Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ATIVIDADE DE ESTUDO II - 30/11/2015 UNICESUMAR EAD – ENGENHARIA DE PRODUÇÃO ���� ����� �� �� � �����í��� ������ �� ���� �������� � ���� �çã� ����í�� � �� � ��� � ������ . � ������� �� ���� �çã� �� ���çõ�� �� á���� ���á ��� é �� �� ���� � � �������� ����� � ��� ���á �� ��� ��, �� ������ �ã� �� ���� ���� ���� �� �� �, �� �� � ���� �����ℎ��, ��� � ���á �� �� �� ���� ���� ����, ���� ���� ���� �ã� 0. ��� ������ ��, ���� ������ ���� �� ����� �� �� � �� ���� �� ����� �� � ��çã� � ���� �� ����� ��� � �� ���� ����� �. ���� ��� ��� �, ������ �� �� ���� � �� �� � ����� �� � �� �� ��� ���� ����� �� � ��çã�. �$� + 3�'$ − '� = �$ − ' → �$� − '� = �$ − 3�'$ − �$� +���� �� ���� ���� �� � ���� �� ����� ��� � � � ���� ���� � ��� �, � ������� ���� ��� ��������� ���� �� ����� �� ���� �� �����. �� �� ∙ -2�� − '/ = 2� − 3'$ − �$ − �����0�� �� �� ���� �� ����� ���� �� � �� ��çã� ��� �, ������������ � � ' ���� ���� �� ��, � �� ���� ����� � ���� �� ��� �, ������������ ' � � ���� ���� �� ��. +���� �ó ���� �� ������ ���� : �� �� ∙ -2�� − '/ = 2� − 3'$ − �$ → �� �� = 2� − 3'$ − �$ 2�� − ' = �3-�, '/ +���� ���� �� ���� �� ���' , � �������� � ����� ���������� �: �$� + 3�'$ − '� = �$ − ' → �$� − '� = −' + 3�'$ − '� �� �' -2�� − '/ = −1 + 6�' − � → �� �' = − 1 + 6�' − � 2�� − ' = �6-�, '/ ��� �0 ����� � � �� ������� � �� � -∇�/ ���� �� ����� �3-�, '/ ∙ 89 + �6-�, '/ ∙ :9, 89 � :9 ������� �� �� ���çõ�� �ã� � ������. ∇�-�, '/ = �3-�, '/ ∙ 89 + �6-�, '/ ∙ :9 → ∇�-�, '/ = 2� − 3' $ − �$ 2�� − ' 89 − 1 + 6�' − � 2�� − ' :9 + � ��çã� �� �� ����� ����� � à ��� ������í��� é ���� ���: �3-�/ ∙ -� − �</ + �6-�/ ∙ -' − '</ + �=-�/ ∙ -� − �</ = 0 ���� �� � �����í��� ���� �� �-1,1,1/, ��� �< = 1, '> = 1 � �< = 1. ?��� �-�, '/ = �, ���� �< = 1, � �² + '² − 1 = �. ������� �� ã� �����: � = �² + '² − 1 → 1 = �² + '² − � �3-�, '/ = 2� → �3-1,1/ = 2 ∙ 1 = 2 �6-�, '/ = 2' → �6-1,1/ = 2 ∙ 1 = 2 �=-�, '/ = −1 2 ∙ -� − 1/ + 2 ∙ -' − 1/ + -−1/ ∙ -� − 1/ = 0 → 2� + 2' − � − 3 = 0 → 2� + 2' − � = 3 ?