Exercícios e Respostas Capítulo 35 Interferência

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mlJ Capítulo 35 1 Interferência
1983, como vimos, o novo padrão não foi considerado suficientemente preciso pará 
atender às exigências cada vez maiores da ciência e da tecnologia, e o metro foi re-
definido novamente, dessa vez com base em um valor arbitrado para a velocidade 
da luz. 
O Princípio de Huygens A propagação em três dimensões 
de ondas, corno a luz pode muitas vezes ser descrita pelo princí-
pio de Huygens, segundo o qual todos os pontos de uma frente de 
onda se comportam como fontes pontuais para ondas secundá-
rias. Depois de um intervalo de tempo t a nova posição da f rente 
de onda é dada por uma superfície tangente às ondas secundárias. 
A lei da refração pode ser deduzida a partir do princípio de 
Huygens se supusermos que o índice de refração de qualquer 
meio é dado por n = c!v, onde v é a velocidade da luz no meio e e 
é a velocidade de luz no vácuo. 
Comprimento de Onda e Índice de Refração O com-
primento de onda A,, da luz em um meio depende do índice de re-
fração n do meio: 
A 
A" = - ,
n 
(35-8) 
onde A é o comprimento de onda da luz no vácuo. Por causa dessa 
dependência, a diferença de fase entre duas ondas pode variar se as 
ondas se propagarem em meios com diferentes índices de refração. 
O Experimento de Young No experimento de interferência 
de Young, a luz que passa por uma fenda em um anteparo incide 
em duas fendas cm um segundo anteparo. A luz que passa pelas 
fendas cio segundo anteparo se espalha na região do outro lado do 
anteparo e as duas ondas interferem uma com a outra, produzindo 
uma figura de interferência em urna tela de observação. 
A intensidade ela luz em qualquer ponto ela tela ele obser-
vação depende da diferença entre as distâncias percorridas pelos 
raios ele luz entre as fendas .e o ponto considerado. Se a diferença 
é um número inteiro de comprimentos de onda, as ondas interfe-
rem construtivamente e a intensidade luminosa é máxima. Se a 
diferença é um número ímpar de meios comprimentos de onda, 
as ondas interferem destrutivamente e a intensidade luminosa é 
mínima. Em termos matemáticos, as condições para que a inten-
sidade luminosa seja máxima e mínima são 
dsenO=mA, param=0,1,2 , . . . 
(máximos: franjas claras). (35-14) 
dsen&= (m + i)A, p a r a m = O, 1,2, . . . 
(mínimos: franjas escuras), (35-16) 
onde e é o ângulo entre os raios luminosos e uma perpendicular 
à tela passando por um ponto eqüidistantc das fendas, e d é a dis-
tância entre as fendas. 
Coerência Para que duas ondas luminosas interfiram urna 
com a outra de forma perceptível, a diferença ele fase entre as 
ondas deve permanecer constante com o tempo, ou seja, as on-
das elevem ser coerentes. Quando duas ondas coerentes se com-
binam, a intensidade resultante pode ser calculada pelo método 
cios fasores. 
Intensidade das Franjas de Interferência No experi-
mento de interferência de Young, duas ondas de intensidade !, 
produzem na tela de observação uma onda resultante cuja inten-
sidade l é dada por 
1 = 41 0 cos2 1<J,,
2Tid 
onde 41 = - - sene 
A 
(35-22, 35-23) 
As Eqs. 35-14 e 35-16, usadas para calcular as posições dos máxi-
mos e mínimos da figura ele interferência, podem ser demonstra-
das a partir das Eqs. 35-22 e 35-23. 
Interferência em Filmes Finos Quando a luz incide em 
um filme fino transparente, as ondas refletidas pelas superfícies 
anterior e posterior do filme interferem uma com a outra. Quan-
do o filme estü suspenso no ar e a incidência é quase perpendicu-
lar as condições para que a intensidade da luz refletida seja müxi-
ma e mínima são 
i A 2L = (m + 3) - , para rn = O, 1, 2, . . . 
- nz 
(máximos; filme claro no ar), 
A 
2L = m - , para rn = O, 1, 2, . . . 
(mínimos: filme escuro no ar), 
(35-36) 
(35-37 
onde n2 é o índice ele refração cio filme, L é a espessura do filme e 
A é o comprimento de onda da luz no ar. 
Quando a luz incidente na interface de dois meios com di-
ferentes índices de refração se encontra inicialmente no meio 
em que o índice ele refração é menor, a reflexão produz uma 
mudança de fase de 7T rad, ou meio comprimento ele onda, na 
onda refletida. Quando a luz se encontra inicialmente no meio 
em que o índice de refração é maior, a fase não é modificada 
pela reflexão. 
O lnterferômetro de Michelson No inlerferômetro de Mi-
chelson uma onda luminosa é dividida em dois feixes que, depois 
de percorrerem caminhos diferentes, são recombinados para pro-
duzir uma figura de interferência. Quando a distância percorrida 
por um cios feixes varia é possível medir essa variação com gran-
de precisão em termos ele comprimentos de onda da luz, bastan-
do para isso contar o número de franjas de que se desloca a figura 
de interferência. 
1 A Fig. 35.24 mostra dois raios luminosos que estão inicial-
mente em fase e se refletem em várias superfícies de vidro. 
Despreze a ligeira inclinação do raio luminoso da direita. (a) 
Qual é a diferença entre as distâncias percorridas pelos dois 
raios? (b) Qual deve ser essa diferença, em comprimentos de 
onda A, para que os raios estejam em fase no final do processo? 
(c) Qual é o menor valor de d para que a diferença de fase do
item (b) seja possível?
1 - + - d - - + - - d 
FIG. 35-24 Pergunta 1. 
2 Na Fig. 35-25 três pulsos luminosos de mesmo comprimento 
de onda, a, b e e, atravessam blocos de plásticos de mesmo com-
primento cujos índices de refração são dados. Coloque os pulsos 
na ordem do tempo que levam para atravessar os blocos, come-
çando pelo mais lento. 
FIG. 35-25 Pergunta 2. 
3 Uma onda luminosa se propaga em uma nanoestrutura com 
1500 nm de comprimento. Quando um pico da onda está cm uma 
das extremidades da nanoestrutura existe um pico ou um vale na 
outra extremidade se o comprimento de onda é (a) 500 nm; (b) 
1000 nm? 
4 Quando passamos de uma franja clara de uma figura de inter-
ferência de duas fendas para a franja clara seguinte, afastando-
nos do centro, (a) a diferença t:.L entre as distâncias percorridas 
;:>elos dois raios aumenta ou diminui? (b) Qual é o valor da varia-
ção em comprimentos de onda A? 
5 A distância entre as franjas de uma figura de interferência 
j e duas fendas aumenta, diminui ou permanece constante (a) 
quando a distância entre as fendas aumenta; (b) quando a cor da 
:uz muda de vermelho para azul; (c) quando todo o equipamento 
experimental é imerso em água? (d) Se as fendas são iluminadas 
;::om luz branca, o ponto em que a intensidade da luz vermelha 
t máxima nos máximos laterais está mais próximo ou mais dis-
tante do centro que o ponto em que a intensidade da luz azul é 
máxima? 
6 A Fig. 35-26 mostra dois raios luminosos, com um compri-
:nento de onda de 600 nm, que se refletem em superfícies de 
,·idro separadas por uma distância de 150 nm. Os raios estão 
inicialmente em fase. (a) Qual é a diferença entre as distâncias 
percorridas pelos dois raios? (b) Ao retornarem à região que fica 
Perguntas 
do lado esquerdo das superfícies de vidro, as fases dos dois raios 
são iguais, opostas ou nem uma coisa nem outra? 
: . ; 
1 
1 1 
f-<--150nm--J 
1 1 
FIG. 35-26 Pergunta 6. 
7 Existe um máximo de interferência, um mínimo de interfe-
rência, um estado intermediário próximo de um máximo ou um 
estado intermediário próximo de um mínimo no ponto P da Fig. 
35-10 se a diferença entre as distâncias percorridas pelos dois 
raios é (a) 2,2A; (b) 3,5A; (c) 1,8A; (d) 1,0A? Para cada situação, 
determine o valor de m associado ao máximo ou mínimo envol-
vido. 
8 A Fig. 35-27a mostra a intensidade I em função da posição x 
na tela de observação para a parte central de uma figura de in-
terferência de dupla fenda. As outras partes da figura mostram 
diagramas fasoriais das componentes de campo elétrico das 
ondas que chegam à tela depois de passarem pelas duas fendas 
( como na Fig. 35-13a ). Associetrês pontos numerados da Fig. 
35-27a aos três diagramas fasoriais das Figs. 35-27b, 35-27c e 35-
27d. 
f 
FIG. 35-27 Pergunta 8. 
9 A Fig. 35-28 mostra duas fontes, S1 e S2, que emitem ondas de 
rádio de comprimento de onda A cm todas as direções. As fon-
tes estão exatamente em fase, separadas por uma distância igual 
a 1,5A. A reta vertical é a mediatriz do segmento de reta que liga 
as duas fontes. (a) Se começamos no ponto indicado na figura e 
percorremos a trajetória 1, a interferência produz um máximo ao 
longo da trajetória, um mínimo ao longo da trajetória ou mínimos 
e máximos se alternam? Responda à mesma pergunta (b) para a 
trajetória 2; (c) para a trajetória 3. 
_____ j_ __ ___ j,_ _______ - - - - - -Início Início 
FIG. 35-28 Pergunta 9. 
&l•I•H Capítulo 35 1 Interferência
10 A Fig. 35-29 mostra a passagem de um raio de luz perpen-
dicular (mostrado com uma pequena inclinação para tornar a fi-
gura mais clara) por um filme fino suspenso no ar. (a) O raio r3 
sofre uma mudança de fase por reflexão? (b) Qual é a mudança 
de fase por reflexão do raio r4, cm comprimentos de onda? ( c) Se 
a espessura do filme é L, qual é a diferença de percurso entre os 
raios r3 e r4? 
FIG. 35·29 Pergunta 10. 
11 A Fig. 35-30 mostra quatro situações nas quais a luz incide 
perpendicularmente em um filme fino de largura L situado entre 
placas muito mais espessas feitas de materiais diferentes. Os índi-
ces de refração são dados. Em que situações a Eq. 35-36 corres-
ponde à condição para que a intensidade da onda refletida seja 
máxima ( ou seja, para que o filme pareça claro)? 
• - • • • O número de pontos indica o grau de dificuldade do problema
_1b _L b_1 
L 1,6 1,6 1,3 1,6 L 
T 1,8 1,4 1,4 1,5 -r
(a) (h) (e) (á) 
FIG. 35-30 Pergunta 11. 
12 A Fig. 35-31a mostra uma vista de perfil de um filme fino verti-
cal cuja largura de cima para baixo aumenta porque a gravidade faz 
o filme escorrer. A Fig. 35.31b mostra o filme visto de frente, com 
as quatro franjas claras que aparecem quando o filme é iluminado
por um feixe perpendicular de luz vermelha. Os pontos indicados
por letras correspondem à posição das franjas claras. Em termos do 
comprimento de onda da luz no interior do filme, qual é a diferença
de espessura do filme (a) nos pontos a e b; (b) nos pontos b e d? 
a 
b 
( , 
d 
(a) (b) FIG. 35-31 Pergunta 12. 
