Introdução à Informática_TSC-CEDERJ_05

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Introdução à InformáticaIntrodução à Informática
Sistemas NuméricosSistemas Numéricos
Conversão entre BasesConversão entre Bases
Ageu Pacheco e Alexandre MeslinAgeu Pacheco e Alexandre Meslin
Sistemas NuméricosSistemas Numéricos
zz Objetivo dObjetivo da Aula: a Aula: 
ConhecerConhecer e saber aplicar os e saber aplicar os métodosmétodos dede conversão conversão 
entreentre bases, com especialbases, com especial ênfase na conversãoênfase na conversão dede
números entrenúmeros entre as bases 10, 2, e 16.as bases 10, 2, e 16.
Sistemas NuméricosSistemas Numéricos
ConversãoConversão entreentre BasesBases
zz ProblemaProblema: Dado um número : Dado um número NNss expressoexpresso emem umauma
base base ss ((origemorigem)) achar sua representaçãoachar sua representação
NNrr nana base base rr ((destinodestino).).
zz Dois métodosDois métodos::
-- desenvolvimento da notação posicionaldesenvolvimento da notação posicional ((polinomialpolinomial))
-- divisões sucessivasdivisões sucessivas
zz EmboraEmbora ambos os ambos os métodos possammétodos possam serser utilizados utilizados 
para conversão direta entre quaisquerpara conversão direta entre quaisquer bases bases ss e e rr, é, é
desejável que uma delas sejadesejável que uma delas seja a 10.a 10. Senão vejamosSenão vejamos::
Sistemas NuméricosSistemas Numéricos
Conversão entreConversão entre BasesBases
zz Desenvolvimento da notação posicionalDesenvolvimento da notação posicional::
Dado NDado Nss == AAnnAAnn--11……A……A11AA00, N, Nrr éé obtido avaliandoobtido avaliando aa
expressão expressão NNrr == AAnnssnn + A+ Ann--11ssnn--1 1 + …… + A+ …… + A11s + As + A0 0 nono
sistemasistema de base de base rr..
 -- Se s < r aSe s < r a expressãoexpressão éé avaliada diretamenteavaliada diretamente..
-- Se s > r éSe s > r é necessário primeiramentenecessário primeiramente converter a converter a 
base base ss e os e os dígitosdígitos AAii parapara a base a base rr..
Sistemas NuméricosSistemas Numéricos
Conversão entreConversão entre BasesBases
zz ExemplosExemplos::
1)1) s = 2, Ns = 2, Nss = 1110101, r = 10, N= 1110101, r = 10, Nrr = ?= ?
NNrr = 1 x 2= 1 x 266 + 1 x 2+ 1 x 255 + 1 x 2+ 1 x 244 + 1 x 2+ 1 x 222 + 1 = 117+ 1 = 1171010
Sistemas NuméricosSistemas Numéricos
Conversão entreConversão entre BasesBases
zz ExemplosExemplos::
1)1) s = 2, Ns = 2, Nss = 1110101, r = 10, N= 1110101, r = 10, Nrr = ?= ?
NNrr = 1 x 2= 1 x 266 + 1 x 2+ 1 x 255 + 1 x 2+ 1 x 244 + 1 x 2+ 1 x 222 + 1 = 117+ 1 = 1171010
2)2) s = 10, Ns = 10, Nss = 117, r = 2, N= 117, r = 2, Nrr = ? = ? ((casocaso de s > r)de s > r)
NNr r = 1 x (10= 1 x (1022))22 + 1 x (10+ 1 x (1022))1 1 + (7+ (722))
NNrr = 1010= 101022 + 1010 + 111 = 1100100 + 10001+ 1010 + 111 = 1100100 + 10001
NNrr = 1110101= 111010122
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Conversão entreConversão entre BasesBases
zz Cálculos envolvidosCálculos envolvidos nono ExemploExemplo 2:2:
10101010 11001001100100
x 1010x 1010 10101010
00000000 ++ 111111
10101010 11101011110101
00000000
+ 1010+ 1010
11001001100100
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Conversão entreConversão entre BasesBases
zz Exemplos Exemplos (cont.):(cont.):
3)3) s = 9, Ns = 9, Nss = 857, r = 10, N= 857, r = 10, Nrr = ?= ?
