Apostila - Teoria das Estruturas 1

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TEORIA DAS ESTRUTURAS I 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ENGENHARIA CIVIL PROFESSOR RAFAEL JANSEN 
 
 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
1. DEFINIÇÕES DE ESTRUTURA .......................................................................................................... 1 
1.1. INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 1 
1.2. REQUISITOS IMPORTANTES ................................................................................................................ 2 
1.2.1. Processo de Projeto de Estruturas ...................................................................................... 2 
1.2.2. Estruturas de Edificações ................................................................................................... 2 
2. ELEMENTOS ESTRUTURAIS ............................................................................................................ 3 
2.1. INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 3 
2.1.1. Definições Básicas .............................................................................................................. 3 
2.2. TIPOS DE ELEMENTOS ESTRUTURAIS .................................................................................................... 3 
2.2.1. Estruturas lineares .............................................................................................................. 4 
2.2.2. Estruturas de superfície ...................................................................................................... 7 
2.2.3. Estruturas de volume........................................................................................................ 10 
2.3. NOMENCLATURA PARA OS ESFORÇOS ................................................................................................. 11 
2.4. SEQUENCIA DE VERIFICAÇÃO ............................................................................................................. 12 
2.5. CONVERSÃO DE UNIDADES MAIS USUAIS ............................................................................................. 13 
3. ESTÁTICA DOS CORPOS RÍGIDOS ................................................................................................. 14 
3.1. CORPO RÍGIDO .............................................................................................................................. 14 
3.2. FORÇAS QUE ATUAM SOBRE OS CORPOS RÍGIDOS .................................................................................. 14 
3.3. CLASSIFICAÇÃO DAS CARGAS ............................................................................................................. 15 
3.4. AÇÕES EXTERNAS ........................................................................................................................... 16 
3.5. DETERMINAÇÃO DAS FORÇAS EXTERNAS ............................................................................................. 17 
3.5.1. Modelo estrutural (ME) .................................................................................................... 17 
3.5.2. Diagrama de corpo livre (DCL) ......................................................................................... 17 
3.6. DETERMINAÇÃO DOS VALORES DAS AÇÕES .......................................................................................... 18 
3.6.1. Determinação da ação do vento ...................................................................................... 18 
3.6.2. Determinação das ações permanentes e das ações variáveis verticais ........................... 19 
3.7. FORMA DE DISTRIBUIÇÃO DAS AÇÕES NA ESTRUTURA ............................................................................. 20 
3.7.1. Carga concentrada ........................................................................................................... 20 
3.7.2. Carga distribuída .............................................................................................................. 21 
4. FENÔMENOS FÍSICOS ................................................................................................................... 23 
4.1. ESTRUTURA .................................................................................................................................. 23 
4.2. CAMINHO DAS FORÇAS .................................................................................................................... 24 
4.3. GEOMETRIA DOS ELEMENTOS ESTRUTURAIS ......................................................................................... 25 
4.4. TIPOS DE FORÇAS QUE ATUAM NAS ESTRUTURAS .................................................................................. 26 
4.4.1. Cargas permanentes ........................................................................................................ 27 
4.4.2. Cargas acidentais ............................................................................................................. 27 
5. EQUILÍBRIO DAS ESTRUTURAS ..................................................................................................... 28 
5.1. EQUILÍBRIO DAS ESTRUTURAS ........................................................................................................... 28 
5.2. ESTATICIDADE ............................................................................................................................... 28 
5.2.1. Equilíbrio estático externo ................................................................................................ 30 
5.2.2. Vínculos ............................................................................................................................ 32 
6. CONCEITO GERAL DE ESTRUTURAS .............................................................................................. 36 
6.1. DEFINIÇÃO DE ESTRUTURA ............................................................................................................... 36 
6.1.1. Conceitos Específicos de Estruturas.................................................................................. 36
6.2. ESFORÇOS OU AÇÕES ...................................................................................................................... 37 
6.2.1. Forças Aplicadas ............................................................................................................... 38 
6.3. OBJETIVO DA ANÁLISE ESTRUTURAL ................................................................................................... 39 
6.3.1. Estruturas Reticuladas ...................................................................................................... 39 
6.4. EQUILÍBRIO ESTÁTICO ..................................................................................................................... 40 
6.4.1. Grandezas Fundamentais ................................................................................................. 41 
6.4.2. Esforços Simples ............................................................................................................... 41 
6.4.3. Equações do Equilíbrio Estático ........................................................................................ 41 
6.5. ESQUEMAS E SIMPLIFICAÇÕES DE CÁLCULO ......................................................................................... 42 
6.6. REPRESENTAÇÕES DAS FORÇAS APLICADAS (CARREGAMENTO) ................................................................. 42 
6.7. VÍNCULOS ..................................................................................................................................... 44 
6.7.1. Apoios (ligações) ..............................................................................................................44 
6.7.2. Representação dos Apoios ............................................................................................... 44 
6.7.3. Representação dos Apoios: .............................................................................................. 45 
6.7.4. Representação de sistemas isostáticos: ........................................................................... 47 
6.8. REAÇÕES DE APOIO ........................................................................................................................ 47 
6.8.1. Sequência para obtenção das reações de apoio: ............................................................. 48 
6.9. CONVENÇÃO DE SINAIS POSITIVOS: .................................................................................................... 48 
7. LISTA DE EXERCÍCIOS: .................................................................................................................. 49 
8. ESFORÇOS INTERNOS SOLICITANTES – E.I.S ................................................................................. 51 
8.1. DEFINIÇÃO .................................................................................................................................... 51 
8.2. DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS INTERNOS .......................................................................................... 52 
8.3. ESQUEMATIZAÇÃO DOS ESFORÇOS INTERNOS ....................................................................................... 52 
8.4. REPRESENTAÇÃO ............................................................................................................................ 53 
8.5. CLASSIFICAÇÃO DOS ESFORÇOS ......................................................................................................... 53 
8.6. CONVENÇÃO DE SINAL .................................................................................................................... 55 
8.7. DIAGRAMA DOS ESFORÇOS – LINHAS DE ESTADO .................................................................................. 56 
8.8. DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS PARA O TRAÇADO DOS DIAGRAMAS – MÉTODO DAS EQUAÇÕES .................... 57 
8.9. RESUMO DOS ESFORÇOS .................................................................................................................. 58 
8.10. VIGAS GERBER .............................................................................................................................. 58 
8.11. VIGAS INCLINADAS ......................................................................................................................... 59 
8.12. CARREGAMENTOS DISTRIBUÍDOS AO LONGO DAS PROJEÇÕES................................................................... 60 
8.13. CARREGAMENTOS DISTRIBUÍDOS AO LONGO DA VIGA INCLINADA ............................................................. 62 
9. PÓRTICOS PLANOS ...................................................................................................................... 64 
9.1. INTRODUÇÃO ................................................................................................................................ 64 
9.2. PÓRTICOS SIMPLES ......................................................................................................................... 64 
9.3. PÓRTICOS COMPOSTOS ................................................................................................................... 66 
10. PÓRTICOS COM BARRAS CURVAS ............................................................................................ 69 
10.1. INTRODUÇÃO ................................................................................................................................ 69 
10.2. EIXOS CURVOS – ARCOS .................................................................................................................. 69 
10.3. CLASSIFICAÇÃO DOS ARCOS .............................................................................................................. 71 
11. TRELIÇAS PLANAS .................................................................................................................... 73 
11.1. INTRODUÇÃO ................................................................................................................................ 73 
11.2. LEI DE FORMAÇÃO DAS TRELIÇAS SIMPLES............................................................................................ 76 
11.3. ESTATICIDADE E ESTABILIDADE DAS TRELIÇAS ....................................................................................... 77 
11.4. DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS EM TRELIÇAS SIMPLES ISOSTÁTICAS – MÉTODOS DE ANÁLISE ........................ 82 
11.4.1. Método de Ritter .............................................................................................................. 82
11.4.2. Método dos Nós ............................................................................................................... 86 
11.4.3. Método de Maxwell-Cremona .......................................................................................... 87 
11.5. OBSERVAÇÕES GERAIS SOBRE AS TRELIÇAS ........................................................................................... 91 
12. FORÇAS MÓVEIS ...................................................................................................................... 93 
12.1. INTRODUÇÃO ................................................................................................................................ 93 
12.2. LINHA DE INFLUÊNCIA ..................................................................................................................... 93 
12.3. TREM-TIPO ................................................................................................................................... 94 
12.4. PRINCÍPIO DE MÜLLER-BRESLAU (PROCESSO CINEMÁTICO) ..................................................................... 94 
12.5. LINHAS DE INFLUÊNCIA PARA TRELIÇAS................................................................................................ 96 
12.6. MÉTODO DO AUMENTO-DIMINUIÇÃO ................................................................................................ 97 
12.7. VALORES MÁXIMOS PARA CARGAS MÓVEIS .......................................................................................... 97 
12.7.1. Momento máximo ............................................................................................................ 98 
12.7.2. Cortante máximo .............................................................................................................. 99 
 
