txa l txa
A l l txa
l l
 
 


   
 
80) O ar está sendo bombeado para dentro de um balão esférico e seu volume cresce a uma 
taxa de 100 cm3/s. Quão rápido o raio do balão esta crescendo quando o diâmetro for 50 cm? 
 
3
3
2
2
4 / 3. .
( ) 4 / 3. . .
'( ) 4 .
'( ) var
100 4 .
100
1/ 25
4 .25.25
v r
f x r tx
f x r tx
f x taxade iaçãovolume
r tx
tx











 
 
81) Despeja-se areia sobre o chão fazendo um monte que tem, a cada instante, a forma de 
um cone com diâmetro de base igual à altura. Quando a altura do monte é de 3 m, a taxa de 
variação com que a areia é despejada é de 0,01 m3/ min. Qual a taxa de variação da altura do 
monte quando esta for de 3 m? 
 
1
².
3
3
2 2
0,01 ³ / min
2
' .
3
v r h
d
r
tx m
Derivando
v r h



 


 
 
2
. .
3
2
10 . .
3
0,01 0,01
2 2
. 3.3
3 3
0,0005 / min
f tx r h tx
r h tx
tx tx
r h
tx m


 


  

 
 
82) Sabemos que a área de um quadrado é função do seu lado. Determinar: a) A taxa de 
variação média da área de um quadrado em relação ao lado quando este varia de 2,5 para 3 
m. b) A taxa de variação da área em relação ao lado quando este mede 4 m. 
² ' ( ) 2
1º cal. pede a variação entre valores
conhecidos e portanto o valor médio.
' (2,5) 2*2,5 5
' (3) 2*3 6
5 6
5,5 taxa média
2
A l A l l
A
A
M
   
  
  

 
 
2º cal. pede a taxa tendo um valor especifico;
' (4) 2*4 8 taxa de variaçãoA   
 
 
83) Uma cidade é atingida por uma moléstia epidêmica. Os setores de saúde calculam que o 
número n de pessoas atingidas pela moléstia depois de um tempo t (medido em dias a partir 
do primeiro dia de epidemia) é, aproximadamente, dado por n = 64 – t³/3 . 
a) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo t = 4? 
b) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo t = 8? 
c) Quantas pessoas serão atingidas pela epidemia no 5° dia? 
 
³
64
3
3
' 64
t
n t
n
 
 
²
3
t
' 64 ²n t  
 
( 4) 64 4² 48
( 8) 64 8² 0 o que indica fim da epidemia
( 5) 64 5² 39 
n t pessoas por dia
n t pessoas
n t pessoas
   
   
   
 
 
84) Um quadrado de lado l está se expandindo segundo a equação l = 2 + t2, onde a 
variável t representa o tempo. Determinar a taxa de variação da área desse quadrado quando 
t = 2. 
 
 
 
 
² 2 ² ²
' 2. 2 ² .2
' 4 ³ 8
' 2 4.2³ 8.2 48
A l A t
A t t
A t t
A un a
   
 
 
  
 
 
85) Acumula-se areia em um monte com a forma de um cone onde a altura é igual ao raio da 
base. Se o volume de areia cresce a uma taxa de 10 m3/h, a que razão aumenta a área da 
base quando a altura do monte é de 4 m? 
 
 
  5 /
5
:
2 2 2
. .
5 5 5
2. 2 5 2 2
5 5 5 5
3 2
5 5
v x m s
deslocamento
dt x y
dt y
y razão de
y
y x y
x y
y x y y x
y
y x

 
 

   


   

10
15
10
x
y
y


15
x 2.
3
5
2.5 10
/
3 3
x
y
Substituindo x temos
y y m s
 

  
 
2
4 4
10 ³ /
1 12
². (
3 3
, ),
1 12 3
.
3 3
3
'
3
Ab r r m h m
tx m h
V r h r r substituindo
o h por r pois h r temos
V r r r
V

 
 
   

 

 

 
2 2
´ 10
2
10 .
10
2
r r
V tx
r tx
tx
r
 






 
' 2
e como a taxa esta em proporção 
da área
da base temos
' 2
Derivando a Ab temos
A b r r
A r


 

10
.
 2r
20
20
5 ² /
4
r
tx m h

 
 
 
 
86) Uma lâmpada é colocada em um poste que está a 5m de altura. Se um homem de 2m 
de altura caminha afastando-se do poste à razão de 5m/s: a) com que velocidade se alonga a 
sombra? b) a que razão se move a extremidade do homem? 
 
 
 
 
 
. : A sombra se alonga a taxa de 
10
/
3
.: E o deslocamento do homem se da:
10 15 10
dt=5+y 5+
3 3
25
/
3
R
m s
R
dt m s

 