NNrr = 8 x 9= 8 x 922 + 5 x 9 + 7 = 700+ 5 x 9 + 7 = 7001010
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Conversão entreConversão entre BasesBases
zz ExemplosExemplos::
3)3) s = 9, Ns = 9, Nss = 857, r = 10, N= 857, r = 10, Nrr = ?= ?
NNrr = 8 x 9= 8 x 922 + 5 x 9 + 7 = 700+ 5 x 9 + 7 = 7001010
4)4) s = 16, Ns = 16, Nss = BF7, r = 10, N= BF7, r = 10, Nrr = ?= ? ((casocaso de s > r)de s > r)
NNrr = (B= (B1010) x 16) x 1622 + (F+ (F1010) x 16 + 7 ) x 16 + 7 
NNrr = 11 x 256 + 15 x 16 + 7 = 3063= 11 x 256 + 15 x 16 + 7 = 30631010
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Conversão entreConversão entre BasesBases
zz ExemplosExemplos::
3)3) s = 9, Ns = 9, Nss = 857, r = 10, N= 857, r = 10, Nrr = ?= ?
NNrr = 8 x 9= 8 x 922 + 5 x 9 + 7 = 700+ 5 x 9 + 7 = 7001010
4)4) s = 16, Ns = 16, Nss = BF7, r = 10, N= BF7, r = 10, Nrr = ?= ?
NNrr = (B= (B1010) x 16) x 1622 + (F+ (F1010) x 16 + 7 ) x 16 + 7 
NNrr = 11 x 256 + 15 x 16 + 7 = 3063= 11 x 256 + 15 x 16 + 7 = 30631010
5)5) s = 7, Ns = 7, Nss = 100, r = 2, N= 100, r = 2, Nrr = ?= ?
NoNo casocaso,, nemnem a basea base origem nemorigem nem aa destinodestino é a 10.é a 10.
AA soluçãosolução éé transformar primeiramentetransformar primeiramente 10010077 parapara a a 
base10 ebase10 e depois desta paradepois desta para a base 2a base 2 pelo métodopelo método
dasdas divisões sucessivasdivisões sucessivas aa seguirseguir..
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Conversão entreConversão entre BasesBases
zz MétodoMétodo dasdas divisões sucessivasdivisões sucessivas::
NNss == AAnnAAnn--11……A……A11AA00 (n(noo nana basebase origemorigem) ) 
NNrr == BBmmBBmm--11……B……B11BB00 (n(noo nana basebase destinodestino))
zz Consiste em dividir sucessivamente o número dado Consiste em dividir sucessivamente o número dado 
NNss da base origem da base origem ss pela base destino pela base destino rr..
-- Se s > rSe s > r os restosos restos BB obtidos já são os dígitosobtidos já são os dígitos
procuradosprocurados,, ou sejaou seja, N, Nrr == BBmmBBmm--11……B……B11BB0..0..
-- Se s < rSe s < r os restosos restos BB devemdevem serser primeiramente primeiramente 
convertidos paraconvertidos para a base r.a base r.
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Conversão entreConversão entre BasesBases
zz Divisões sucessivasDivisões sucessivas::
NNss rr
BB00 NN11 rr
BB11 NN22
NNmm--11 rr
BBmm--11 NNmm rr
((BBmm = N= Nmm)) BBmm 00
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Conversão entreConversão entre BasesBases
zz ExemplosExemplos::
6)6) s = 10, Ns = 10, Nss = 70, r = 4, N= 70, r = 4, Nrr = ?= ?
70 470 4
22 1717 44
11 4 44 4
0 1 40 1 4 70701010 = 1012= 101244
1 01 0
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Conversão entreConversão entre BasesBases
zz ExemplosExemplos (cont):(cont):
 7)7) s = 10, Ns = 10, Nss = 70, r = 6, N= 70, r = 6, Nrr = ?= ?