� Informações adicionais disponíveis em O Circo Voador da Física, de Jearl Walker, Rio de Janeiro: LTC, 2008. 
seção 35-2 A Luz como uma Onda 
•1 A velocidade da luz amarela (produzida por uma lâmpada
de sódio) em um certo líquido é 1,92 X ]08 m/s. Qual é o índice de
re fração do líquido para essa luz? 
02'1 Na Fig. 35-32a, um raio luminoso que estava se propagando 
no material 1 incide em uma interfàce com um ângulo de 30 º . O
desvio sofrido pelo raio devido à refração depende, em parte, do 
índice de refração n2 do material 2. A Fig. 35-32b mostra o ân-
gulo de refração ( h em função de n2. A escala do eixo horizontal é 
definida por na = 1,30 e 11 1, = 1,90. Qual é a velocidade da luz no
material 1? r< 1-= 1, s l"\..J Q - 1, 5 
200 - - - - - - - n2 
nª n,, 
(a) (b) 
FIG. 35-32 Problema 2. 
•3 Qual é a diferença, em metros por segundo, entre a veloci-
dade da luz na safira e a velocidade da luz no diamante? Veja a
Ta bela 33-1. 
I 
•4 O comprimento de onda da luz amarela do sódio no ar é 589 
11111. (a) Qual é a freqüência da luz? (b) Qual é o comprimento de 
onda da luz em um vidro com um índice de refração de 1,52? (c) 
Use os resultados dos itens (a) e (b) para calcular a velocidade da 
luz no vidro. 
/ " \
 · Na Fig. 35-4, suponha que duas ondas com um comprimento
de onda de 400 nm, que se propagam no ar, estão inicialmente
em fase. Uma atravessa uma placa de vidro com um índice de re-
fração n1 = 1,60 e espessura L; a outra atravessa uma placa de 
plástico com um índice de refração n2 = 1,50 e a mesma espes-
sura. (a) Qual é o menor valor de L para a qual as ondas deixam 
as placas com uma diferença de fase de 5,65 rad? (b) Se as ondas 
chegam ao mesmo ponto com a mesma amplitude, a interferência 
é totalmente construtiva, totalmente destrutiva, mais próxima de 
construtiva ou mais próxima de destrutiva? -, ' " , ,0 c. 1,' -Ú ] --> ,1 -· ' ' " - ( ) ' Y I J 
•6 Na Fig. 35-33, a onda luminosa representada pelo raio r1 é
rel'letida uma vez em um espelho, enquanto a onda representad2
pelo raio r2 é refletida duas vezes nesse espelho e uma vez err: 
um pequeno espelho situado a uma distância L do espelho prin-
cipal. (Despreze a pequena inclinação dos raios.) As ondas têm 
um comprimento de onda A e es-
tão inicialmente em oposição de
fase. Determine (a) o menor; (b)
o segundo menor e (c) o terceiro
menor valor de LIA para que as 
ondas finais estejam exatamente 
em fase. 
> - < - - - - [ , - - - -
FIG. 35-33 Problemas 6 e 7. 
•7 Na Fig. 35-33, a onda luminosa representada pelo raio r1 é
refletida uma vez em um espelho, enquanto a onda representada
pelo raio r2 é refletida duas vezes nesse espelho e uma vez em um
pequeno espelho situado a uma distância L do espelho principal.
(Despreze a pequena inclinação dos raios.) As ondas têm um
comprimento de onda de 620 nm e estão inicialmente em fase. (a)
Determine o menor valor de L para que as ondas finais estejam
em oposição de fase; (b) determine qual deve ser o acréscimo de
La partir do valor calculado no item (a) para que as ondas finais
tquem novamente em oposição de fase.
•8 Na Fig. 35-34, dois pulsos luminosos atravessam placas de
-plástico de espessura L ou 2L e índices de refração n 1 = 1,55, 
n2 = 1,70, n3 = 1,60, n4 = 1,45, n5 = 1,59, n6 = 1,65 e n7 = 1,50. (a)
Qual dos dois pulsos chega primeiro à outra extremidade das pla-
cas? (b) A diferença entre os tempos de trânsito dos dois pulsos é
igual a que múltiplo de L/c?
Pulso 
n1 2 112 
n3 n4 
-
Pulso n5 n 6 n7 1 -
FIG. 35-34 Problema 8. 
. . 9 Suponha que o comprimento de onda no ar das duas on-
das da Fig. 35-4 é A = 500 nm. Determine o múltiplo de A que
expressa a diferença de fase entre as ondas depois de atravessar 
os dois materiais (a) se n1 = 1,50, n2 = 1,60 e L = 8,50 µm; (b) se
n .1 = 1,62, n2 = 1,72 e L = 8,50 µm; (c) se n 1 = 1,59, n2 = 1,79 e
L = 3,25 µ,m.( d) Suponha que, nas três situações, os dois raios se
encontram no mesmo ponto e com a mesma amplitude depois de 
atravessar os materiais. Coloque as situações na ordem da inten-
sidade da onda total, começando pela maior. 
. . 10 Na Fig. 35-35, dois raios luminosos percorrem diferentes 
trajetos sofrendo reflexões em espelhos planos.As ondas têm um 
comprimento de onda de 420,0 nm e estão inicialmente em fase. 
Determine (a) o primeiro e (b) o segundo menor valor de L para 
o qual as ondas estão com fases opostas ao saírem da região onde
se encontram os espelhos.
r--
L 
1 
1 - - - L -.. 1 
1 1 
Raio l --ic-+---t--......,._ t 
L 
L __ 
FIG. 35-35 Problemas 10 e 94. 
. . 11 Na Fig. 35-4, suponha que as duas ondas luminosas, cujo 
comprimento de onda no ar é 620 nm, têm inicialmente uma di-
ferença de fase de 1r rad. Os índices de refração dos materiais são 
n 1 = 1,45 e n2 = 1,65. Determine (a) o menor e (b) o segundo
Problemas I 
menor valor de L para o qual as duas ondas estão exatamente em 
fase depois de atravessar os dois materiais. 
•• 12 Na Fig. 35-36, um raio luminoso incide com um ângulo
81 = 50 º em uma série de cinco placas transparentes com interfa-
ces paralelas. Para as placas 1 e 3, L 1 = 20 µ,m, L3 = 25 µ.m. 111 =
1,6 e n3 = 1,45. (a) Com que ângulo a luz volta para o ar depois de
passar pelas placas? (b) Quanto tempo a luz leva para atravessar
a placa 3? 
Ar Ar 
FIG. 35-36 Problema 12. 
. . 13 Duas ondas luminosas no ar, de comprimento de onda 
600,0 nm, estão inicialmente em fase. As ondas passam por cama-
das de plástico,como na Fig. 35-37, com L1 = 4.00 µ,m, L2 = 3.50
µ,m, n 1 = 1,40 e n2 = 1,60. (a) Qual é a diferença de fase, em com-
primentos de onda, quando as ondas saem dos dois blocos? (b) Se 
as ondas são superpostas em uma tela, com a mesma amplitude, 
a interferência é totalmente construtiva, totalmente destrutiva, 
mais próxima de construtiva ou mais próxima ele destrutiva? 
.. .. 
.. 
FIG. 35-37 Problema 13. 
seção 35-4 O Experimento de Young 
•14 Uma luz verde monocromática com um comprimento de 
onda de 550 nm é usada para iluminar duas fendas estreitas pa-
ralelas separadas por uma distância ele 7,70 µ,m. Calcule o desvio
angular (8 na Fig. 35-'IO) da franja dara ele terceira ordem (m =
3) (a) em radianos e (b) em graus.
 15 Na Fig. 35-38 duas fontes pontuais de radiofreqüência 51 e 
S2, separadas por uma distância d = 2,0 m, estão irradiando em
fase com A = 0,50 m. Um detector descreve urna longa trajetó-
ria circular em torno das fontes, em um plano que passa por elas. 
Quantos máximos são detectados? 
- - - - - - - 4 0 - - - - - - - - X 
FIG. 35-38 Problemas 15 e 2-t . 
 ' Em um experimento de dupla fenda a distância entre as 
fendas é ·100 vezes maior que o comprimento de onda usado para 
iluminá-las. (a) Qual é a separação angular em radianos entre o 
Capítulo 35 1 Interferência 
máximo central e o máximo mais próximo? (b) Qual é a distância 
entre esses máximos em uma tela situada a 50,0 cm das fendas? 
•17 Um sistema de dupla fenda produz franjas de interferência
para a luz do sódio (A = 589 nm) com uma separação angular de
3,50 X 10-3 rad. Para que comprimento de onda a separação an-
gular é 10,0% maior? -al.l --;; r n r y y
•18 Um sistema de dupla fenda produz franjas de interferência
para a luz do sódio (A = 589 nm) separadas por 0,20º . Qual é a
separação das franjas quando o sistema é imerso em água (n = 
1,33)? o , \'=>o 
•19 Suponha que o experimento de Young seja realizado com 
uma luz verde-azulada com um comprimento de onda de 500 11111. 
A distância entre as fendas é 1,20 mm e a tela de observação está
a 5,40 m das fendas. A que distância estão as franjas claras situa-
das perto do centro da figura de difração?
•20 No experimento de dupla fenda da Fig. 35-10, o ângulo e
é 20 º , a distância entre as fendas é 4,24 fLI11 e o comprimento de 
onda é A = 500 nm. (a) Que múltiplo de À corresponde à dife-
rença de fase entre as ondas associadas aos raios r1 e r2 ao chega-
rem ao ponto P da tela distante? (b) Qual é a diferença de fase 
em radianos? (c) Determine a posição do ponto P, indicando o 
máximo ou mínimo em que se encontra ou o máximo e o mínimo 
entre os quais se encontra. 
••21 Na Fig. 35-39, as fontes A e B emitem ondas de rádio de
longo alcance com um comprimento de onda de 400 m, com a
fase da emissão da fonte A adiantada de 90 º em relação à fonte
B. A diferença entre a distância r A entre a fonte A e o detector D
e a distância r8 entre a fonte B e o detector D é 100 m. Qual é a
diferença de fase entre as ondas no ponto D? 
A B 
FIG. 35-39 Problema 21. 
. . 22 A luz solar é usada em um experimento de dupla fenda. O 
máximo de quarta ordem para um comprimento de onda de 450 
nm é observado para um ângulo e = 90 º . Assim, está no limite
para ser excluído da figura de interferência, já que e não pode
ser maior que 90º na Eq. 35-14. (a) Que faixa de comprimentos 
de onda dentro do espectro da luz visível ( 400 11111 a 700 nm) não 
está presente nos máximos de terceira ordem? Para eliminar toda 
a luz visível do máximo de quarta ordem (b) a distância entre as 
fendas deve ser aumentada ou reduzida? (c) Qual a menor varia-
ção necessária da distância entre as fendas? 