APÊNDICE 
A. ETAPAS DO PROJETO ESTRUTURAL ............................................................................................ 101 
A.1. LANÇAMENTO E DISCRETIZAÇÃO ............................................................................................................ 101 
A.2. SIMULAÇÃO DA VINCULAÇÃO ................................................................................................................ 102 
A.3. VERIFICAÇÃO DA ESTATICIDADE ............................................................................................................. 103 
A.4. PRÉ-DIMENSIONAMENTO DOS ELEMENTOS .............................................................................................. 103 
A.5. COMPOSIÇÃO DO CARREGAMENTO ........................................................................................................ 103 
A.6. DETERMINAÇÃO DAS REAÇÕES DE APOIO ................................................................................................ 103 
A.7. DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS INTERNOS SOLICITANTES ........................................................................... 103 
A.8. VERIFICAÇÃO DA CAPACIDADE RESISTENTE DOS ELEMENTOS ........................................................................103 
A.9. DETALHAMENTO DA ESTRUTURA ........................................................................................................... 103 
B. DETERMINAÇÃO DAS CARGAS ATUANTES ................................................................................. 104 
B.1. CARGAS ATUANTES EM LAJES ................................................................................................................ 104 
B.1.1. Carga Permanente - g (peso próprio – PP) ............................................................................ 104 
B.1.2. Carga acidental – q (sobre carga – SC) .................................................................................. 104 
B.1.3. Carga total ............................................................................................................................. 105 
B.2. CARGAS ATUANTES NAS EXTREMIDADES DAS LAJES .................................................................................... 105 
B.2.1 Método dos Quinhões ............................................................................................................. 106 
B.3. CARGAS ATUANTES EM VIGAS ............................................................................................................... 107 
B.3.1. Cargas permanentes distribuídas .......................................................................................... 107 
B.3.2. Carga Permanente - g (peso próprio – PP) ............................................................................ 107 
B.3.3. Peso das paredes ................................................................................................................... 108 
B.3.4. Carga concentrada ................................................................................................................ 108 
B.3.5. Cargas acidentais ................................................................................................................... 108 
13. BIBLIOGRAFIA CONSULTADA ................................................................................................. 111 
 
 
 
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1. DEFINIÇÕES DE ESTRUTURA 
1.1. Introdução 
Estrutura é sistema de diversos elementos conectados para suportar uma ação ou 
conjunto de ações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.1: Exemplos de estruturas. 
 
 
• Projeto de Edificações: 
 
 Projeto Arquitetônico; 
 Projeto Estrutural; 
 Projeto de Fundações; 
 Projeto de Instalações; 
 Projetos Complementares. 
 
 
• Estrutura: 
 Parte Resistente da Edificação: Vigas, Pilares e Lajes. 
 
 
 
 
 
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1.2. Requisitos Importantes 
 
 Segurança; 
 Estética; 
 Comportamento em Serviço; 
 Economia; 
 Durabilidade; 
 Aspectos Ambientais. 
 
1.2.1. Processo de Projeto de Estruturas 
 
▪ Concepção da Estrutura; 
▪ Pré-Dimensionamento; 
▪ Análise estrutural; 
 Modelos teóricos da estrutura (ou modelos estruturais); 
 Ações; 
 Propriedades dos materiais; 
 Vinculações; 
 Resultados; 
▪ Modificações. 
 
1.2.2. Estruturas de Edificações 
As edificações se desenvolveram ao longo da história, partindo de abrigos rudimentares 
feitos com galhos de árvores, adobe e pedra até chegar às construções atuais, construídas em 
concreto, aço, madeira, vidros e outros materiais. Na evolução da tecnologia da construção 
permaneceu constante a presença de algum tipo de sistema estrutural capaz de suportar as 
forças da gravidade, do vento, terremotos entre outras forças. 
Os sistemas estruturais podem ser definidos como conjuntos estáveis de elementos 
projetados e construídos para suportar e transmitir cargas, sem exceder os esforços 
resistentes dos elementos. Apesar das formas e dos materiais terem evoluído conforme os 
avanços tecnológicos e culturais, e nas lições aprendidas dos inúmeros colapsos estruturais, os 
sistemas estruturais são fundamentais para existência de todas as edificações, independente 
de sua escala, contexto ou uso. 
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2. Elementos Estruturais 
2.1. Introdução 
Os elementos estruturais são classificados como: lineares, de superfície e de volume. 
 
 
 
 
 
Figura 2.1 – Elementos estruturais: linear, superfície e volume. 
 
2.1.1. Definições Básicas 
As estruturas, também denominadas de sistemas estruturais, devem ser entendidas como 
disposições racionais e adequadas de diversos elementos estruturais. Classificam-se como 
elementos estruturais os corpos sólidos deformáveis com capacidade de receber e de 
transmitir solicitações em geral. 
Estes elementos, em função das suas três dimensões externas principais, podem ser 
divididos em três categorias: 
• Quando duas dimensões são da mesma ordem de grandeza e bem menores que a 
terceira dimensão, tem-se o elemento estrutural linear, cujo mais comum é o denominado 
barra (retas ou curvas), são vigas, colunas, pilares, escoras, tirante, nervuras etc., ditos 
elementos unidimensionais; 
• Quando duas dimensões são da mesma ordem de grandeza e bem maiores que a 
terceira dimensão, tem-se o elemento estrutural de superfície. Dentre os existentes, podem 
ser mencionados os elementos de superfície denominados folha, placa, chapa e casca; 
• Quando as três dimensões são da mesma ordem de grandeza, isto é, sem a 
predominância de uma dimensão sobre as outras, tem-se o elemento estrutural de volume, 
também denominado bloco. 
 
2.2. Tipos de Elementos Estruturais 
Quanto às dimensões e às direções das ações os elementos estruturais podem ser 
classificados em unidimensionais, bidimensionais ou tridimensionais. 
 
 
 
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2.2.1. Estruturas lineares 
 
• Unidimensionais (ou reticulares): 
Estruturas reticuladas são estruturas compostas por elementos unidimensionais, ou seja, 
em que o comprimento prevalece sobre as outras duas dimensões. 
 
 
Figura 2.2 – Estruturas reticulares formadas por elementos unidimensionais. 
 