��� �-�, ', �/é ��� ���çã� ������ �, � ���� �� �$ + '$ + �$ − 1 ≠ 0, ���� �ã� ���� � �� ��ã� ��� 0. �$ + '$ + �$ − 1 ≠ 0 → �$ + '$ + �$ ≠ 1 − �� � é � ���í��� �� �-�, ', �/. B� ���� � ���� − �� �0��� �� �� �-�, '/ é ��� ���çã� ������ � � ����� ���� ��� ��í� �������, �� ��C�, � ���� �� �$ − ' − 1 �ã� ���� ��� 0, � �� �� ��� ���� � �. �$ − ' − 1 > 0 → �$ > 1 + ' − �� á � ���í��� �� �-�, '/ E� ������� � � ��çã� �$ = 1 + ', ������ �� �� � − �� �� ��� ���á0��� �� ����� �� ���� ' -��ℎ� �� ����� �� F++G �í/. H ����, �� ��������: �$ = 1 + ' → ' = �$ − 1 − ������í��� �� �� � = 0, ' = 1 � ���� ' = 0, � = ±1 J���� ��������� �� ã� ������ ��� �� �� ���á0��� � ������� ��0�ç�� � ��� ��á����, ����� ���� �� �� �� � ���í��� �� á ��� �� ��� � ���á0��� �� ���� ����, ���� �� � 0�� � �� ����� ������ ��� ��: K�� �� �� ���á0��� − �L → � = 0 → 0$ − 1 = −1, ���� �� ���í��� �� �-�, '/, ���� � � ����� ��� �� � ��çã� �� �� ��� ����� �� ����. M��� �� ���á0��� − �$ → � = 2 → 2$ − 1 = 4 − 1 = 3, ��� �� �� ���í��� �� �-�, '/. J���� �� ã� �� � ��� � �-2,3/��� ��� � �� ���í��� �� �-�, '/ � �� á �� ���� �� ���� �� ���á0��� �$ = 1 − '. O���� �������� �������� �� �ê� ���� ���� �������� �� �������� ����� �� �-�, ', �/. G��0����� �� ����� ���� ���� ��� ��� ���á �� �� ������ �ã� ������������ ���� �� ��. �3-�, ', �/ = cos-�/ ∙ �= �6-�, ', �/ = ���-'/ ∙ �= �=-�, ', �/ = �= ∙ T���-�/ − cos-'/U +���� � �����í��� ��� ���� ���� �� �� �� ������ �� ���� ���� �� ������� �����: �==, �36 � �63 . �= = �= ∙ T���-�/ − cos-'/U → �== = �= ∙ T���-�/ − cos-'/U �3 = cos-�/ ∙ �= → �36 = 0 �6 = ���-'/ ∙ �= → �63 = 0 � �����í��� ��� ���� ���� �������� �-�, '/ ��� � �� ��� ���í���, ���� � � ��� ��������. ������� � ���í���, ���� �-�, '/ é ��� ���çã� ������ �, �� ã� �$ − '$ ≠ 0, �� é � ����� �� �$ ≠ '$. �� ��C�, � � ' �ã� ����� ��� ������. +���� ���� �������� � ���� � �� �-�, '/, � ���� � �� ��� ���çã� �� á���� ���á ��� �ó ���� � �� � ���� � ��� ���� ���á ��� ����� ������. ���� ���� ���� �� �� �-�, '/, ��� ���á �� ��� ��: lim3→< �' + �$ �$ − '$ → lim3→< 0' + �$ 0$ − '$ = − �$ '$ lim6→< �' + �$ �$ − '$ → lim6→< 0� + �$ �$ − 0$ = �$ �$ = 1 ?��� �� ���� �� �ã� ������� ��, lim3,6→<,< �' + �$ �$ − '$ �ã� ���� �. ���� �� ��� ���çã� ��C� ��� í���, ��� �� � ��� � ����� �ê� �� ���� ��: → lim3,6→-3Y,6Y/ �� � ���� ��; → �-�, '/ �� �� ��� �������� �� -�<, '</; → lim3,6→<,<�-�, '/ = �-�<, '</. ?