EP9_MetEstI_Tutor

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ME´TODOS ESTATI´STICOS I
EXERCI´CIO PROGRAMADO 9
2o Semestre de 2015
Prof. Moise´s Lima de Menezes
Versa˜o Tutor
1. Dado P (A) = 1
2
, P (B) = 1
3
e P (A ∩B) = 1
4
. Determine:
a) P (A ∪B) ; b) P (A|B) ; c) P (B|A) ;
d) P [(A ∪B)|B] e) P (A|B) ; f) P (B|A) .
2. Assuma o experimento “lanc¸ar dois dados e verificar as faces voltadas para cima” onde x1 repre-
senta a face do dado 1 e x2 representa a face do dado 2 e sejam os eventos:
A = {(x1, x2)|x1 + x2 = 8} ;
B = {(x1, x2)|x1 = x2} ;
C = {(x1, x2)|x1 + x2 = 10} ;
D = {(x1, x2)|x1 > x2} ;
E = {(x1, x2)|x1 = 2x2} .
Determine:
a) P (A|B) ; b) P (C|D) ; c) P (D|E) ; d) P (A|C) ; e) P (C|E) ; f) P (C|A) ;
g) P (A|D) ; h) P (B|C) ; i) P (A|E) ; j) P (B|E) ; l) P [A|(B ∩ C)] ;
m) P [(A ∩B)|(C ∩D)] .
3. Em um grupo de 15 pessoas, temos a seguinte configurac¸a˜o:
Homens Mulheres
Menores 5 3
Adultos 5 2
Uma pessoa e´ escolhida ao acaso. Pergunta-se:
a) Qual a probabilidade de ser homem?
b) Qual a probabilidade de ser adulto?
c) Qual a probabilidade de ser uma mulher menor?
d) Sabendo-se que foi escolhido um adulto, qual a probabilidade de ser homem?
e) Dado que foi escolhida uma mulher, qual a probabilidade de ser menor?
f) O fato de escolher uma mulher depende de a pessoa ser adulta?
4. Certo aparelho eletroˆnico tem duas laˆmpadas que podem estar acesas ou apagadas, com probabili-
dades como mostra a tabela abaixo:
1
Laˆmpada 1
Acesa
Apagada
Laˆmpada 2
Acesa Apagada
0,15 0,45
0,10 0,30
a) O fato “laˆmpada 1 acesa” e´ independente de “laˆmpada 2 acesa”?
b) O fato “laˆmpada 1 apagada” e´ independente de “laˆmpada 2 acesa”?
c) Qual a probabilidade de uma laˆmpada estar acesa enquanto a outra esta´ apagada?
5. (AD2 - Questa˜o 3)* - (2,5 pontos) Em um lote de 12 pec¸as, 4 sa˜o defeituosas. Sendo retiradas
2 pec¸as sem reposic¸a˜o, determine a probabilidade de
a) ambas serem defeituosas;
b) ambas na˜o serem defeituosas;
c) pelo menos uma ser defeituosa.
2
Soluc¸o˜es:
1.
a)
P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B) = 1
2
+
1
3
− 1
4
=
6 + 4− 3
12
=
7
12
.
b)
P (A|B) = P (A ∩B)
P (B)
=
1/4
1/3
=
1
4
× 3
1
=
3
4
.
c)
P (B|A) = P (A ∩B)
P (A)
=
1/4
1/2
=
1
4
× 2
1
=
2
4
=
1
2
.
d)
P [(A ∪B)|B] = P [(A ∪B) ∩B]
P (B)
Pela propriedade (6.13) da aula 6,
(A ∪B) ∩B = B.
Assim:
P [(A ∪B)|B] = P [(A ∪B) ∩B]
P (B)
=
P (B)
P (B)
= 1.
e)
P (A|B) = P (A ∩B)
P (B)
=
P (A ∪B)
1− P (B) =
1− P (A ∪B)
1− P (B) =
1− 7/12
1− 1/3 =
5/12
2/3
=
5
12
× 3
2
=
15
24
=
5
8
.
f)
P (B|A) = P (A ∩B)
P (A)
=
P (A ∪B)
1− P (A) =
1− P (A ∪B)
1− P (A) =
1− 7/12
1− 1/2 =
5/12
1/2
=
5
12
× 2
1
=
10
12
=
5
6
.
2.
O espac¸o amostral do lanc¸amento de dois dados e´:
3
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
Ω= (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
Logo:
#Ω = 36.
O evento A e´ o conjunto:
A = {(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)}
Logo:
#A = 5 e P (A) = 5
36
.
O evento B e´ o conjunto:
B = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}
Logo:
#B = 6 e P (B) = 6
36
.
O evento C e´ o conjunto:
C = {(4, 6), (5, 5), (6, 4)}
Logo:
#C = 3 e P (C) = 3
36
.
