Introdução à Informática_TSC-CEDERJ_04

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Introdução à InformáticaIntrodução à Informática
Sistemas NuméricosSistemas Numéricos
Representações NuméricasRepresentações Numéricas
Ageu Pacheco e Alexandre Ageu Pacheco e Alexandre MeslinMeslin
Sistemas NuméricosSistemas Numéricos
Representações NuméricasRepresentações Numéricas
zz Objetivo do MóduloObjetivo do Módulo : : 
Estudo de outros sistemas numéricos além do Estudo de outros sistemas numéricos além do 
decimal visando entendimento decimal visando entendimento e e domínio domínio de de 
operações aritméticas operações aritméticas do sistema binário (de basedo sistema binário (de base 2) 2) 
e do seu relativo; hexadecimal ou de base16.e do seu relativo; hexadecimal ou de base16.
Sistemas NuméricosSistemas Numéricos
Representações NuméricasRepresentações Numéricas
zz Objetivo daObjetivo da Aula:Aula:
zz Conhecer representaçõesConhecer representações dede númerosnúmeros emem outrasoutras
basesbases
Sistemas NuméricosSistemas Numéricos
Sistema DecimalSistema Decimal
zz Concebido pelos hindus cerca de 2000 anos atrás. Concebido pelos hindus cerca de 2000 anos atrás. 
Posteriormente foi adotado pelos árabes que o Posteriormente foi adotado pelos árabes que o 
introduziram aos europeus.introduziram aos europeus.
zz Também denominado sistema arábico porque utiliza Também denominado sistema arábico porque utiliza 
símbolos arábicos para representar os dez símbolos arábicos para representar os dez 
algarismos ou dígitos (dedo em Latim) que a base algarismos ou dígitos (dedo em Latim) que a base 
suporta: (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9).suporta: (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9).
zz Base é a quantidade de símbolos disponíveis para Base é a quantidade de símbolos disponíveis para 
representar os diferentes dígitos do sistemarepresentar os diferentes dígitos do sistema..
Sistemas NuméricosSistemas Numéricos
Sistema DecimalSistema Decimal
zz A representação de qualquer número na base A representação de qualquer número na base 
decimal é posicional; isto é cada dígito assume um decimal é posicional; isto é cada dígito assume um 
valor ponderado à posição que ocupa.valor ponderado à posição que ocupa.
Ex: 638 = 6 x 10Ex: 638 = 6 x 1022 + 3 x 10+ 3 x 1011 + 8 x 10+ 8 x 1000
zz O valor que cada dígito assume na notação O valor que cada dígito assume na notação 
posicional é igual ao seu valor absoluto multiplicado posicional é igual ao seu valor absoluto multiplicado 
pela base elevada à posição relativa do dígito pela base elevada à posição relativa do dígito –– 1.1.
Sistemas NuméricosSistemas Numéricos
Representações NuméricasRepresentações Numéricas
zz ExemploExemplo de de sistema numérico não ponderadosistema numérico não ponderado: : 
Sistema Sistema Romano Romano 
Algarismos romanosAlgarismos romanos::
II, V, X, L, C, D, M , V, X, L, C, D, M 
1, 5, 10, 50, 100, 500, 10001, 5, 10, 50, 100, 500, 1000
Exemplos Exemplos de de números romanosnúmeros romanos;;
MCMLXXXMCMLXXXIIX, MCMXCX, MCMXCIIX, MM, MMX, MM, MMII
Sistemas NuméricosSistemas Numéricos
Outras BasesOutras Bases
zz OutraOutrass bases ponderadas utilizando os mesmos bases ponderadas utilizando os mesmos 
símbolos arábicos:símbolos arábicos:
Exemplos:Exemplos:
zz Base 3: Base 3: 
0,1,2,10,11,12,20,21,22,100,101,102,110…0,1,2,10,11,12,20,21,22,100,101,102,110…
Sistemas NuméricosSistemas Numéricos
Outras BasesOutras Bases
zz OutraOutrass bases ponderadas utilizando os mesmos bases ponderadas utilizando os mesmos 
símbolos arábicos:símbolos arábicos:
Exemplos:Exemplos:
zz Base 3: Base 3: 
0,1,2,10,11,12, 20,21,22,100, 101,102,110…(base 3)0,1,2,10,11,12, 20,21,22,100, 101,102,110…(base 3)
0,1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , 10, 11, 12….(base10)0,1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , 10, 11, 12….(base10)
Sistemas NuméricosSistemas Numéricos
Outras BasesOutras Bases
zz Exemplos outras bases (cont):Exemplos outras bases (cont):
zz Base 5: Base 5: 
0,1,2,3,4,10,11,12,13,14,20,21,22,23,24,30,...0,1,2,3,4,10,11,12,13,14,20,21,22,23,24,30,...
