APOST_MAT_APLICADA(EQ DE CALOR_SERIE_FOURIER)

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA
“JU´LIO DE MESQUITA FILHO”
CAˆMPUS DE ILHA SOLTEIRA
unesp
AULAS DE
MATEMA´TICA APLICADA
Versa˜o 2015
Prof. Ernandes Rocha de Oliveira
Departamento de Matema´tica
Ilha Solteira - SP
2015
I´ndice de Aulas
Apresentac¸a˜o iv
Aula 1 1
A equac¸a˜o de conduc¸a˜o do calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Princ´ıpio da superposic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
O me´todo de separac¸a˜o de varia´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Aula 2 8
Se´ries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
As fo´rmulas de Euler-Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Aula 3 17
O Teorema de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Aula 4 25
Desenvolvimento de meio per´ıodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Forma complexa da se´rie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Aula 5 36
Desigualdade de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Sobre convergeˆncia da se´rie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Identidade de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Aula 6 46
Resoluc¸a˜o do problema do calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Barra sujeita a outras condic¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
I´NDICE DE AULAS
iii
Equac¸a˜o do calor na˜o homogeˆnea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Aula 7 54
A equac¸a˜o da corda vibrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Exemplos de acordo com o tipo de forc¸as externas . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Exemplos de problemas de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Resoluc¸a˜o por se´ries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Harmoˆnicos, frequ¨eˆncia e amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Vibrac¸o˜es forc¸adas e ressonaˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Aula 8 64
Corda infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Soluc¸a˜o geral do problema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
A Fo´rmula de D’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Um problema com extremidade livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Uma se´rie de Fourier especial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Aula 9 76
O problema de Dirichlet em retaˆngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Aula 10 77
Noc¸o˜es sobre a transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Algumas propriedades da transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Convoluc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Algumas aplicac¸o˜es da transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Um problema unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Refereˆncias Bibliogra´ficas 92
MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O.
Apresentac¸a˜o
Esta apostila tem como objetivo servir de aux´ılio aos alunos das disciplinas de Ma-
tema´tica Aplicada a` Engenharia, disciplinas que usualmente teˆm sido oferecidas aos es-
tudantes do curso de Engenharia Mecaˆnica da FE-UNESP/Ilha Solteira. O conteu´do
deste trabalho corresponde aos programas atuais dessas disciplinas, que consistem em
alguns to´picos de Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias, sobre a Transformada de Laplace e
sua aplicac¸a˜o a problemas de valor inicial em equac¸o˜es diferenciais ordina´rias e se´ries de
Fourier com aplicac¸a˜o a problemas de contorno para as classes de equac¸o˜es diferenciais
parciais lineares importantes: a equac¸a˜o do calor (ou de difusa˜o), a equac¸a˜o de ondas e
a equac¸a˜o de Laplace. Ainda que na˜o conste do programa da disciplina, dedicamos pelo
menos uma aula ao to´pico Transformada de Fourier de modo muito ingeˆnuo, servindo
apenas como uma introduc¸a˜o ao assunto. A organizac¸a˜o deste trabalho visa facilitar sua
utilizac¸a˜o como material dida´tico por isso fizemos a divisa˜o por Aulas, cada Aula cor-
responde a 4h de trabalho na disciplina. E´ importante lembrar que esta apostila na˜o
pretende substituir os bons livros existentes sobre transformada de Laplace, equac¸o˜es di-
ferenciais ordina´rias e equac¸o˜es diferenciais parciais e que fazem parte das bibliografias
das disciplinas, por exemplo [1],[3],[5], dentre outros, sa˜o, na minha opinia˜o, excelentes
refereˆncias para um curso no mesmo n´ıvel em que tenho ministrado esta disciplina. Este
trabalho certamente apresenta erros e, desde ja´, agradec¸o a colaborac¸a˜o das pessoas in-
teressadas no assunto e que gostariam que um trabalho como este tivesse continuac¸a˜o,
apresentasse melhoras e pudesse cumprir seu destino.
Ilha Solteira, 21 de janeiro de 2015
Ernandes Rocha de Oliveira
Aula 1
O objetivo desta aula e´ apresentar um modelo matema´tico que descreve processos de
difusa˜o e o me´todo de separac¸a˜o de varia´veis, ou me´todo de Fourier, frequ¨entemente usado
para tentar resolveˆ-lo. Ao final, veremos como naturalmente surgem as chamadas se´ries
trigonome´tricas para o estudo desse e de outros fenoˆmenos f´ısicos.
A equac¸a˜o de conduc¸a˜o do calor
Vamos considerar um problema de conduc¸a˜o de calor numa barra cil´ındrica retil´ınea,
de sec¸a˜o reta uniforme e feita de um material homogeˆneo.
-
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
x=0 x=l
x
�
�
�
���
u(x,t)
Sejam x o eixo da barra, x = 0 e x = l as extremidades da barra. Suponhamos que
as superf´ıcies laterais da barra estejam perfeitamente isoladas, de modo que na˜o haja
passagem de calor atrave´s delas. Admitiremos tambe´m, que as dimenso˜es da sec¸a˜o reta
sa˜o ta˜o pequenas que a temperatura, que aqui denotaremos por u, pode ser considerada
uniforme sobre qualquer sec¸a˜o reta da barra. Assim, a temperatura u, e´ func¸a˜o somente
da coordenada x e do tempo t. A equac¸a˜o da conduc¸a˜o do calor tem a seguinte forma
(para uma deduc¸a˜o dessa equac¸a˜o, a partir das hipo´teses consideradas aqui, consulte [4,
pa´g. 1-11] ou [1, pa´g. 431-434]).
∂u
∂t
(x, t) = α2
∂2u
∂x2
(x, t), 0 < x < l , t > 0 . (1.1)
Na equac¸a˜o (1.1), α2 e´ uma constante, chamada constante de difusividade te´rmica
e so´ depende do material da barra. Vamos supor tambe´m que a distribuic¸a˜o inicial de
Princ´ıpio da superposic¸a˜o 2
temperatura seja dada por uma func¸a˜o f(x)
u(x, 0) = f(x), 0 6 x 6 l .
Vamos admitir que
u(0, t) = 0 e u(l, t) = 0, t > 0 .
O problema da conduc¸a˜o do calor consiste em determinar uma func¸a˜o u(x, t) satisfazendo
∂u
∂t
(x, t) = α2
∂2u
∂x2
(x, t) (equac¸a˜o do calor homogeˆnea)
u(x, 0) = f(x) (condic¸a˜o inicial)
u(0, t) = 0 , e u(l, t) = 0 (condic¸o˜esde fronteira) .
(1.2)
Observe que procuramos uma soluc¸a˜o u(x, t) definida na faixa 0 6 x 6 l, t > 0.
Usaremos as seguintes notac¸o˜es:
Q := {(x, t) / 0 < x < l, t > 0} ,
Q = {(x, t) / 0 6 x 6 l, t > 0} .
Princ´ıpio da superposic¸a˜o
O princ´ıpio de superposic¸a˜o e´ uma propriedade caracter´ıstica de problemas lineares,
essencialmente diz que qualquer combinac¸a˜o linear de soluc¸o˜es ainda e´ uma soluc¸a˜o. A
seguinte extensa˜o, para se´ries, pode ser encontrada com mais detalhes em [7, pa´g. 9].
Suponha que (um)m=1,2,... seja uma famı´lia de func¸o˜es de classe C
2(Q), isto e´, cont´ınuas e
com derivadas primeiras e segundas cont´ınuas, satisfazendo a equac¸a˜o do calor (1.1), isto
e´,
∂um
∂t
= α2
∂2um
∂x2
, ∀ m = 1, 2, . . .
Se (αm)m=1,2,... for uma sequ¨eˆncia de nu´meros reais tal que a se´rie
u(x, t) =
+∞∑
m=1
amum(x, t)
seja convergente e duas vezes deriva´vel termo a termo em Q, enta˜o a func¸a˜o u(x, t)
satisfaz a equac¸a˜o
∂u
∂t
(x, t) = α2
∂2u
∂x2
(x, t), 0 < x < l , t > 0 .
MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O.
O me´todo de separac¸a˜o de varia´veis 3
O me´todo de separac¸a˜o de varia´veis
O me´todo de separac¸a˜o de varia´veis consiste em buscar soluc¸o˜es do problema do calor
(1.2)) na forma
u(x, t) = X(x).T(t) .
Substituindo essa forma na equac¸a˜o (1.1), obtemos
X(x)T ′(t) = α2X ′′(x)T(t) .
Da´ı, separando (considerando intervalos nos quais as func¸o˜es na˜o sa˜o nulas) resulta
T ′(t)
α2T(t)
=
X ′′(x)
X(x)
. (1.3)
Observe que o primeiro membro de (1.3) so´ depende de t e o segundo membro so´
depende de x. Ora, sendo x e t varia´veis independentes uma da outra, segue-se que os
dois membros so´ podem ser iguais se o forem a uma mesma constante, digamos σ. Assim
devemos ter
X ′′(x)
X(x)
=
T ′(t)
α2T(t)
= σ .
Obtemos enta˜o duas equac¸o˜es diferenciais ordina´rias
X ′′(x) − σX(x) = 0 , (1.4)
T ′(t) − α2σT(t) = 0 . (1.5)
Observe que a equac¸a˜o diferencial
∂u
∂t
= α2
∂2u
∂x2
foi substitu´ıda pelas equac¸o˜es (1.4)
e (1.5), sendo σ uma constante a determinar. No entanto, so´ estamos interessados nas
soluc¸o˜es de (1.4) e (1.5), que denotaremos por Xσ e Tσ, tais que, ao definirmos uσ(x, t) =
Xσ(x)Tσ(t), tenhamos tambe´m
uσ(0, t) = uσ(l, t) = 0 .
