12. CDI II - Maximos e Minimos

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Universidade Nove de Julho – Uninove 
Curso: Engenharia - Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral II - Profº Edson A. Cardoso 
Máximos e Mínimos 
 
Máximos e Mínimos de Funções de duas variáveis 
1. Seja 
),( yxfz 
uma função de duas variáveis. Dizemos que 
)(),( 00 fDyx 
 é ponto 
de máximo absoluto ou global de f se, para todo 
),(),(),(),( 00 yxfyxffDyx 
. 
Dizemos que 
),( 00 yxf
é o valor máximo de f. 
 
Exemplo: 
Seja a função 224),( yxyxf  . O ponto (0,0) é um ponto de máximo absoluto ou 
global de f, pois, para todo 
)0,0(4),(),( 22 fyxfDyx 
 
ou 
44 22  yx
para todo 2),( yx 
o valor máximo de 224),( yxyxf  é 4)0,0( f 
 
2 
 
2. Seja 
),( yxfz 
uma função de duas variáveis. Dizemos que 
)(),( 00 fDyx 
 é ponto 
de mínimo absoluto ou global de f se, para todo 
),(),(),(),( 00 yxfyxffDyx 
. 
Dizemos que 
),( 00 yxf
é o valor mínimo de f. 
Exemplo: 
Seja a função 221),( yxyxf  . O ponto (0,0) é um ponto de mínimo absoluto ou 
global de f, pois, para todo 
)0,0(1,),( 222 fyxyx 
 
ou 
11 22  yx
 
o valor mínimo de 221),( yxyxf  é 1)0,0( f 
 
 
 
 
 
 
3 
 
Ponto Crítico de uma função de duas variáveis 
Seja 
),( yxfz 
definida em um conjunto aberto 2U . Um ponto ),( 00 yx é um ponto 
crítico de f se as derivadas parciais  00 , yx
x
f

 e  00 , yx
y
f

 são iguais a zero ou se f não 
é diferenciável em 
Uyx ),( 00
. 
Geometricamente, podemos pensar nos pontos críticos de uma função 
),( yxfz 
como os 
pontos em que seu gráfico não tem plano tangente ou o plano tangente é horizontal. 
Um ponto crítico nem sempre é um ponto extremante. Um ponto crítico que não é extremante é 
chamado de sela. 
 
Exemplos de Máximos e Mínimos: 
- Verificar que o ponto (0,0) é ponto crítico das funções: 
a) 22),( yxyxf  
O ponto (0,0) é um ponto crítico de 22),( yxyxf  pois: 
00.2)0,0(.2 





x
f
x
x
f 
00.2)0,0(.2 





y
f
y
y
f 
No ponto P (0,0,0) o gráfico admite um plano tangente horizontal. 
 
 
 
4 
 
b) 22.2),( yxyxf  
Verificando as derivadas parciais: 








)0,0(.4.
.22
1
22 x
f
x
yxx
f não possui derivadas parciais no ponto (0,0) 








)0,0(.2.
.22
1
22 y
f
y
yxy
f não possui derivadas parciais no ponto (0,0) 
logo, o ponto (0,0) é um ponto crítico da função 22.2),( yxyxf  . No ponto P 
(0,0,0) o gráfico de f não possui plano tangente em (0,0,0). 
 
 
c) 22),( yxyxf  
00.2)0,0(.2 





x
f
x
x
f 
00.2)0,0(.2 





y
f
y
y
f 
 
 
 
5 
 
 
Teste da Derivada 2ª 
Suponha que as derivadas parciais de f sejam contínuas e com centro em (a,b), suponha que 
0),( bafx
e 
0),( baf y
, ou seja, (a,b) é um ponto crítico de f. Seja: 
2)],([),().,(),( bafbafbafbaDD xyyyxx 
 
a) Se 
0D
e 
0),( bafxx
então 
),( baf
é um mínimo local. 
b) Se 
0D
e 
0),( bafxx
então 
),( baf
é um máximo local. 
c) Se 
0D
então 
),( baf
não é mínimo local nem máximo local. 
d) Se 
0D
então nada se pode afirmar. 
 