. . 23 Na Fig. 35-40, duas fontes pontuais isotrópicas, S1 e S2, es-
tão sobre o eixo y, separadas por uma distância de 2,70 fLI11, e emi-
tem em fase com um comprimento de onda de 900 nm. Um de-
tector de luz é colocado no ponto P, situado sobre o eixo x, a uma 
distância X p da origem. Qual é o maior valor de x p para o qual a 
luz detectada é mínima devido a uma interferência destrutiva? 
------,--t:: ,------· -----e-p-x
FIG. 35-40 Problemas 23, 28 e 
1,22. 
. . 24 Na Fig. 35-38, duas fontes pontuais isotrópicas, S, e S2, emi-
tem ondas luminosas em fase cujo comprimento de onda é À. As 
fontes estão sobre o eixo x, separadas por uma distância d, e um 
detector de luz é deslocado ao longo de uma circunferência, de 
raio muito maior que a distância entre as fontes, cujo centro está no 
ponto médio da reta que liga as fontes. São detectados 30 pontos 
de intensidade zero, entre eles dois sobre o eixo x, um à esquerda 
das fontes e outro à direita das fontes. Qual é o valor de d/A? 
••25 Em um experimento de dupla fenda, a distância entre as 
fendas é 5,0 mm e as fendas estão a 1,0 m de distância da tela.
Duas figuras de interferência são vistas na tela, uma produzida
por uma luz com um comprimento de onda de 480 nm e outra
por uma luz com um comprimento de onda de 600 nm. Qual é a
distância na tela entre as franjas claras de terceira ordem (m = 3) 
das duas figuras de interferência? :.,· ' ·,,--2-,'Yn 
. . 26 Na Fig. 35-41, duas fontes pontuais isotrópicas, S, e 52. 
emitem luz em fase com comprimento de onda A e a mesma am-
plitude. As fontes, separadas por uma distância 2d = 6,00A, estão
sobre uma reta paralela ao eixo x. O eixo x está em uma tela de 
observação situada a uma distância D = 20,0A das fontes, com a
origem eqüiclistante das fontes. A figura mostra dois raios che· 
gando ao ponto P da tela, na posição x p . (a) Para que valor de x i '
os raios apresentam a menor diferença de fase possível? (b) Para 
que múltiplo de A a diferença de fase é a menor possível? ( c) Para 
que valor de X p os raios apresentam a maior diferença de fase 
possível? ( d) Para que múltiplo de A a diferença de fase é a maior 
possível? (e) Qual é a diferença de fase para X p = 6,00A? (f) Para 
Xp = 6,00A, a intensidade da luz no ponto P é máxima, mínima. 
mais próxima da máxima ou mais próxima da mínima? 
FIG. 35-41 Problema 26 . 
. . •27 Quando uma das fendas de um sistema de dupla fenda 
é coberto com uma placa fina de mica (n = 1,58), o ponto central
da tela de observação passa a ser ocupado pela sétima franja late-
ral clara (m = 7) da antiga figura de interferência. Se A = 550 nrn. 
qual é a espessura da placa de mica? 
. . . . 28 A Fig. 35-40 mostra duas fontes luminosas isotrópicas, S, e 
52, que emitem em fase com um comprimento de onda de 400 n!I'. 
e mesma amplitude. Um detector P é colocado sobre o eixo x, que 
passa pela fonte S1. A diferença de fase</; entre os raios provenien-
tes das duas fontes 
é medida entre x = 
O e x = +oo; os re-
sultados entre O e xs 
= 10 X 10-7 mapa-
recem na Fig. 35-42. 
Qual é o maior va-
lor de x para o qual 
_os raios chegam ao 
detector P com fa-
ses opostas? 
6n
-s- 2n
() 
1 +· t -·
X (10-'i m) 
FIG. 35·42 Problema 28. 
seção 35-6 Intensidade das Franjas de Interferência 
•29 Duas ondas de mesma freqüência têm amplitudes 1,00 e
2,00. As ondas interferem em um ponto no qual a diferença de 
fase é 60,0° . Qual é a amplitude resultante?
•30 Determine a soma y das seguintes [unções:
y 1 = lOsen wt e y2 = 8,0sen(wt + 30
º ). 
. . 31 Três ondas eletromagnéticas passa111 por um certo ponto P 
situado sobre o eixo x. As ondas estão polarizadas paralelamente 
ao eixo y. e as amplitudes dos campos elétricos são dadas pelas 
funções a seguir. Determine a onda resultante no ponto P. 
E 1 = (10.0 µ.Vim) sen[(2,0 x 101 radls)t] 
E2 = (5,00 µ,Vim) scn[(2,0 X 10 14 radls)t + 45,0 º J 
E::. = (5,00 µ,Vim) sen[(2.0 X 10 14 radls)r - 45,0º ] 
. . 32 No experimento de dupla fenda da Fig. 35-10 os campos 
elétricos das ondas que chegam ao ponto P são dados por 
E1 = (2,00 µ,Vim) scn((l.26 X 10 1 )t] 
E2 = (2,00 µ,Vim) sen[(l,26 X 10 15)t + 39,6 rad],onde o tempo t está em segundos. (a) Qual é o módulo do campo 
 tétrico resultante no ponto P? (b) Qual é a razão entre a intensi-
.....:.de Ir no ponto P e a intensidade Íccn no centro da figura de in-
terferência? (e) Determine a posição do ponto P na figura de inter-
ferência indicando o máximo ou mínimo em que se encontra ou o 
máximo e o mínimo entre os quais se encontra. Em um diagrama fa-
sorial dos campos elétricos. ( d) com que velocidade angular os faso-
res giram em torno da origem e (e) qual é o ângulo entre os fasores? 
. . 33 Some as funções y1 = 10 sen wt, y2 = 15 sen(wt + 30 º ) e 
y3 =5.0 sen(wt - 45 ° ) usando o método dos fasores. 
. . 34 No experimento de dupla fenda da Fig. 35-10, a tela de ob-
servação está a uma distância D = 4,00 m, o ponto P está a uma 
distância y = 20,5 cm do centro da figura de inteferência, a dis-
tância entre as fendas é d = 4,50 µ,me o comprimento de onda é 
,\ = 580 nm. (a) Determine a posição do ponto P na figura de in-
terferência, indicando o máximo ou mínimo em que se encontra 
ou o máximo e o mínimo entre os quais se encontra. (b) Calcule 
a razão entre a intensidade l P no ponto P e a intensidade Ícen no 
centro da figura de interferência. 
seção 35-7 Interferência em Filmes Finos 
•35 Os diamantes de imitação usados em bijuteria são feitos de
\'idro com índice de refração 1,50. Para que reflitam melhor a luz, 
costuma-se revesti-los com uma camada de monóxido de silício 
de índice de refração 2,00. Determine a menor espessura da ca-
mada de monóxido de silício para que uma onda de comprimento
de onda 560 nm e incidência perpendicular sofra interferência
construtiva ao ser refletida pelas duas superfícies da camada.
•36 Um feixe de luz branca incide perpendicularmente, de cima 
para baixo, cm um filme fino horizontal colocado entre placas es-
pessas de dois materiais. Os índices de refração são 1,80 para o
material de cima, 1,70 parà o filme fino e 1,50 para o material de 
baixo. A espessura do filme é 5.00 X 10-7 m. Dos comprimentos
de onda da luz visível (400 a 700 nm) que resultam cm interferên-
cia construtiva total para um observador situado acima do filme, 
qual é (a) o maior e (b) o menor comprimento de onda'?" Os ma-
teriais e o filme são aquecidos, o que faz a espessura do filme au-
mentar. (c) A interferência construtiva total passa a ocorrer para
um comprimento de onda maior ou menor?
Problemas 
•37 Uma onda luminosa de comprimento de onda 624 nm in-
cide perpendicularmente em uma película de sabão ( com 11 =
1,33) suspensa no ar. Quais são as duas menores espessuras do
filme para as quais as ondas refletidas pelo filme sofrem interfe-
rência construtiva?
•JS Uma película de sabão (n = 1,40) com 600 nm de espessura
é iluminada perpendicularmente com luz branca. Para quantos 
comprimentos de onda difere11te na faixa de 300 a 700 nm a luz 
refletida apresenta (a) interferência construtiva total e (b) inter-
ferência destrutiva total? 
'•391 Deseja-se revestir uma pl ca de vidro (11 = 1.50) com um 
filme de material transparente (11 = 1,25) para que a reflexão de 
uma luz com um comprimento de onda de 600 nm seja eliminada 
por interferência. Qual é a menor espessura possível do filme? 1 ) 
. . 40 Um filme fino de acetona (n = 1,25) está sobre uma placa 
espessa de vidro (11 = 1.50). Um feixe de luz branca incide per-
pendicularmente ao filme. Nas reflexões, a interferência destru-
tiva total acontece para 600 nm e a interferência construtiva total 
para 700 nm. Determine a espessura do filme de acetona. 
. . 41 a 52 Reff.exiío em .filmes finos. Na Fig. 35-43, a luz incide 
perpendicularmente em um filme fino de um material 2 que está 
entre placas (espessas) dos materiais 1 e 3. (Os raios foram dese-
nhados com uma pequena inclinação apenas para tornar a figura 
mais clara.) As ondas representadas pelos raios r1 e r2 interfe-
rem de tal forma que a intensidade ela onda resultante pode ser 
máxima (máx) ou mínima (mín). Para essa situação, os dados da 
Tabela 35-2 se referem aos índices de r e fração 111, n2 e n3, ao tipo 
de interferência, à espessura L do filme fino em nanômetros e ao 
comprimento de onda,\ em nanômetros da luz incidente, medido 
no ar. Nos problemas em que não é dado o comprimento de onda 
,\, pede-se o valor de,\ que está na faixa da luz visível; nos proble-
mas cm que não é dada a espessura L . pede-se a segunda menor 
espessura ou a terceira menor espessura, de acordo com a indica-
ção da tabela. 
- L
FIG. 35-43 Problemas 4 J a 52. 
. . 53 Um petroleiro avariado derrama querosene (n = 1.20) no 
golfo Pérsico, criando uma grande mancha na superfície da água 
(n = 1,30). (a) Se você está sobrevoando a mancha cm um avião. 
com o Sol a pino, em uma região onde a espessura da mancha é 
460 11111, e olha diretamente para baixo, para que comprimento(s) 
de onda da luz visível a reflexão é mais forte por causa da interfe-
rência construtiva? (b) Se você mergulhou para observar a man-
cha de baixo, para que comprimento(s) de onda da luz visível a 
intensidade da luz transmitida é maior? 
. . 54 Um filme fino com uma espessura de 272,7 nm, suspenso 
no ar, é iluminado por um feixe de luz branca. O feixe é perpendi-
cular ao filme e contém todos os comprimentos de onda do espec-
tro visível. Na luz refletida pelo filme, a luz com um comprimento 
de onda de 600,0 nm sofre interferência totalmente construtiva. 