Logo, devemos ter ∥∥∥∥∥∥ Xσ(0)Tσ(t) = 0 eXσ(l)Tσ(t) = 0
para todo t > 0.
Na primeira equac¸a˜o, se Tσ(t) ≡ 0 enta˜o uσ(x, t) ≡ 0 e, se f(x) 6= 0, na˜o ter´ıamos
uσ(x, 0) = f(x). Portanto, devemos ter Xσ(0) = Xσ(l) = 0. Essa segunda condic¸a˜o
decorre da segunda equac¸a˜o. Vamos enta˜o estudar o seguinte problema: determinar
Xσ(x) 6≡ 0 soluc¸a˜o de  X ′′(x) − σX(x) = 0 , 0 < x < lX(0) = 0 e X(l) = 0 . (1.6)
MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O.
O me´todo de separac¸a˜o de varia´veis 4
E´ poss´ıvel mostrar, facilmente, que σ ∈ R. Assim, vamos estudar os treˆs casos
poss´ıveis.
Caso A: Caso em que σ = 0.
A equac¸a˜o em (1.6) se torna
X ′′(x) = 0
cuja soluc¸a˜o geral e´ dada por
X(x) = c1x+ c2 .
Como X(0) = 0, devemos ter c2 = 0 e, para que tenhamos X(l) = 0, c1 deve ser tambe´m
igual a 0. O que nos da´ X(x) ≡ 0. Como queremos soluc¸o˜es na˜o identicamente nulas, este
caso na˜o nos interessa.
Caso B: Caso em que σ < 0.
Vamos supor que σ tenha a forma
σ = −λ2 com λ > 0 .
Nesse caso, equac¸a˜o (1.6) se torna X ′′(x) + λ2X(x) = 0X(0) = 0 X(l) = 0 . (1.7)
Vamos usar transformada de Laplace para resolver (1.7).
L
{
X ′′
}
+ λ2L
{
X
}
= 0 .
Temos
L
{
X ′′
}
= s2L
{
X
}
− X ′(0) .
Substituindo resulta
(s2 + λ2)L
{
X
}
= X ′(0) .
Da´ı,
L
{
X
}
=
X ′(0)
s2 + λ2
.
Ou seja,
X(x) =
X ′(0)
λ
sen(λx)
e, como queremos X(x) 6= 0, devemos ter
X ′(0) 6= 0 .
Por outro lado, X(l) = 0, da´ı resulta que
sen(λl) = 0⇒ λl = npi, n = 1, 2, . . . .
MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O.
O me´todo de separac¸a˜o de varia´veis 5
Ou seja,
λ =
npi
l
.
Assim, (1.7) tem soluc¸a˜o X(x) 6≡ 0 se e somente se λ = npi
l
, n = 1, 2, . . ., isto e´, se
e somente se
σ = −
n2pi2
l2
, n = 1, 2, . . . . (1.8)
Nesse caso, para cada n = 1, 2, . . . temos
Xn(x) = cn sen(
npix
l
) .
Vamos usar o valor de σ obtido acima e estudar a equac¸a˜o (1.5). Para cada n = 1, 2, . . .
teremos
T ′(t) +
α2n2pi2
l2
T(t) = 0 .
Da´ı,
L
{
T ′(t)
}
+
α2n2pi2
l2
L
{
T(t)
}
= 0 .
Logo,
sL
{
T(t)
}
− T(0) +
α2n2pi2
l2
L
{
T(t)
}
= 0 .
Da´ı,
(s+
α2n2pi2
l2
)L
{
T(t)
}
= T(0) .
Portanto,
L
{
T(t)
}
=
T(0)
(s+ α
2n2pi2
l2
)
.
Assim, para cada n = 1, 2, . . . teremos
Tn(t) = dne
−α
2n2pi2
l2
t .
Logo, para cada n = 1, 2, . . .,
un(x, t) = kne
−α
2n2pi2
l2
t sen(
npix
l
)
e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial
∂u
∂t
= α2
∂2u
∂x2
e satisfaz tambe´m as condic¸o˜es
u(0, t) = u(l, t) = 0 .
Pelo princ´ıpio da superposic¸a˜o devemos ter
u(x, t) =
+∞∑
n=1
un(x, t) =
+∞∑
n=1
kne
−α
2n2pi2
l2
t sen(
npix
l
)
MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O.
Exerc´ıcios 6
como candidata a soluc¸a˜o do problema (1.2). Para que isso de fato ocorra, ainda devemos
ter
u(x, 0) = f(x)
ou seja, devemos ter
f(x) =
+∞∑
n=1
kn sen(
npix
l
) .
Nosso problema fica resolvido, se soubermos como expressar uma dada func¸a˜o numa se´rie
em senos. Ale´m disso devemos tambe´m investigar quando e´ poss´ıvel fazeˆ-lo. Devemos
ainda estudar o caso em que σ > 0.
Caso C: Caso em que σ > 0.
Vamos supor que σ tenha a seguinte forma
σ = λ2, com λ > 0 .
A equac¸a˜o (1.4) assume a forma X ′′(x) − λ2X(x) = 0X(0) = 0 X(l) = 0 . (1.9)
Usando novamente a transformada de Laplace, verifica-se facilmente que a u´nica
soluc¸a˜o desse problema e´
X(x) ≡ 0
o que na˜o nos interessa.
Nosso objetivo enta˜o para as pro´ximas aulas sera´ estudar como expressar func¸o˜es em
se´ries envolvendo func¸o˜es trigonome´tricas e assim podermos resolver completamente o
problema de conduc¸a˜o de calor proposto.
Exerc´ıcios
1. Enunciar o problema de valor de contorno que determina a temperatura em uma barra
de cobre (α2 = 1, 71cm2/s), com 1 metro de comprimento, se toda a barra estiver
inicialmente a 10oC e uma das extremidades e´ enta˜o aquecida a 30oC e mantida nesta
temperatura, enquanto a outra extremidade fica a 10oC .
2. Dar uma interpretac¸a˜o e achar a soluc¸a˜o do problema de calor
100uxx = ut , 0 < x < 1 , t > 0
u(0, t) = 0 , u(1, t) = 0 , t > 0
u(x, 0) = sen(2pix) − sen(5pix) , 0 6 x 6 1
MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O.
Exerc´ıcios 7
3. Dar uma interpretac¸a˜o e achar a soluc¸a˜o do problema de calor
uxx = 4ut , 0 < x < 2 , t > 0
u(0, t) = 0 , u(2, t) = 0 , t > 0
u(x, 0) = 2 sen(pix/2) − sen(pix) + 4 sen(2pix) , 0 6 x 6 2
4. Considere a equac¸a˜o
auxx − but + cu = 0 (1.10)
na qual a,b e c sa˜o constantes.
4.1. Seja u(x, t) = eδtw(x, t), com δ constante. Substitua u(x, t) na equac¸a˜o (1.10) e
encontre a equac¸a˜o diferencial parcial correspondente para w(x, t).
4.2. Seja b 6= 0, mostre que δ pode ser escolhido de modo que a equac¸a˜o diferencial
parcial encontrada na parte (a) na˜o tenha termo em w. Conclua enta˜o que por
uma mudanc¸a de varia´vel dependente e´ poss´ıvel reescrever a equac¸a˜o (1.10) na
forma da equac¸a˜o do calor.
5. Mostre que σ em (1.6) e´ real.
6. Mostre que a soluc¸a˜o do problema (1.9) e´ a func¸a˜o identicamente nula.
7. Use o me´todo de separac¸a˜o de varia´veis para estudar o seguinte problema
uxx + ux = ut , 0 < x < l , t > 0
u(0, t) = 0 , u(l, t) = 0 , t > 0
u(x, 0) = f(x) , 0 6 x 6 l
MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O.
Aula 2
Nesta Aula estudaremos a se´rie de Fourier, trigonome´trica, de func¸o˜es. Recordemosque ao tentarmos resolver o problema do calor

∂u
∂t
= α2
∂2u
∂x2
, (x, t) ∈ Q
u(0, t) = u(l, t) = 0 , t > 0
u(x, 0) = f(x) , 0 6 x 6 l , f(0) = f(l) = 0
usando o me´todo de separac¸a˜o de varia´veis (u(x, t) = X(x)T(t)) vimos que
(i) A equac¸a˜o do calor juntamente com as condic¸o˜es de fronteira nos levam ao problema X ′′(x) − σX(x) = 0 0 < x < lX(0) = 0 X(l) = 0 (2.1)
e a` equac¸a˜o T ′(t)−α2σT(t) = 0. Qualquer valor para σ tal que (2.1) tenha soluc¸a˜o
X(x) na˜o identicamente nula, e´ chamado um autovalor para (2.1) e as soluc¸o˜es
correspondentes sa˜o chamadas autofunc¸o˜es. Vimos que os autovalores de (2.1) sa˜o
da forma
σn = −
n2pi2
l2
, n = 1, 2, 3, . . .
e as autofunc¸o˜es correspondentes sa˜o
Xn(x) = sen
(npix
l
)
, n = 1, 2, 3, . . . .