As estruturas formadas por uma ou mais barras são denominadas de estruturas lineares. 
Destacam-se entre elas: 
 Vigas; 
 Pilares; 
 Treliças; 
 Arcos; 
 Pórticos; 
 Grelhas. 
Nas estruturas de concreto armado dos edifícios corrente, as vigas são elementos 
estruturais que suportam as ações oriundas das lajes e das paredes, e são apoiadas nos pilares 
que transmitem as referidas ações às fundações. As treliças consistem em outro tipo de 
estrutura linear, e são usualmente construídas com madeira, aço ou alumínio. São largamente 
empregadas em coberturas, em pontes e em passarelas. 
As estruturas lineares podem ser bidimensionais ou tridimensionais, dependendo do 
arranjo das barras, São analisadas segundo hipóteses estabelecidas na Resistência dos 
Materiais e na Estática das Estruturas observando-se, naturalmente, os aspectos peculiares de 
cada uma. 
Definições de alguns elementos estruturais e das principais estruturas lineares: 
▪ Eixo de uma barra: trajetóriado centro de gravidade da figura geradora de uma barra. 
▪ Seção transversal de uma barra: seção da barra, resultante da sua intersecção por um plano 
normal ao seu eixo. 
▪ Barra reta e barra curva: barras com eixos retilíneo e curvilíneo, respectivamente. 
▪ Barra prismática: barra reta de seção transversal constante. 
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2.2.1.1. Elementos lineares 
 
→ Tirantes: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
→ Vigas: 
São estruturas lineares, dispostas horizontalmente ou inclinadas, com um ou mais apoios. 
Os principais tipos de vigas são: 
 
▪ Viga em balanço: viga com um só apoio, necessariamente um engaste fixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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▪ Viga simplesmente apoiada: viga com um apoio fixo e um apoio móvel. 
 
 
 
 
 
 
 
→ Vigas: elementos lineares submetidos a momentos fletores e esforços cortantes. 
 
 
 
 
 
 
→ Vigas: aplicações em diversos tipos de estrutura como edifícios, estádios, pontes, etc... 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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→ Pilares: elementos lineares submetidos à compressão e a momentos fletores. 
Aplicações em diversos tipos de estruturas como edifícios, estádios, pontes, etc... 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.2.2. Estruturas de superfície 
 
• Bidimensionais: 
Estruturas bidimensionais são aquelas que duas de suas dimensões prevalecem sobre a 
terceira. Exemplos de estruturas bidimensionais: laje, parede, cascas. As lajes e as paredes, 
embora geometricamente semelhantes, recebem denominações deferentes em função da 
direção das ações. Nas lajes as forças atuantes são perpendiculares ao plano da estrutura e nas 
paredes as forças atuantes permanecem ao plano da estrutura. Como a maioria das forças que 
atuam nas edificações advém da ação da gravidade sobre os corpos, as lajes são elementos 
estruturais horizontais ou inclinados e as paredes são elementos estruturais verticais. 
 
 
 
Figura 2.3 – Estruturas bidimensionais. 
 
 
 
 
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As estruturas de superfície, também conhecidas como estruturas laminares, ficam 
definidas quando se conhecem a sua superfície média e a lei de variação da sua espessura. 
Dentre as estruturas laminares, destacam-se as placas, as chapas e as cascas. 
As cascas são amplamente empregadas em coberturas de grandes vãos e em 
reservatórios, enquanto que as placas litóides (lajes) aparecem muito frequentemente em 
pisos de edifícios e tabuleiros de pontes. 
▪ Definições de estruturas de superfície, bem como seus principais esquemas geométricos 
e de carregamento: 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.2.2.1. Elementos de superfície 
 
→ Placas: carga perpendicular ao plano, exemplo: lajes de edifícios. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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→ Chapas: cargas dentro do plano, exemplo: paredes em alvenaria estrutural, 
reservatórios, viga parede, etc.. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
→ Cascas: carga perpendicular ao plano e dentro do plano, exemplo: membranas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2.2.3. Estruturas de volume 
 
• Tridimensionais: 
São estruturas maciças em que as três dimensões se comparam. Exemplos de estruturas 
tridimensionais: blocos de fundações, blocos de coroamento de estacas e estruturas de 
barragens. 
As estruturas de volume (bloco) são elementos comumente empregados em fundações 
das construções, com a finalidade de transmitir ao solo as ações da supraestrutura. 
 
 
 
 
 
Figura 2.4 – Estruturas tridimensionais. 
 
2.2.3.1. Elementos de volume 
Blocos de fundações, barragens, muros de contenção, sapatas, etc... 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2.3. Nomenclatura para os esforços 
Os esforços são classificados em: Esforço normal, esforço cortante e momento fletor. 
 
a) Esforço Normal (N): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Esforço Cortante (V): 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Momento Fletor (M): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tração 
Compressão 
 
 
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2.4. Sequencia de verificação 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os elementos estruturais, assim como toda e qualquer estrutura, devem apresentar as 
propriedades de resistência e de rigidez, isto é, serem capazes de resistir cargas, dentro de 
certos limites, sem se romperem e sem sofre grandes deformações ou variações de suas 
dimensões originais. 
Os conceitos de resistência e rigidez são importantes e devem ser bem compreendidos. 
Resistência é a capacidade de transmitir as forças internamente, molécula por molécula, 
dos pontos de aplicação aos apoios, sem que ocorra a ruptura da peça. Para analisar a 
capacidade resistente de uma estrutura é necessária a determinação: 
• dos esforços solicitantes internos – o que é feito na Análise Estrutural ou Estática das 
Construções; 
• das tensões internas – o que é feito na Resistência dos Materiais. 
Rigidez é a capacidade de não deformar excessivamente, para o carregamento previsto, o 
que comprometeria o funcionamento e o aspecto da peça. O cálculo das deformações é feito 
na Resistência dos Materiais. 
Carregamento 
(Ações externas e reações) 
Estrutura 
Esforços 
internos 
Tensões e 
Deformações 
Resistência Rigidez 
Propriedades dos 
Materiais 
▪ Força Normal 
▪ Força Cortante 
▪ Momento Fletor 
▪ Momento Torsor 
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2.5. Conversão de unidades mais usuais 
 
1 Kgf = 9,8 N (Newtons) ≈ 10 N 
1 Pa (Pascal) = 1 N/m2 
1 KN = 100 Kgf = 0,1 tf 
1 MPa (Mega Pascal) = 10 Kgf/cm2 
 
O sistema internacional de unidades – SI– é o sistema oficial utilizado em todo o mundo. 
O sistema internacional, como todo sistema de unidade, baseia-se em um grupo de unidades 
básicos. Desse sistema as unidades que interessam às estruturas são: massa, comprimento e 
tempo. A unidade fundamental de medida de massa é o quilograma (Kgf), de comprimento, o 
metro (m) e de tempo, o segundo (s). 
 
 
 
 
Figura 2.5 – Elementos estruturais. 
 
 
 
 
 
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3. Estática dos corpos rígidos 
3.1. Corpo Rígido 
Corpo rígido pode ser considerado como sendo um conjunto de partículas que ocupam 
posições fixas relativas umas às outras, ou seja, um conjunto de pontos materiais. Diz-se que 
os corpos rígidos são indeformáveis, ou seja, não se deformam sob ação de forças externas. O 
que não é absolutamente verdadeiro, pois os corpos nunca são absolutamente rígidos, 
deformando-se sob a ação das cargas a que são submetidos. No entanto, estas deformações 
são tão pequenas em relação às dimensões dos corpos, que sequer podem ser vistas ou 
percebidas, e não alteram as condições de movimento global dos corpos rígidos, não sendo 
consideradas na determinação das condições de estaticidade. São importantes, no entanto, no 
estudo da resistência dos materiais. Os elementos estruturais são considerados corpos rígidos, 
pois as forças que atuam nas formas arquitetônicas têm diferentes pontos de aplicação. 
 