Sistemas NuméricosSistemas Numéricos
Outras BasesOutras Bases
zz Exemplos outras bases (cont):Exemplos outras bases (cont):
zz Base 5: Base 5: 
0,1,2,3,4,10,11,12,13,14,20,21,22,23,24,30...0,1,2,3,4,10,11,12,13,14,20,21,22,23,24,30...
….….
0,1,2,3,4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,11,12,13,14,15…0,1,2,3,4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,11,12,13,14,15…
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Outras BasesOutras Bases
zz Exemplos outras bases (cont):Exemplos outras bases (cont):
zz Base 7: Base 7: 
0,1,2,3,4,5,6,10,11,12,13,14,15,16,20,21,22,23,24...0,1,2,3,4,5,6,10,11,12,13,14,15,16,20,21,22,23,24...
Sistemas NuméricosSistemas Numéricos
Outras BasesOutras Bases
zz Exemplos outras bases (cont):Exemplos outras bases (cont):
zz Base 7: Base 7: 
0,1,2,3,4,5,6,10,11,12,13,14,15,16,20,21,22,23,24...0,1,2,3,4,5,6,10,11,12,13,14,15,16,20,21,22,23,24...
….….
0,1,2,3,4,5,6, 7, 8, 9, 10,11,12,13,14,15,16,17,18...0,1,2,3,4,5,6, 7, 8, 9, 10,11,12,13,14,15,16,17,18...
Sistemas NuméricosSistemas Numéricos
Outras BasesOutras Bases
zz Exemplos outras bases (cont):Exemplos outras bases (cont):
zz Base 2: Base 2: 
0,1,10,11,100,101,110,111,1000,1001,1010,1011...0,1,10,11,100,101,110,111,1000,1001,1010,1011...
Sistemas NuméricosSistemas Numéricos
Outras BasesOutras Bases
zz Exemplos outras bases (cont):Exemplos outras bases (cont):
zz Base 2: Base 2: 
0,1,10,11,100,101,110,111,1000,1001,1010,1011,...0,1,10,11,100,101,110,111,1000,1001,1010,1011,...
0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 110,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ..., ...
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Outras BasesOutras Bases
zz Exemplos outras bases (cont):Exemplos outras bases (cont):
zz Base 16: Base 16: 
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F,10,11,12,13,…0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F,10,11,12,13,…
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Outras BasesOutras Bases
zz Exemplos outras bases (cont):Exemplos outras bases (cont):
zz Base 16: Base 16: 
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A, B, C, D, E, F, 10,11,12,13,… 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A, B, C, D, E, F, 10,11,12,13,… 
….….
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,…0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,…
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ConcluindoConcluindo……
zz Propriedades Propriedades dos dos sistemas numéricos posicionaissistemas numéricos posicionais::
zz O O número número de de dígitos usados dígitos usados emem qualquerqualquer sistema sistema é é 
sempre igual sempre igual `a base`a base
zz O O maior dígito maior dígito é é igual ao igual ao valor valor da da base base menosmenos 11
zz O valor que cada dígito assume na notação posicional O valor que cada dígito assume na notação posicional 
é igual ao seu valor absoluto multiplicado pela base é igual ao seu valor absoluto multiplicado pela base 
elevada à posição relativa do dígito elevada à posição relativa do dígito menosmenos 11