O evento D e´ o conjunto:
D = {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5)}
Logo:
#D = 15 e P (D) = 15
36
.
O evento E e´ o conjunto:
E = {(2, 1), (4, 2), (6, 3)}
Logo:
#E = 3 e P (E) = 3
36
.
A seguir, vemos diversas intersec¸o˜es:
A∩B = {(4, 4)}, A∩C = ∅, A∩D = {(5, 3), (6, 2)}, A∩E = ∅, B∩E = ∅, B∩C = {(5, 5)},
C ∩D = {(6, 4)}, C ∩E = ∅, D∩E = {(2, 1), (4, 2), (6, 3)}, A∩B∩C = ∅, A∩B∩C ∩D = ∅.
Como consequeˆncia temos as respectivas probabilidades:
P (A∩B) = 1
36
, P (A∩C) = 0, P (A∩D) = 2
36
, P (A∩E) = 0, P (B∩E) = 0, P (B∩C) = 1
36
,
P (C ∩D) = 1
36
, P (C ∩ E) = 0, P (D ∩ E) = 3
36
, P (A ∩B ∩ C) = 0, P (A ∩B ∩ C ∩D) = 0.
4
De posse destas informac¸o˜es, podemos resolver os itens desta questa˜o:
a)
P (A|B) = P (A ∩B)
P (B)
=
1/36
6/36
=
1
6
.
b)
P (C|D) = P (C ∩D)
P (D)
=
1/36
15/36
=
1
15
.
c)
P (D|E) = P (D ∩ E)
P (E)
=
3/36
3/36
= 1.
d)
P (A|C) = P (A ∩ C)
P (C)
=
0
3/36
= 0.
e)
P (C|E) = P (C ∩ E)
P (E)
=
0
3/36
= 0.
f)
P (C|A) = P (A ∩ C)
P (A)
=
0
5/36
= 0.
g)
P (A|D) = P (A ∩D
P (D)
=
2/36
15/36
=
2
15
.
h)
P (B|C) = P (B ∩ C)
P (C)
=
1/36
3/36
=
1
3
.
i)
P (A|E) = P (A ∩ E)
P (E)
=
0
3/36
= 0.
j)
P (B|E) = P (B ∩ E
P (E)
=
0
3/36
= 0.
l)
P [A|(B ∩ C)] = P (A ∩B ∩ C)
P (B ∩ C) =
0
1/36
= 0.
m)
P [(A ∩B)|(C ∩D)] = P (A ∩B ∩ C ∩D)
P (C ∩D) =
0
1/36
= 0.
5
3.
Sejam os eventos:
H : homem; M : mulher; Me : menor; A : adulto.
a)
P (H) =
#H
#Ω
=
10
15
=
2
3
.
b)
P (A) =
#A
#Ω
=
7
15
.
c)
P (M ∩Me) = #(M ∩Me)
#Ω
=
3
15
=
1
5
.
d)
P (H|A) = P (A ∩H)
P (A)
=
5/15
7/15
=
5
7
.
e)
P (Me|M) = P (M ∩Me)
P (M)
=
3/15
5/15
=
3
5
.
f) Para que A e M sejam independentes e´ necessa´rio que:
P (A)P (M) = P (A ∩M)
No nosso caso. P (A) = 7
15
, P (M) = 5
15
= 1
3
e P (A ∩M) = 2
15
.
P (A)P (M) =
7
15
× 1
3
=
7
45
.
Podemos observar que:
7
45
6= 2
15
.
Logo:
P (A)P (M) 6= P (A ∩M)
Consequentemente A e M na˜o sa˜o independentes. Logo: SA˜O DEPENDENTES.
4.
Sejam os eventos:
L1 : laˆmpada 1 acesa; L2 : laˆmpada 2 acesa; L1 : laˆmpada 1 apagada e L2 : laˆmpada 2
apagada.
a probabilidade de a laˆmpada 1 estar acesa e´ a probabilidade de ela estar acesa estando a laˆmpada 2
acesa ou apagada. O racioc´ıcnio estende-se aos demais casos.
Assim:
P (L1) = 0, 60 , P (L2) = 0, 25 , P (L1) = 0, 40
a)
6
P (L1 ∩ L2) = 0, 15.
P (L1)P (L2) = 0, 60× 0, 25 = 0, 15.
Como P (L1 ∩ L2) = P (L1)P (L2) , enta˜o L1 e L2 SA˜O INDEPENDENTES.
b)
P (L1 ∩ L2) = 0, 10.
P (L1)P (L2) = 0, 40× 0, 25 = 0, 10.
Como P (L1 ∩ L2) = P (L1)P (L2) , enta˜o L1 e L2 SA˜O INDEPENDENTES.
c)
P [(L1 ∩ L2) ∪ (L1 ∩ L2)] = 0, 45 + 0, 10 = 0, 55.
7