3.2. Forças que atuam sobre os corpos rígidos 
As forças que atuam sobre corpos rígidos são classificadas em forças externas e forças 
internas. 
Forças externas: são decorrentes de ações de agentes externos sobre os corpos em análise. 
São inteiramente responsáveis pelo comportamento externo dos corpos rígidos, causando-lhes 
movimento ou os mantendo em repouso. As forças externas, para efeito de determinação, são 
divididas em forças ativas e forças reativas. 
Forças internas: são os esforços provenientes das tensões desenvolvidas pelos materiais que 
constituem os corpos rígidos. As forças internas são responsáveis por manterem unidos os 
vários pontos materiais que constituem um corpo rígido. 
Forças externas ativas: as estruturas arquitetônicas sempre são construídas com a finalidade 
de fechar e delimitar espaços, para torná-los úteis às diversas funções humanas, como abrigo, 
proteção, trabalho, cultos e lazer, entre outros. 
Finalidades diferentes exigem espaços diferentes; porém todos estão sujeitos à ação de 
diversos fenômenos físicos impostos pela Natureza (gravidade, ventos, temperatura, abalos 
sísmicos e neve, entre outros), aos quais atribuímos o nome de cargas e, sem restrições, as 
estruturas devem absorvê-las, resistir a elas e transmiti-las de um ponto a outro até que 
cheguem ao solo. As interações entre os corpos também são consideradas forças externas 
ativas. 
Um dos maiores problemas para arquitetos e engenheiros é determinar com precisão a 
atuação das cargas nas formas arquitetônicas. São vários os fatores que alteram as condições 
de atuação das cargas: tipo de projeto, materiais e local de construção são alguns deles. 
Contudo, as cargas atuam apenas de duas formas: de forma estática e de forma dinâmica, que 
são subdivididas de acordo com a origem dos fenômenos naturais. 
 
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3.3. Classificação das cargas 
 
 Cargas estáticas: são as cargas mais importantes que atuam nas formas arquitetônicas. Por 
não sofrerem mudanças bruscas, suas variações acontecem em longos períodos de tempo. 
Constituem a base para projeto estrutural. Podem ser classificadas em permanentes, 
acidentais, excepcionais e térmicas. 
 
 Cargas permanentes: são cargas fixas, aquelas cuja estrutura está submetida o tempo 
todo, como também o seu próprio peso e quaisquer dispositivos fixos que fizerem parte 
da estrutura ou que compõem o espaço arquitetônico. Muitas vezes, a estrutura tem 
como principal fator a considerar, no cálculo estrutural. Um dos grandes desafios dos 
especialistas em cálculo estrutural é projetar com o mínimo de material possível. Para 
determinar essas cargas, é necessário que se conheçam as dimensões dos elementos 
estruturais e as características dos materiais estruturais, mais especificamente, o seu peso 
específico. A fim de simplificar a determinação dessas cargas, a Associação Brasileira de 
Normas Técnicas (ABNT), pela NBR 6120, regulamentou os valores dos pesos específicos a 
serem considerados. 
 
 Cargas acidentais: Também conhecidas como cargas de utilização, são incertas e incluem 
todos os pesos móveis que fazem parte ou que compõem o espaço construído, peso de 
pessoas, animais, máquinas, carros, móveis, acessórios, etc. a fixação dos valores dessas 
cargas para o cálculo estrutural, a exemplo das cargas permanentes, é feita mediante 
códigos de edificações já criados e regulamentados pela NBR 6120, da ABNT. A 
classificação foi feita de acordo com o uso a que o espaço é destinado. 
 
 Cargas excepcionais: dependem do clima da região onde as formas arquitetônicas são 
construídas. O vento, a neve e os abalos sísmicos, são exemplos de cargas excepcionais. 
Os critérios e os valores, a serem adotados para determinação dessas cargas, também são 
regulamentadas por códigos preestabelecidos em normas técnicas. Essas cargas variam 
de região para região. No Brasil, as cargas devido à ação dos ventos são regulamentadas 
pela BNR 6123, da ABNT. Esses valores, por se referirem a agentes da Natureza, são, de 
tempos em tempos, avaliados e corrigidos, se necessário/ muitas vezes, essas cargas são 
determinantes no projeto estrutural, principalmente em edifícios de grande altura. 
 
 Cargas térmicas: estão relacionadas com a variação das dimensões provocadas por 
dilatação ou contração, decorrentes das trocas bruscas de temperatura que acontecem 
do dia para a noite, ou mesmo com os ciclos mais prolongados das estações do ano. 
Dependendo da região, as temperaturas podem variar de 0˚C a 30˚C em apenas 24 horas. 
 
 Cargas dinâmicas: todas as cargas consideradas até aqui mudam lentamente com o tempo, 
quer dizer, não sofrem mudanças de intensidade e, portanto, atuam estaticamente, exceção 
feita às cargas excepcionais, que, dependendo da situação, podem ser consideradas cargas 
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dinâmicas, caso da ação dos ventos. As cargas cujos valores mudam com rapidez e se aplicam a 
formas bruscas são denominadas cargas dinâmicas e podem ser muito perigosas se não forem 
consideradas com atenção pelo projeto estrutural. As cargas dinâmicas são subdivididas em 
dois tipos de carga: cargas de impacto e cargas ressonantes. Em uma grande variedade de 
casos práticos, os efeitos das cargas dinâmicas são iguais ao dobro dos efeitos causados por 
cargas estáticas. 
 
 Cargas de impacto: são provocadas por um golpe instantâneo e produzem forças sumamente 
grandes, chegando, muitas vezes, a valores destrutivos. Um golpe de martelo e a explosão de 
uma bomba são exemplos de cargas de impacto. As cargas de impacto se caracterizam por um 
tempo de aplicação prolongado e rítmico. 
 
 Cargas higroscópicas: são cargas provenientes da expansão da água quando congelada. Essas 
cargas são verificadas em estruturas que, pelas características do material que as compõem, 
absorvemumidade. As cargas higroscópicas só são consideradas em locais onde as estruturas 
atingem temperaturas abaixo de zero. 
 
 Forças externas reativas: são as forças que atuam nas posições vinculares, ou seja, nos pontos 
de união entre os elementos estruturais e nos pontos de ligação da estrutura com o solo. São 
as forças que reagem às forças externas ativas, de modo a manter o corpo rígido em equilíbrio. 
As forças externas reativas agem sobre os corpos rígidos, impedindo movimentos de 
translação e de rotação. Muitas vezes, é desejável impedir certos movimentos da estrutura e 
liberar outros. Para tanto, usam-se dispositivos que possibilitam o controle dos movimentos da 
estrutura como um todo e de cada uma de suas partes. Esses dispositivos são chamados de 
vínculos. 
 
3.4. Ações externas 
 
 Peso da estrutura e dos elementos fixos; 
▪ Peso próprio dos elementos; 
 Cargas de utilização (carga acidental): 
▪ Peso de pessoas, móveis, carros, máquinas; 
 Ações ambientais: 
▪ Força do vento; 
▪ Pressão de líquidos e do terreno (solo); 
▪ Variação da temperatura. 
 