Para que comprimento de onda a luz rcfletid sofre. interferência 
TABELA35-2 
Problemas 41 a 52: Reflexão em Filmes Finos 
n1 nz n3 
41 1,50 1,34 1,42 
42 1,32 1,75 1,39 
43 1,55 1,60 1,33 
44 1,55 1,60 1,33 
45 1,60 1,40 1,80 
46 1,40 1,46 1,75 
47 1,40 1,46 1,75 
48 1,50 1,34 1,42 
49 1,68 1,59 1,50 
50 1,68 1,59 1,50 
51 1,32 1,75 1,39 
52 1,60 1,40 1,80 
totalmente destrutiva? (Sugestão: Faça uma hipótese razoável a 
respeito do índice de refração do filme.) 
. . 55 A reflexão de um feixe de luz branca que incide perpen-
dicularmente em uma película uniforme de sabão suspensa no ar 
apresenta um máximo de interferência em 600 nm, e o mínimo 
mais próximo está em 450 nm. Se o índice de refração da película 
é n = 1,33, qual é a sua espessura? 
. . 56 Uma onda plana de luz monocromática incide normal-
mente em um filme fino de óleo de espessura uniforme que co-
bre uma placa de vidro. É possível fazer variar continuamente 
o comprimento de onda da fonte luminosa. Uma interferência
totalmente destrutiva da luz refletida é observada para compri-
mentos de onda de 500 e 700 nm e para nenhum outro compri-
mento de onda dentro desse intervalo. Se o índice de refração
do óleo é 1,30 e o do vidro é 1,50, determine a espessura do
filme de óleo.
TABELA35-3 
Tipo L 
rnín 380 
máx 325 
máx 3.º 612 
máx 285 
mín 200 
rnín 2.º 482 
mín 210 
máx 2.º 587 
rnín 2.º 342 
mín 415 
máx 3:º 382 
máx 2.º 632 
. . 57 a 68 Transmissão em filmes finos. Na Fig. 35-44, a luz in-
cide perpendicularmente em um filme fino de um material 2 que 
está entre placas (espessas) dos materiais 1 e 3. (Os raios foram 
desenhados com uma pequena inclinação apenas para tornar a 
figura mais clara.) Parte da luz que penetra no material 2 chega 
ao material 3 na forma do raio r3 (a luz que não é refletida pelo 
material 2) e parte chega ao material 3 na forma do raio r4 (a luz 
que é refletida duas vezes no interior do material 2). As ondas 
representadas pelos raios r3 e r4 interferem de tal forma que a 
intensidade da onda resultante pode ser máxima (máx) ou mí-
nima (mín). Para essa situação os dados da Tabela 35-3 se refe-
rem aos índices de refração n1, n2 e n3, ao tipo de interferr':ncia, à 
espessura L do filme fino em nanômetros e ao comprimento de 
onda À em nanômetros da luz incidente, medido no ar.Nos pro-
blemas em que não é dado o comprimento de onda A pede-se o 
valor de À que está na faixa da luz visível; nos problemas em quenão é dada a espessura L pede-se a segunda menor espessura 
Problemas 57 a 68: Transmissão em Filmes Finos 
n1 nz n3 Tipo L À 
57 1,50 1,34 1,42 mín 2.º 587 
58 1,68 1,59 1,50 máx 2.º 342 
59 1,40 1,46 1,75 máx 2.º 482 
60 1,32 1,75 1,39 mín 3.º 382 
61 1,60 1,40 1,80 mín 2.º 632 
62 1,55 1,60 1,33 mín 3.º 612 
63 1,68 1,59 1,50 máx 415 
64 1,50 1,34 1,42 máx 380 
65 1,32 1,75 1,39 mín 325 
66 1,40 1,46 1,75 máx 210 
67 1,55 1,60 1,33 mín 285 
68 1,60 1,40 1,80 máx 200 
ou a terceira menor espessura, de acordo com a indicação da ta-
bela. 
L 
FIG. 35-44 Problemas 57 a 68. 
. . 69 Na Fig. 35-45, um feixe luminoso com um comprimento de 
onda de 630 nm incide perpendicularmente em um filme fino em 
forma de cunha com um índice de refração de 1,50. Um observa-
dor situado do outro lado do filme observa 10 franjas claras e 9 
franjas escuras. Qual é a variação total de espessura do filme? 
Luz incidente 
FIG. 35-45 Problema 69. 
0 7 0 Duas placas retangulares de vidro (n = 1,60) estão em 
contato em uma das extremidades e separadas na outra extremi-
dade (Fig. 35-46). Um feixe de luz com um comprimento de onda 
de 600 nm incide perpendicularmente à placa superior. O ar entre 
as placas se comporta com.o um filme fino. Um observador que 
olha para baixo através da placa superior vê nove franjas escuras 
e oito franjas claras. Quantas franjas escuras são vistas se a dis-
tância máxima entre as placas aumenta de 600 nm? 
Luz incidente 
t ! ! ! ! 
FIG. 35-46 Problemas 70, 71, 72, 73, 74, 106, 107 e 113 . 
. . 71 Na Fig. 35-46, uma fonte luminosa com um comprimento 
de onda de 683 nm ilumina perpendicularmente duas placas de 
vidro de 120 mm de comprimento que se tocam na extremidade 
esquerda e estão separadas por uma distância de 48,0 µm na ex-
tremidade direita. O ar entre as placas se comporta como um 
filme fino. Quantas franjas claras são vistas por um observador 
que olha para baixo através da placa superior? 
. . 72 Na Fig. 35-46, um feixe de luz com um comprimento de 
onda de 620 nm incide perpendicularmente na placa superior de 
um par de placas de vidro que estão em contato na extremidade 
esquerda. O ar entre as placas se comporta como um filme fino, e 
um observador situado acima das placas vê uma figura de interfe-
rência. Inicialmente, existem uma franja escura na extremidade 
esquerda, uma franja clara na extremidade direita e nove franjas 
Problemas 1 • 
escuras fora das extremidades. Quando as placas são aproxima-
das a uma taxa constante, a franja do lado direito muda de clara 
para escura a cada 15,0 s. (a) A que taxa a distância entre as ex-
tremidades das placas na extremidade direita está variando ? (b) 
Qual é o valor dessa variação no momento em que existem fran-
jas escuras nas duas extremidades e cinco franjas escuras fora das 
extremidades? 
. . 73 Na Fig. 35-46, duas lâminas de microscópio estão em con-
tato em uma das extremidades e separadas na outra. Quando 
uma luz com um comprimento de onda de 500 nm incide verti-
calmente na lâmina superior, um observador situado acima das 
lâminas vê uma figura de interferência na qual as franjas escuras 
estão separadas por uma distância de 1,2 mm. Qual é o ângulo 
entre as lâminas? 
. . 74 Na Fig. 35-46, um feixe de luz monocromática incide per-
pendicularmente em duas placas de vidro mantidas em contato 
em uma das extremidades para criar uma cunha de ar. Um ob-
servador que olha para baixo através da placa superior vê 4001 
franjas escuras. Quando o ar entre as placas é removido apenas 
4000 franjas são vistas. Use esses dados para calcular o índice de 
refração do ar com seis algarismos significativos . 
. . 75 A Fig. 35-47a mostra uma lente com raio de curvatura R 
pousada em uma placa de vidro e iluminada de cima por uma luz 
de comprimento de onda A. A Fig. 35-47b (uma fotografia tirada 
de um ponto acima da lente) revela a existência de franjas de in-
terferência circulares ( os chamados anéis de Newton) associadas 
à espessura variável d do filme de ar que existe entre a lente e a 
placa. Determine os raios r dos anéis que correspondem aos má-
ximos de interferência,supondo que r/R 1. 
! L u z incidente
R 
Ar Vidro
Vidro 
(a) 
FIG. 35-47 Problemas 75 e 77. ( Cortesia de Bausch & Lomb) 
Capítulo 35 1 Interferência 
. . 76 Em um experimento com anéis de Newton (veja o 
Problema 75), o raio de curvatura R da lente é 5,0 m e o diâme-
tro da lente é 20 mm. (a) Quantos anéis claros são formados? 
Suponha que A = 589 nm. (b) Quantos anéis claros são formados 
se o conjunto é imerso em água (n = 1,33)? 
. . 77 Um experimento com anéis de Newton é usado para de-
terminar o raio de curvatura de uma lente (veja a Fig. 35-47 e o 
Problema 75). Os raios dos anéis claros de ordem n e n + 20 são 
0,162 e 0,368 cm, respectivamente, para um comprimento de onda 
da luz de 546 nm. Calcule o raio ele curvatura ela superfície infe-
rior da lente. 
• o 7 8 Um filme fino de um certo líquido é mantido em um 
disco horizontal, com ar dos dois lados do filme. Um feixe de luz
com um comprimento de onda de 550 nm incide perpendicu-
larmente ao filme, e a intensidade l da reflexão é medida. A Fig. 
35-48 mostra a intensidade l em função do tempo t; a escala do 
eixo horizontal é definida por t, = 20,0 s. A intensidade muda por
causa da evaporação nas duas superfícies do filme. Suponha que
o filme é plano, que as duas superfícies do filme são paralelas e
que o filme tem um raio de 1,80 cm e um índice de refração de
1,40. Suponha também que o volume do filme diminui a uma taxa
constante. Determine essa taxa.
o t, 
l (s) 
FIG. 35-48 Problema 78. 
seção 35-8 O lnterferômetro de Michelson 
a79 Se o espelho M2 de um interferômetro de Michelson (Fig. 
35-23) é deslocado de 0,233 mm, a figura de interferência se des-
loca de 792 f ranjas claras. Qual é o comprimento de onda da luz 
responsável pela figura de interferência? 
•80 Um filme fino com um índice de refração n = 1,40 é colo-
cado em um dos braços de um interferômetro ele Michelson, per-
pendicularmente à trajetória da luz. Se a introdução do filme faz
com que a figura de interferência produzida por uma luz com um 
comprimento ele onda ele 589 nm se desloque de 7,0 franjas claras,
qual é a espessura do filme') 
. . 81 Uma câmara selada contendo ar à pressão atmosférica, 
com 5,0 cm de comprimento e janelas de vidro, é colocada em um 
dos braços de um intcrfcrôme-
tro de Michelson, como na Fig. 
35-49. (As janelas de vidro da 
câmara têm uma espessura tão 
pequena que sua influência 
pode ser desprezada.) Uma 
luz de comprimento de onda 
À = 500 nm é usada. Quando 
a câmara é evacuada as franjas 
claras se deslocam 60 posições. 
A partir desses dados deter-
mine o índice de refração do ar 
à pressão atmosférica com seis 
algarismos significativos. 
Espelho 
FIG. 35-49 Problema 81. 
. . 82 O elemento sódio pode emitir luz de dois comprimentos 
de onda,A 1 = 589,10 nm eA 2 = 589,59 nm.A luz do sódio é usada 
em um interferômetro de Michelson (Fig. 35-23). Qual eleve ser o 
deslocamento do espelho M2 para que o deslocamento da figura 
de interferência produzida por um dos comprimentos de onda 
seja de 1,00 franja a mais que o deslocamento da figura de inter-
ferência produzida pelo outro comprimento de onda? 