70 670 6
44 1111 66
55 1 61 6
1 0 1 0 70701010 = 154= 15466
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zz Algoritmo da divisão sucessivaAlgoritmo da divisão sucessiva::
NNss rr
BB00 NN11 rr
BB11 NN22
NNmm--11 rr
BBmm--11 NNmm rr
((BBmm = N= Nmm)) BBmm 00
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Conversão entreConversão entre BasesBases
zz DemonstraçãoDemonstração::
NNs s = N= N11 . r + B. r + B00
NN11 = N= N22 . r + B. r + B11
NNmm = 0 . r += 0 . r + BBmm
NNss = (N= (N22 . r + B. r + B11) r + B) r + B00 = N= N22 . r. r22 + B+ B1 1 . r + B. r + B00
NNss = (N= (N33 . r + B. r + B22) r) r22 + B+ B1 1 . r + B. r + B00 ..................
NNss == BBmm .. rrmm ++ BBmm--11.. rrmm--11 + ....... + B+ ....... + B11. r + B. r + B00 = N= Nrr
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Conversão entreConversão entre BasesBases
zz ExemplosExemplos (cont.):(cont.):
8)8) s = 10, Ns = 10, Nss = 69, r = 2, N= 69, r = 2, Nrr = ?= ?
69 269 2
1 34 21 34 2
00 17 217 2
1 8 21 8 2 69691010 = 1000101= 100010122
0 4 20 4 2
0 2 20 2 2
0 1 20 1 2
1 01 0
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Conversão entreConversão entre BasesBases
zz ExemplosExemplos (cont.):(cont.):
9)9) s = 2, Ns = 2, Nss = 1000101, r = 10, N= 1000101, r = 10, Nrr = ? (= ? (casocaso s < r)s < r)
A baseA base destinodestino rr nãonão temtem representaçao direta narepresentaçao direta na
base base ss origemorigem. É. É precisopreciso antesantes achar representaçãoachar representação
dada basebase destino nadestino na dede origem para depois realizarorigem para depois realizar aa
conversãoconversão..
r = 10r = 101010 = 1010= 101022
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Conversão entreConversão entre BasesBases
zz ExemplosExemplos (cont.):(cont.):
9)9) 1000101 10101000101 1010
-- 10101010 110 1010110 1010
11101110 00
-- 10101010
10011001 Nr = (110)Nr = (110)22 (1001)(1001)22 = 69= 691010
110110
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Conversão entreConversão entre BasesBases
zz Apenas relembrandoApenas relembrando aa sequência inicial dasequência inicial da base 2:base 2:
zz Base 2: Base 2: 
0,1,10,11,100,101,110,111,1000,1001,1010,1011,...0,1,10,11,100,101,110,111,1000,1001,1010,1011,...
0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 10,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...1, ...
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Conversão entreConversão entre BasesBases
zz ExemplosExemplos (cont.):(cont.):
9a)9a) s = 2, Ns = 2, Nss = 1000101, r = 10, N= 1000101, r = 10, Nrr = ?= ?
AA solucãosolucão dodo exemploexemplo 4, em4, em queque s < r, és < r, é muito maismuito mais
facilmente obtida através da decomposição posicionalfacilmente obtida através da decomposição posicional
dodo número fornecidonúmero fornecido. . 
NNrr = 1 x 2= 1 x 266 + 1 x 2+ 1 x 222 + 1 = 64 + 4 + 1 = 69+ 1 = 64 + 4 + 1 = 691010
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Conversão entreConversão entre BasesBases
zz ConsiderandoConsiderando ss (base(base origemorigem) e ) e rr (base(base destinodestino))
temos na prática quetemos na prática que::
 -- Quando Quando s < r e r = 10s < r e r = 10 aplicaraplicar oo métodométodo dodo
desenvolvimento da notação posicionaldesenvolvimento da notação posicional dodo númeronúmero NNss
-- Quando Quando s > r e s = 10s > r e s = 10 aplicaraplicar oo métodométodo dasdas
divisões sucessivasdivisões sucessivas..
-- Quando Quando s = 10 e r = 10 converter Ns = 10 e r = 10 converter Nss parapara aa
base 10 (base 10 (desenvolvimento posicionaldesenvolvimento posicional) e) e depois depois 
converterconverter parapara a base a base rr ((divisões sucessivasdivisões sucessivas). ). 