Vimos tambe´m que a equac¸a˜o T ′(t) +
n2pi2α2
l2
T(t) = 0 tem por soluc¸a˜o
Tn(t) = bne
−n
2pi2α2
l2
t .
(ii) Obtivemos as soluc¸o˜es un(x, t) = bnXn(x)Tn(t) isto e´,
un(x, t) = bne
−n
2pi2α2
l2
t sen
(npix
l
)
, n = 1, 2, 3, . . . .
Usando o princ´ıpio da superposic¸a˜o, procuramos uma soluc¸a˜o da forma
u(x, t) =
+∞∑
n=1
bne
−n
2pi2α2
l2
t sen
(npix
l
)
.
Se´ries de Fourier 9
Como queremos ainda u(x, 0) = f(x), devemos ter
f(x) =
+∞∑
n=1
bn sen
(npix
l
)
, 0 6 x 6 l .
Se as extremidades da barra tambe´m estiverem isoladas, o problema correspondente
sera´ 
∂u
∂t
= α2
∂2u
∂x2
, (x, t) ∈ Q
∂u
∂x
(0, t) =
∂u
∂x
(l, t) = 0 , t > 0
u(x, 0) = f(x) , 0 6 x 6 l , f(0) = f(l) = 0 .
(2.2)
Usando o me´todo de separac¸a˜o de varia´veis, chegamos ao problema X ′′(x) − σX(x) = 0 , 0 < x < lX ′(0) = 0 X ′(l) = 0 , (2.3)
cujos autovalores sa˜o da forma
σn = −
n2pi2
l2
, n = 0, 1, 2, . . .
com autofunc¸o˜es
Xn(x) = cos
(npix
l
)
, n = 0, 1, 2, . . . ,
o que nos leva a escrever
f(x) =
a0
2
+
+∞∑
n=1
an cos
(npix
l
)
, 0 6 x 6 l .
O me´todo de separac¸a˜o de varia´veis nos leva enta˜o, ao estudo de se´ries do tipo
f(x) =
a0
2
+
+∞∑
n=1
(
an cos
(npix
l
)
+ bn sen
(npix
l
))
,
chamada Se´rie de Fourier. Vamos enta˜o tentar responder a`s seguintes questo˜es.
(i) Dada uma func¸a˜o f : [0, l]→ R quando e´ poss´ıvel expressar f como se´rie de Fourier ?
(ii) Como calcular os coeficientes an e bn, conhecendo f?
Se´ries de Fourier
Lembremos que uma func¸a˜o f : R→ C e´ perio´dica com um per´ıodo T > 0 se
f(t+ T) = f(t), para todo t do domı´nio de f . (2.4)
MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O.
Se´ries de Fourier 10
O menor valor de T para o qual vale (2.4) e´ chamado per´ıodo fundamental e todos
os per´ıodos sa˜o mu´ltiplos inteiros do per´ıodo fundamental. Isso significa que, se T e´ um
per´ıodo, enta˜o kT tambe´m e´ um per´ıodo, onde k ∈ Z e´ um inteiro qualquer.
Exemplo 2.1. As func¸o˜es sen(t) e cos(t) sa˜o perio´dicas com per´ıodo fundamental
T = 2pi.
Exemplo 2.2. Se m ∈ N enta˜o cos(mt) e sen(mt) sa˜o perio´dicas com per´ıodo funda-
mental T =
2pi
m
.
De fato,
cos(m(t+
2pi
m
)) = cos(mt+ 2pi) = cos(mt) .
Portanto,
2pi
m
e´ um per´ıodo e, se 0 < T <
2pi
m
e ainda se cos(m(t + T)) = cos(mt), enta˜o
cos(mt+mT) = cos(mt). Como o per´ıodo fundamental da func¸a˜o cosseno e´ 2pi, segue-se
que
mT = k2pi para algum k ∈ Z .
Mas, 0 < T < 2pi e da´ı devemos ter 0 < mT < 2pi. Ou seja, 0 < k2pi < 2pi. Isso e´
imposs´ıvel. De modo semelhante tratamos a func¸a˜o sen(mt).
Exemplo 2.3. Se a > 0 enta˜o cos(at) e sen(at) sa˜o perio´dicas e possuem per´ıodo fun-
damental T =
2pi
a
. Em particular, as func¸o˜es cos(2pit) e sen(2pit) teˆm per´ıodo fundamental
T = 1.
Consideremos agora o espac¸o vetorial das func¸o˜es cont´ınuas em um intervalo [a,b]
a valores em C. Nesse espac¸o vamos introduzir o seguinte produto interno. Dadas
f : [a,b]→ C e g : [a,b]→ C, definimos
< f,g >:=
∫b
a
f(t)g(t)dt ∈ C .
Recordemos, rapidamente, as propriedades do produto interno (tambe´m chamado
produto escalar).
(i) < f+ g,h > = < f,h > + < g,h >;
(ii) < f,g+ h > = < f,g > + < f,h >;
(iii) se λ ∈ C, enta˜o
< λf,g > = λ < f,g > ;
< f, λg > = λ < f,g > ;
MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O.
Se´ries de Fourier 11
(iv) < f,g > = < g, f >;
(v) < f, f > > 0 e < f, f > = 0⇔ f = 0.
Para maiores detalhes sobre espac¸os com produto interno e todas as propriedades
inerentes a esses objetos matema´ticos consulte a refereˆncia [2, cap. 6]. Grac¸as a`s propri-
edades acima, podemos definir os seguintes conceitos geome´tricos:
(a) Norma (ou comprimento) de um vetor (no caso em que estamos interessados os
vetores sa˜o func¸o˜es)
‖f‖ =
√
< f, f > .
(b) Ortogonalidade entre vetores (func¸o˜es): diremos que as func¸o˜es f e g sa˜o ortogo-
nais se seu produto interno for igual a zero, isto e´,
f ⊥ g⇐⇒< f,g > = 0 .
Observe que a func¸a˜o f(t) ≡ 0 e´ ortogonal a todas as outras func¸o˜es cont´ınuas e, e´
claro, que se < f,g > = 0 para toda g cont´ınua enta˜o, em particular, < f, f > = 0.
Portanto, f = 0.
(c) Se f e´ ortogonal a g enta˜o vale o Teorema de Pita´goras
‖f+ g‖2 = ‖f‖2 + ‖g‖2 .
De modo geral, vale a identidade do paralelogramo
‖f+ g‖2 + ‖f− g‖2 = 2 (‖f‖2 + ‖g‖2) .
Diremos que um conjunto de func¸o˜es e´ mutuamente ortogonal (ou apenas orto-
gonal) se qualquer par de func¸o˜es do conjunto for ortogonal. Para facilitar as notac¸o˜es
usaremos ϕ0(t) ≡ 1 e, para cada m = 1, 2, 3, . . ., definimos
ϕm(t) = cos(
mpit
l
) , −l 6 t 6 l
ψm(t) = sen(
mpit
l
) , −l 6 t 6 l
.
Essas func¸o˜es teˆm per´ıodo fundamental T =
2l
m
. Portanto, todas teˆm per´ıodo 2l.
Teorema 2.4 (Relac¸o˜es de ortogonalidade). Sa˜o va´lidas as seguintes relac¸o˜es.
(i)
∫ l
−l
cos(
mpit
l
) dt =
 2l se m = 00 se m = 1, 2, 3, . . .
MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O.
Se´ries de Fourier 12
(ii)
∫ l
−l
sen(
mpit
l
) dt = 0 para cada m = 1, 2, 3, . . .
(iii) < ϕm,ϕn > =
∫ l
−l
cos(
mpit
l
) cos(
npit
l
) dt =
 0 se m 6= nl se m = n
(iv) < ϕm,ψn > =
∫ l
−l
cos(
mpit
l
) sen(
npit
l
) dt = 0 para cada m,n.
(v) < ψm,ψn > =
∫ l
−l
sen(
mpit
l
) sen(
npit
l
) dt =
 0 se m 6= nl se m = n
Demonstrac¸a˜o. (i) e (ii) sa˜o imediatas. Para verificar as outras relac¸o˜es, devemos recordar
as identidades trigonome´tricas
cos(a± b) = cos(a) cos(b)∓ sen(a) sen(b)
e
sen(a± b) = sen(a) cos(b)± sen(b) cos(a)
da´ı, fazendo a =
mpit
l
e b =
npit
l
resulta
a+ b =
(m+ n)pit
l
a− b =
(m− n)pit
l
assim,
cos(
mpit
l
) cos(
npit
l
) =
1
2
[
cos(
(m+ n)pit
l
) + cos(
(m− n)pit
l
)
]
e
sen(
mpit
l
) sen(
npit
l
) =
1
2
[
cos(
(m− n)pit
l
) − cos(
(m+ n)pit
l
)
]
e
cos(
mpit
l
) sen(
npit
l
) =
1
2
[
sen(
(m+ n)pit
l
) − sen(
(m− n)pit
l
)
]
usando essas identidades segue facilmente os itens (iii),(iv) e (v).
Observac¸a˜o 2.5. O Teorema 2.4 nos diz que o conjunto de func¸o˜es cont´ınuas B definido
por
B := { 1, cos(
mpit
l
), sen(
mpit
l
) / m = 1, 2, 3, . . . }
e´ um conjunto ortogonal e, consequ¨entemente, forma um conjunto infinito linearmente
independente de func¸o˜es cont´ınuas.
MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O.