Problemas Adicionais 
83 Ondas oceânicas, com uma velocidade de 4,0 m/s, se aproxi-
mam da praia fazendo um ângulo de 30 º com a normal, como se 
vê na vista de topo da Fig. 35-50. A profundidade da água muda 
bruscamente a uma certa distância da praia, fazendo a velocidade 
das ondas diminuir para 3,0 mls. (a) Qual é o ângulo 82 entre adi-
reção das ondas e a normal perto da praia? (Suponha que a lei de 
refração é a mesma que para a luz.) (b) Explique por que quase 
sempre as ondas incidem perpendicularmente à praia, mesmo 
quando se aproximam dacosta fazendo um ângulo relativamente 
grande com a normal. $ 
Praia I 
Água rasa 
Agua 
pr()funda 
: 
1 
FIG. 35-50 Problema 83. 
84 A Fig. 35-51a mostra dois raios luminosos, com um compri-
mento de onda no ar ele 400 nm, que estão inicialmente em fase 
enquanto se propagam para cima em um bloco de plástico. O raio 
r1 atravessa o plástico e chega ao ar. Antes de chegar ao ar o raio 
r2 passa por um líquido contido em uma cavidade do plástico. A 
altura Luq do líquido é inicialmente 40,0 µ,m, mas o líquido co-
meça a evaporar. Seja cp a diferença de fase entre os raios r 1 e r2
ao chegarem ao ar.A Fig. 35-5lb mostra o valor de cf> (em compri-
mentos de onda) em função da altura Luq do líquido, com cf> dado 
em termos de comprimentos de onda e a escala do eixo horizon-
tal definida por L5 = 40,00 µ,m. Determine (a) o índice de refra-
ção do plástico; (b) o índice de refração do líquido. 
r1 t 60 
-i 
L1iq 
l -e.. 20 - > - -
i'--... Plástico o [,, 
l,1íq ( µ r n ) 
(a) (b) 
FIG. 35-51 Problema 84. 
85 Dois raios luminosos, inicialmente em fase e com um com-
primento de onda de 500 nm, percorrem diferentes trajetórias so-
frendo reflexões em espelhos planos, como mostra a Fig. 35-52. 
(Essas reflexões não produzem mudanças de fase.) (a) Qual é o 
menor valor de d para o qual os raios têm fases opostas ao dei-
xarem a região? (Ignore a ligeira inclinação da trajetória do raio 
2.) (b) Repita o problema supondo que o sistema está imerso em 
uma solução de proteínas com um índice de refração de 1,38. 
T 
l 
_l 
: - d - - - + - d - :
1 1 1 
1 1 
Raio l 
Raio 2 FIG. 35-52 Problema 85. 
86 Na Fig. 35-53, duas fontes pontuais isotrópicas 51 e 52 emi-
tem luz em fase com a mesma amplitude e comprimento de onda 
A. As fontes estão sobre o eixo x, separadas por uma distância d =
6,00A. Uma tela de observação paralela ao plano yz está situada
a uma distância D = 20,0A de 52. A figura mostra dois raios che-
gando ao ponto P da tela, situado a uma altura yp. (a) Para que
valor de YP os raios apresentam a menor diferença de fase possí-
vel? (b) Que múltiplo de A representa a menor diferença de fase
possível? (c) Para que valor de yp os raios apresentam a maior
diferença de fase possível? Que múltiplo de A representa (d) a
maior diferença de fase possível e (e) a diferença de fase para
yp = d? (f) Para YP = d, a intensidade no ponto P é máxima, mí-
nima,próxima do máximo ou próxima do mínimo?
Tela 
)' 
X 
f - - - d - + - D -
FIG. 35-53 Problema 86. 
87 Na Fig. 35-54, um transmissor de microondas situado a uma 
altura a acima do nível da água de um lago transmite microondas 
de comprimento de onda A em direção a um receptor na margem 
oposta, situado a uma altura x acima do nível da água. As micro-
ondas que se refletem na superfície do lago interferem com as mi-
croondas que se propagam diretamente através do ar. Supondo 
que a largura D do lago é muito maior que a e x e que A a, para 
que valores de x o sinal que chega ao receptor tem a maior in-
tensidade possível? (Sugestão: Verifique se a reflexão resulta em 
uma mudança de fase.) 
r1 rr 
FIG. 35-54 Problema 87. 
Problemas 
88 Na Fig. 35-55, duas fontes pontuais isotrópicas S1 e 52 emi-
tem luz com um comprimento de onda À = 400 nm. A fonte S1 
está situada no ponto (0,640 nm); a fonte S2 está situada no ponto 
(0,-640 nm). A onda produzida por 52 chega ao ponto P 1, de coor-
denadas (720 nm, O), adiantada de 0,6001r rad em relação à onda 
produzida por 51. (a) Que múltiplo de À corresponde à diferença 
de fase entre as ondas produzidas pelas duas fontes no ponto P:. 
de coordenadas (O, 720 mm)? (O desenho não está em escala.) 
(b) Se as ondas chegam a P2 com intensidades iguais, a interferên-
cia é totalmente construtiva, totalmente destrutiva, mais próxima
de construtiva ou mais próxima de destrutiva?
)' 
FIG. 35-55 Problema 88. 
89 Um experimento de dupla fenda produz franjas claras para 
a luz do sódio (A = 589 nm) com uma separação angular de 0,30° 
perto do centro da figura de interferência. Qual é a separação 
angular das franjas claras se o equipamento for imerso em água, 
cujo índice de refração é 1,33? 
90 Na Fig. 35-56a, as ondas associadas aos raios 1 e 2 estão ini-
cialmente em fase e têm o mesmo comprimento de onda A no ar. O 
raio 2 atravessa um material de comprimento L e índice de refração 
n. Os raios são em seguida refletidos por espelhos para um ponto
comum P, situado sobre uma tela. Suponha que é possível fazer n
variar de n = 1,0 até n = 2,5. Suponha também que de n = 1,0 a n
= ns = 1,5 a intensidade Ida luz no ponto P varia com n da forma
indicada na Fig. 35-56b. Para que valores de n maiores que 1,4 a in-
tensidade J (a) é máxima e (b) é zero? ( c) Que múltiplo de À corres-
ponde à diferença de fase entre os raios no ponto P para n = 2,0? 
Raio 2 
Raio l 
(a) 
Tela 
L-- '-- ..1- ...J_-==-...,_""- n 
n, 
(b) 
FIG. 35-56 Problemas 90 e 97. 
91 Em um diagrama fasorial para as ondas em qualquer ponto 
da tela ele observação do experimento de dupla fenda da Fig. 
35-10, o fasor da onda resultante gira de 60,0 º em 2,50 X 10 w s. 
Qual é o comprimento de onda da luz? 
92 Uma onda luminosa com um comprimento de onda de 700,0 
nm percorre uma distância de 2000 nm no ar. Se a mesma distân-
cia é percorrida em um material cujo índice de refração é 1,400, 
qual é o deslocamento de fase introduzido pelo material? Calcule 
(a) o deslocamento total e (b) o deslocamento equivalente com
um valor menor que 360° .
93 Duas fendas paralelas são iluminadas com uma luz mono-
cromática cujo comprimento de onda é 500 nm. Uma figura de 
Capítulo 35 1 Interferência 
interferência aparece em uma tela situada a uma certa distância 
das fendas, e a quarta franja escura está a 1,68 cm da franja clara 
central. (a) Qual é a diferença de percurso correspondente à 
quarta franja escura? (b) Qual é a distância na tela entre a franja 
clara central e a primeira franja clara de cada lado da franja cen-
tral? (Sugestão: Os ângulos da quarta franja escura e da primeira 
franja clara são tão pequenos que tan 8 = sen 8.) 
94 Em dois experimentos, dois raios luminosos percorrem dife-
rentes trajetórias sofrendo reflexões em espelhos planos, como na 
Fig. 35-35. No primeiro experimento, os raios 1 e 2 estão inicial-
mente em fase e têm um comprimento de onda de 620,0 nm. No 
segundo experimento, os raios 1 e 2 estão inicialmente em fase e 
têm um comprimento de onda de 496,0 nm. Qual é o menor valor 
da distância L para que as ondas de 620,0 11111 deixem a região em 
fase e as ondas de 496,0 nm deixem a região com fases opostas? 
95 Determine a distância entre as fendas em um sistema de 
fenda dupla que produz franjas de interferência separadas por 
0,018 rad em uma tela distante quando a luz tem um compri-
mento de onda A = 589 nm.
96 Um filme fino suspenso no ar tem 0,410 µ,m de espessura e é 
iluminado com luz branca que incide perpendicularmente na su-
perfície do filme. O índice de refração do filme é 1,50. Para que 
comprimento de onda a luz visível que é refletida pelas duas su-
perfícies do filme sofre interferência totalmente construtiva? 
97 Na Fig. 35-56a, as ondas associadas aos raios 1 e 2 estão inicial-
mente em fase e têm o mesmo comprimento de onda À no ar. O raio 
2 atravessa um material de comprimento L e índice de refração n. 
Os raios são refletidos por espelhos para um ponto comum P, situ-
ado sobre uma tela. Suponha que seja possível fazer L variar de L 
= 1,0 até L = 2400 nm. Suponha também que de L = O até L, = 900 
nm a intensidade Ida luz no ponto P varia com Lda forma indicada 
na Fig. 35-57. Para que valores de L maiores que 900 nm a intensi-
dade 1 (a) é máxima e (b) é zero? ( c) Que múltiplo de À corresponde 
à diferença de fase entre os raios no ponto P para L = 1200 nm?
1o 
L(nm) FIG. 35-57 Problema 97. 
98 A lente de uma câmara, com índice de refração maior que 
1,30, é revestida com um filme fino transparente com um índice 
de refração de 1,25 para eliminar por interferência a reflexã.o de 
luz com comprimento de onda A que incide perpendicularmente 
na lente. Que múltiplo de A corresponde à espessura mínima de 
um filme que atende a essas especificações? 
99 Se a distância entre o primeiro e o décimo mínimo em uma 
figura de interferência de dupla fenda é 18,0 mm, a distância en-
tre as fendas é 0,150 mm e a tela está a 50,0 cm das fendas, qual é 
o comprimento de onda da luz?
100 Qual é a velocidade no quartzo fundido de uma luz com 
um comprimento de onda de 550 nm? (Veja a Fig. 33-18.) 
101 No Exemplo 35-6, suponha que o revestimento elimina a 
reflexão de luz com comprimento de onda de 550 nm e incidência 
normal. Determine a redução percentual da intensidade de luz 
com um comprimento de onda (a) ele 450 nm; (b) de 650 nm. 
