Algebra Vetorial

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Álgebra Vetorial
Prof. Emerson Costa
1ª Lista de Exercícios – Tratamento Algébrico
Dados os vetores 
, 
e 
, determinar:
a) 
 b) 
 c)
 d) 
Dados os vetores 
 e 
, determinar o vetor 
tal que:
a) 
 	b) 
Dados os pontos A(-1, 3), B(2, 5), C(3, -1) e O(0, 0), calcular:
a) 
 b) 
 c) 
Dados os vetores 
, determinar 
, e escreva as novas coordenadas do vetor resultante 
, tais que 
.
Dados os pontos A(3, -4) e B(-1, 1) e o vetor 
, calcular:
a) (B - A) + 2
 b) (A - B) -
 c) B + 2(B - A)	 d) 3
-2(A - B)
Sejam os pontos A(-5, 1) e B(1, 3). Determinar o vetor 
= (a, b) tal que:
a) B = A + 2
 b) A = B + 3
 c) Construir o gráfico correspondente a cada situação.
Representar no gráfico o vetor 
e o correspondente vetor posição, nos casos:
a) A(-1, 3) e B(3, 5) b) A(-1, 4) e B(4, 1) c) A(4, 0) e B(0, -2) d) A(3, 1) e B(3, 4)
Qual o ponto inicial do segmento orientado que representa o vetor 
= (-1, 3), sabendo que a sua extremidade está em (3, 1)? Representar graficamente este segmento.
Sejam os pontos P(2, 3), Q(4, 2) e R(3, 5).
Representar em um mesmo gráfico os vetores posição 
 de modo que Q = P + 
, R = Q + 
e P = R + 
.
Determinar 
.
Dados os vetores 
= (1, -1), 
= (-3, 4) e 
, calcular:
a) 
 b) 
 c) 
 d) 
 e) 
 f) 
 g) 
 h) 
Calcular os valores de a para que o vetor 
= (a, -2) tenha módulo 4.
Calcular os valores de a para que o vetor 
= 
 seja unitário.
Provar que os pontos A(-2, -1), B(2, 2), C(-1, 6) e D(-5, 3), nessa ordem, são vértices de um quadrado.
Encontrar um ponto P de eixo 0x de modo que a sua distância ao ponto A(2, -3) seja igual a 5.
Dados os pontos A(-4, 3) e B(2, 1), encontrar o ponto P nos casos:
P pertence ao eixo 0y e é eqüidistante de A e B;
P é eqüidistante de A e B e sua ordenada é o dobro abscissa; 
P pertence à mediatriz do segmento de extremos A e B.
Encontrar o vetor unitário que tenha (I) o mesmo sentido de 
e (II) sentido contrário a 
, nos casos:
a) 
 b) 
 c) 
 d) 
 Dado o vetor 
=(1, -3), determinar o vetor paralelo a 
que tenha:
Sentido contrário ao de 
e duas vezes o módulo de 
;
O mesmo sentido de 
e módulo 2:
Sentido contrário ao de 
e módulo 4. 
Dados os pontos A(-3, 2) e B(5, -2), determinar os pontos M e N pertencentes ao segmento AB tais que 
 e 
. Construir o gráfico, marcando os pontos A, B, M, N e P, devendo P ser tal que 
.
Sendo A(-2, 3) e B(6, -3) extremidades de um segmento, determinar:
os pontos C, D e E que dividem o segmento AB em quatro partes de mesmo comprimento; 
os pontos F e G que dividem o segmento AB em três partes de mesmo comprimento. 
Dados os pontos A(2, -2, 3) e B(1, 1, 5) e o vetor 
=(1, 3, -4), calcular:
a) A + 3
 b) (A - B) - 
 c) B + 2(B - A) d) 2
- 3(B - A)
Verificar se são unitários os seguintes vetores: 
=(1, 1, 1) e 
Determinar o valor de n para que o vetor 
seja unitário.
Determine o valor de a para que 
 seja um versor.
Dados os pontos A(1, 0, -1), B(4, 2, 1) e C(1, 2, 0), determinar o valor de m para que 
, sendo 
.
Determinar o valor de y para que seja eqüilátero o triângulo de vértices A(4, y, 4), B(10, y, -2) e C(2, 0, -4). 
Produto Escalar
1) Dados os vetores 
, calcular:
a) 
 
 b) 
 c) 
 d) 
 
2) Sejam os vetores 
. Determine a de modo que 
3) Sabendo que 
, calcular:
a) 
 b) 
 c) 
 d) 
4) Calcular 
, sabendo que 
e o ângulo entre 
é de 60º.
5) Qual é o valor de α para que os vetores 
 e 
sejam ortogonais?
6) Provar que os pontos A(-1, 2, 3), B(-3, 6, 0) e C(-4, 7, 2) são vértices de um triângulo retângulo.
7) Dados os pontos A(m, 1, 0), B(m - 1, 2m, 2) e C(1, 3, -1), determine m de modo que o triângulo ABC seja retângulo em A. Calcular a área do triângulo.
8) Determinar um vetor ortogonal aos vetores 
e 
.
9) Sabendo que o vetor 
 forma um ângulo de 60º com o vetor 
 determinado pelos pontos A(3, 1, -2) e B(4, 0, m), calcular m.
10) Dados os vetores 
=(3, 0, 1) e 
=(-2, 1, 2), determinar 
 e 
.
11) Dados os vetores 
e 
, determinar o módulo e o ângulo que os seguintes vetores formam com o vetor 
: a) 
 b) 
 c) 
 d) 
 e) 
12) Determinar o valor de a para que seja 45º o ângulo entre os vetores 
=(2, 1) e 
=(1, a).
RESPOSTAS:
 1) a) -2 b)21 c) -4 d) 4 2) a = 
 3) a) 7 b)38 c) -4 d) -181 4)
, 
e 7
 5) α = -5 6)
 = 0, o ΔABC é retângulo em B 7) m = 1 e Área = 
 
 8) a) Dentre os infinitos possíveis: (1, 1, -1) b) Um deles:
 c) Um deles 
�� EMBED Equation.3 
 9) m = - 4 10) 
 e 
 
 11) a)
e 45º b) 
e 26,5º c) 3 e 0º d) 
e 116,5º e) 
e 63,5º 12) a = 3 ou a = 
 
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