Se´ries de Fourier 13
As fo´rmulas de Euler-Fourier
Suponhamos que uma dada func¸a˜o f, cont´ınua e perio´dica de per´ıodo 2l, possa ser
expressa na forma
f(t) =
a0
2
+
+∞∑
k=1
(
ak cos(
kpit
l
) + bk sen(
kpit
l
)
)
. (2.5)
Isto e´, que f seja igual a sua se´rie de Fourier. Conhecida f como determinar os coeficientes
ak e bk ? Usaremos asrelac¸o˜es de ortogonalidade para responder essa questa˜o. Para cada
n = 0, 1, 2, 3, . . . , consideramos o produto interno de ϕn com a se´rie (2.5)
< f,ϕn > =<
a0
2
,ϕn > +
+∞∑
k=1
[ak < ϕk,ϕn > + bk < ψk,ϕn > ] .
Das relac¸o˜es de ortogonalidade resulta
< f,ϕn > = an < ϕn,ϕn > = lan para cada n = 0, 1, 2, . . . .
Ou seja,
an =
1
l
∫ l
−l
f(t) cos(
npit
l
) dt .
Em particular,
a0 =
1
l
∫ l
−l
f(t) dt .
Agora, para cada n = 1, 2, 3, . . . , consideremos o produto interno de ψn com a se´rie (2.5)
< f,ψn > =<
a0
2
,ψn > +
+∞∑
k=1
[ak < ϕk,ψn > + bk < ψk,ψn > ] .
Das relac¸o˜es de ortogonalidade resulta
< f,ψn > = bn < ψn,ψn > = lbn para cada n = 1, 2, . . . .
Ou seja,
bn =
1
l
∫ l
−l
f(t) sen(
npit
l
) dt .
Observac¸a˜o 2.6. Como as func¸o˜es ϕm(t) = cos(
mpit
l
) e ψm(t) = sen(
mpit
l
) sa˜o perio´dicas
de per´ıodo 2l, segue-se que as relac¸o˜es de ortogonalidade sa˜o as mesmas se em lugar de
integrarmos em [−l, l] usa´ssemos qualquer intervalo de comprimento 2l.
Definic¸a˜o 2.7. Seja l > 0 e seja f : [−l, l]→ C uma func¸a˜o integra´vel e tal que a func¸a˜o
|f| tambe´m seja integra´vel. Definimos a Se´rie de Fourier de f como a se´rie
Sf(t) =
a0
2
+
+∞∑
n=1
(
an cos
(npit
l
)
+ bn sen
(npit
l
))
MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O.
Se´ries de Fourier 14
com os coeficientes a0, an e bn sendo calculados por
a0 =
1
l
∫ l
−l
f(t) dt ,
an =
1
l
∫ l
−l
f(t) cos(
npit
l
) dt
e
bn =
1
l
∫ l
−l
f(t) sen(
npit
l
) dt .
Observac¸a˜o 2.8. Na˜o se exige, na definic¸a˜o acima, que a func¸a˜o f esteja definida em toda
a reta.
Definic¸a˜o 2.9. Seja l > 0 e seja f : [−l, l]→ C uma func¸a˜o integra´vel e tal que a func¸a˜o
|f| tambe´m seja integra´vel. Para cada n ∈ N, definimos a n-e´sima soma parcial de Fourier
de f por
Sn(t) =
a0
2
+
n∑
k=1
(
ak cos
(kpit
l
)
+ bk sen
(kpit
l
))
.
Exemplo 2.10. Determinar os coeficientes da se´rie de Fourier da func¸a˜o
f(t) =
 1 se −1 6 t < 00 se 0 6 t < 1 ,
sabendo-se que f e´ perio´dica de per´ıodo 2. Isto e´, f(t+ 2) = f(t) para todo t ∈ R.
6
-
1
−3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
Figura 2.1: Gra´fico de f(t)
Neste exemplo temos l = 1. Assim,
a0 =
∫ 2
0
f(t) dt =
∫ 2
1
dt = 1 ,
e
an =
∫ 2
0
f(t) cos(npit) dt =
∫ 2
1
cos(npit) dt =
sen(npit)
npi
∣∣∣∣2
1
,
MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O.
Se´ries de Fourier 15
an =
1
npi
{sen(2npi) − sen(npi)} = 0 .
Assim,
a0 = 1 e an = 0 para todo n = 1, 2, . . . .
Por outro lado,
bn =
∫ 2
0
f(t) sen(npit) dt =
∫ 2
1
sen(npit) dt = −
cos(npit)
npi
∣∣∣∣2
1
.
Da´ı,
bn =
1
npi
{cos(npi) − cos(2npi)} =
1
npi
[(−1)n − 1] .
Logo,
Figura 2.2: Soma parcial para n = 1 Figura 2.3: Soma parcial para n = 5
Figura 2.4: Soma parcial n = 15 Figura 2.5: Soma parcial n = 25
bn =
 0 se n e´ par− 2
npi
se n e´ ı´mpar.
Podemos enta˜o escrever
b2n = 0 e b2n−1 = −
2
(2n− 1)pi
, n = 1, 2, 3, . . . .
A se´rie de Fourier de f sera´ (veja as Figuras 2.2, 2.3, 2.4 e 2.5)
Sf(t) =
1
2
−
+∞∑
n=1
2
(2n− 1)pi
sen[(2n− 1)pit] .
MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O.
Exerc´ıcios 16
Exerc´ıcios
1. Seja f(t) =
 −t , −2 6 t < 0t , 0 6 t < 2 e f(t + 4) = f(t) para todo t ∈ R. Esboce o gra´fico
de f e determine os coeficientes de sua se´rie de Fourier.
2. Seja f(t) =

0 , −3 6 t < −1
1 , −1 6 t < 1
0 , 1 6 t < 3
e f(t + 6) = f(t) para todo t ∈ R. Esboce o gra´fico
de f e determine os coeficientes de sua se´rie de Fourier.
3. Seja f(t) =
 t+ 1 , −1 6 t < 0t , 0 6 t < 1 e f(t+2) = f(t) para todo t ∈ R. Esboce o gra´fico
de f e determine os coeficientes de sua se´rie de Fourier.
4. Seja f(t) = −t, −pi 6 t < pi com f(t + 2pi) = f(t) para todo t ∈ R. Esboce o gra´fico
de f e determine os coeficientes de sua se´rie de Fourier.
5. Suponha que g seja uma func¸a˜o integra´vel e perio´dica de per´ıodo T .
5.1. Se 0 6 a 6 T , mostre que ∫T
0
g(t) dt =
∫a+T
a
g(t)dt
5.2. Mostre que qualquer que seja a, na˜o necessariamente em [0, T ], ainda vale∫T
0
g(t) dt =
∫a+T
a
g(t) dt
5.3. Mostre que quaisquer que sejam a e b, vale∫b+T
b
g(t) dt =
∫a+T
a
g(t) dt
6. Se f e´ deriva´vel e perio´dica, com per´ıodo T , mostre que f ′ tambe´m e´ perio´dica com
per´ıodo T . Determine as condic¸o˜es para que
F(t) =
∫ t
0
f(ξ) dξ
tambe´m seja uma func¸a˜o perio´dica.
7. Estude o problema (2.2) usando o me´todo de separac¸a˜o de varia´veis.
8. Sejam m e n naturais. Mostre que a func¸a˜o f(t) = A cos(mt) +B sen(nt) e´ perio´dica.
9. Sejam m e n racionais. Mostre que a func¸a˜o f(t) = A cos(mt)+B sen(nt) e´ perio´dica.
10. Sejam n natural e α irracional. Mostre que a func¸a˜o f(t) = A cos(nt) +B sen(αt) na˜o
e´ perio´dica se A e B sa˜o diferentes de zero.
MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O.
Aula 3
O Teorema de Dirichlet
Dada uma func¸a˜o f definida no intervalo [−l, l], consideramos sua se´rie de Fourier
Sf(t) =
a0
2
+
+∞∑
n=1
(
an cos(
npit
l
) + bn sen(
npit
l
)
)
(3.1)
cujos coeficientes sa˜o dados por
an =
1
l
∫ l
−l
f(t) cos(
npit
l
) dt , n = 0, 1, 2, . . . ,
bn =
1
l
∫ l
−l
f(t) sen(
npit
l
) dt , n = 1, 2, . . . .
Como as func¸o˜es cos(
npit
l
) e sen(
npit
l
) sa˜o perio´dicas de per´ıodo 2l se, (3.1) representar
uma func¸a˜o em R, enta˜o essa func¸a˜o e´ perio´dica de per´ıodo 2l. A questa˜o que se po˜e e´
a seguinte: quando e´ que (3.1) converge para f? Uma resposta para essa questa˜o e´ dada
pelo seguinte
Teorema 3.1 (Teorema de Dirichlet). Se f e f ′ sa˜o func¸o˜es cont´ınuas por partes no
intervalo −l 6 t < l e, se f e´ definida fora desse intervalo, de modo a ser perio´dica com
per´ıodo 2l, enta˜o a se´rie de Fourier de f converge para f(t) em cada ponto no qual f seja
cont´ınua e converge para o valor me´dio dos limites laterais,
f(t+) + f(t−)
2
nos pontos de descontinuidade de f.
Demonstrac¸a˜o. Para uma demonstrac¸a˜o desse teorema veja [7, pa´g. 135].
Exemplo 3.2. Determinar a se´rie de Fourier da func¸a˜o
f(t) =
 −1 , −pi 6 t < 01 , 0 6 t < pi .