��� � ���� � �� �, ' = 0,0 �ã� ���� � � �-�, '/�ã� é �������� ��� �� �� �$ = '$, ������� − �� �� �-�, '/�ã� é ��� í���. ���� ����� �� ������, ���� � = �[ ∙ cos- / � ' = �[ ∙ ���- /, ���� ��: �� � = �� �� ∙ �� � + �� �' ∙ �' � O���� ����� ��� ��� ��� � ���� �ã� ��������� � ������ C�� ���� ���. �� � = Tcos - / − ���- /U ∙ �[ �� �� = 2� = 2 ∙ T�[ ∙ cos- /U �' � = T���- / − ���- /U ∙ �[ �� �' = 2' = 2 ∙ T�[ ∙ sen- /U +���� ��0� � ����� ���� ∙ �� � ����: Tcos - / − ���- / ∙ �[U ∙ 2 ∙ T�[ ∙ cos- /U → T2 ∙ �$[U ∙ T���$- / − ���- / ∙ cos- /U ��0� � ����� ���' ∙ �' � ����: Tcos- / ∙ �[U ∙ 2 ∙ T�[ ∙ ���- /U → T2 ∙ �$[U ∙ T���$- / + ���- / ∙ cos- /U ^�� ���� ���, ��� = �� �� ∙ �� � + �� �' ∙ �' � : �� � = T2 ∙ �$[U ∙ T���$- / − ���- / ∙ cos- /U + T2 ∙ �$[U ∙ T���$- / + ���- / ∙ cos- /U → �� � = T2 ∙ �$[U ∙ T−���- / ∙ cos- /U + T2 ∙ �$[U ∙ T���- / ∙ cos- /U → �� � = T2 ∙ �$[U ∙ _T���$- / + ���$- /U + T���- / ∙ cos- / − ���- / ∙ cos- /U` → �� � = T2 ∙ �$[U ∙ T1 + 0U → �� � = 2 ∙ �[ + ��, �ó� ���� � ����� ���� �� ���� �çã� ����í�� � �� �������� ��� ã�. B� ���� � �� ���� ������� ���� �� ����� ��� � �� ���� �� ����� � ���� �� ����� ��� � �� �� ���á ��, � �� ' ���������� �� ����, �� ���� ����� � � �������� ��� � ���� �çã� �� ���� ���. G��0����� �� �� � − �� ��������� � ���� a=a? à ���� �� ����s �� � ���� ����. �������� ���� ���� �� ��� �, ����: �$ − �$ + 2' − 1 = 0 → �$ = �$ − 2' + 1 �� �� 2� = 2� → �� �� = 2� 2� = � � +���� ���� ���� ��� ', ���': �$ − �$ + 2' − 1 = 0 → �$ = �$ − 2' + 1 �� �' 2� = −2 → �� �' − 2 2� = − 1 � � �����í��� ��0é� ��� ���� ���� �������� �� ���� ���� �� ������� ����� �� �33 � �66. ���� ����, �������� ���� �0 �� � ���� �� � = �-�, '/: �$ − �$ + 2' − 1 = 0 → �$ = �$ − 2' + 1 → � = ±c�$ − 2' + 1 = �-�, '/ +���� ���� �������� �33: �3 = �� → ��� = 1 ∙ � − � ∙ �����$ → � − � ∙ ���$ → � − �$��$ → �$ − �$��$ = �$ − �$ � ∙ 1 �$ → �$ − �$ �d E�0� � ����� �� ������ �� � �� ���� ��� ����: �$ − �$ �d = e±c�$ − 2' + 1f$ − �$ e±c�$ − 2' + 1fd → �$ − 2' + 1 − �$ e±c�$ − 2' + 1fd → 1 − 2' �d = �33 ���� �66: �6 = − 1� → �66 = 0 ∙ � − 0 ∙ 0 �$ = 0 � = 0 = �66 O���� �������� ���� ������çã� ����������� �. g − O� �� F������ �: ���� �0 ����� � � �� ������� �� ���� �� �����: ∇�-�, '/ = �389 + �6:9. �3-�, '/ = −sen-x/ �6-�, '/ = cos-'/ ∇�-�, '/ = −���-�/89 + cos-'/ :9 → ∇�-�, '/ = -−���-�/, cos-'// gg − K��� ��� ���������� �� �-0,0/ � �i9 = -1,1/: + ���� ��� ���������� é ���� ��� Kjii9�-�, '/ = ∇�-�, '/ ∙ �i9, ����� �� �i9 �� �� ��� �� � �� ��� á���, ��� |�i9| = 1. ?