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3.5. Determinação das forças externas 
A solução de problemas relacionados ao equilíbrio dos corpos rígidos passa, em primeiro 
lugar, pela análise do modelo estrutural proposto. A partir da análise do modelo estrutural, é 
necessário que todas as forças que atuam sobre ele sejam representadas. Qualquer força que 
não esteja diretamente envolvida deve ser omitida. O primeiro passo para a solução dos 
problemas é traçar, a partir do modelo estrutural, um Diagrama de Corpo Livre (DCL). 
3.5.1. Modelo estrutural (ME) 
É um esquema gráfico em que são apresentados os elementos estruturais envolvidos no 
sistema em análise, dispositivos que, porventura, estejam atuando sobre os elementos e os 
vínculos com outros elementos ou com o solo, todos devidamente determinados no espaço. 
 
Figura 3.1 – Modelo estrutural (ME) 
3.5.2. Diagrama de corpo livre (DCL) 
É um diagrama em que estão representados: 
 O contorno do elemento estrutural em estudo; 
 Todas as forças externas, ativas e reativas, que atuam diretamente sobre o elemento, 
completamente definidas (ponto de aplicação, intensidade, direção e sentido); e 
 As dimensões do elemento. 
O primeiro passo para traçar um DCL é destacar o elemento escolhido para análise de 
qualquer outro elemento e do solo, representando o contorno do elemento isolado. 
 
 
Em seguida, todas as forças externas, ativas e reativas devem ser representadas, e 
completamente definidas. O ponto de aplicação, a intensidade, a direção e o sentido das 
forças devem ser mostrados no DCL. 
 
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3.6. Determinação dos valores das ações 
As ações empregadas nas estruturas usuais podem ser estimadas com suficiente precisão 
com auxílio das normas técnicas específicas. Para estruturas especiais, tais como plataformas 
de exploração de petróleo, é praxe a confecção de modelos em escala reduzida, os quais são 
ensaiados para um estudo mais preciso de seu comportamento entre as ações. Também é 
recomendável a análise de modelos reduzidos em túneis de vento, quando se tratar de 
estrutura de formato pouco usual. Algumas ações específicas, como pesos de perfis metálicos 
e de telhas, podem ser obtidas diretamente de catálogos do fabricante. 
 
Figura 3.2 – Ensaio de modelo reduzido em túnel de vento. 
3.6.1. Determinação da ação do vento 
É feita segundo a Norma Brasileira NBR – 6123:1997. Aplicação dessa Norma parte da 
determinação da velocidade básica do vento (V0), a qual consiste na velocidade de uma rajada 
de três segundos, que pode ser excedida, em média, uma vez a cada cinquenta anos, a dez 
metros de altura e sobre um terreno plano e sem obstruções. O valor da velocidade básica é 
fornecido pela Norma, para todas as regiões do país, através de curvas chamadas de 
“isopletas”. 
 
Figura 3.3 – Velocidade básica do vento V0 (m/s) 
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A partir da velocidade básica do vento, é determinada a velocidade característica Vk, 
através dos fatores estatísticos S1, S2 e S3: 
Vk = V0 . S1 . S2 . S3 
Os fatores que permitem transformar a velocidade básica em velocidade característica 
consideram a influencia da topografia (S1), da rugosidade do terreno, das dimensões da 
edificação e de sua altura sobre o terreno (S2) e do grau de segurança e vida útil requerida para 
a edificação (S3). 
A velocidade característica do vento é transformada em pressão dinâmica através da 
seguinte relação, obtida da mecânica dos fluidos: 
 
 
A determinação da força a ser considerada na análise levará em conta ainda outras 
particularidades, através de coeficientes relacionados à forma e à parte da edificação em 
estudo. 
Cabe destacar que o vento, em determinadas estruturas, tais como edifícios altos, 
pavilhões industriais ou torres, é a ação predominante. 
 
3.6.2. Determinação das ações permanentes e das ações variáveis 
verticais 
A Norma Brasileira NBR 6120:1980 estabelece valores mínimos das cargas a serem 
consideradas no projeto de estruturas de edificações, excetuando-se ações previstas em 
Normas específicas, como é o caso da ação do vento e sismos. 
Como exemplo, apresentam-se na Tabela 3.1 pesos específicos de alguns materiais de 
construção. 
Tabela 3.1 – Peso específico de materiais de construção (NBR – 6120:1980) 
Material Peso específico aparente (KN/m3) 
Concreto Armado 25 
Concreto simples 24 
Aço 78,5 
Pinho e Cedro 5 
Tijolos Furados 13 
Tijolos maciços 18 
Mármore e Granito 28 
Lajotas cerâmicas 18 
Argamassa de cal, cimento e areia 19 
Argamassa de cimento e areia 21 
 
As cargas verticais que se consideram atuando nos pisos são supostas uniformemente 
distribuídas (por metro quadrado de piso). Alguns valores mínimos de cargas verticais constam 
na Tabela 3.2. 
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Tabela 3.2 – Valores mínimos de cargas verticais (NBR – 6120:1980) 
Local Carga (KN/m2) 
Edifícios residenciais (dormitórios, sala, copa e banheiro) 1,5 
Escritórios 2 
Escolas (corredores e salas de aula) 3 
Arquibancadas 4 
Bibliotecas (salas com estantes de livros) 6 
Escadas com acesso ao público 3 
Forros sem acesso ao público 0,5 
 
Ainda na mesma Norma técnica podem ser encontrados o peso específico aparente e o 
ângulo de atrito interno de diversos materiais de armazenagem, como produtos agrícolas e 
materiais de construção. 
 
3.7. Forma de distribuição das ações na estrutura 
Quanto à forma de distribuição, as ações podem ser classificadas como concentradas ou 
distribuídas. 
 
3.7.1. Carga concentrada 
É aquela que se distribui em uma área muito reduzida relativamente à área do elemento. 
Neste caso, considera-se a carga como concentrada no centro de gravidade da área de 
contato. A figura 3.4 ilustra a parte de uma estrutura composta por elementos 
unidimensionais. A decomposição dessa estrutura espacial em vigas epilares isolados resulta, 
de forma simplificada, no esquema ilustrado para as vigas V2 e V3, para o qual tanto a ação 
(FV1) como as reações (R) são consideradas concentradas. 
 
 
Figura 3.4 – Cargas concentradas: esquema estático correspondente às vigas V2 e V3. 
 
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 Exemplos de cargas concentradas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.5 – Carga concentrada: kgf, kN, tf. 
 
3.7.2. Carga distribuída 
É a que incide numa área com dimensão da mesma ordem de grandeza da estrutura ou 
do elemento em análise. Neste caso, pode-se transformar a carga distribuída em uma carga 
concentrada equivalente, chamada de “resultante”. A resultante somente será equivalente à 
carga original se ambas provocarem a mesma tendência de translação e de rotação. 
 Exemplos de cargas distribuídas: 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.6 – Carga distribuída por metro: kgf/m, kN/m, tf/m. 
 
 
 
 
 
 
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Figura 3.7 – Carga distribuída por metro quadrado (kgf/m
2
, kN/m
2
, tf/m
2
). 
O valor da resultante é determinado como sendo igual à área compreendida entre a 
linha que define o carregamento e o eixo da barra (área da carga). Seu ponto de aplicação 
deve passar pelo centro de gravidade do carregamento. 
 Alguns exemplos de carga distribuída e de sua resultante: 
 
Figura 3.8 – Exemplos de cargas distribuídas e suas resultantes: carga uniformemente 
distribuída (a); carga triangular (b). 
Cargas uniformes ou de variação linear, como as ilustradas na Figura 3.8, reproduzem a 
pressão de um líquido sobre o fundo e as paredes de um reservatório, respectivamente. Como 
exemplo de ações concentradas e distribuídas, a Figura 3.9 ilustra composição das cargas para 
uma sacada, de acordo com as prescrições da NBR – 6120:1980. Segundo essa Norma, além do 
carregamento uniforme (de mesma intensidade que o do ambiente com a qual se comunica), 
devem ser aplicadas ao longo do parapeito uma carga horizontal P1 de intensidade 0,8 kN/m e 
uma carga vertical mínima P2 de 2 kN/m. Ao se considerar o peitoril como um elemento sem 
função estrutural, deve-se substituí-lo por seus efeitos sobre a estrutura. 
 