O Teorema de Dirichlet 18
Procedemos do seguinte modo: inicialmente estendemos a definic¸a˜o da func¸a˜o dada a`
reta toda de modo a torna´-la 2pi-perio´dica
f(t+ 2pi) = f(t) , para todo t ∈ R .
6
-
0
1
f(t)
t
−1
−pi pi
Vamos agora calcular os coeficientes da se´rie.
Sf(t) =
a0
2
+
+∞∑
n=1
(an cos(nt) + bn sen(nt))
a0 =
1
pi
∫pi
−pi
f(t) dt =
1
pi
{
−
∫ 0
−pi
dt+
∫pi
0
dt
}
= 0
e
an =
1
pi
∫pi
−pi
f(t) cos(nt) dt =
1
pi
{∫ 0
−pi
cos(nt) dt+
∫pi
0
cos(nt) dt
}
= 0 .
Tambe´m,
bn =
1
pi
∫pi
−pi
f(t) sen(nt) dt =
1
pi
{∫ 0
−pi
sen(nt) dt+
∫pi
0
sen(nt) dt
}
.
Da´ı,
bn =
2
pi
∫pi
0
sen(nt) dt =
2
pi
(
− cos(nt)
n
∣∣∣∣pi
0
)
.
Portanto,
bn =
2
npi
(1 − (−1)n) =
 0 se n e´ par4
npi
se n e´ ı´mpar.
Assim obtemos
Sf(t) =
4
pi
(
sen(t) +
1
3
sen(3t) +
1
5
sen(5t) + · · ·
)
.
Pelo teorema de Dirichlet resulta
Sf(t) = f(t) , se − pi < t < 0 ou 0 < t < pi .
Se t = ±pi, ou t = 0, teremos
Sf(−pi) = Sf(pi) = Sf(0) = 0 .
MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O.
O Teorema de Dirichlet 19
Figura 3.1: Soma parcial n = 15 Figura 3.2: Soma parcial n = 50
Figura 3.3: Soma parcial para n = 505
Para facilitar alguns ca´lculos de integrais, vamos introduzir as noc¸o˜es importantes de
func¸o˜es pares e func¸o˜es ı´mpares .
Definic¸a˜o 3.3.Diremos que uma func¸a˜o f, definida em um intervalo da forma ] − a,a[,
e´ par, se
f(t) = f(−t) para todo t ∈] − a,a[ .
Diremos que uma func¸a˜o f, definida em um intervalo da forma ] − a,a[, e´ ı´mpar, se
f(t) = −f(−t) para todo t ∈] − a,a[ .
Exemplo 3.4. As func¸o˜es f(t) = cos(nt) e g(t) = tk, com k inteiro par, sa˜o exemplos de
func¸o˜es pares. As func¸o˜es f(t) = sen(nt) e g(t) = tk, com k inteiro ı´mpar sa˜o exemplos
de func¸o˜es ı´mpares.
Veremos agora algumas propriedades das func¸o˜es pares e das func¸o˜es ı´mpares.
Proposic¸a˜o 3.5. As seguintes propriedades sa˜o verdadeiras.
(a) Se f for uma func¸a˜o par e se g for uma func¸a˜o ı´mpar, enta˜o o produto
h(t) = f(t).g(t)
MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O.
O Teorema de Dirichlet 20
e´ uma func¸a˜o ı´mpar. Se f e g forem func¸o˜es pares, enta˜o o produto
h(t) = f(t).g(t)
e´ uma func¸a˜o par. Se f e g forem func¸o˜es ı´mpares, enta˜o o produto
h(t) = f(t).g(t)
e´ uma func¸a˜o par.
(b) Se f for uma func¸a˜o par e a > 0, enta˜o∫a
−a
f(t) dt = 2
∫a
0
f(t) dt .
Se f for uma func¸a˜o ı´mpar, enta˜o∫a
−a
f(t) dt = 0 .
(c) Se f(t) for uma func¸a˜o qualquer, enta˜o
P(t) :=
f(t) + f(−t)
2
e´ uma func¸a˜o par
e
I(t) :=
f(t) − f(−t)
2
e´ uma func¸a˜o ı´mpar .
(d) Qualquer func¸a˜o f(t) pode ser escrita como soma de uma func¸a˜o par com uma func¸a˜o
ı´mpar.
Demonstrac¸a˜o. (a) Suponhamos que f(t) seja uma func¸a˜o par e que g(t) seja uma func¸a˜o
ı´mpar. Considerando o produto h(t) = f(t).g(t), enta˜o
h(−t) = f(−t).g(−t) = f(t).(−g(t)) = −f(t).g(t) = −h(t) .
Portanto, a func¸a˜o h(t) e´ ı´mpar. De modo ana´logo, prova-se as outras duas afirmac¸o˜es.
(b) De fato, teremos ∫a
−a
f(t) dt =
∫ 0
−a
f(t) dt+
∫a
0
f(t) dt .
Fazendo a mudanc¸a de varia´vel de integrac¸a˜o, t = −u, na primeira integral do segundo
membro da igualdade, e, usando a hipo´tese de f ser uma func¸a˜o par, obtemos∫a
−a
f(t) dt = −
∫ 0
a
f(−u) du+
∫a
0
f(t) dt = −
∫ 0
a
f(u) du+
∫a
0
f(t) dt =
=
∫a
0
f(u) du+
∫a
0
f(t) dt = 2
∫a
0
f(t) dt
MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O.
O Teorema de Dirichlet 21
De modo ana´logo verifica-se a outra afirmac¸a˜o.
(c) Basta observar que P(−t) = P(t) e que I(−t) = −I(t).
(d) De fato, dada uma func¸a˜o qualquer f(t), escrevemos
f(t) =
f(t) + f(−t)
2
+
f(t) − f(−t)
2
= P(t) + I(t) .
Exemplo 3.6. Escreva f(t) = et como soma de uma func¸a˜o par com uma func¸a˜o ı´mpar.
Teremos
P(t) =
et + e−t
2
= cosh(t)
e
I(t) =
et − e−t
2
= senh(t) .
Portanto,
et = cosh(t) + senh(t) .
Teorema 3.7. Se f(t) for uma func¸a˜o par e perio´dica de per´ıodo 2l, enta˜o os coeficientes
da se´rie de Fourier de f sera˜o dados por
an =
2
l
∫ l
0
f(t) cos(
npit
l
) dt , n = 0, 1, 2, 3, . . .
e
bn = 0 , n = 1, 2, 3, . . . .
Demonstrac¸a˜o. Basta usar as definic¸o˜es correspondentes para cada coeficiente e aplicar o
item (b) da proposic¸a˜o (3.5).
Teorema 3.8. Se f(t) for uma func¸a˜o ı´mpar e perio´dica de per´ıodo 2l, enta˜o os coefici-
entes da se´rie de Fourier de f sera˜o dados por
an = 0 , n = 0, 1, 2, 3, . . .
e
bn =
2
l
∫ l
0
f(t) sen(
npit
l
) dt , n = 1, 2, 3, . . . .
Demonstrac¸a˜o. Basta usar as definic¸o˜es correspondentes para cada coeficiente e aplicar o
item (b) da proposic¸a˜o (3.5).
Exemplo 3.9. Seja f(t) = t definida no intervalo −pi < t < pi. Determine a se´rie de
Fourier de f.
MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O.
O Teorema de Dirichlet 22
Estendemos a func¸a˜o f como uma func¸a˜o perio´dica de per´ıodo 2pi
f(t+ 2pi) = f(t) para cada t ∈ R .
Observamos que a func¸a˜o dada e´ uma func¸a˜o ı´mpar. Assim, seus coeficientes de Fourier
sa˜o calculados de acordo com a proposic¸a˜o (3.8), isto e´,
an = 0 , n = 0, 1, 2, . . .
e
bn =
2
pi
∫pi
0
t sen(nt) dt , n = 1, 2, 3, . . . .
Integrando por partes, resulta
bn =
2
pi
{
−t cos(nt)
n
∣∣∣∣pi
0
+
1
n
∫pi
0
cos(nt) dt
}
.
Da´ı,
bn =
2
pi
{
−pi cos(npi)
n
+
1
n2
sen(nt)
∣∣∣∣pi
0
}
= −
2(−1)n
n
=
2
n
(−1)n+1
para cada n = 1, 2, 3, . . . . Logo,
Sf(t) =
+∞∑
n=1
2
n
(−1)n+1 sen(nt) .
Ou seja,
Sf(t) = 2
(
sen(t) −
sen(2t)
2
+
sen(3t)
3
−
sen(4t)
4
+ · · ·
)
.
Figura 3.4: Soma parcial com n = 5 Figura 3.5: Soma parcial n = 20
Pelo teorema de Dirichlet, teremos Sf(t) = f(t), para cada −pi < t < pi. Em particular,
para t = pi/2 teremos
pi
2
= 2
(
1 −
1
3
+
1
5
−
1
7
+
1
9
− · · ·
)
.
Da´ı,
pi
4
= 1 −
1
3
+
1
5
−
1
7
+
1
9
−
1
11
+ · · · .
MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O.
Exerc´ıcios 23
Figura 3.6: Soma parcial com n = 80
Exerc´ıcios
1. Em cada um dos itens abaixo e´ dada uma func¸a˜o f(t) perio´dica de per´ıodo 2l. Fac¸a
um esboc¸o do gra´fico da func¸a˜o dada e encontre sua se´rie de Fourier.
1.1. f(t) = 1, se −pi < t < pi e perio´dica de per´ıodo 2pi.