Exemplo: 
Determine os valores máximos e mínimos locais e os pontos de sela de 
1..4),( 44  yxyxyxf
 
Inicialmente, vamos localizar os pontos críticos: 
yxfx .4.4
3 
 
xyf y .4.4
3 
 
 
6 
 
Igualando a zero: 
0.4.4 3  yxfx
 
0.4.4 3  xyf y
 
 
33 0 xyyx 
 (I) 
03  xy
 
Substituindo, temos: 
)1).(1.()1.(0)( 448933  xxxxxxxxx
 
)1).(1).(1.( 422  xxxx
 
raízes reais são: 
0x
, 
1x
e
1x
. Substituindo em (I) temos: 
0x
 
0y
 
1x
 
1y
 
1x
 
1y
 
 
Logo, os três pontos críticos são (0,0), (1,1) e (–1,–1). 
Calculando as segundas derivadas parciais e 
),( yxD
: 
 
yxfx .4.4
3 
 
xyf y .4.4
3 
 
2.12 xfxx 
 
4xyf
 
2.12 yf yy 
 
16..144)4().12).(.12()(.),( 222222  yxyxfffyxD xyyyxx
 
Como 
016)0,0( D
segue do caso (c) do Teste da Derivada Segunda mostra que a 
origem é o ponto de sela, ou seja, f não tem nem máximo local nem mínimo local em (0,0). Como 
0128)1,1( D
e 
012)1,1( xxf
, vemos do caso (a) do teste que 
1)1,1( f
é 
um mínimo local. Da mesma forma, temos 
0128)1,1( D
e 
012)1,1( xxf
, 
e então, 
1)1,1( f
é também um mínimo local. 
 
7 
 
Exercícios: Stewart - Calculo vol. 2 - Seção 14.7 - p. 885 
5-18. Determine os valores de máximos e mínimos e pontos de sela da função: 
5. 22 .4.4.29),( yxyxyxf  11)
2
1
,1(max: fR
 
6.
yxyxyxf .8.12.),( 23 
 
7.
4.),( 222  yxyxyxf
 
)1,2(4)0,0(min:  selafR
 
8. 224),( yxyeyxf  
9.
yxyxyxf  .2.),(
 
)2,1(: selaR
 
10. 223 .5..2),( yxyxxyxf  
12.
yx
yxyxf
11
.),( 
 
13.
)cos(.),( yeyxf x
 
nenhumR :
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
 
5) 
 
 
6) 
 
 
 
9 
 
7) 
 
 
 
 
 
 
 
10 
 
8) 
 
 
9) 
 
 
 
11 
 
10) 
 
 
 
12) 
 
12 
 
13) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 
 
Exercícios: Cálculo B - Seção 5.10 - p. 190 
35 – 37 – 41. Determinar os valores de máximo e mínimo da função dada, na região indicada. 
35. 
yxyxf 2),( 
; no retângulo de vértices (1, -2), (1,2), (-1,2) e (-1,-2). R: 5, -5 
37. 
yxyxz 2222 
, no triângulo de vértices (0,0), (3,0) e (0,3). R: 3, -2 
41. 
1,0,0;32),(  yxyxyxyxf
 R: 5, 2 
45. Um disco tem a forma do círculo 
122  yxz
. Supondo que a temperatura nos 
pontos do disco é dada por 22 2),( yxxyxT  , determinar os pontos mais quentes 
e mais frios do disco. 
R: 














 0,
2
1
,
2
3
2
1
 
47. Encontrar as dimensões de uma caixa de base retangular, sem tampa, de volume máximo, 
com área igual a 5 cm2. 
R: 
32
5
,
3
5
,
3
5
 
48. Encontre todos os triângulos de perímetro igual a 10 cm, encontrar o que tem maior área. 
R:triângulo equilátero de 
cm
3
10 de lado. 
52. Determinar três números positivos cujo produto seja 100 e cuja soma seja mínima. 
R: 333 100,100,100 
53. Uma firma de embalagens necessita fabricar caixas retangulares de 64 cm3 de volume. Se o 
material da parte lateral custa a metade do material e a ser usado para a tampa e para o 
fundo da caixa, determinar as dimensões da caixa que minimizam o custo. 
R: 333 322,32,32 
56. Precisa-se construir um tanque de forma de um paralelepípedo para estocar 270 m3 de 
combustível, gastando a menor quantidade de material para a sua construção. Supondo que 
todas as paredes serão do mesmo material e terão a mesma espessura, determinar as 
dimensões do tanque. R: 333 103,103,103 
66. Determinar o ponto do plano 
1 zyx
cuja distância ao ponto (1,1,1) seja mínima.R: 
2,22
 