Figura 3.9 – Composição do carregamento para uma sacada. 
 
 
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4. Fenômenos físicos 
4.1. Estrutura 
O que é estrutura? No caso de edificações, a estrutura é um conjunto de elementos: 
 Lajes; 
 Vigas; 
 Pilares. 
Que se inter-relacionam: 
 Laje apoiando em viga; 
 Viga apoiando em pilar. 
Para desempenhar uma função: 
 Criar um espaço em que pessoas exercerão diversas atividades. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4.2. Caminho das forças 
O caminho natural que as forças gravitacionais, ou seja, os pesos dos objetos e das 
pessoas tendem a tomar, é o da vertical. 
QUAL A MELHOR SOLUÇÃO ESTRUTURAL? 
 Uma estrutura com poucos ou muitos caminhos? 
Suponha-se que, em uma praça qualquer, se queira apoiar uma estátua sobre uma 
estrutura adequada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Uma primeira proposta poderia ser a 
criação de um único pedestal sob a 
estátua. 
Esta solução resolve o problema de 
maneira bastante simples e direta. 
 
Mas supondo-se que, além de apoiar 
a estátua, a estrutura deve permitir 
a passagem de pessoas sob ela, a 
solução do pedestal único torna-se 
inviável. 
 
 
Caso o espaço sob a estátua devesse 
ser o mais amplo possível. 
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 Uma solução poderá ser econômica no consumo de materiais, mas poderá ser feia e de 
execução demorada. 
 Outra poderá ser bonita, mais cara e difícil de ser executada. 
 Pode acontecer que se exija que a solução estrutural seja: 
- econômica; 
 - bonita; 
- fácil execução. 
 
4.3. Geometria dos elementos estruturais 
 
Bloco: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O bloco é um elemento estrutural em que as três dimensões apresentam a mesma ordem 
de grandeza. 
Quais as possibilidades e o comportamento de um bloco no sistema estrutural? Como 
vencer vãos utilizando elementos aparentemente tão limitados? 
 
 
 
 
 
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Barra: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A barra é um elemento estrutural em que uma de suas dimensões, o comprimento, 
predomina em relação às outras duas, largura e altura da seção transversal. 
A barra, ao contrário do bloco, pode ser utilizada isoladamente. É um elemento estrutural 
de uso mais amplo. 
Utilizada para pendurar cargas, como um cabo, para apoiar cargas, como um pilar, ou 
vencer vãos, como uma viga. 
As barras podem ser associadas, criando sistemas estruturais mais complexos capazes de 
vencer grandes vãos, como as que compõem a estrutura de uma treliça. 
 
 
 
 
 
 
 
4.4. Tipos de forças que atuam nas estruturas 
É necessário que as forças que atuam nas edificações sejam conhecidas, na sua 
intensidade, direção, sentido e ponto de aplicação, para que a concepção estrutural seja 
coerente com o caminho que essas forças devem percorrer até o solo e para que os elementos 
estruturais sejam adequadamente dimensionados. 
 
 
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4.4.1. Cargas permanentes 
São cargas cuja intensidade, direção e sentido podem ser determinados com grande 
precisão, pois as cargas permanentes são devidas exclusivamente as forças gravitacionais, ou 
pesos: 
 Peso próprio da estrutura (dimensão e peso específico); 
 Revestimentos (contrapisos, cerâmicas); 
 Paredes (peso específico). 
 
4.4.2. Cargas acidentais 
São mais difíceis de serem determinadas com precisão e podem variar com o tipo de 
edificação. Essas cargas são definidas por normas (ABNT NBR) que podem variar de país para 
país, no Brasil as normas são: NBR 6120 e NBR 6123. 
 
 Peso das pessoas; 
 Peso do mobiliário; 
 Peso de veículos; 
 Força de frenagem de veículos; 
 Peso de equipamentos; 
 Força do vento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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5. Equilíbrio das estruturas 
5.1. Equilíbrio das estruturas 
Um corpo está em equilíbrio quando a soma de todas as forças que atuam sobre ele é 
igual a zero. 
Se uma estrutura ou parte dela é considerada em equilíbrio sob a ação de um sistema de 
carga, ela deve satisfazer as seis equações de equilíbrio estático. Usando o sistema cartesiano 
x, y e z de coordenadas, as equações de equilíbrio estático podem ser escritas como: (Caso 
Geral). 
 
 
 
 
 
Para fins de análise e de projeto, a grande maioria das estruturas pode ser considerada 
como de estruturas planas sem que haja perda de precisão. Para essas estruturas, que 
normalmente são admitidas no plano xy, a soma das forças nas direções x e y e a soma dos 
momentos em torno do eixo perpendicular ao plano devem ser iguais a zero (Caso Plano). 
 
 
 
 
 
 
5.2. Estaticidade 
Quando o número de reações de apoio (incógnitas do problema) é igual ao número de 
condições de equilíbrio (equações), conduz à resolução de um sistema determinado. No 
entanto, nem sempre essa relação será observada. Assim, a determinação das reações de 
apoio de uma estrutura deve ser precedida pela classificação desta com relação à quantidade e 
à disposição dos vínculos ou, em outras palavras, à estaticidade. Segundo essa classificação, 
uma estrutura pode ser designada como hipostática, isostática ou hiperestática. 
Quando todos os esforços da estrutura podem ser determinados a partir das equações de 
equilíbrio a estrutura é estaticamente determinada (isostática). 
Quando há mais esforços desconhecidos do que equações de equilíbrio a estrutura é 
estaticamente indeterminada (hiperestática). 
 
 
 
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 Para estrutura planas: 
 R < 3n, hipostática 
 R = 3n, isostática 
 R > 3n, hiperestática 
 Onde R é o número de reações e n é o número de partes da estrutura 
 
a) Estrutura hipostática: (R < 3.n) 
número de reações de apoio < número de equações de equilíbrio 
Há menos vínculos que o necessário, existindo, portanto, movimentos possíveis da 
estrutura. Se houver equilíbrio, ele é instável. O número de equações é superior ao número de 
incógnitas (reações). 
 
b) Estrutura isostática: (R = 3.n) 
 
número de reações de apoio = número de equações de equilíbrio 
 
Os vínculos estão dispostos em números e de tal forma que todos os movimentos estão 
restritos. É aquele cujo número de apoios (vínculos) é o estritamente necessário, isto é, o 
número de equações é igual ao número de incógnitas (reações). 
 
c) Estrutura hiperestática: (R > 3.n) 
 
número de reações de apoio > número de equações de equilíbrio 
 
A estrutura hiperestática possui vínculos com maior número que o estritamente 
necessário para impedir todos os movimentos possíveis. O equilíbrio é dito “mais que estável”. 
O grau hiperestático (gh) de cada estrutura indica quantas reações a estrutura possui além do 
número de equações de equilíbrio. Estas reações adicionais devem ser determinadas pela 
imposição de condições relativas à deformabilidade da estrutura, gerando as chamadas 
“equações de compatibilidade de deslocamentos”. 
O número de reações de apoio (incógnitas) a serem determinadas é superior ao número de 
equações. 
 