1.2. f(t) =
 0 se −pi < t 6 01 se 0 < t 6 pi e perio´dica de per´ıodo 2pi.
1.3. f(t) =
 3 se −pi < t 6 0−2 se 0 < t 6 pi e perio´dica de per´ıodo 2pi.
1.4. f(t) = t se 0 < t < 2pi e perio´dica de per´ıodo 2pi.
1.5. f(t) = |t| se −pi < t < pi e perio´dica de per´ıodo 2pi.
1.6. f(t) = t2 se −pi < t < pi e perio´dica de per´ıodo 2pi.
2. Nos itens abaixo, determine se a func¸a˜o dada e´ par, ı´mpar ou nem uma coisa nem
outra.
2.1. f(t) = t3 − 2t
2.2. f(t) = tg(2t)
2.3. f(t) = t3 − 2t+ 1
2.4. f(t) = sen(t2)
3. Seja f(t) =
 t se 0 6 t < 21 se 2 6 t < 3 . Esboce o gra´fico das extenso˜es perio´dicas par e
ı´mpar de f(t) de per´ıodo 6.
4. Seja f(t) = 4 − t2, com 0 < t < 1. Esboce os gra´ficos das extenso˜es perio´dicas par e
ı´mpar de f(t) de per´ıodo 2.
5. Achar os coeficientes de Fourier das func¸o˜es dos exerc´ıcios (3) e (4).
MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O.
Exerc´ıcios 24
6. Encontre a se´rie de Fourier em cossenos da func¸a˜o
f(t) =
 1 se 0 < t < 10 se 1 < t < 2 .
Esboce o gra´fico da func¸a˜o para a qual a se´rie converge (pontualmente) no intervalo
−2 6 t 6 2.
7. Encontre a se´rie de Fourier em senos da func¸a˜o f(t) =
 t se 0 < t < 11 se 1 6 t < 2 . Esboce o
gra´fico da func¸a˜o para a qual a se´rie converge (pontualmente) no intervalo −2 6 t 6 2.
8. Prove que a derivada de uma func¸a˜o par e´ uma func¸a˜o ı´mpar e que a derivada de uma
func¸a˜o ı´mpar e´ par. Vale o mesmo resultado para integrais indefinidas?
MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O.
Aula 4
Desenvolvimento de meio per´ıodo
Vamos, nesta aula, considerar a possibilidade de representac¸a˜o em se´rie de Fourier de
func¸o˜es que esta˜o definidas apenas em intervalos limitados da reta. Dada uma func¸a˜o
f : [0, l] → R, para obtermos uma representac¸a˜o em se´rie de Fourier para essa func¸a˜o,
devemos em primeiro lugar defini-la no intervalo [−l, 0] e, em seguida, estendeˆ-la a reta
toda como uma func¸a˜o perio´dica de per´ıodo 2l. Dentre os poss´ıveis modos de se fazer
essa extensa˜o vamos destacar os dois seguintes.
Extensa˜o par: definimos
fp(t) :=
 f(t) se 0 6 t 6 lf(−t) se −l < t < 0 , fp(t+ 2l) = fp(t) para cada t ∈ R .
6
-
0 l
fp(t)
t−l
Figura 4.1: Esboc¸o de uma extensa˜o par
Assim, fp e´ uma func¸a˜o par, perio´dica de per´ıodo 2l e, portanto, sua se´rie de Fourier
e´ da forma
Sp(t) =
a0
2
+
+∞∑
n=1
an cos(
npit
l
) .
Extensa˜o ı´mpar: definimos
fi(t) :=
 f(t) se 0 6 t 6 l−f(−t) se −l < t < 0 , fi(t+ 2l) = fi(t) para cada t ∈ R .
Desenvolvimento de meio per´ıodo 26
6
-
0 l
fi(t)
t−l
Figura 4.2: Esboc¸o de uma extensa˜o ı´mpar
Assim, fi e´ uma func¸a˜o ı´mpar,perio´dica de per´ıodo 2l e, portanto, sua se´rie de Fourier
e´ da forma
Si(t) =
+∞∑
n=1
bn sen(
npit
l
) .
Exemplo 4.1. Seja f(t) = t, definida no intervalo 0 6 t < pi. Obtenha uma se´rie em
cossenos que represente f nesse intervalo.
Figura 4.3: Extensa˜o par de f
Consideremos a func¸a˜o
fp(t) =
 t se 0 6 t < pi−t se −pi 6 t < 0
com fp(t+ 2pi) = fp(t). Assim, fp e´ uma func¸a˜o par e perio´dica, com per´ıodo 2pi. Temos
bn = 0 , n = 1, 2, 3, . . .
a0 =
2
pi
∫pi
0
t dt =
2
pi
pi2
2
= pi
MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O.
Desenvolvimento de meio per´ıodo 27
e, para cada n = 1, 2, 3, . . .
an =
2
pi
∫pi
0
t cos(nt) dt = −
2
pin
∫pi
0
sen(nt) dt .
Da´ı,
an =
2
n2pi
{cos(npi) − 1} =
2
n2pi
((−1)n − 1) =
 0 se n e´ par− 4
n2pi
se n e´ ı´mpar
. Podemos
enta˜o escrever
a0 = pi , a2n = 0 e a2n−1 = −
4
(2n− 1)2pi
, n = 1, 2, 3, . . . .
Figura 4.4: Soma parcial n = 2 Figura 4.5: Soma parcial n = 20
Assim, pelo teorema de Fourier, teremos
f(t) =
pi
2
−
4
pi
+∞∑
n=1
cos(nt)
(2n− 1)2
, 0 6 t < pi .
Em particular, para t = 0,
pi2
8
= 1 +
1
32
+
1
52
+
1
72
+ · · · .
Exemplo 4.2. Seja f(t) = t2 definida no intervalo 0 6 t < 1. Obtenha
(a) uma se´rie em cossenos que represente f;
(b) uma se´rie em senos que represente f.
(a) Em primeiro lugar, para que possamos ter uma se´rie em cossenos representando
uma dada func¸a˜o, devemos estender essa func¸a˜o a reta toda como uma func¸a˜o par e
perio´dica. Estendemos f como uma func¸a˜o par e perio´dica de per´ıodo 2 (ver figura 4.6).
Consideremos a extensa˜o par, definida por
fp(t) =
 f(t) se 0 6 t < 1f(−t) se −1 < t < 0 , fp(t+ 2) = fp(t) para todo t ∈ R .
MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O.
Desenvolvimento de meio per´ıodo 28
Figura 4.6: Extensa˜o par de f
Escrevemos agora a se´rie de Fourier de fp.
a0 =
∫ 1
−1
fp(t) dt =
∫ 1
−1
t2 dt =
t3
3
∣∣∣∣1
−1
=
2
3
,
an =
∫ 1
−1
fp(t) cos(npit) dt =
∫ 1
−1
t2 cos(npit) dt ,
an =
t2 sen(npit)
npi
∣∣∣∣1
−1
−
2
npi
∫ 1
−1
t sen(npit) dt = −
2
npi
∫ 1
−1
t sen(npit) dt .
Logo,
an = −
2
npi
∫ 1
−1
t sen(npit) dt .
Mais uma integrac¸a˜o por partes nos da´
an =
2
npi
{
t cos(npit)
npi
∣∣∣∣1
−1
−
1
npi
∫ 1
−1
cos(npit) dt
}
an =
2
npi
{
cos(npi)
npi
+
cos(npi)
npi
−
sen(npit)
n2pi2
∣∣∣∣1
−1
}
.
Assim,
an =
4(−1)n
n2pi2
, n = 1, 2, 3, . . . .
Por outro lado, sendo fp uma func¸a˜o par, resulta
bn = 0 n = 1, 2, 3, . . . .
Assim, de acordo com o teorema de Fourier, teremos
fp(t) =
1
3
+ 4
+∞∑
n=1
(−1)n
n2pi2
cos(npit) , para cada − 1 < t < 1 .
Da´ı,
MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O.
Desenvolvimento de meio per´ıodo 29
Figura 4.7: Soma parcial para n = 5 Figura 4.8: Soma parcial para n = 30
t2 =
1
3
+ 4
+∞∑
n=1
(−1)n
n2pi2
cos(npit) , para cada 0 6 t < 1 .
(b) Estendemos f a reta toda como uma func¸a˜o ı´mpar e perio´dica de per´ıodo 2 ( ver
figura 4.9).
Figura 4.9: Extensa˜o ı´mpar de f
Consideremos
fi(t) =
 t2 se 0 6 t < 1−t2 se −1 6 t < 0 .
Escrevemos agora a se´rie de Fourier de fi. Teremos
a0 = 0 e an = 0 , n = 1, 2, 3, . . . ,
pois fi e´ ı´mpar.
bn =
∫ 1
−1
fi(t) sen(npit)︸ ︷︷ ︸
e´ par !
dt = 2
∫ 1
0
t2 sen(npit) dt .
Usando integrac¸a˜o por partes, resulta
bn = 2
{
−
t2 cos(npit)
npi
∣∣∣∣1
0
+
2
npi
∫ 1
0
t cos(npit)dt
}
.
MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O.
Desenvolvimento de meio per´ıodo 30
Da´ı,
bn = 2
{
−
(−1)n
npi
+
2
npi
∫ 1
0
t cos(npit)dt
}
.