14 
 
Exercícios: Stewart – vol 2 - Seção 14.7 - p. 885 
5-18. Determine os valores de máximo e mínimo locais e pontos de sela da função. 
5. 22 4429),( yxyxyxf  R: máximo 11
2
1
,1 





f
 
6. 
yxyxyxf 812),( 23 
 
7. 
4),( 222  yxyxyxf
 
R:mínimo
4)0,0( f
, pontos de sela em 
)1,2( 
 
8. 224),( yxyeyxf  
10. 2223 52),( yxxyxyxf  
12. 
yx
xyyxf
11
),( 
 
13. 
yeyxf x cos),( 
 R: nenhum 
15. 22
)(),( 22 xyeyxyxf 
 R:mínimo
0)0,0( f
, pontos de sela em 
)0,1(
 
 
29-36. Determine os valores de máximo e mínimo absolutos de f no conjunto D. 
29. 
yxyxf 541),( 
, D é a região triangular fechada com vértices (0,0), (2,0) e (0,3). 
R: máximo
9)0,2( f
, mínimo 
14)3,0( f
 
30. 
yxxyyxf 23),( 
, D é a região triangular fechada com vértices (1,0), (5,0) e 
(1,4). 
33. 
24),( 44  xyyxyxf
, 
}20,30|),{(  yxyxD
. 
R: máximo
83)0,3( f
, mínimo 
0)1,1( f
 
 
35. 432),( yxyxf  , }1|),{( 22  yxyxD . 
R: máximo
2)0,1( f
, mínimo 
2)0,1( f
 
 
15 
 
37. Para as funções de uma variável, é impossível uma função contínua ter dois pontos de 
máximo local e nenhum de mínimo local. Para as funções de duas variáveis, este caso existe. 
Mostre que a função 222 )1()1(),(  xxxxyxf , só tem dois pontos 
críticos, ambos de máximo local. 
39. Determinar a menor distância entre o ponto C(2,1,-1) e o plano 
1 zyx
. R: 
3
 
41. Determinar os pontos do cone 222 yxz  que estão mais próximos do ponto (4,2,0). 
R: 
)5,1,2(),5,1,2( 
 
43. Determine três números positivos cuja soma é 100 e cujo produto é máximo. 
R: 
3
100
,
3
100
,
3
100 
 
46. Encontre as dimensões de uma caixa com volume 1000 cm3 que tenha a área de sua 
superfície mínima. 
47. Determine o volume da maior caixa retangular no primeiro octante com três faces nos planos 
coordenados e com vértice no plano 
632  zyx
. R: 
3
4 
48. Determine as dimensões da caixa retangular de maior volume se a área total de sua 
superfície é dada por 64 cm2. 
49. Determine as dimensões de uma caixa retangular de volume máximo tal que a soma dos 
comprimentos de suas 12 arestas seja uma constante c. 
R: cubo, comprimento da aresta 
12
c 
50. A base de um aquário com volume V é feita de ardósia e os lados são de vidro. Se o preço 
da ardósia (por unidade de área) equivale a cinco vezes o preço do vidro, determine as 
dimensões do aquário para minimizar o custo do material. 
51. Um caixa de papelão sem tampa deve ter um volume de 32.000 cm3. Determine as 
dimensões que minimizam a quantidade de papelão utilizado. 
R: Base quadrada de lado 40 cm, altura 20 cm. 
52. Um prédio retangular está sendo projetado para minimizar a perda de calor. As paredes leste 
e oeste perdem calor a uma taxa de 10 unidades/m2 por dia. As paredes norte e sul, a uma 
taxa de 8 unidades/m2 por dia. O piso, a uma taxa de 1 unidade/m2 por dia, e o teto, a uma 
16 
 
taxa de 5 unidades/m2 por dia. Cada parede deve ter pelo menos 30 m de comprimento, a 
altura deve ser no mínimo de 4m, e o volume de 4.000 m3. 
a) Determine e esboce o domínio da perda de calor como uma função dos comprimentos dos 
lados. 
b) Encontre as dimensões que minimizam a perda de calor (analise tanto os pontos críticos 
como os pontos sobre a fronteira do domínio). 
c) Você poderia projetar um prédio com precisamente menos perda de calor ainda se as 
restrições sobre os comprimentos das paredes fossem removidas?