Resumo de autovalores e autovetores

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Resumo de autovalores e autovetores
Autovalores e autovetores
Definição
	Se A é uma matriz n x n, então um vetor não nulo x em é chamado de autovetor de A sem Ax é um múltiplo escalar de x, ou seja,
Ax = λx
Para algum escalar λ. O escalar λ é chamado de autovalor de A e dizemos que x é um autovetor associado a λ.
Teorema 1
	Se A é uma matriz n x n triangular (superior, inferior ou digonal), então os autovalores de A são as entradas na diagonal principal de A.
Teorema 2
	Se A é uma matriz n x n e λ é um número real, então as seguintes afirmações são equivalentes.
λ é um autovalor de A.
O sistema (λI – A)x = 0 de equações tem soluções não triviais.
Existe um vetor não-nulo x tal que Ax = λx.
λ é uma solução da equação característica det(λI – A) = 0.
Teorema 3
	Se k é um inteiro positivo, λ é um autovalor de uma matriz A e x é um autovetor associado, então é um autovalor de e x é um autovetor associado.
Teorema 4
	Uma matriz quadrada A é invertível se, e somente se, λ = 0 não é um autovalor de A.
Teorema 5
	Se A é uma matriz n x n e se é a multiplicação por A, então as seguintes afirmações são equivalentes.
A é invertível.
Ax = 0 admite somente a solução trivial.
A forma escalonada reduzida por linhas de A é 
A pode ser escrita como um produto de matrizes elementares.
Ax = b é consistente para cada matriz b de tamanho n x 1.
Ax = b tem exatamente uma solução para cada matriz b de tamanho n x 1.
Det(A) ≠ 0.
A imagem de é o 
 é injetora.
Os vetores coluna de A são linearmente independentes.
Os vetores linha de A são linearmente independentes.
Os vetores coluna de A geram 
Os vetores linha de A geram 
Os vetores coluna de A formam uma base do 
Os vetores linha de A formam uma base do 
A tem posto n.
A tem nulidade 0
O complemento ortogonal do espaço nulo de A é o 
O complemento ortogonal do espalho linha de A é o {0}
 é invertível
λ = 0 não é um autovalor de A
Diagonalização
Definição
	Uma matriz quadrada A é dita diagonalizável se existir uma matriz invertível P tal que AP é uma matriz diagonal; dizemos, então, que a matriz P diagonaliza A.
Teorema 1
	Se A é uma matriz n x n, então são equivalentes as seguintes afirmações:
A é diagonalizável.
A tem n autovetores linearmente independentes.
Teorema 2
	Se são autovetores de A associados a autovalores distintos , então {} é um conjunto linearmente independente.
Teorema 3
	Se uma matriz A de tamanho n x n tem n autovalores distintos, então A é diagonalizável.
Teorema 4
	Se A é uma matriz quadrada, então:
Para cada autovalor de A, a multiplicidade geométrica é menor do que ou igual à multiplicidade algébrica.
A é diagonalizável se, e somente se, para cada autovalor, a multiplicidade geométrica é igual a multiplicidade algébrica.
Diagonalização ortogonal
Teorema 1
	Se A é uma matriz n x n, então as seguintes afirmações equivalentes:
A é ortogonalmente diagonalizável.
A tem um conjunto ortonormal de n autovetores.
A é simétrica.
Teorema 2
	Se A é uma matriz simétrica, então:
Os autovalores de A são reais.
Autovetores de autoespaços diferentes são ortogonais.