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MTDI I - 2007/08 - Produto Interno 26
Produto interno, externo e misto de vectores
A noção de produto interno (ou escalar) de vectores foi introduzida no ensino secundário,
para vectores com duas ou três coordenadass. Neste capítulo generaliza-se esta noção.
Os espaços Rn
No ensino secundário foram estudados vectores no plano, da forma (x; y); e no espaço, da
forma (x; y; z) : Denomina-se por espaço R2 o conjunto dos vectores no plano e por espaço
R3 o conjunto dos vectores no espaço. Embora se perca a interpretação geométrica, é fácil
generalizar estas de…nições a dimensões maiores e de…nir o espaço Rn, para qualquer n 2 N:
Rn = f(x1; x2; :::; xn) : x1; x2; :::; xn 2 Rg
Os elementos de Rn designam-se genericamente por vectores e as de…nições de soma de
vectores e de produto de um número real por um vector decorrem naturalmente das de…nições
análogas no plano e no espaço.
Exemplos:
1. Espaço R4 = f(x1; x2; x3; x4) : x1; x2; x3; x4 2 Rg
2. (�1; 0; 3; 1; 6) é um vector do espaço R5:
3. Soma de vectores: (1; 2; 3; 4; 5; 6) + (6; 5; 4; 3; 2; 1) = (7; 7; 7; 7; 7; 7)
4. Produto de um numero real por um vector: Para � 2 R, � (�1; 0; 3; 1; 6) = (��; 0; 3�; �; 6�)
Produto interno euclidiano
O produto interno ou escalar de dois vectores u e v em R2 ou R3 foi de…nido pela expressão:
u � v = kuk kvk cos] (u:v) :
Esta expressão pressupõe que se pode medir o comprimento dos vectores e a amplitude do
ângulo por eles formado. Quando a dimensão aumenta e se perde a interpretação geométrica
dos vectores, essas medições não são possíveis. Para generalizar a de…nição de produto
interno aos outros espaços Rn utiliza-se a expressão, também já conhecida, do produto
escalar usando as coordenadas dos vectores. No caso do espaço R2, por exemplo, sendo
u = (u1; u2) e v = (v1; v2) dois vectores o produto interno é:
(u1; u2) � (v1; v2) = u1v1 + u2v2
Assim, se u = (u1; u2; : : : ; un) e v = (v1; v2; : : : ; vn) são vectores de Rn, o produto interno
euclidiano (ou usual) u � v1 é de…nido por
u � v = u1v1 + u2v2 + � � �+ unvn
1Para o produto interno de dois vectores u e v também se usam a notações ujv e hu; vi :
MTDI I - 2007/08 - Produto Interno 27
Exemplo: Em R5;
(1; 2; 3; 4; 5) � (5; 4; 3; 2; 1) = 1� 5 + 2� 4 + 3� 3 + 4� 2 + 5� 1 = 35:
A partir da de…nição obtêm-se sem di…culdade as seguintes propriedades:
Propriedades: Se u; v; w são vectores de Rn e � 2 R, então:
1. u � v = v � u.
2. u � (v + w) = u � v + u � w:
3. 8� 2 R; (�u) � v = � (u � v) = u � (�v) :
4. u � u � 0 e u � u = 0 se e só se u = (0; 0; : : : ; 0).
Nota: Pode-se de…nir produto interno de uma forma ainda mais geral, como sendo qualquer
aplicação que a um par de vectores faça corresponder um número real e satisfaça as quatro
propriedades enunciadas. Um exemplo é o produto interno euclidiano com pesos que se
de…ne, para vectores de Rn; u = (u1; u2; : : : ; un) e v = (v1; v2; : : : ; vn), e sendo k1;k2; : : : ; kn
números reais positivos, pela fórmula:
u � v = k1u1v1 + k2u2v2 + � � �+ knunvn:
Norma euclidiana
Usando a de…nição de produto interno em Rn podem também ser generalizadas as noções
de norma de vectores e de distância entre dois vectores.
Sejam u = (u1; u2 : : : ; un) e v = (v1; v2; : : : ; vn) vectores de Rn: De…ne-se:
1. Norma euclidiana de u, kuk = pu � u =
p
u21 + u
2
2 + � � �+ u2n.
