AP2_2015_2_gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP2 – INTRODUC¸A˜O A` PROBABILIDADE E ESTAT´ISTICA – GABARITO – 2/2015
Nome: Matr´ıcula:
Polo: Data:
Atenc¸a˜o!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ıcula, • O desenvolvimento das questo˜es pode ser a la´pis. No entanto,
Polo e Data; as respostas devera˜o estar necessariamente a` caneta;
• E´ expressamente proibido o uso de calculadoras; • E´ expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas.
• Devolver a prova e a folha de respostas ao res- • As respostas devem ser acompanhadas de justificativa.
ponsa´vel; • Respostas sem justificativa na˜o sera˜o consideradas.
Questa˜o 1 [3,0 pontos] Uma urna conte´m 5 bolas azuis, 4 bolas brancas e 3 bolas vermelhas.
(a) [1,0 ponto] Uma bola e´ retirada ao acaso. Determine a probabilidade de a bola retirada ser branca.
(b) [1,0 ponto] Uma bola e´ retirada ao acaso. Determine a probabilidade de a bola retirada ser azul
ou vermelha.
(c) [1,0 ponto] Duas bolas sa˜o retiradas ao acaso, uma apo´s a outra, sem reposic¸a˜o. Determine a
probabilidade de as duas bolas retiradas serem da mesma cor.
Soluc¸a˜o.
(a) [1,0 ponto] Na urna, ha´ um total de 12 bolas, sendo 4 bolas brancas. Logo, a probabilidade de
a bola retirada ser branca e´
4
12
=
1
3
.
(b) [1,0 ponto] Na urna, ha´ um total de 12 bolas, sendo 5 bolas azuis e 3 bolas vermelhas. Logo, a
probabilidade de a bola retirada ser azul ou vermelha e´
8
12
=
2
3
.
(c) [1,0 ponto] A cardinalidade do espac¸o amostral e´ #Ω = 12× 11 = 132.
Consideremos o evento E: as duas bolas retiradas sa˜o da mesma cor; isto e´, duas azuis, ou duas
brancas, ou duas vermelhas. Assim, #A = 5 × 4 + 4 × 3 + 3 × 2 = 38. Logo, P (E) =
38
132
=
dfrac1966.
Questa˜o 2 [2,0 pontos] Um nu´mero e´ escolhido aleatoriamente no conjunto Ω = {1, 2, 3, . . . , 30}.
Determine a probabilidade de o nu´mero ser par ou mu´ltiplo de cinco.
Soluc¸a˜o.
Consideremos os eventos E e F seguintes: E: o nu´mero e´ par e F : o nu´mero e´ mu´ltiplo de cinco.
Temos, P (E ∪ F ) = P (E) + P (F )− P (E ∩ F ).
INTRODUC¸A˜O A` PROBABILIDADE E ESTAT´ISTICA AP2 2
Como ha´ 15 nu´meros pares no conjunto, temos P (E) =
15
30
=
1
2
.
E, como ha´ 6 mu´ltiplos de cinco no conjunto, temos P (F ) =
6
30
=
1
5
.
Tambe´m, ha´ treˆs nu´meros que sa˜o pares e mu´ltiplos de cinco, ao mesmo tempo.
Logo, P (E ∩ F ) =
3
30
=
1
10
e P (E ∪ F ) =
1
2
+
1
5
−
1
10
=
6
10
=
3
5
.
Questa˜o 3 [3,0 pontos]Treˆs fabricantes F1, F2 e F3 produzem bolas de aniversa´rio. Em determi-
nado lote, o fabricante F1 produziu 100 bolas, sendo 10 com defeito, o fabricante F2 produziu 300
bolas, sendo 20 com defeito e o fabricante F3 produziu 250 bolas sendo 50 com defeito. Um bola
deste lote e´ escolhida ao acaso.
(a) [1,0 ponto] Determine a probabilidade de a bola escolhida ser defeituosa.
(b) [1,0 ponto] Sabendo que a bola escolhida e´ defeituosa, determine a probabilidade de a bola
escolhida ter sido produzida pelo fabricante F1.
(c) [1,0 ponto] Determine a probabilidade de a bola escolhida ser defeituosa ou ter sido produzida
pelo fabricante F2.
Soluc¸a˜o.
(a) Consideremos o evento D: a bola escolhida e´ defeituosa.
Temos, P [D] = P [D|F1]P [F1] + P [D|F2]P [F2] + P [D|F3]P [F3].
Assim, P [D] =
1
10
×
100
650
+
1
15
×
300
650
+
1
5
×
250
650
=
8
65
.
(b) Temos, P [F1|D] =
P [D|F1]P [F1]
P [D]
=
1
10
× 100
650
8
65
=
1
8
.
(c) Temos P [D ∪ F2] = P [D] + P [F2]− P [D ∩ F2].
Assim, P [D ∪ F2] =
8
65
+
300
650
− P [D|F2]P [F2] =
8
65
+
300
650
−
1
15
×
300
650
=
36
65
.
Questa˜o 4 [2,0 pontos]Uma moeda viciada e´ tal que a probabilidade de se obter cara em um
lanc¸amento e´ o dobro da probabilidade de se obter coroa. Determine a probabilidade de, em cinco
lanc¸amentos dessa moeda, ser obtido cara, em treˆs dos lanc¸amentos.
Soluc¸a˜o.
Trata-se de um problema que envolve distribuic¸a˜o binomial, onde sucesso e´ aparecer a face cara.
Temos que, em um lanc¸amento, P (cara) = 2/3 e P (coroa) = 1/3.
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INTRODUC¸A˜O A` PROBABILIDADE E ESTAT´ISTICA AP2 3
Os dados do problema sa˜o: n = 5 lanc¸amentos; k = 3 sucessos; 2/3 e´ a probabilidade de sucesso e
1/3 e´ a probabilidade de fracasso.
Logo, a probabilidade de se obter cara em treˆs dos lanc¸amentos e´ calculada, usando a distribuic¸a˜o
binomial, por:
C(5, 3)
(2
3
)3(1
3
)2
= 10×
(
8
243
)
=
80
243
.
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