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Conversão entreConversão entre BasesBases
zz ExemplosExemplos (cont):(cont):
10) 10) s = 7, Ns = 7, Nss = 100, r = 2, N= 100, r = 2, Nrr = ? (Ex5= ? (Ex5 não resolvidonão resolvido))
NNss = 1 x 7= 1 x 72 2 = 49= 491010
49 249 2
1 24 21 24 2
0 12 20 12 2 10010077 = 110001= 11000122
0 6 20 6 2
0 3 20 3 2
1 1 21 1 2
1 01 0
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Conversão entreConversão entre BasesBases
zz ExemplosExemplos (cont):(cont):
11)11) s = 9, Ns = 9, Nss = 87, r = 4, N= 87, r = 4, Nrr = ? = ? 
NNss = 8 x 9 + 7 = 79= 8 x 9 + 7 = 791010
79 479 4
3 19 43 19 4
3 4 43 4 4 878799 = 1033= 103344
0 1 40 1 4
1 01 0
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Conversão entreConversão entre BasesBases
zz ExemplosExemplos (cont):(cont):
12)12) s = 3, Ns = 3, Nss = 2120, r = 9, N= 2120, r = 9, Nrr = ? = ? 
NNss = 2 x 3= 2 x 333 + 3+ 322 + 2 x 3 = 54 + 9 + 6 = 69+ 2 x 3 = 54 + 9 + 6 = 691010
69 969 9
6 7 96 7 9 2120212033 = 76= 7699
7 07 0
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Conversão entreConversão entre BasesBases
zz ExemplosExemplos (cont):(cont):
11)11) s = 9, Ns = 9, Nss = 76, r = 3, N= 76, r = 3, Nrr = ? = ? 
NNss = 7 x 9 + 6 = 63 + 6 = 69= 7 x 9 + 6 = 63 + 6 = 691010
69 369 3
0 23 30 23 3
2 7 32 7 3 767699 = 2120= 212033
1 2 31 2 3
2 02 0
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Conversão entreConversão entre BasesBases
zz OsOs dois exemplos anteriores podemdois exemplos anteriores podem serser resolvidosresolvidos de de 
formaforma mais rápidamais rápida sese atentarmos paraatentarmos para oo fatofato dede queque a a 
base 9 ébase 9 é potência dapotência da base 3.base 3. SenãoSenão,, vejamosvejamos aa
sequência inicial dasequência inicial da base 3: base 3: 
0,1,2,10,11,12, 20,21,22,100,101,102,110…(base 3)0,1,2,10,11,12, 20,21,22,100,101,102,110…(base 3)
0,1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10 , 11, 12, 13….(base 9) 0,1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10 , 11, 12, 13….(base 9) 
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Conversão entreConversão entre BasesBases
zz Repare que cada dois dígitosRepare que cada dois dígitos emem sequênciasequência de um dadode um dado
número nanúmero na base 3base 3 corresponde diretamentecorresponde diretamente a uma um dígito dígito 
dada base 9.base 9. Assim teríamosAssim teríamos: : 
21 2021 2033 = (2 x 3 )+ 1 (2 X 3) = 7 6 = (2 x 3 )+ 1 (2 X 3) = 7 6 99
zz ÉÉ esta relaçãoesta relação dede potências entrepotências entre as basesas bases que tornaráque tornará, , 
com ocom o passarpassar do tempo, ado tempo, a conversão entreconversão entre as bases as bases 
2, 4, 8, e2, 4, 8, e principalmente entreprincipalmente entre a 2 e a 16 (e vicea 2 e a 16 (e vice--versa),versa),
muito maismuito mais simples. simples. 
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Conversão entreConversão entre BasesBases
zz ExemplosExemplos (cont.):(cont.):
12)12) s = 2, Ns = 2, Nss = 1011011, r = 4, N= 1011011, r = 4, Nrr = ?= ?
001 01 10 11 = 1 1 2 3 = 11231 01 10 11 = 1 1 2 3 = 112344
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Conversão entreConversão entre BasesBases
zz ExemplosExemplos (cont.):(cont.):
12)12) s = 2, Ns = 2, Nss = 1011011, r = 4, N= 1011011, r = 4, Nrr = ?= ?