zz O O número que corresponde número que corresponde à base é à base é sempre igualsempre igual a a 
10 (um10 (um--zero)zero)
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zz Assim Assim um um número inteiro qualquer número inteiro qualquer NN de de uma uma dada dada 
base base bb representado por sua notação posicionalrepresentado por sua notação posicional::
NNbb = (= (AAnnAAnn--11… A… A22AA11AA00) ) bb ,
pode ser expresso em termos quantitativos por:
NNbb = AAnn.bbnn + AAnn--11.bbnn--11 + …… + A+ …… + A22.bb22 ++ AA11.bb11 ++ AA00.bb00
((expressão da expansão da notação posicionalexpressão da expansão da notação posicional ))
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Outras BasesOutras Bases
zz ExemplosExemplos::
1)1) 4264261010 = 4 x 10= 4 x 1022 + 2 x 10+ 2 x 1011 + 6 x 10+ 6 x 1000 = 426= 4261010
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Outras BasesOutras Bases
zz ExemplosExemplos::
1) 42610 = 4 x 102 + 2 x 101 + 6 x 100 = 42610
2)2) 42642677 = 4 x 7= 4x 722 + 2 x 7+ 2 x 711 + 6 x 7+ 6 x 700 = 216= 2161010
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Outras BasesOutras Bases
zz ExemplosExemplos::
1) 42610 = 4 x 102 + 2 x 101 + 6 x 100 = 42610
2) 4267 = 4 x 72 + 2 x 71 + 6 x 70 = 21610
3)3) 7777777788 = 7 x 8= 7 x 833 + 7 x 8+ 7 x 822 + 7 x 8+ 7 x 811 + 7 x 8+ 7 x 800 = 4095= 40951010
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Outras BasesOutras Bases
zz ExemplosExemplos::
1) 42610 = 4 x 102 + 2 x 101 + 6 x 100 = 42610
2) 4267 = 4 x 72 + 2 x 71 + 6 x 70 = 21610
3) 77778 = 7 x 83 + 7 x 82 + 7 x 81 + 7 x 80 = 409510
4)4) 4303430355 = 4 x 5= 4 x 533 + 3 x 5+ 3 x 522 + 3 =+ 3 = 5785781010
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Outras BasesOutras Bases
zz ExemplosExemplos::
1) 42610 = 4 x 102 + 2 x 101 + 6 x 100 = 42610
2) 4267 = 4 x 72 + 2 x 71 + 6 x 70 = 21610
3) 77778 = 7 x 83 + 7 x 82 + 7 x 81 + 7 x 80 = 409510
4) 43035 = 4 x 53 + 3 x 52 + 3 = 57810
5)5) 430343031616 = 4 x 16= 4 x 1633 + 3 x 16+ 3 x 1622 + 3 = 17155+ 3 = 171551010
Sistemas NuméricosSistemas Numéricos
Outras BasesOutras Bases
zz ExemplosExemplos::
1) 42610 = 4 x 102 + 2 x 101 + 6 x 100 = 42610
2) 4267 = 4 x 72 + 2 x 71 + 6 x 70 = 21610
3) 77778 = 7 x 83 + 7 x 82 + 7 x 81 + 7 x 80 = 409510
4) 43035 = 4 x 53 + 3 x 52 + 3 = 57810
5) 430316 = 4 x 163 + 3 x 162 + 3 = 1715510
6)6) 210222102233 = 2 x 3= 2 x 344 + 1 x 3+ 1 x 333 + 2 x 3 + 2 = 197+ 2 x 3 + 2 = 1971010
Sistemas NuméricosSistemas Numéricos
Outras BasesOutras Bases
zz ExemplosExemplos::
1) 42610 = 4 x 102 + 2 x 101 + 6 x 100 = 42610
2) 4267 = 4 x 72 + 2 x 71 + 6 x 70 = 21610
3) 77778 = 7 x 83 + 7 x 82 + 7 x 81 + 7 x 80 = 409510
4) 43035 = 4 x 53 + 3 x 52 + 3 = 57810
5) 430316 = 4 x 163 + 3 x 162 + 3 = 1715510
6) 210223 = 2 x 34 + 1 x 33 + 2 x 3 + 2 = 11610
7)7) 1011010101101022 = 1 x 2= 1 x 266 + 1 x 2+ 1 x 244 + 1 x 2+ 1 x 233 + 1 x 2 = 90+ 1 x 2 = 901010
Sistemas NuméricosSistemas Numéricos
Outras BasesOutras Bases
zz ExemplosExemplos::
1) 42610 = 4 x 102 + 2 x 101 + 6 x 100 = 42610
2) 4267 = 4 x 72 + 2 x 71 + 6 x 70 = 21610
3) 77778 = 7 x 83 + 7 x 82 + 7 x 81 + 7 x 80 = 409510
4) 43035 = 4 x 53 + 3 x 52 + 3 = 57810