102 Uma luz de laser com um comprimento de onda de 632,8 
nm passa por um sistema de dupla fenda do lado direito de um la-
boratório, é refletida por um espelho situado do lado esquerdo do 
laboratório, a 20,0 m de distância, e produz uma figura de interfe-
rência na parede do lado direito. A distância entre franjas claras 
sucessivas é 10,0 cm. (a) Qual é a distância entre as fendas? (b) 
Que tipo de franja aparece no centro da figura de interferência 
quando uma folha de papel celofane é colocada em uma elas fen-
das, aumentando de 2,50 o número de comprimentos de onda no 
trajeto da luz que passa pelo celofane? 
103 Uma luz de comprimento de onda A é usada em um in-
terferômetro de Michelson. Seja x a posição cio espelho móvel, 
com x = O no ponto em que os braços têm comprimentos iguais. 
Escreva uma expressão para a intensidade da luz observada em 
função de x, chamando de !111 a intensidade máxima. 
104 Uma placa de vidro com um índice de refração de 1,40 deve 
ser revestida com um filme fino de um material com um índice de 
refração ele 1,55 para que uma luz verde com um comprimento de 
onda no ar de 525 nm seja transmitida preferencialmente através 
de uma interferência construtiva. (a) Qual é a espessura mínima 
do filme para que esse objetivo seja conseguido? (b) Por que ou-
tras partes do espectro visível também não são transmitidas pre-
ferencialmente? (c) A transmissão de alguma(s) cor(es) é redu-
zida significativamente? Qual ou quais? 
105 Uma das fendas de um sistema de dupla fenda é coberta 
com uma placa fina de vidro de índice de refração 1,4 e a outra 
com uma placa fina de vidro de índice de refração 1,7. O ponto 
da tela onde estava o máximo central antes ele serem inseridas 
as placas passa a ser ocupado pela antiga franja clara, correspon-
dente a m = 5. Supondo que A = 480 nm e que as placas têm a 
mesma espessura t, determine o valor de t. 
106 Na Fig. 35-46, duas placas de vidro são mantidas juntas em 
uma das extremidades para formar uma cunha de ar que se com-
porta como um filme fino. Um feixe de luz com um comprimento 
de onda de 480 nm incide perpendicularmente na placa superior. 
Um observador situado acima das placas vê uma figura de inter-
ferência. Qual é a relação entre a distância entre as placas na po-
sição da décima-sexta franja clara e a distância entre as placas na 
posição da sexta franja clara, contando a partir da aresta em que 
as placas se tocam? 
107 Um feixe de luz com um comprimento de onda de 600 nm 
incide perpendicularmente, vindo de cima, na placa de vidro (n = 
1,50) da Fig. 35-46. Essa placa e uma placa de plástico (n = 1,20) 
formam uma cunha de ar que se comporta como um filme fino. 
Um observador situado acima do filme vê a figura de interferên-
cia da Fig. 35-58, com franjas escuras nas extremidades. (a) Qual 
é a distância entre as placas na extremidade em que não estão em 
contato? (b) Quantas franjas escuras são vistas pelo observador 
quando o ar entre as placas é substituído por água (n = 1,33)? 
FIG. 35-58 Problema 107. 
108 A luz do sódio (A = 589 nm) ilumina duas fendas separa-
das por uma distância d = 2,0 mm. A distância entre as fendas e 
uma tela de observação é D = 40 mm. Qual é o erro percentual 
cometido usando a Eq. 35-14 para calcular a posição na tela da 
franja clara com 111 = 10 em vez de usar a diferença exata entre os 
dois percursos'? 
109 A Fig. 35-59 mostra uma fibra ótica na qual um núcleo cen-
tral de plástico. com um índice de refração n, = 1,58. é envolvido 
por um revestimento de plástico com um índice de refração n2 = 
l,53. Os raios luminosos se propagam ao longo de diferentes tra-
jetórias no núcleo central. o que leva a diferentes tempos de per-
curso. Isso faz com que um pulso de luz inicialmente estreito se 
alargue ao trafegar pela fibra, o que reduz a qualidade do sinal. 
Considere a luz que se propaga ao longo do eixo central e a luz que 
é refletida repetidamente com o ângulo crítico na interface entre 
o núcleo e o revestimento. Qual é a diferença entre os tempos de 
percurso para uma fibra ótica com 300 m de comprimento?
----------_e ------
FIG. 35-59 Problema 109. 
110 Quando um elétron se move em um meio com uma velo-
cidade maior que a velocidade da luz no meio, o elétron irradia 
energia; o fenômeno é chamado de efeito Cerenkov. Qual é ave-
locidade mínima de um elétron para que o efeito Cerenkov seja 
observado em um líquido cujo índice de refração é 1,54? 
111 As fontes pontuais S1 e S2 irradiam em fase com a mesma 
amplitude e um comprimento de onda de 400 nm. As fontes estão 
situadas no eixo x. nos pontos x = 6,5 µ,me x = -6,0 µ,m, respec-
tivamente. (a) Determine a diferença de fase (em radianos) na 
origem entre a irradiação de S, e a irradiação de S2. (b) Suponha 
que urna placa de um material transparente de 1,5 µ,m de espes-
sura e índice de refração n = 1,5 é posicionada entre os pontos 
x = O e x = 1,5 µ,m. Qual é a diferença de fase (em radianos) na 
origem entre a irradiação de S, e a irradiação de 52?
112 A segunda franja escura em uma figura de interferência de 
dupla fenda está a 1,2 cm do máximo central. A distância entre as 
fendas é igual a 800 comprimentos de onda da luz monocromá-
tica que incide (perpendicularmente) nas fendas. Qual é a distân-
cia entre o plano das fendas e a tela de observação? 
113 Na Fig. 35-46, duas placas de vidro (n = 1,60) formam uma 
cunha, e um fluido (n = 1,50) é usado para preencher o espaço 
entre as placas. Do lado esquerdo as placas se tocam; do lado 
direito estão separadas por uma distância de 580 nrn. Uma luz 
com um comprimento de onda (no ar) de 580 nm incide perpen-
dicularmente na placa superior, e um observador situado acima 
das placas vê a figura de interferência resultante. (a) Existe uma 
franja clara ou escura na extremidade esquerda das placas? (b) 
Existe uma franja clara ou escura na extremidade direita das pla-
cas? ( c) Quantas franjas escuras são observadas? 
114 Um filme fino (n = 1,25) é depositado em uma placa de 
vidro (n = 1,40) e iluminado com uma luz cujo comprimento de 
onda no ar é 550 nm. A luz incide perpendicularmente na placa. 
Qual é a espessura mínima (diferente de zero) para que o filme 
(a) transmita o máximo de luz e (b) reflita o máximo de luz? 
115 Um feixe luminoso com um comprimento de onda no ar de 
600 nm atravessa o filme l (n 1 = 1,2), com 1,0 µ,m de espessura, o 
Problemas 
filme 2 (ar). com 1.5 µ,m de espessura, e, finalmente,o filme 3 (n3 = 
1,8), com 1,0 µ,m de espessura. O feixe incide perpendicularmente 
nos filmes, que são paralelos entre si. (a) Qual é o filme que a luz 
atravessa em menos tempo? (b) Qual é esse tempo? (c) Qual é 
o número total de comprimentos de onda que está presente nos
três filmes em um mesmo instante?
116 Dois raios luminosos, inicialmente em fase e com um com-
primento de onda À = 6,00 X 10- 7 m, atravessam placas de7,00 X 
10-6 m feitas de plásticos diferentes. Os índices de refração são 1,65 
para um dos plásticos e 1,49 para o outro. (a) Qual é o menor múlti-
plo de>.. que corresponde à diferença de fase entre os raios ao dei-
xarem as placas? (b) Se os dois raios chegam ao mesmo ponto com 
a mesma amplitude, a interferência resulta em escuridão total, cla-
ridade máxima, escuridão quase total ou claridade quase máxima?
Se os dois raios estivessem inicialmente com fases opostas, quais
seriam as respostas ( c) para o item (a) e ( d) para o item (b)?
117 Em um experimento de dupla fenda, a distância entre as 
fendas é 2,00 µ,m, o comprimento de onda da luz é SOO nm e a 
distância entre as fendas e a tela é 4,00 m. (a) Qual é o ângulo 
entre o máximo central e a terceira franja clara secundária? Se 
a freqüência é reduzida a 90,0% do valor inicial, (b) a terceira 
f ranja clara lateral se aproxima ou se afasta do máximo central? 
(c) Qual é o valor absoluto do deslocamento?
118 Uma onda plana de luz monocromática incide normal-
mente em um filme fino de óleo de espessura uniforme que cobre 
uma placa de vidro. É possível fazer variar continuamente o com-
primento de onda da fonte luminosa. Uma interferência total-
mente destrutiva da luz refletida é observada para comprimentos 
de onda de 500 e 700 nm e para nenhum outro comprimento de 
onda dentro desse intervalo. O índice de refração do vidro é 1,50. 
Mostre que o índice de refração do óleo deve ser menor que 1,50. 
119 A Fig. 35-60 mostra um jogo de fliperama que foi lançado 
no Texas. Quatro pistolas de laser são apontadas para o centro de 
um conjunto de placas de plástico, onde se encontra o alvo, um tatu 
de barro. Os índices de refração das placas são n1 = l,55, n2 = l,70,
n3 = 1,45,n4 = 1,60,n5 = l,45,n6 = l,61,n1 = 1,59,n8 = 1,70 e n9 = 
1,60. A espessura das camadas é 2,00 mm ou 4,00 mm, como mos-
tra a figura. Determine o tempo que a luz leva para chegar à região 
central para um disparo (a) da pistola 1; (b) da pistola 2; (c) da pis-
tola 3; ( d) da pistola 4. (e) Se as quatro pistolas forem disparadas 
simultaneamente, qual disparo será o primeiro a atingir o alvo? 
4 
ng 
3 
FIG. 35·60 Problema 119. 
Capítulo 35 1 Interferência 
120 Na Fig. 35-10, suponha que o ângulo 8 dos dois raios é
20,0 º , a distância d entre as fendas é 58,00 µ,m e o comprimento 
de onda A é 500,9 nm. (a) Que múltiplo de A corresponde à dife-
rença de fase dos dois raios quando chegam a um ponto comum 
em uma tela distante? (b) A interferência dos dois raios resulta 
em escuridão total, claridade máxima, escuridão quase total ou 
claridade quase máxima? 
121 Fendas de larguras diferentes são usadas em um sistema de 
dupla fenda para produzir uma figura de interferência em uma 
tela distante. Se apenas a fenda 1 é iluminada ( ou seja, se a fenda 
2, mais larga, é coberta), a luz que chega ao centro da tela tem 
amplitude E0 e intensidade 10. Se apenas a fenda 2 é iluminada, 
a luz que chega ao centro da tela tem amplitude 2E0. Se as duas 
fendas são iluminadas e uma figura de interferência aparece na 
tela, qual é a intensidade !(8) da luz em função do ângulo 8? A 
resposta deve ter a forma das Eqs. 35-22 e 35-23. 