01 01 10 11 = 1 1 2 3 = 112301 01 10 11 = 1 1 2 3 = 112344
13)13) s = 4, Ns = 4, Nss = 1123, r = 2, N= 1123, r = 2, Nrr = ?= ?
1 1 2 3 = 01 01 10 11 = 10110111 1 2 3 = 01 01 10 11 = 101101122
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Conversão entreConversão entre BasesBases
zz ExemplosExemplos (cont.):(cont.):
14)14) s = 2, Ns = 2, Nss = 1011011= 101101122, r = 8, N, r = 8, Nrr = ?= ?
00001 011 011 = 1 3 3 = 1331 011 011 = 1 3 3 = 13388
15)15) s = 2, Ns = 2, Nss = 1011011, r = 16, N= 1011011, r = 16, Nrr = ?= ?
00101 1011 = 5 B = 5B101 1011 = 5 B = 5B1616
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Conversão entreConversão entre BasesBases
zz MudançaMudança de base dede base de números reaisnúmeros reais::
NNRR = (= (AAnnAAnn--11… A… A22AA11AA00 .. AA--11AA--22AA--33...)...)
NNR R = N= NII + N+ NF F ,, ondeonde::
NNII = A= Ann.bbnn + AAnn--11.bbnn--11 + …… ++ …… + AA11.bb11 ++ AA00.bb00
NNFF = A= A--11.bb--11 + AA--22.bb--22 + A+ A--33.bb--33 + ............
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Conversão entreConversão entre BasesBases
zz AA parte fracionáriaparte fracionária NNFF de umde um númeronúmero emem umauma dada dada 
basebase corresponde semprecorresponde sempre `a`a parte fracionáriaparte fracionária dede sua sua 
representaçãorepresentação emem outraoutra base.base.
NNFF = A= A--11.bb--11 + AA--22.bb--22 + A+ A--33.bb--33 + ......+ ......
zz OO problemaproblema sese reduz ao cálculoreduz ao cálculo dosdos dígitos dígitos 
 AA--1 1 , A, A--2 2 , A, A--33 , ......., .......
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Conversão entreConversão entre BasesBases
zz MultiplicandoMultiplicando aa expressãoexpressão de Nde NFF porpor bb temostemos::
b.Nb.NFF = (A= (A--11.bb--11 + AA--22.bb--22 + A+ A--33.bb--3 3 + + ......).b......).b
b.Nb.NFF = A= A--1 1 + AA--22.bb--11 + A+ A--33.bb--33 + ……+ ……
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Conversão entreConversão entre BasesBases
zz Repare que na expressãoRepare que na expressão anterior Aanterior A--11 é aé a parte inteiraparte inteira
de b.Nde b.NFF.. SubtraindoSubtraindo--se Ase A--1 1 de b.Nde b.NFF ee multiplicando multiplicando 
novamente pornovamente por b ab a expressão resultante temosexpressão resultante temos::
b.(b.Nb.(b.NFF -- AA--11) = A) = A--22 + A+ A--33.bb--11 + ......+ ......
zz OO processo deve continuar até alcançarprocesso deve continuar até alcançar oo númeronúmero dede
dígitos desejadona parte fracionáriadígitos desejado na parte fracionária. A. A aplicaçãoaplicação dodo
método na práticamétodo na prática éé bem maisbem mais simplessimples queque asas
equações anteriores parecem sugerirequações anteriores parecem sugerir..
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Conversão entreConversão entre BasesBases
zz ExemplosExemplos::
1)1) Converter 69.71Converter 69.711010 parapara a base 2.a base 2.
NNII = 1000101 de um= 1000101 de um exemploexemplo anterior.anterior.