Uma nova integrac¸a˜o por partes nos da´
bn =
2(−1)n+1
npi
+
4
npi
{
t sen(npit)
npi
∣∣∣∣1
0
−
1
npi
∫ 1
0
sen(npit)dt
}
=
=
2(−1)n+1
npi
+
4
npi
{
cos(npit)
n2pi2
∣∣∣∣1
0
} .
Logo
bn =
2(−1)n+1
npi
+
4
npi
{
(−1)n
n2pi2
−
1
n2pi2
}
=
2
npi
[
(−1)n+1 +
2
n2pi2
{(−1)n − 1}
]
.
Da´ı,
Figura 4.10: Soma parcial n = 3 Figura 4.11: Soma parcial n = 15
Figura 4.12: Soma parcial n = 60
fi(t) =
+∞∑
n=1
2
npi
[
(−1)n+1 +
2
n2pi2
{(−1)n − 1}
]
sen(npit) .
MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O.
Forma complexa da se´rie de Fourier 31
Forma complexa da se´rie de Fourier
Um modo muito conveniente de se escrever uma se´rie de Fourier e´ usando a notac¸a˜o
complexa. Recordemos a Fo´rmula de Euler
eiθ = cos(θ) + i sen(θ) .
Enta˜o
cos(θ) =
eiθ + e−iθ
2
e sen(θ) =
eiθ − e−iθ
2i
.
Assim,
an cos(
npit
l
) + bn sen(
npit
l
) = an
ei
npit
l + e
−i
npit
l
2
+ bn
ei
npit
l − e
−i
npit
l
2i
 .
Ou seja,
an cos(
npit
l
) + bn sen(
npit
l
) =
(
an
2
+
bn
2i
)
e
i
npit
l +
(
an
2
−
bn
2i
)
e
−i
npit
l .
Logo, se consideramos uma se´rie trigonome´trica
S(t) =
a0
2
+
+∞∑
n=1
(
an cos(
npit
l
) + bn sen(
npit
l
)
)
,
enta˜o podemos escrever
S(t) =
a0
2
+
+∞∑
n=1
(
an − ibn
2
)
e
i
npit
l +
+∞∑
n=1
(
an + ibn
2
)
e
−i
npit
l
e, trocando n por −n no segundo somato´rio, resulta
S(t) =
a0
2
+
+∞∑
n=1
(
an − ibn
2
)
e
i
npit
l +
−∞∑
n=−1
(
a−n + ib−n
2
)
e
i
npit
l .
Definimos enta˜o, para cada n ∈ Z, a sequ¨eˆncia de nu´meros complexos
cn :=

an − ibn
2
se n > 0
a0
2
se n = 0
a−n + ib−n
2
se n < 0 .
Desse modo podemos escrever
S(t) =
+∞∑
n=−∞ cne
i
npit
l .
MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O.
Forma complexa da se´rie de Fourier 32
Essa expressa˜o e´ a forma complexa da se´rie de Fourier . Agora, dada uma func¸a˜o f(t)
perio´dica de per´ıodo 2l, teremos
an =
1
l
∫ l
−l
f(t) cos(
npit
l
)dt = a−n , n ∈ Z
e
bn =
1
l
∫ l
−l
f(t) sen(
npit
l
)dt = −b−n , n ∈ Z .
Da´ı,
−ibn = ib−n , n ∈ Z .
Logo, a fo´rmula para o ca´lculo dos coeficientes da se´rie de Fourier na forma complexa, e´
dada por
cn =
1
2l
∫ l
−l
f(t)e−i
npit
l dt , n ∈ Z .
Observe que
c0 =
1
2l
∫ l
−l
f(t)dt .
Exemplo 4.3. Escrever a se´rie de Fourier na forma complexa da func¸a˜o
f(t) = et , definida no intervalo − pi 6 t < pi
e estendida a reta toda como uma func¸a˜o perio´dica de per´ıodo 2pi; ou seja,
f(t+ 2pi) = f(t) .
Figura 4.13: Extensa˜o de f(t) = et de per´ıodo 2pi
Temos l = pi e
c0 =
1
2pi
∫pi
−pi
et dt =
epi − e−pi
2pi
.
Para cada n ∈ Z\{0}, teremos
cn =
1
2pi
∫pi
−pi
ete−int dt =
1
2pi
∫pi
−pi
e(1−in)t dt ,
MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O.
Forma complexa da se´rie de Fourier 33
cn =
1
2pi
[
e(1−in)t
1 − in
∣∣∣∣pi
−pi
]
=
1
2pi
[
e(1−in)pi−e
−(1−in)pi
1 − in
]
.
Da definic¸a˜o da exponencial complexa, teremos
e−inpi = einpi = cos(npi) = (−1)n .
Segue-se enta˜o que
cn =
(−1)n
2pi
[
epi − e−pi
1 − in
]
= (−1)n
senhpi
pi
[
1 + in
1 + n2
]
.
Logo, observando que essa u´ltima expressa˜o tambe´m inclui o caso n = 0, teremos
Sf(t) =
senhpi
pi
+∞∑
n=−∞(−1)
n
(
1 + in
1 + n2
)
eint .
Exemplo 4.4. Encontre a se´rie de Fourier na forma complexa da onda quadrada de
per´ıodo 4 dada por
f(t) =

0 se −2 6 t 6 −1
1 se −1 < t < 1
0 se 1 6 t 6 2
, f(t+ 4) = f(t) ∀ t ∈ R .
Figura 4.14: Gra´fico de f
Temos l = 2 e
c0 =
1
4
∫ 2
−2
f(t)dt =
1
2
.
Para cada n ∈ Z\{0}, teremos
cn=
1
4
∫ 2
−2
f(t)e−
inpit
2 dt =
1
4
∫ 1
−1
e−
inpit
2 dt =
1
4
[
−
2e−
inpit
2
inpi
∣∣∣∣1
−1
]
=
=
1
4
[
−
2
inpi
{
e−inpi/2 − einpi/2
}]
.
Podemos enta˜o escrever
cn =
einpi/2 − e−inpi/2
2inpi
=
sen(npi/2)
npi
.
MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O.
Exerc´ıcios 34
Definindo a func¸a˜o
sinc(t) :=
sen(pit)
pit
se t 6= 0
1 se t = 0 ,
podemos escrever,
sinc(
n
2
) =
sen(npi
2
)
npi
2
= 2cn .
Essa expressa˜o valendo inclusive para o caso n = 0. Portanto,
cn =
1
2
sinc(
n
2
) .
Da´ı,
Sf(t) =
+∞∑
n=−∞
1
2
sinc(
n
2
)e
inpit
2 .
Figura 4.15: Gra´fico da func¸a˜o sinc(t)
Exerc´ıcios
1. Seja f(t) =
 0 , 0 < t < 11 , 1 < t < 2 . Obtenha
1.1 Uma se´rie em senos que represente f
1.2 Uma se´rie em cossenos que represente f
Como deve ser definida a func¸a˜o f em t = 0, t = 1 e t = 2, para que as se´ries obtidas
convirjam para f em todos os pontos de [0, 2]?
2. Seja f(t) = cos(t), para 0 6 t < pi. Obtenha uma se´rie em senos para f.
3. Seja f(t) = sen(t), para 0 6 t < pi. Obtenha uma se´rie em cossenos para f.
4. Seja f(t) =
 0 , 0 < t < 11 , 1 < t < 2 e perio´dica de per´ıodo T = 2. Obtenha a se´rie de Fourier
na forma complexa.
MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O.
Exerc´ıcios 35
5. Seja f(t) = t, para 0 6 t < 1 e perio´dica de per´ıodo T = 1. Obtenha a se´rie de Fourier
de f na forma complexa.
MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O.
Aula 5
Nesta aula veremos algumas propriedades importantes das se´ries de Fourier. Duas
o´timas refereˆncias para o conteu´do desta aula sa˜o [9] e, e´ claro, [4].
Desigualdade de Bessel
Dada uma func¸a˜o f : R→ C perio´dica de per´ıodo 2l, vimos que sua se´rie de Fourier e´
escrita na forma
Sf(t) =
+∞∑
n=−∞ cne
inpit
l
com os coeficientes cn calculados pela fo´rmula
cn =
1
2l
∫ l
−l
f(t)e
−inpit
l dt para cada n ∈ Z .
Recordemos, mais uma vez, as relac¸o˜es de ortogonalidade entre as exponenciais complexas.∫ l
−l
e
inpit
l e
−impit
l dt =
 2l se m = n0 se m 6= n . (5.1)
Para cada N ∈ N, definimos a truncada de ordem N, ou N-e´sima soma parcial da se´rie
de Fourier complexa de f, por
SN(t) :=
N∑
n=−N
cne
inpit
l . (5.2)
E´ claro que
Sf(t) = lim
N→+∞SN(t) .
Ale´m disso, observe que
|cn| 6
1
2l
∫ l
−l
|f(t)|dt , para cada n ∈ Z . (5.3)
Os coeficientes (cn)n∈Z formam uma sequ¨eˆncia de nu´meros complexos e, essa sequ¨eˆncia,
e´ algumas vezes chamada transformada de Fourier de f. De modo mais preciso, a Trans-
formada de Fourier de uma func¸a˜o f, perio´dica de per´ıodo 2l, e´ a func¸a˜o
fˆ : Z→ C ,
Desigualdade de Bessel 37
definida por
fˆ(n) :=
1
2l
∫ l
−l
f(t)e
−inpit
l dt = cn .
Assim, podemos escrever
SN(t) =
N∑
n=−N
fˆ(n)e
inpit
l .