 Cabe observar que, nas estruturas hipostáticas, a relação entre número de reações e 
número de equações (R – EQ) é condição suficiente para que se defina a estaticidade, ao passo 
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que, para as estruturas isostáticas e hiperestáticas, esta relação aponta apenas uma condição 
necessária. A classificação da estrutura implica também o estudo da disposição dos vínculos, 
os quais devem garantir que todos os movimentos sejam efetivamente impedidos. Apesar do 
número de vínculos serem igual ou superior ao necessário, não existe restrição ao movimento 
horizontal. Logo, ambas são hipostáticas, pois o equilíbrio é instável. 
 
 
 
5.2.1. Equilíbrio estático externo 
A ação da gravidade sobre sua massa provoca o aparecimento da força peso. Sob a ação 
dessa força a barra tende a se deslocar na vertical, em direção ao centro da terra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Uma maneira de evitar que a barra se desloque na vertical é a criação de um dispositivo 
que exerça uma reação contrária à força peso, equilibrando-a. 
Não há equilíbrio. A barra tende a girar em torno do seu suporte. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Para evitar o giro foi criado outro suporte. A barra não irá movimentar-se na vertical e 
nem girar. 
A força na horizontal poderá deslocá-la nessa direção. 
O equilíbrio estático da barra não está garantido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para evitar o movimento horizontal pode ser colocado num dos suportes uma trava. 
O equilíbrio estático no seu plano é condição necessária que ele não se desloque na 
vertical, na horizontal e nem gire. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Se for acrescentado à barra mais um suporte, estará em condições de equilíbrio estático, 
acima das condições mínimas necessárias. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Uma estrutura que se encontra em condições mínimas necessárias de estabilidade é 
denominada isostática. 
Quando as condições de estabilidade estão acima das mínimas, a estrutura é denominada 
hiperestática. 
Quando as condições de estabilidade estiverem abaixo das mínimas, a estrutura é dita 
hipostática. 
 
5.2.2. Vínculos 
São dispositivos estruturais que têm por função restringir certos movimentos e permitir 
outros. Os vínculos são classificados de acordo com o grau de liberdade (gl) que possibilitam. 
▪ São vínculos: 
 
 A ligação entre uma laje e uma viga; 
 Uma viga e um pilar; 
 Uma viga com outra viga; 
 A ligação entre as barras que formam uma malha estrutural. 
 
Os vínculos podem ou não permitir movimentos relativos entre os elementos por eles 
unidos. 
 
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Um vínculo que permite giro e deslocamento relativos é denominado vínculo articulado 
móvel (ou apoio móvel). Articulado porque permite o giro, móvel porque permite o 
deslocamento em uma direção, normalmente a horizontal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O vínculo que permite apenas o giro relativo e impedem dois movimentos de translação é 
denominado vínculo articulado fixo (ou rótula). 
 
 
 
 
 
 
 
 
O vínculo que impede o giro e os deslocamentos (dois de translação e um de rotação) é 
denominado engaste. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo de vínculos em uma estrutura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Com um apoio articulado móvel, as dilatações térmicas não influenciam os pilares, sem 
aplicar forças horizontais aos pilares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Alterando um vínculo, pode-se aumentar ou diminuir os graus de liberdade de movimento 
relativo entre as partes ligadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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6. CONCEITO GERAL DE ESTRUTURAS 
6.1. Definição de estrutura 
As estruturas são sistemas físicos capazes de receber e transmitir esforços como em 
pontes, edifícios, torres, antenas etc. Um dos principais objetivos da análise de estruturas é 
relacionar, em idealizações simplificadoras desses sistemas e utilizando propriedades de 
material determinadas experimentalmente, as ações externas atuantes com os 
deslocamentos, reações de apoio e tensões (ou suas resultantes), de maneira a poder 
identificar eventual deficiência de comportamento do material constituinte e/ou de 
comportamento da estrutura como um todo e/ou de suas partes. Isso, para elaborar um 
projeto de uma nova estrutura a ser constituída ou estudar o comportamento de uma 
estrutura já existente. A idealização de uma estrutura conduz a um modelo de análise, regido 
por equações matemáticas, cujos resultados devem expressar comportamento próximo ao da 
estrutura. 
A execução de uma construção, como a de uma ponte, de um edifício, de uma residência 
ou mesmo um simples muro de contenção, implica necessariamente, em alguma das fases da 
obra, na construção de uma estrutura suporte, que necessita, por sua vez, de projeto, 
planejamento e execução própria. 
Portanto, a estrutura em uma construção tem como função prioritária garantir a forma 
espacial idealizada para a mesma assegurar sua integridade pelo período de tempo que for 
julgado necessário. 
6.1.1. Conceitos Específicos de Estruturas 
Em um prédio em construção pode-se claramente distinguir alguns dos elementos 
estruturais que compõem a parte resistente, ou estrutura, do prédio: vigas, lajes, paredes, 
pilares, sapatas e blocos, estes dois últimos sendo parte integrante das fundações. Estes 
elementos podem ser executados de materiais diversos, sendo, entretanto, os mais utilizados: 
concreto armado, concreto protendido, aço e madeira. 
 
Figura 6.1 – Estrutura Típica. 
A definição do sistema estrutural é selecionada de acordo com aspectos funcionais e 
arquitetônicos desde que sejam estruturalmente e economicamente viáveis. A transmissão 
interna das forças, do ponto de aplicação aos apoios, através de diferentes sistemas 
estruturais pode ser observada na figura 6.2. 
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Figura 6.2 – Transmissão das forças aos apoios através de: A) ponto, B) elemento tracionado, C) 
elemento comprimido, D) treliça, E,F,G H) pórticos diversos. 
O estudo da análise estrutural demanda o conhecimento de alguns conceitos básicos: 
• Análise estrutural: estudo de esforços e deslocamentos em estruturas; 
• Estrutura: elementos unidos estre si e ao meio exterior de modo a formar um conjunto 
estável; 
• Conjunto estável: conjunto capaz de receber solicitações externas absorvê-las e 
transmiti-las até seus apoios, onde encontrarão seu sistema estático equilibrante. 
 
6.2. Esforços ou Ações 
Os esforços ou ações classificam-se da seguinte forma: Esforços Externos Solicitantes, 
Esforços Internos Solicitantes e Esforços Resistentes. 
O objetivo do projetista é garantir, por meio do cálculo estrutural, que os esforços 
internos resistentes sejam maiores que os esforços internos solicitantes. 
 
 
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 {
 
 
 
 
 
 
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 
{
 
 
 
 {
 
 
 
 
 
 
 