2. Distância entre os vectores u e v; d (u; v) = ku� vk = k(u1 � v1; u2 � v2; : : : ; un � vn)k.
Exemplo: Em R5 :
k(1; 2; 3; 4; 5)k =p(1; 2; 3; 4; 5) � (1; 2; 3; 4; 5) = p12 + 22 + 32 + 42 + 52 = p55
d ((1; 2; 3; 4; 5) ; (5; 4; 3; 2; 1)) = k(1; 2; 3; 4; 5)� (5; 4; 3; 2; 1)k = k(�4;�2; 0; 2; 4)k = p40
Propriedades: Sejam u e v vectores de Rn e � 2 R, então:
1. kuk � 0 e kuk = 0 se e só se u = (0; 0; : : : ; 0) :
2. d (u; v) � 0 e d (u; v) = 0 se e só se u = v:
3. k�uk = j�j kuk :
4. ku+ vk � kuk+ kvk (desigualdade triangular).
5. ju � vj � kuk kvk (desigualdade de Cauchy-Schwarz2).
2Augustin Louis Cauchy, matemático francês (1789-1857). Hermann Amandus Schwarz, matemático
alemão (1843-1921)
MTDI I - 2007/08 - Produto Interno 28
Ângulo de dois vectores
A noção de ângulo entre dois vectores pode também ser generalizada a vectores de Rn,
usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz.
Através desta desigualdade, tem-se, para u e v não nulos,
ju � vj � kuk kvk ,
, ju � vjkuk kvk � 1 ,
, �1 � u � vkuk kvk � 1: (1)
Como é sabido, se � é um ângulo cuja medida varia entre 0 e �, então cos � percorre todos
os valores entre �1 e 1. Este facto e as desigualdades (1) permitem a seguinte de…nição:
Ângulo de dois vectores não nulos u e v; ] (u; v) ; é o ângulo �; 0 � � � �; tal que
cos � =
u � v
kuk kvk ; isto é, o ângulo tal que
cos] (u; v) = u � vkuk kvk (2)
Esta era a de…nição já conhecida anteriormente para ângulo entre vectores de R2 ou de R3.
De (2) obtém-se também a fórmula, já conhecida, para o produto interno de dois vectores:
u � v = kuk kvk cos] (u; v) :
Exemplo: Em R5 :
cos]
�
(1; 1; 1; 0; 1) ;
�
�1;�1;�1;
p
6; 0
��
=
=
(1; 1; 1; 0; 1) � ��1;�1;�1;p6; 0�
k(1; 1; 1; 0; 1)k
��1;�1;�1;p6; 0�
 =
=
�3p
4
p
9
= �1
2
O ângulo � cujo co-seno é �1
2
e tal que 0 � � � � é � = 2
3
�: Assim,
]
�
(1; 1; 1; 0; 1) ;
�
�1;�1;�1;
p
6; 0
��
=
2
3
�:
Ortogonalidade
O cálculo do ângulo de dois vectores permite determinar quais os vectores de Rn que são
ortogonais, isto é, quais os vectores que formam entre si um ângulo de
�
2
: Da igualdade (2)
veri…ca-se que se u e v são dois vectores não nulos então cos] (u; v) = 0 se e só se u � v = 0:
Isto motiva a seguinte de…nição:
De…nição: Dois vectores u e v de Rn dizem-se ortogonais se u � v = 0:
MTDI I - 2007/08 - Produto Interno 29
Nota: De acordo com a de…nição o vector nulo é ortogonal a qualquer vector pois
u � (0; 0; : : : ; 0) = 0;8u 2 Rn:
Exemplos: Em R4 os vectores u = (2; 1;�3; 4) e v = (2;�12;�4; 1) são ortogonais pois
(2; 1;�3;�4) � (2;�12;�4; 1) = 0:
A noção de ortogonalidade permite generalizar o teorema de Pitágoras ao espaço Rn:
Teorema (Pitágoras): Se u e v são vectores ortogonais de Rn; então
ku+ vk2 = kuk2 + kvk2 :
Demonstração:
ku+ vk2 =
= (u+ v) � (u+ v) =
= (u � u) + (u � v)| {z }
=0
+ (v � u)| {z }
=0
+ (v � v) =
= kuk2 + kvk2
Conjuntos ortogonais e ortonormados de vectores
Um conjunto de vectores de Rn diz-se ortogonal se os vectores do conjunto forem ortogonais
dois a dois. Um conjunto ortogonal diz-se ortonormado se a norma de cada vector do
conjunto é 1.