Para NPara NFF:: 2 x (0.71) = 1.42 2 x (0.71) = 1.42 AA--1 = 11 = 1
2 x (0.42) = 0.842 x (0.42) = 0.84 AA--2 = 02 = 0
2 x (0.84) = 1.682 x (0.84) = 1.68 AA--3 = 13 = 1
2 x (0.68) = 1.362 x (0.68) = 1.36 AA--4 = 14 = 1
2 x (0.36) = 0.722 x (0.36) = 0.72 AA--5 = 05 = 0
2 x (0.72) = 1.442 x (0.72) = 1.44 AA--6 = 16 = 1
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Conversão entreConversão entre BasesBases
zz ExemplosExemplos (cont.):(cont.):
1)1) ContinuandoContinuando …N…NFF = 101101…… e o= 101101…… e o resultado ficaresultado fica::
69.7169.711010 = (1000101.101101……)= (1000101.101101……)22
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Conversão entreConversão entre BasesBases
zz ExemplosExemplos (cont.):(cont.):
1)1) ContinuandoContinuando …N…NFF = 101101…… e o= 101101…… e o resultado ficaresultado fica::
69.7169.711010 = (1000101.101101……)= (1000101.101101……)22
2)2) Converter (1000101.101101)Converter (1000101.101101)22 parapara a base 10.a base 10.
Aqui comoAqui como s < r, as < r, a soluçãosolução éé desenvolverdesenvolver aa notação notação 
posicionalposicional dodo númeronúmero::
1000101.101101 = 21000101.101101 = 266 + 2+ 222 + 1 + 2+ 1 + 2--11 + 2+ 2--3 3 + 2+ 2--4 4 + 2+ 2--6 6 ==
= 64 + 4 + 1 + 0.5 + 0.125 + 0.0625 + 0.015625 == 64 + 4 + 1 + 0.5 + 0.125 + 0.0625 + 0.015625 =
= 69.703125= 69.7031251010
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zz ExemplosExemplos (cont.):(cont.):
3)3) s = 2, Ns = 2, Nss = 1001011.0110011, r = 4, N= 1001011.0110011, r = 4, Nrr = ?= ?
001 00 10 11 1 00 10 11 .. 01 10 01 101 10 01 100 = 1 0 2 3 = 1 0 2 3 .. 1 2 1 21 2 1 2
1001011.01100111001011.011001122 = 1023.1212= 1023.121244
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zz ExemplosExemplos (cont.):(cont.):
3)3) s = 2, Ns = 2, Nss = 1001011.0110011, r = 4, N= 1001011.0110011, r = 4, Nrr = ?= ?
01 00 10 11 01 00 10 11 .. 01 10 01 10 = 1 0 2 3 01 10 01 10 = 1 0 2 3 .. 1 2 1 21 2 1 2
1001011.01100111001011.011001122 = 1023.1212= 1023.121244
4)4) s = 2, Ns = 2, Nss = 10101110.10011111, r = 8, N= 10101110.10011111, r = 8, Nrr = ?= ?
0010 101 11010 101 110 . 100 111 11. 100 111 1100 = 2 5 6 . 4 7 6= 2 5 6 . 4 7 6
10101110.10011111010101110.10011111022 = 256.476= 256.47688
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zz ExemplosExemplos (cont.):(cont.):
5)5) s = 2, Ns = 2, Nss = 101011.1100111, r = 16, N= 101011.1100111, r = 16, Nrr = ?= ?
000010 1011 10 1011 .. 1100 1111100 11100 = 2 B = 2 B .. C EC E
101011.1100111101011.110011122 = 2B.CE= 2B.CE1616
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zz ExemplosExemplos (cont.):(cont.):
5)5) s = 2, Ns = 2, Nss = 101011.1100111, r = 16, N= 101011.1100111, r = 16, Nrr = ?= ?
0010 1011 0010 1011 .. 1100 1110 = 2 B 1100 1110 = 2 B .. C EC E
101011.1100111101011.110011122 = 2B.CE= 2B.CE1616
6)6) s = 16, Ns = 16, Nss = AB.CD, r = 8, N= AB.CD, r = 8, Nrr = ?= ?
NNss = = AA BB . . CC DD = (= (10101010 10111011 . . 11001100 11011101))22
NNss = (= (001010 101101 011011 . . 110110 011011 010100))22
NNss = (= (22 55 33 . . 66 33 22) ) 88
AB.CDAB.CD1616 = 253.632= 253.63288
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