 {
 {
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6.3 – Classificações das solicitações. 
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6.2.1. Forças Aplicadas 
As forças aplicadas às estruturas são também denominadas ações externas solicitantes 
ativas, cargas externas, carregamentos ou simplesmente cargas. Nas estruturas as forças a 
serem consideradas no projeto dependem do fim a que se destinam as estruturas, sendo, em 
geral, regulamentadas por normas. No Brasil, as normas brasileiras são elaboradas pela 
Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT). Estas normas são identificadas pelas letras 
maiúsculas NBR, seguidas de números associados aos assuntos abordados. A norma brasileira 
que regulamenta as cargas para o Cálculo de Estruturas de edificações é a NBR – 6120, a NBR 
– 6123 regulamenta as ações de Forças devidas ao vento em edificações. 
As cargas podem ser classificadas quanto à posição, à distancia, à duração, à forma de 
aplicação e à variação com o tempo. Segundo esta classificação as cargas podem ser: 
• Quanto à posição 
Fixas: cargas que não mudam de posição, ou que podem ser consideradas como tal. As cargas 
normalmente consideradas nas edificações podem ser dadas como exemplos. 
Móveis: cargas que mudam de posição. As ações dos veículos nas pontes e viadutos são 
exemplos de cargas móveis. 
• Quanto à duração 
Permanentes: ações permanentes sobre estruturas, tais como o seu peso próprio. 
Acidentais: são as provenientes de ações que podem ou não agir sobre as estruturas. 
Exemplos: sobrecarga (peso de pessoas, móveis etc., em uma residência) e a aço do vento. 
• Quanto à forma de aplicação 
Concentradas: quando se admite a transmissão de uma força, de um corpo a outro, através de 
um ponto. A força concentrada não existe, sendo uma simplificação de cálculo. 
Distribuídas: quando se admite a transmissão de uma força de forma distribuída, se ao longo 
de um comprimento (simplificação de cálculo) ou, através de uma superfície. 
• Quanto à variação do tempo 
Estáticas: são aquelas que, para efeito do comportamento estrutural, podem ser consideradas 
como não variando com o tempo. 
Dinâmicas: quando a variação da ação ao longo do tempo tem que ser considerada. Exemplos: 
as ações do vento, de correntesmarítimas, de explosões, de impacto e de terremotos. 
Pseudo-estáticas: algumas ações dinâmicas podem ser convenientemente consideradas por 
meio de análises pseudo-estáticas; é o que ocorre muitas vezes com a ação do vento em 
estruturas que permitam um cálculo simplificado desta ação. 
 
 
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Cargas 
{
 
 
 
 
 
 
 
 {
 
 
 
 
 {
 
 
 
 
 {
 
 
 
 
 {
 
 
 
 
 
 
Figura 6.5 – Classificação das cargas. 
 
6.3. Objetivo da Análise Estrutural 
Uma vez conhecida a estrutura e determinadas as ações estáticas e/ou dinâmicas que 
sobre ela atuam, os objetivos da análise estrutural são: 
1. Determinação dos Esforços Internos Solicitantes: necessária para o dimensionamento 
dos elementos estruturais (concreto armado, concreto protendido, aço e madeira); 
 
2. Determinação das reações de apoio: necessário para a consideração da ação mútua 
entre os diversos elementos estruturais; 
 
3. Determinação dos deslocamentos: necessário para a resolução da estrutura, 
verificação do limite de flecha. 
 
6.3.1. Estruturas Reticuladas 
As estruturas reticuladas são constituídas por elementos unidimensionais, simplesmente 
denominados elementos ou barras, cujos comprimentos prevalecem em relação às dimensões 
da seção transversal. 
 
Figura 6.4 – Representação esquemática de ações 
externas diretas e indiretas. 
 
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As barras (ou elementos) são definidas por um nó inicial e um nó final. As barras podem 
ser de eixo reto ou de eixo curvo e de seção transversal constante ou variável. 
Os nós que permitem rotação relativa de elementos a eles conectados são denominados 
nós articulados, e os que não permitem rotação relativa são denominados nós rígidos. 
 
 
 
 
Figura 6.6 – Barras e nós em estruturas reticuladas. 
 
6.4. Equilíbrio Estático 
O estudo da estática compreende a ação de força exterior sobre um corpo rígido em 
posição de repouso. As forças agrupam-se em sistemas que recebem denominações segundo a 
posição relativa que guardam entre si. 
Todo e qualquer sistema pode ser substituído pela ação de duas forças que, em relação a 
um ponto qualquer, venha a produzir o mesmo efeito que o sistema dado. Estes efeitos são a 
resultante e o momento resultante. 
A resultante é a soma vetorial das projeções das forças do sistema e capaz de produzir 
translações, segundo a direção do seu suporte. 
O momento resultante é a soma vetorial do momento das forças do sistema, portanto 
capaz de produzir rotação. 
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Uma força ⃗ quando aplicada a um corpo rígido impõe a este uma tendência 
deslocamento linear, ou translação. Um momento ⃗⃗⃗ quando aplicado a um corpo rígido impõe 
a este uma tendência de deslocamento angular, ou rotação. 
O momento é sempre produzido em torno de um eixo normal ao plano em que se 
encontram as forças. Exemplo: para termos momento em torno do eixo x, é preciso que as 
projeções das forças estejam contidas no plano y O z e definido pelos eixos y e z. 
Para equilibrar um sistema, torna-se necessária a introdução de um sistema equivalente 
ao primeiro, mas de sinal contrário, ficando nulas as ações da resultante e do momento 
resultante. 
6.4.1. Grandezas Fundamentais 
Força e momento é uma grandeza vetorial e, portanto para ser completamente 
caracterizada é necessário conhecer: 
• Direção; 
• Sentido; 
• Intensidade; 
•Ponto de aplicação. 
 
6.4.2. Esforços Simples 
Um sistema de forças quaisquer, que satisfaça as equações universais da Estática, 
atuando sobre um corpo rígido, provocará nele o aparecimento de esforços que, analisados 
segundo seu eixo e uma seção que lhe é perpendicular, poderão ser definidos como esforços 
simples e classificados como: 
• Esforço Normal: que age no sentido de comprimir ou tracionar a seção; 
• Esforço Cortante: que age no sentido de cortar ou cisalhar a seção; 
• Momento Torsor: que age no sentido de torcer ou girar a seção em relação ao eixo; 
• Momento Fletor: que age no sentido de envergar ou flexionar o eixo ou, afastar o plano da 
seção do ângulo de 90˚ que forma com o eixo. 
 
6.4.3. Equações do Equilíbrio Estático 
O que impede que as estruturas se desloquem quando submetidas a forças ativas são os 
apoios, capazes de gerar forças reativas nas direções dos deslocamentos impedidos. As forças 
e momentos reativos (reação de apoio) formam com as forças e momentos ativos (aplicados à 
estrutura) um sistema de forças (externas) em equilíbrio. O equilíbrio das forças e momentos 
do sistema, nas direções X, Y e Z, fornece, para uma estrutura espacial, as seguintes equações 
de equilíbrio estático. 
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Figura 6.7 – Equilíbrio Estático. 
 
6.5. Esquemas e Simplificações de Cálculo 
O esquema de cálculo, ou modelo matemático, algumas simplificações tornam-se 
necessárias, as quais estão, em geral, associadas: 
• à geometria: representação da barra por meio do sei eixo; 
• ao sistema de forças: forças e momentos concentrados e distribuídos; 
• à análise numérica a ser efetuada: planas e espaciais; 
• à representação dos apoios. 
6.6. Representações das forças aplicadas (carregamento) 
As cargas em uma estrutura podem ser reais ou aproximadas, classificadas, quanto ao 
tipo, em forças e momentos; e quanto à forma de aplicação em concentradas e distribuídas 
por unidade de comprimento e por unidade de área. 
 
Figura 6.8 – Representações de forças atuantes em uma estrutura. 
 
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Figura 6.9 – Aproximações sucessivas num problema técnico. 
 
 
 
Figura 6.10 – Modelagem da estrutura de um telhado. 
Tabela 1.2 – Modelos e carregamentos distribuídos e resultantes para estruturas isostáticas: 
 
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6.7. Vínculos 
As equações traduzem as condições de equilíbrio, constituindo dois sistemas de forças 
equivalentes e opostos. Os vínculos terão a finalidade de localizar este sistema de forças que 
vai impedir os movimentos de translação e rotação. 
 
6.7.1. Apoios (ligações) 
As restrições aos movimentos de uma estrutura se dão por meio dos apoios ou vínculos. 
Os apoios ou vínculos são classificados em função do número de graus de liberdade impedidos.