Se nenhum dos vectores de um conjunto ortogonal é o vector nulo, pode-se obter um conjunto
ortonormado efectuando o produto de cada vector pelo inverso da sua norma, dado que,
8v 2 Rnn f(0; 0; : : : ; 0)g ; 
 1kvkv
 = ���� 1kvk
���� kvk = 1kvk kvk = 1;
A este processo de multiplicar um vector pelo inverso da norma chama-se normalização do
vector v:
Exemplos:
1. O conjunto de vectores f(0; 1; 0) ; (1; 0; 1) ; (1; 0;�1)g é ortogonal, pois
(0; 1; 0) � (1; 0; 1) = 0; (0; 1; 0) � (1; 0;�1) = 0 e (1; 0; 1) � (1; 0;�1) = 0:
MTDI I - 2007/08 - Produto Interno 30
2. Para obter um conjunto ortonormado a partir do conjunto do exemplo 1, basta nor-
malizar os vectores. Como
k(0; 1; 0)k = 1; k(1; 0; 1)k =
p
2 e k(1; 0;�1)k =
p
2
o conjunto
�
(0; 1; 0) ;
1p
2
(1; 0; 1) ;
1p
2
(1; 0;�1)
�
é ortonormado.
3. Um referencial ortonormado é um referencial no qual os vectores que o constituem
formam um conjunto ortonormado.
Determinantes de ordem 2 e 3.
O determinante de uma matriz quadrada é um número real obtido a partir da soma de
determinados produtos de elementos da matriz. Descreve-se aqui apenas como se calculam
determinantes de matrizes de ordem 2 e 3.
Ordem 2:
Se A =
"
a11 a12
a21 a22
#
; então o seu determinante édetA = a11a22 � a12a21
Exemplo: det
"
1 2
3 4
#
= 1� 4� 2� 3 = �2
Ordem 3:
Se A =
264 a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
375 ; então o seu determinante é
detA = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 � a11a23a32 � a12a21a33 � a13a22a31:
Nota: Como se pode observar, o determinante de ordem três é uma soma de seis parcelas,
três afectadas do sinal positivo e três do sinal negativo. Cada parcela é o produto de três
entradas da matriz, situadas em linhas e colunas diferentes. Para calcular estes produtos e o
sinal de que são afectados, costuma utilizar-se uma regra prática, conhecida como regra de
Sarrus3:
1- Repetem-se as duas primeiras colunas da matriz ao lado da terceira:264 a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
375 a11 a12a21 a22
a31 a32
3Pierre Frederic Sarrus (1798 - 1861) foi professor na universidade francesa de Strasbourg. A regra de
Sarrus foi provavelmente escrita no ano de 1833.
MTDI I - 2007/08 - Produto Interno 31
2 - Os produtos afectados com o sinal + obtêm-se multiplicando os elementos que se situam
ao longo de cada uma das linhas do esquema seguinte:
a11a22a33; a12a23a31 e a13a21a32
3 - Os produtos afectados com sinal � obtêm-se multiplicando os elementos que se situam
ao longo de cada uma das linhas do esquema seguinte:
a13a22a31, a11a23a32 e a12a21a33
Exemplo: Cálculo do determinante da matriz
264 1 2 34 5 6
7 8 9
375
Parcelas com sinal + :
1� 5� 9; 2� 6� 7 e 3� 4� 8
Parcelas com sinal � :
3� 5� 7; 1� 6� 8 e 2� 4� 9
det
264 1 2 34 5 6
7 8 9
375 = 1� 5� 9 + 2� 6� 7 + 3� 4� 8� 3� 5� 7� 1� 6� 8� 2� 4� 9 = 0
MTDI I - 2007/08 - Produto Interno 32
Produto externo e produto misto
O produto externo e o produto misto de vectores apenas se calculam em espaços a três
dimensões. Ao longo desta secção todos os vectores considerados são vectores do espaço R3:
De…nição de produto externo
Se u = (u1; u2; u3) e v = (v1; v2; v3) são vectores de R3 então o produto externo de u e v é o
vector:
u� v = (u2v3 � u3v2;�u1v3 + u3v1; u1v2 � u2v1)
ou, em linguagem de determinantes,
u� v =
 
det
"
u2 u3
v2 v3
#
;� det
"
u1 u3
v1 v3
#
; det
"
u1 u2
v1 v2
#!