��������� � �ó���� �� �i9 ����: |�i9| = c1$ + 1$ = √1 + 1 = √2, �� ��C�, �i9 �ã� é ��� á���. O���� �0 �� 9, � �� ��� á��� �����, 9 = �i9|�i9| = 1, 1 √1$ + 1$ = � 1 √2 , 1 √2� = 9 H� ã� ������ Kjii9�-�, '/ = ∇�-�, '/ ∙ 9: Kjii9�-�, '/ = T−���-�/89+ cos-'/ :9U ∙ m 1√2 + 1 √2n = − ���-�/ √2 + cos -'/ √2 = −0 + 1 √2 = 1 √2 ggg − ��� �� ��í ����. ?����������� � ���í��� ���� �� �, ' o T– q, qU, ���� �������� �� ��� �� ��í ����. ���� �0 �� �� ��� �� ��í ���� 0�� � ������� ��� ���� ���� à ����: �3-�, '/ = 0 � �6-�, '/ = 0 �3-�, '/ = −���-�/ → −���-�/ = 0, � = ±q �� � = 0 �6-�, '/ = cos-'/ → cos-'/ = 0, ' = ± q2 gO − H ��çã� �� ����� ����� � �� � = e0, q 2 , 1f . Como vimos no segundo exercício, a equação do plano tangente é dada por �3-�/ ∙ -� − �</ + �6-�/ ∙ -' − '</ + �=-�/ ∙ -� − �</ = 0, � ���� � e0, q 2 , 1f , com x< = 0, '< = q2 , � �< = 1. ?������� Cá ����, �-�, '/ = cos-�/ + ���-'/ → � = cos-�/ + ���-'/ 0 ) cos-�/ % ���-'/ ( � �: �3-�/ ) 0 �6-�/ ) 0 �=-�/ ) (1 0 ∙ -� ( 0/ % 0 ∙ -' ( 0/ % -( O (|á���� ����� �� � e0, �-�, '/�ã� � ) Iq �� � ) 0 �$ e(q, q 2f , �d e0,( q 2f , �} e0 0�� � �������� �-�, '/ �� ���� �-�L/ ) (1 ( 1 ) (2 �-�$/ ) (1 % 1 ) 0 �-�d/ ) 1 ( 1 ) 0 �-�}/ ) 1 % 1 ) 2 �-�~/ ) (1 ( 1 ) (2 �-�/ ) (1 % 1 ) 0 10ª QUESTÃO ALTERNATIVAS A,B C,D -(1/ ∙ -� ( 1/ ) 0 → (� % 1 ) 0 → (� ) (1 → e q 2 f . ?��� Cá ���� �� ������ � � gg, �� ��� �� 0 � ' ) Iq2 , �� ����� ��� ����� �� ���� �L e0, q2 f , �~ eq,( q 2f� � eq, q 2f . ���� ����� ��� ���� �� ��� ��� �� �����:cos-x/%sen-y/ → � ) 1 ��� �� ��í � �� �� e(q,(q2f , � ��� � �á���� E,F ���� ����� ��� �� ��� �� �� �í �� �� ��� ���çã� 0�� � ���������� � ���çã� à ��� ���� �� �, �� ���� ��� � �����í��� ���� ���� ���� �� ��, �L = 5 � �$ = 15, �� ã�: �-�, '/ = 5 → �² + 4'² = 5, �0��� �� �� ���� � ��çã� �������� � ��� ������ -��ℎ� �� ����� �� F++G �í �� �� �/, � ���� ��� ����� � �� ������ � �����: �$ + 4'$ = 5 → �$5 + 4'$ 5 = 5 5 → �$ 5 + '$ 54 = 1 → �²√5$ + '$ √52 $ = 1 H� ã� �$ + 4'$ = 5 �� � − �� �� ��� ������ ��� ���� ����� �� �, �� �� �� ��� � −√5 � é √5, �� ≅ -−2.2/� é ≅ 2.2. � ���� �� ' ���� �� �� − √52 � √5 2 , �� ≅ -−1.1/� é ≅ 1.1. ���� �-�, '/ = 15 ���� �� �$ + 4'$ = 15, �� ���� � ��� ������ ��� � � ��çã�: �$ + 4'$ = 15 → �$15 + 4'$ 15 = 15 15 → �$ 15 + '$ 154 = 1 → �$√15$ + '$ √152 $ = 1 ������� �0��� �� �� �� �� � �� ��� ������ ��� ���� ����� �� �, �� �� �� − √15, ≅ -−3.9/, à √15, ≅ 1.9. � ���� ' �� �� − √152 , ≅ -−1.9/, à √15 2 , ≅ 1.9. ê á ú, − @. .
Compartilhar