122 A Fig. 35-40 mostra duas fontes pontuais, S1 e S2, que emi-
tem luz com um comprimento de onda A = 500 nm e mesma am-
plitude. As emissões são isotrópicas e em fase, e a distância entre 
as fontes é d = 2,00 µ,m. Em qualquer ponto P sobre o eixo x a 
onda da fonte S1 e a onda da fonte S2 interferem. Para P muito 
afastado das fontes (x = oo), determine (a) a diferença de fase en-
tre as ondas provenientes de S1 e S2 e (b) o tipo de interferência 
das ondas (construtiva ou destrutiva). (c) Quando P se aproxima 
de Si , permanecendo sobre o eixo x, a diferença de fase entre 
as ondas provenientes de S1 e S2 aumenta ou diminui? (d)-(o) 
Problema 122: Itens (d) a (o) 
Diferença de Fase Tipo Posiçãox 
o (d) (e) 
0,500.A (f) (g) 
l,OOA (h) (i) 
1,50.A (j) (k) 
2,00A (1) (m) 
2,50.A (n) (o) 
Complete a Tabela 35-4 determinando, para as diferenças de fase 
dadas, o tipo de interferência e a coordenada do ponto x em que 
a interferência ocorre. 
123 (a) Use o resultado do Problema 75 para mostrar que em 
um experimento com anéis de Newton a diferença entre os raios 
de dois anéis claros consecutivos é dada por 
D..r = rm+l - rm = i..,JAR!m,
supondo quem P 1. (b) Mostre que a área entre dois anéis claros 
consecutivos é dada por A = 7rAR, supondo que m P 1. Observe 
que essa área não depende de m. 
 1. The index of refraction is found from Eq. 35-3:
n c
v
= = ×× =
2 998 10
192 10
156
8
8
.
.
. .m s
m s
2. Note that Snell’s Law (the law of refraction) leads to θ1 = θ2 when n1 = n2. The graph
indicates that θ2 = 30° (which is what the problem gives as the value of θ1) occurs at n2 =
1.5. Thus, n1 = 1.5, and the speed with which light propagates in that medium is
8
8
1
2.998 10 m s 2.0 10 m s.
1.5
cv
n
×= = = ×
3. Comparing the light speeds in sapphire and diamond, we obtain
( )8 71 1 1 12.998 10 m s 4.55 10 m s.
1.77 2.42s d s d
v v v c
n n
⎛ ⎞ ⎛ ⎞∆ = − = − = × − = ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
 
4. (a) The frequency of yellow sodium light is
f c= = ×× = ×−λ
2 998 10
589 10
509 10
8
9
14. .
m s
m
Hz. 
(b) When traveling through the glass, its wavelength is
λ λn n= = =
589
152
388nm nm.
.
(c) The light speed when traveling through the glass is
( )( )14 9 85.09 10 Hz 388 10 m 1.97 10 m s.nv f −= = × × = ×λ
frequency of a wave does not change when the wave enters another medium. The phase
difference is
( )1 2 1 2 12 . k k L Lφ φ
⎛ ⎞− = − = −⎜ ⎟⎝ ⎠1 2
1π λ λ 
Now, λ1 = λair/n1, where λair is the wavelength in air and n1 is the index of refraction of 
the glass. Similarly, λ2 = λair/n2, where n2 is the index of refraction of the plastic. This 
means that the phase difference is 
( )1 2 1 2
air
2 .n n Lπφ φ λ− = − 
The value of L that makes this 5.65 rad is 
L
n n
= − − =
× = ×
−
−φ φ1 2
1 2
9
6
2
565 400 10
2
360 10b gb g
c h
b g
λ
π π 1.60 −1.50
air m m.
.
.
(b) 5.65 rad is less than 2π rad = 6.28 rad, the phase difference for completely
constructive interference, and greater than π rad (= 3.14 rad), the phase difference for
completely destructive interference. The interference is, therefore, intermediate, neither
completely constructive nor completely destructive. It is, however, closer to completely
constructive than to completely destructive.
5. (a) We take the phases of both waves to be zero at the front surfaces of the layers. The
phase of the first wave at the back surface of the glass is given by φ1 = k1L – ωt, where k1
(= 2π/λ1) is the angular wave number and λ1 is the wavelength in glass. Similarly, the
phase of the second wave at the back surface of the plastic is given by φ2 = k2L – ωt,
where k2 (= 2π/λ2) is the angular wave number and λ2 is the wavelength in plastic. The
angular frequencies are the same since the waves have the same wavelength in air and the
6. In contrast to the initial conditions of Problem 35-5, we now consider waves W2 and
W1 with an initial effective phase difference (in wavelengths) equal to 12 , and seek
positions of the sliver which cause the wave to constructively interfere (which 
corresponds to an integer-valued phase difference in wavelengths). Thus, the extra 
distance 2L traveled by W2 must amount to 12 32λ λ, , and so on. We may write this 
requirement succinctly as 
2 1 where 0,1, 2, .
4
mL m+= λ = … 
(a) Thus, the smallest value of /L λ that results in the final waves being exactly in phase
is when m =0, which gives / 1/ 4 0.25L λ = = .
(b) The second smallest value of /L λ that results in the final waves being exactly in
phase is when m =1, which gives / 3 / 4 0.75L λ = = .
(c)The third smallest value of /L λ that results in the final waves being exactly in phase
is when m =2, which gives / 5 / 4 1.25L λ = = .
effectively not a phase difference at all. The substantive difference between W2 and W1 is
the extra distance 2L traveled by W2.
(a) For wave W2 to be a half-wavelength “behind” wave W1, we require 2L = λ/2, or L =
λ/4 = (620 nm)/4 =155 nm using the wavelength value given in the problem.
(b) Destructive interference will again appear if W2 is 32 λ “behind” the other wave. In 
this case, 2 3 2′ =L λ , and the difference is
3 620 nm 310nm .
4 4 2 2
L L λ λ λ′ − = − = = =
7. The fact that wave W2 reflects two additional times has no substantive effect on the
calculations, since two reflections amount to a 2(λ/2) = λ phase difference, which is
8. (a) The time t2 it takes for pulse 2 to travel through the plastic is
t L
c
L
c
L
c
L
c
L
c2 155 170 160 145
6 30= + + + =
. . . .
. .
Similarly for pulse 1: 
t L
c
L
c
L
c
L
c1
2
159 165 150
6 33= + + =
. . .
. .
Thus, pulse 2 travels through the plastic in less time. 
(b) The time difference (as a multiple of L/c) is
∆t t t L
c
L
c
L
c
= − = − =2 1 6 33 6 30 0 03. . . .
Thus, the multiple is 0.03. 
(d) Since their phase differences were identical, the brightness should be the same for (a)
and (b). Now, the phase difference in (c) differs from an integer by 0.30, which is also
true for (a) and (b). Thus, their effective phase differences are equal, and the brightness in
case (c) should be the same as that in (a) and (b).
9. (a) Eq. 35-11 (in absolute value) yields
L n nλ 2 1
6
9
850 10
500 10
160 150 170− = ×× − =
−
−
.
. . . .
m
m
c h b g 
(b) Similarly,
L n nλ 2 1
6
9
850 10
500 10
172 162 170− = ×× − =
−
−
.
. . . .
m
m
c h b g 
(c) In this case, we obtain
L n nλ 2 1
6
9
325 10
500 10
179 159 130− = ×× − =
−
−
.
. . . .
m
m
c h b g 
10. (a) We note that ray 1 travels an extra distance 4L more than ray 2. To get the least
possible L which will result in destructive interference, we set this extra distance equal to
half of a wavelength:
420.0 nm4 52.50 nm
2 8 8
L Lλ λ= ⇒ = = = . 
(b) The next case occurs when that extra distance is set equal to 32 λ. The result is
3 3(420.0 nm) 157.5 nm
8 8
L λ= = = . 
11. (a) We wish to set Eq. 35-11 equal to 1/ 2, since a half-wavelength phase difference
is equivalent to a π radians difference. Thus,
L
n nmin .
.= − = − = =
λ
2 2 1
620
145
1550 155b g b g
nm
2 1.65
nm m.µ 
(b) Since a phase difference of 3
2
 (wavelengths) is effectively the same as what we 
required in part (a), then
L
n n
L= − = = =
3 3 3 155 4 65
2 1
λ
2b g b gmin . .µ µm m. 
12. (a) The exiting angle is 50º, the same as the incident angle, due to what one might call
the “transitive” nature of Snell’s law: n1 sinθ 1 = n2 sinθ 2 = n3 sinθ 3 = …
(b) Due to the fact that the speed (in a certain medium) is c/n (where n is that medium’s
index of refraction) and that speed is distance divided by time (while it’s constant), we
find
t = nL/c = (1.45)(25 × 10−19 m)/(3.0 × 108 m/s) = 1.4 × 10−13 s = 0.14 ps. 
approximately equal to 1). Thus, combining these phase differences with λ = 0.600 µm,
we have
( ) ( ) ( ) ( )2 1 22 1 1 3.50 m 4.00 m 3.50 m1 1.60 1.40 1 1.400.600 m 0.600 m
0.833.
L L Ln n n µ µ µλ λ µ µ
− −− + − = − + −
=
(b) Since the answer in part (a) is closer to an integer than to a half-integer, the
interference is more nearly constructive than destructive.
13. (a) We choose a horizontal x axis with its origin at the left edge of the plastic.
Between x = 0 and x = L2 the phase difference is that given by Eq. 35-11 (with L in that
equation replaced with L2). Between x = L2 and x = L1 the phase difference is given by an
expression similar to Eq. 35-11 but with L replaced with L1 – L2 and n2 replaced with 1
(since the top ray in Fig. 35-37 is now traveling through air, which has index of refraction
14. (a) We use Eq. 35-14 with m = 3:
θ = FHG
I
KJ =
×
×
L
N
MM
O
Q
PP =
− −
−
−sin sin .
.1 1
9
6
2 550 10
7 70 10
0 216m
d
λ m
m
rad.
c h
 
(b) θ = (0.216) (180°/π) = 12.4°.
15. Interference maxima occur at angles θ such that d sin θ = mλ, where m is an integer.
Since d = 2.0 m and λ = 0.50 m, this means that sin θ = 0.25m. We want all values of m
(positive and negative) for which |0.25m| ≤ 1. These are –4, –3, –2, –1, 0, +1, +2, +3, and
+4. For each of these except –4 and +4, there are two different values for θ. A single
value of θ (–90°) is associated with m = –4 and a single value (+90°) is associated with m
= +4. There are sixteen different angles in all and, therefore, sixteen maxima.
16. (a) For the maximum adjacent to the central one, we set m = 1 in Eq. 35-14 and obtain
( )( )1 1
1
1
1
sin sin 0.010 rad.
100m
m
d
θ − −
=
⎡ ⎤⎛ ⎞= = =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎣ ⎦
λλ
λ 
(b) Since y1 = D tan θ1 (see Fig. 35-10(a)), we obtain
y1 = (500 mm) tan (0.010 rad) = 5.0 mm. 
The separation is ∆y = y1 – y0 = y1 – 0 = 5.0 mm. 