Exemplo:
Se u = (1; 2; 3) e v = (4; 5; 6)
u� v =
=
 
det
"
2 3
5 6
#
;� det
"
1 3
4 6
#
; det
"
2 3
5 6
#!
=
= (�3; 6;�3)
Veri…ca-se que (�3; 6;�3) � (1; 2; 3) = 0 e (�3; 6;�3) � (4; 5; 6) = 0; ou seja, o vector u� v é
ortogonal ao vector u e ao vector v: Esta propriedade é geral e é uma das propriedades que
se enunciam de seguida.
Propriedades do produto externo
Sejam u; v; w 2 R3 e k 2 R.
1. Se existe � 2 R tal que u = �v ou v = �u, u� v = (0; 0; 0) :
2. Em particular, u� u = (0; 0; 0) e u� (0; 0; 0) = (0; 0; 0)� u = (0; 0; 0) :
3. (u� v) � u = 0 (u� v é ortogonal a u).
4. (u� v) � v = 0 (u� v é ortogonal a v).
5. ku� vk = kuk kvksen] (u; v) :
6. Se u = (u1; u2; u3), v = (v1; v2; v3) e u� v = (z1; z2; z3) então det
264 u1 u2 u3v1 v2 v3
z1 z2 z3
375 > 0:
7. u� v = � (v � u) :
8. u� (v + w) = (u� v) + (u� w) :
9. (u+ v)� w = (u� w) + (v � w) :
10. k (u� v) = (ku)� v = u� (kv) :
MTDI I - 2007/08 - Produto Interno 33
De…nição de produto misto
Se u; v; w 2 R3; então o produto misto de u; v e w é
u � (v � w) :
O produto misto de três vectores é um número real que pode ser calculado, sendo u =
(u1; u2; u3) ; v = (v1; v2; v3) e w = (w1; w2; w3), por:
u � (v � w) = det
264 u1 u2 u3v1 v2 v3
w1 w2 w3
375
Propriedades do produto misto
Sendo u; v; w 2 R3; então
1. u � (v � w) = 0 se e só se um dos vectores u; v ou w é combinação dos outros. (por
exemplo, se u = (1; 2; 3) ; v = (1; 0; 1) e w = (1; 4; 5) ; então u � (v � w) = 0; pois
(1; 4; 5) = 2 (1; 2; 3)� (1; 0; 1) = 2u� v)
2. u �(v � w) = (u� v) �w (no produto misto as operações podem ser trocadas, mantendo
a ordem dos vectores)
Aplicações do produto externo e produto misto
1. O produto externo pode ser utilizado sempre que se pretenda encontrar, em R3, um
vector que seja simultaneamente ortogonal a dois vectores dados (que sejam linearmente
independentes).
2. É sabido que equação de um plano com a direcção de dois vectores dados u; v e que
passe pela origem é da forma
ax+ by + cz = 0
em que (a; b; c) é um vector ortogonal a u e a v: Para encontrar essa equação pode-se
considerar para (a; b; c) o vector u� v:
Exemplo: De acordo com o exemplo da página 32, a equação do plano com a direcção
dos vectores u = (1; 2; 3) e v = (4; 5; 6) e que passa na origem pode ser
�3x+ 6y � 3z = 0
3. A área do paralelogramo de…nido por dois vectores u e v é dada por ku� vk :
4. O volume do paralelipípedo de…nido por três vectores u; v e w é dado por ju � (v � w)j :

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