5) 430316 = 4 x 163 + 3 x 162 + 3 = 1715510
6) 210223 = 2 x 34 + 1 x 33 + 2 x 3 + 2 = 11610
7) 10110102 = 1 x 26 + 1 x 24 + 1 x 23 + 1 x 2 = 9010
8)8) ABCABC1616 = 10 x 16= 10 x 1622 + 11 x 16 + 12 = 2748+ 11 x 16 + 12 = 27481010
Sistemas NuméricosSistemas Numéricos
Outras BasesOutras Bases
zz ExemplosExemplos::
1) 42610 = 4 x 102 + 2 x 101 + 6 x 100 = 42610
2) 4267 = 4 x 72 + 2 x 71 + 6 x 70 = 21610
3) 77778 = 7 x 83 + 7 x 82 + 7 x 81 + 7 x 80 = 409510
4) 43035 = 4 x 53 + 3 x 52 + 3 = 57810
5) 430316 = 4 x 163 + 3 x 162 + 3 = 1715510
6) 210223 = 2 x 34 + 1 x 33 + 2 x 3 + 2 = 11610
7) 10110102 = 1 x 26 + 1 x 24 + 1 x 23 + 1 x 2 = 9010
8) ABC16 = 10 x 162 + 11 x 16 + 12 = 274810
9)9) 50417650417677 == nãonão éé possívelpossível aa representação narepresentação na base 7base 7
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Outras BasesOutras Bases
zz RepresentaçãoRepresentação dede números reaisnúmeros reais::
NúmeroNúmero real emreal em umauma dada base b:dada base b:
NNRR = (= (AAnnAAnn--11… A… A22AA11AA00 .. AA--11AA--22AA--33… A… A--mm))
NNR R = N= NII + N+ NF F ,, ondeonde::
NNII = A= Ann.bbnn + AAnn--11.bbnn--11 + …… ++ …… + AA11.bb11 ++ AA00.bb00
NNFF = A= A--11.bb--11 + AA--22.bb--22 + …… ++ …… + AA--m+1m+1.bb--m+1m+1 ++ AA--mm.bb--mm
Sistemas NuméricosSistemas Numéricos
Outras BasesOutras Bases
zz ExemplosExemplos::
1)1)426.45426.451010 = 426 + 4 x 10= 426 + 4 x 10--11 + 5 x 10+ 5 x 10--22 = 426.45= 426.451010
Sistemas NuméricosSistemas Numéricos
Outras BasesOutras Bases
zz ExemplosExemplos::
1)1)426.45426.451010 = 426 + 4 x 10= 426 + 4 x 10--11 + 5 x 10+ 5 x 10--22 = 426.45= 426.451010
2)2)426.45426.4577 = 4 x 7= 4 x 722 + 2 x 7+ 2 x 711 + 6 x 7+ 6 x 700 + 4 x 7+ 4 x 7--11 + 5 x 7+ 5 x 7--22
= 216 + 4 x 1 + 5 x 1= 216 + 4 x 1 + 5 x 1
7 497 49
= 216 + 0.57 + 0.10 = 216.67= 216 + 0.57 + 0.10 = 216.671010
Sistemas NuméricosSistemas Numéricos
Outras BasesOutras Bases
zz ExemplosExemplos::
1)1)426.45426.451010 = 426 + 4 x 10= 426 + 4 x 10--11 + 5 x 10+ 5 x 10--22 = 426.45= 426.451010
2)2)426.45426.4577 = 4 x 7= 4 x 722 + 2 x 7+ 2 x 711 + 6 x 7+ 6 x 700 + 4 x 7+ 4 x 7--11 + 5 x 7+ 5 x 7--22
= 216 + 4 x 1 + 5 x 1= 216 + 4 x 1 + 5 x 1
7 497 49
= 216 + 0.57 + 0.10 = 216.67= 216 + 0.57 + 0.10 = 216.671010
3)3)1001.10111001.101122 = 9 + 2= 9 + 2--1 1 + 2+ 2--3 3 + 2+ 2--4 4 = = 
= 9 + 0.5 + 0.125 + 0.0625 = 9.6875= 9 + 0.5 + 0.125 + 0.0625 = 9.68751010
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Outras BasesOutras Bases
zz ExemplosExemplos::
1)1)426.45426.451010 = 426 + 4 x 10= 426 + 4 x 10--11 + 5 x 10+ 5 x 10--22 = 426.45= 426.451010
2)2)426.45426.4577 = 4 x 7= 4 x 722 + 2 x 7+ 2 x 711 + 6 x 7+ 6 x 700 + 4 x 7+ 4 x 7--11 + 5 x 7+ 5 x 7--22
= 216 + 4 x 1 + 5 x 1= 216 + 4 x 1 + 5 x 1
7 497 49
= 216 + 0.57 + 0.10 = 216.67= 216 + 0.57 + 0.10 = 216.671010
3)3)1001.10111001.101122 = 9 + 2= 9 + 2--1 1 + 2+ 2--3 3 + 2+ 2--4 4 = = 
= 9 + 0.5 + 0.125 + 0.0625 = 9.6875= 9 + 0.5 + 0.125 + 0.0625 = 9.68751010
4)4)1A.1A1A.1A1616 = 26 + 0.0625 + 10 x 0.0039 = 26.10156= 26 + 0.0625 + 10 x 0.0039 = 26.101561010
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