17. The angular positions of the maxima of a two-slit interference pattern are given by
sind mθ λ= , where d is the slit separation, λ is the wavelength, and m is an integer. If θ 
is small, sin θ may be approximated by θ in radians. Then, θ = mλ/d to good
approximation. The angular separation of two adjacent maxima is ∆θ = λ/d. Let λ' be the
wavelength for which the angular separation is greater by10.0%. Then, 1.10λ/d = λ'/d. or
λ' = 1.10λ = 1.10(589 nm) = 648 nm. 
18. In Sample Problem 35-2, an experimentally useful relation is derived: ∆y = λD/d.
Dividing both sides by D, this becomes ∆θ = λ/d with θ in radians. In the steps that
follow, however, we will end up with an expression where degrees may be directly used.
Thus, in the present case,
∆ ∆θ θn nd nd n= = = =
° = °λ λ 0 20
133
015.
.
. . 
19. The condition for a maximum in the two-slit interference pattern is d sin θ = mλ,
where d is the slit separation, λ is the wavelength, m is an integer, and θ is the angle made
by the interfering rays with the forward direction. If θ is small, sin θ may be
approximated by θ in radians. Then, θ = mλ/d, and the angular separation of adjacent
maxima, one associated with the integer m and the other associated with the integer m + 1,
is given by ∆θ = λ/d. The separation on a screen a distance D away is given by
∆y = D ∆θ = λD/d. 
Thus, 
∆y = × × = ×
−
−
−500 10 540
120 10
2 25 10
9
3
3
m m
m
m = 2.25 mm.
c hb g.
.
.
20. (a) The phase difference (in wavelengths) is
φ = d sinθ/λ = (4.24 µm)sin(20°)/(0.500 µm) = 2.90 . 
(b) Multiplying this by 2π gives φ = 18.2 rad.
(c) The result from part (a) is greater than 52 (which would indicate the third minimum)
and is less than 3 (which would correspond to the third side maximum).
21. Initially, source A leads source B by 90°, which is equivalent to 1 4 wavelength.
However, source A also lags behind source B since rA is longer than rB by 100 m, which
is100 1 4m 400m = wavelength. So the net phase difference between A and B at the
detector is zero.
(b) The slit separation d needs to be decreased.
(c) In this case, the 400 nm wavelength in the m = 4 diffraction is to occur at 90°. Thus
dnew sinθ = mλ ⇒ dnew = (4)(400 nm)/sin(90°) = 1600 nm . 
This represents a change of |∆d| = d – dnew = 200 nm = 0.20 µm. 
22. (a) We use Eq. 35-14 to find d:
d sinθ = mλ ⇒ d = (4)(450 nm)/sin(90°) = 1800 nm . 
For the third order spectrum, the wavelength that corresponds to θ = 90° is 
λ = d sin(90°)/3 = 600 nm . 
Any wavelength greater than this will not be seen. Thus, 600 nm < θ ≤ 700 nm are 
absent.23. Let the distance in question be x. The path difference (between rays originating from
S1 and S2 and arriving at points on the x > 0 axis) is
d x x m2 2 1
2
+ − = +FHG
I
KJ λ,
where we are requiring destructive interference (half-integer wavelength phase 
differences) and 0,1, 2, .m = " After some algebraic steps, we solve for the distance in 
terms of m: 
x d
m
m= + −
+2
2 1
2 1
4b g
b g
λ
λ
. 
To obtain the largest value of x, we set m = 0: 
( )22 3
0
3.00
8.75 8.75(900 nm) 7.88 10 nm 7.88 mdx µ= − = − = = = × =λλ λ λ .λ 4 λ 4 
24. Imagine a y axis midway between the two sources in the figure. Thirty points of
destructive interference (to be considered in the xy plane of the figure) implies there are
7 1 7 15+ + = on each side of the y axis. There is no point of destructive interference on
the y axis itself since the sources are in phase and any point on the y axis must therefore
correspond to a zero phase difference (and corresponds to θ = 0 in Eq. 35-14). In other
words, there are 7 “dark” points in the first quadrant, one along the +x axis, and 7 in the
fourth quadrant, constituting the 15 dark points on the right-hand side of the y axis. Since
the y axis corresponds to a minimum phase difference, we can count (say, in the first
quadrant) the m values for the destructive interference (in the sense of Eq. 35-16)
beginning with the one closest to the y axis and going clockwise until we reach the x axis
(at any point beyond S2). This leads us to assign m = 7 (in the sense of Eq. 35-16) to the
point on the x axis itself (where the path difference for waves coming from the sources is
simply equal to the separation of the sources, d); this would correspond to θ = 90° in Eq.
35-16. Thus,
d = ( 7 + 12 ) λ = 7.5 λ 7.5dλ⇒ = .
may be replaced by θ in radians. Then, dθ = mλ. The angular separation of two maxima
associated with different wavelengths but the same value of m is
∆θ = (m/d)(λ2 – λ1), 
and their separation on a screen a distance D away is 
∆ ∆ ∆y D D mD
d
= ≈ = LNM
O
QP −
= ×
L
NM
O
QP
× − × = ×− − − −
tan
.
.
θ θ λ λ2 1b g
b g c h3 10 600 10 480 10 7 2 103 9 9 5
m
5.0 10 m
m m m.
The small angle approximation tan ∆θ ≈ ∆θ (in radians) is made. 
25. The maxima of a two-slit interference pattern are at angles θ given by d sin θ = mλ,
where d is the slit separation, λ is the wavelength, and m is an integer. If θ is small, sin θ 
26. (a) We note that, just as in the usual discussion of the double slit pattern, the x = 0
point on the screen (where that vertical line of length D in the picture intersects the screen)
is a bright spot with phase difference equal to zero (it would be the middle fringe in the
usual double slit pattern). We are not considering x < 0 values here, so that negative
phase differences are not relevant (and if we did wish to consider x < 0 values, we could
limit our discussion to absolute values of the phase difference, so that – again – negative
phase differences do not enter it). Thus, the x = 0 point is the one with the minimum
phase difference.
(b) As noted in part (a), the phase difference φ = 0 at x = 0.
(c) The path length difference is greatest at the rightmost “edge” of the screen (which is
assumed to go on forever), so φ is maximum at x = ∞.
(d) In considering x = ∞, we can treat the rays from the sources as if they are essentially
horizontal. In this way, we see that the difference between the path lengths is simply the
distance (2d) between the sources. The problem specifies 2d = 6.00 λ, or 2d/λ = 6.00 .
(e) Using the Pythagorean theorem, we have
2 2 2 2( ) ( )
1.71
D x d D x dφ λ λ
+ + + −= − = 
where we have plugged in D = 20λ, d = 3λ and x = 6λ. Thus, the phase difference at that 
point is 1.71 wavelengths. 
(f) We note that the answer to part (e) is closer to 32 (destructive interference) than to 2
(constructive interference), so that the point is “intermediate” but closer to a minimum than 
to a maximum. 
27. Consider the two waves, one from each slit, that produce the seventh bright fringe in
the absence of the mica. They are in phase at the slits and travel different distances to the
seventh bright fringe, where they have a phase difference of 2πm = 14π. Now a piece of
mica with thickness x is placed in front of one of the slits, and an additional phase
difference between the waves develops. Specifically, their phases at the slits differ by
2 2 2 1πλ
π
λ
π
λ
x x x n
m
− = −b g
where λm is the wavelength in the mica and n is the index of refraction of the mica. The 
relationship λm = λ/n is used to substitute for λm. Since the waves are now in phase at the 
screen, 
2 1 14πλ π
x n − =b g
or 
x
n
= − =
×
− = ×
−
−7
1
7 550 10
158 1
6 64 10
9
6λ m m.c h
.
.
28. The problem asks for “the greatest value of x… exactly out of phase” which is to be
interpreted as the value of x where the curve shown in the figure passes through a phase
value of π radians. This happens as some point P on the x axis, which is, of course, a
distance x from the top source and (using Pythagoras’ theorem) a distance d2 + x2 from
the bottom source. The difference (in normal length units) is therefore d2 + x2 – x, or
(expressed in radians) is 2π λ ( d
2 + x2 – x) . We note (looking at the leftmost point in the 
graph) that at x = 0, this latter quantity equals 6π, which means d = 3λ. Using this value 
for d, we now must solve the condition 
( )2 22 d x xπ πλ + − = .
Straightforward algebra then lead to x = (35/4)λ, and using λ = 400 nm we find x = 3500 
nm, or 3.5 µm. 
 29. The phasor diagram is shown below. Here E1 = 1.00, E2 = 2.00, and φ = 60°. The
resultant amplitude Em is given by the trigonometric law of cosines:
E E E E Em
2
1
2
2
2
1 22 180= + − °−cos .φb g
Thus, 
Em = + − ° =100 2 00 2 100 2 00 120 2 652 2. . . . cos . .b g b g b gb g 
30. In adding these with the phasor method (as opposed to, say, trig identities), we may
set t = 0 (see Sample Problem 35-4) and add them as vectors:
y
y
h
v
= °+ ° =
= °+ ° =
10 0 8 0 30 16 9
10 0 8 0 30 4 0
cos . cos .
sin . sin .
so that 
y y y
y
y
R h v
v
h
= + =
= FHG
I
KJ = °
−
2 2
1
17 4
13 3
.
tan . .β
Thus, 
y y y y t tR= + = + = + °1 2 17 4 133sin . sin .ω β ωb g b g .
Quoting the answer to two significant figures, we have ( )17sin 13y tω≈ + ° . 
31. With phasor techniques, this amounts to a vector addition problem 
G G G G
R A B C= + +
where (in magnitude-angle notation) 
G G G
A B C= ∠ ° = ∠ ° = ∠ − °10 0 5 45 5 45b g b g b g, , ,and
where the magnitudes are understood to be in µV/m. We obtain the resultant (especially 
efficient on a vector-capable calculator in polar mode): 
G
R = ∠ ° + ∠ ° + ∠ − ° = ∠ °10 0 5 45 5 45 171 0b g b g b g b g.
which leads to 
E tR = 171. sinµ ωV mb g b g 
where ω = 2.0 × 1014 rad/s. 
we find 
1 2 02 cos( / 2)sin( / 2)E E E tφ ω φ+ = +
where Eo = 2.00 µV/m, ω = 1.26 × 1015 rad/s, and φ = 39.6 rad. This shows that the 
electric field amplitude of the resultant wave is 
02 cos( / 2) 2(2.00 V/m)cos(19.2 rad) 2.33 V/mE E φ µ µ= = = . 
(b) Eq. 35-22 leads to
2
0 04 cos ( / 2) 1.35I I Iφ= =
at point P, and 
2
center 0 04 cos (0) 4I I I= =
at the center . Thus, center/ 1.35 / 4 0.338I I = = . 
(c) The phase difference φ (in wavelengths) is gotten from φ in radians by dividing by 2π.
Thus, φ = 39.6/2π = 6.3 wavelengths. Thus, point P is between the sixth side maximum
(at which φ = 6 wavelengths) and the seventh minimum (at which φ = 612 wavelengths). 
(d) The rate is given by ω = 1.26 × 1015 rad/s.
(e) The angle between the phasors is φ = 39.6 rad = 2270° (which would look like about
110° when drawn in the usual way).
32. (a) We can