11. Inferência para Duas Populações - Parte IV

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25/09/2013 
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Inferência para Duas Populações 
Parte IV 
Luis A. Toscano 
Est-UFMG 
Diferenças entre Proporções 
• Supondo que duas amostras independentes foram retiradas, uma de cada 
população; 
• Seja x1 o número de sucessos obtidos em uma amostra de n1 observações e x2 o 
número de sucessos em uma amostra de n2 observações, assim obtemos as 
estimativas pontuais das proporções: 
 Estimador pontual de p1 - p2 
 21 ˆˆ pp













 



2
22
1
11
2121
)1()1(
),(~ˆˆ
n
pp
n
pp
ppNormalpp
A distribuição desta diferença de proporções será aproximada pela Normal 
2
2
2
1
1
1
ˆˆ
n
x
pe
n
x
p 
A diferença entre as duas proporções amostrais é dada por 
Diferenças entre Proporções 
Em forma geral uma estimativa por intervalo assumirá a seguinte forma 
2
22
1
11
2/21
)1()1(
ˆˆ
n
pp
n
pp
zpp



 
Em que (1 - ) é o coeficiente de confiança. 
Uma estimação por intervalo assumirá a seguinte forma: 
 21 ˆˆ pp
Margem de erro 
Usando as proporções amostrais a margem de erro é a seguinte: 
21
ˆˆ pep
2
22
1
11
2/
)1()1(
n
pp
n
pp
z




Margem de erro = 
• Consideremos que as duas amostras foram retiradas, uma de cada uma das 
populações. 
• O tamanho das amostras aleatórias independentes n1 e n2 podem, 
eventualmente ser iguais; 
• Queremos testar: 
211
210
:
:
ppH
ppH


H0 As proporções populacionais são iguais; 
H1: As proporções populacionais não são iguais 
• As hipóteses em termos das proporções populacionais p 1 e p2 ; 
Teste de Hipóteses sobre Diferenças entre Proporções 
• As três formas de um teste de hipóteses são as seguintes: 
211
210
211
210
211
210
:
:
:
:
:
:
ppH
ppH
ppH
ppH
ppH
ppH






21
21ˆ
nn
xx
p



• Sendo a hipótese nula verdadeira, as proporções populacionais são iguais, 
denotando seu valor comum por p, isto é, p1 = p2 = p 
• Podemos obter um estimador para p 
Teste de Hipóteses sobre Diferenças entre Proporções 
• Neste caso o estimador do desvio padrão amostral torna-se: 











212
22
1
11
ˆˆ
11
)ˆ1(ˆ
)1()1(
21 nn
pp
n
pp
n
pp
pp
21
ˆˆ pp 
• A estatística de teste para testes de hipóteses para testes de hipóteses sobre p1 – 
p2: 
 









21
21
11
)ˆ1(ˆ
ˆˆ
nn
pp
pp
z
Teste de Hipóteses sobre Diferenças entre Proporções 
• Essa estatística de teste aplica-se a situações com grandes amostras, em que 
)1(),1(, 22221111 pnepnpnpn 
Exemplo: Considere 56 sucessos obtidos em uma amostra de 80 observações e 38 
sucessos em outra amostra de 80 observações. Ao nível 0,01 de significância, o que 
podemos concluir sobre a seguinte afirmação que > ? 
80
56
1
ˆ p 80
38
2
ˆ p
são todas maiores ou iguais a 5. 
25/09/2013 
2 
211
210
:
:
ppH
ppH


Se  = 0,01 temos que o ponto critico z = 2,33 
Substituindo os valores x1 = 56, x2 = 38, n1= 80 e n2= 80 obtemos 
As hipóteses são como segue: 
5875,0
8080
3856
ˆ 


p
A estatística do teste observado 
 
89,2
80
1
80
1
)4125,0(5875,0
11
)ˆ1(ˆ
ˆˆ
80
38
80
56
21
21 


















nn
pp
pp
zob
Como zob = 2,89 maior do que z=2,33, rejeitamos H0, então podemos afirmar que p1 
> p2. 
Teste de Hipóteses sobre Diferenças entre Proporções 
• Uma empresa que presta serviços de assessoria econômica a outras 
empresas está interessada em comparar a taxa de reclamações sobre os 
seus serviços em dois dos seus escritórios em duas cidades diferentes. 
• Suponha que a empresa tenha selecionado aleatoriamente 100 serviços 
realizados pelo escritório da cidade A e foi constatado que em 12 deles 
houve algum tipo de reclamação. 
• Já do escritório da cidade B foram selecionados 120 serviços e 18 receberam 
algum tipo de reclamação. 
• A empresa deseja saber se estes resultados são suficientes para se concluir 
que os dois escritórios apresentam diferença significativa entre suas taxas 
de reclamações. 
Exemplo: Diferença entre Proporções 
• Acredita-se que a proporção de pacientes que apresentam complicações 
após um tipo de cirurgia é de 5% enquanto que a proporção de pessoas que 
têm complicações após um segundo tipo de cirurgia é de 15%. 
• Deseja-se fazer uma pesquisa com o intuito de comprovar estatisticamente 
que o primeiro tipo de cirurgia é mais eficiente que o segundo. 
• Uma amostra de 152 pacientes foi obtida em cada grupo. 
Exemplo: Diferença entre Proporções