Observe que (5.3) tambe´m pode ser vista como
|fˆ(n)| 6 1
2l
∫ l
−l
|f(t)| dt 6 Cte
para cada n ∈ Z.
Recordemos que a notac¸a˜o
< f,g >=
∫ l
−l
f(t)g(t)dt
define um produto interno no espac¸o vetorial das func¸o˜es cont´ınuas e perio´dicas de per´ıodo
2l, com norma dada por
‖f‖2 =
∫ l
−l
|f(t)|2dt .
Uma propriedade importante das se´ries trigonome´tricas, e´ a de que, dentre todos os
polinoˆmios trigonome´tricos, a N-e´sima soma parcial da se´rie de Fourier de uma func¸a˜o
f, SN, fornece a melhor aproximac¸a˜o quadra´tica para a func¸a˜o. De modo mais preciso,
temos
Teorema 5.1. Seja f(t) uma func¸a˜o cont´ınua por partes e perio´dica de per´ıodo 2l. Seja
SN(t) a N-e´sima soma parcial de sua se´rie de Fourier na forma complexa. Se (rn)n∈Z
for uma sequ¨eˆncia limitada de nu´meros complexos e, se definirmos, para cada N ∈ N, o
polinoˆmio trigonome´trico
RN(t) :=
N∑
n=−N
rne
inpit
l
enta˜o, para cada N ∈ N, teremos∫ l
−l
|f(t) − SN(t)|
2dt 6
∫ l
−l
|f(t) − RN(t)|
2dt .
Ou ainda,
‖f− SN‖ 6 ‖f− RN‖ , para cada N ∈ N .
A igualdade vale se e somente se SN = RN.
Demonstrac¸a˜o. Seja
g(t) := f(t) −
N∑
n=−N
fˆ(n)e
inpit
l = f(t) − SN(t) .
MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O.
Desigualdade de Bessel 38
Das relac¸o˜es de ortogonalidade (5.1), obtemos∫ l
−l
g(t)e−
ikpit
l dt = 0 , para cada k = −N , . . . , N .
Em particular, se
h(t) :=
N∑
n=−N
(fˆ(n) − rn)e
inpit
l ,
teremos ∫ l
−l
g(t)h(t)dt = 0 .
Logo, g e´ ortogonal a h e, usando as notac¸o˜es da pa´gina 11 e o teorema de Pita´goras,
‖g+ h‖2 = ‖g‖2 + ‖h‖2 > ‖g‖2 .
Ou seja, como
g(t) + h(t) = f(t) − RN(t)
obtemos
‖f− SN‖2 6 ‖f− RN‖2 .
Da´ı conclu´ımos o teorema.
Vamos agora verificar uma importante desigualdade, chamada desigualdade de Bessel.
Teorema 5.2 (Desigualdade de Bessel). Seja f(t) uma func¸a˜o cont´ınua por partes e
perio´dica de per´ıodo 2l e seja Sf(t) =
+∞∑
n=−∞fˆ(n)e
inpit
l sua se´rie de Fourier. Enta˜o
+∞∑
n=−∞ |fˆ(n)|
2 6 1
2l
∫ l
−l
|f(t)|2dt .
Em particular, teremos
lim
|n|→+∞ fˆ(n) = 0 .
Proposic¸a˜o 5.3. Se f(t) for uma func¸a˜o cont´ınua por partes e perio´dica de per´ıodo 2l e
se
Sf(t) =
a0
2
+
+∞∑
n=1
(
an cos(
npit
l
) + bn sen(
npit
l
)
)
for sua se´rie de Fourier, enta˜o
(i) as se´ries
+∞∑
n=1
a2n e
+∞∑
n=1
b2n sa˜o convergentes;
(ii)
a20
2
+
+∞∑
n=1
(a2n + b
2
n) 6
1
l
∫ l
−l
|f(t)|2dt.
MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O.
Desigualdade de Bessel 39
Prova do Teorema e da Proposic¸a˜o. Seja SN(t) =
N∑
n=−N
fˆ(n)e
inpit
l a N-e´sima soma parcial
da se´rie de Fourier de f. Enta˜o
SN(t) =
N∑
n=−N
fˆ(n)e
−inpit
l .
Ora,
0 6 ‖f− SN‖2 =< f− SN, f− SN >= (5.4)
= ‖f‖2− < f,SN > − < SN, f > + < SN,SN > .
Agora,
< f,SN >=
∫ l
−l
f(t)SN(t)dt =
=
N∑
n=−N
fˆ(n)
∫ l
−l
f(t)e
−inpit
l dt =
=
N∑
n=−N
fˆ(n)fˆ(n) = 2l
N∑
n=−N
|fˆ(n)|2 .
Como
< SN, f >= < f,SN > = 2l
N∑
n=−N
|fˆ(n)|2
e
< SN,SN >=
∫ l
−l
SN(t)SN(t)dt = 2l
N∑
n=−N
|fˆ(n)|2 ,
teremos, substituindo essas duas expresso˜es em (5.4),
0 6 ‖f‖2 − 2l
N∑
n=−N
|fˆ(n)|2 .
Ou seja,
N∑
n=−N
|fˆ(n)|2 6 1
2l
∫ l
−l
|f(t)|2 dt .
Da´ı obtemos, passando ao limite, N→∞,
+∞∑
n=−∞ |fˆ(n)|
2 6 1
2l
∫ l
−l
|f(t)|2dt .
Essa e´ a desigualdade de Bessel.
Lembrando que os coeficientes de Fourier na forma complexa esta˜o relacionados com
os coeficientes de Fourier na forma trigonome´trica por
fˆ(n) =

an − ibn
2
se n > 0
a0
2
se n = 0
a−n + ib−n
2
se n < 0
MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O.
Desigualdade de Bessel 40
segue-se que, se n > 0,
|fˆ(n)|2 =
a2n
4
+
b2n
4
e, se n < 0,
|fˆ(n)|2 =
a2−n
4
+
b2−n
4
.
Em qualquer caso, a desigualdade de Bessel nos da´
a20
2
+
+∞∑
n=1
a2n +
+∞∑
n=1
b2n 6
1
l
∫ l
−l
|f(t)|2dt .
Em particular, teremos
(i) As se´ries
∞∑
n=1
a2n e
∞∑
n=1
b2n sa˜o convergentes, assim como a se´rie
+∞∑
n=−∞|fˆ(n)|
2.
(ii) lim
n→+∞an = limn→+∞bn = 0, e
(iii) lim
|n|→∞|fˆ(n)| = lim|n|→∞fˆ(n) = 0. Em outros termos
lim
|n|→∞
∫ l
−l
f(t)e−
inpit
l dt = 0 .
Esse resultado e´ chamado Lema de Riemann-Lebesgue.
Quando uma func¸a˜o f(t) tiver derivada, existira´ uma relac¸a˜o muito importante entre
os coeficientes de Fourier de f e os coeficientes de Fourier de f ′.
Teorema 5.4 (Transformada da Derivada). Seja f(t) uma func¸a˜o cont´ınua e perio´dica
de per´ıodo 2l. Suponha que f ′(t) seja uma func¸a˜o cont´ınua por partes. Enta˜o
fˆ ′(n) =
inpi
l
fˆ(n) , para cada n ∈ Z . (5.5)
Demonstrac¸a˜o. Temos
fˆ ′(n) =
1
2l
∫ l
−l
f ′(t)e−
inpit
l dt
integrando por partes resulta
fˆ′(n) =
inpi
2l2
∫ l
−l
f(t)e−
inpit
l dt =
inpi
l
fˆ(n)
Observac¸a˜o 5.5. Observe que (5.5) nos diz que
fˆ(n) =
l
inpi
fˆ ′(n) , se n ∈ Z , n 6= 0 .
Como |fˆ ′(n)| 6 Cte , para cada n ∈ Z, segue-se que, para cada n ∈ Z, com n 6= 0,
|fˆ(n)| 6 Cte
|n|
.
MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O.
Sobre convergeˆncia da se´rie de Fourier 41
Ou seja, temos uma estimativa para a velocidade de convergeˆncia da se´rie de Fourier.
Generalizando, se f(t) tem derivada de ordem k cont´ınua por partes enta˜o
fˆ(n) =
(
l
inpi
)k
d̂kf
dtk
(n) , se n ∈ Z , n 6= 0 . (5.6)
Da´ı,
|fˆ(n)| 6 Cte
|n|k
.
Sobre convergeˆncia da se´rie de Fourier
Vamos aqui apenas citar alguns resultados que garantem que as operac¸o˜es que fizemos
ate´ agora com as se´ries de Fourier sa˜o permitidas, dentro de certas restric¸o˜es.
Seja I ⊂ R um intervalo da reta. Para cada nu´mero natural n ∈ N, suponhamos dada
uma func¸a˜o fn : I → C, diremos enta˜o que esta´ dada uma sequ¨eˆncia de func¸o˜es (fn) em
I. E´ sempre conveniente pensar numa sequ¨eˆncia como uma listagem de func¸o˜es
f1 , f2 , f3 , . . . , fn , . . . .
Diremos que uma sequ¨eˆncia de func¸o˜es fn : I → C converge pontualmente (ou converge
ponto a ponto) a uma func¸a˜o f : I → C, se, para cada t0 ∈ I, a sequ¨eˆncia de nu´meros
complexos
(f1(t0), f2(t0), . . . , fn(t0), . . .)
convergir a f(t0). Isso sera´ escrito na forma
lim
n→+∞ fn(t0) = f(t0) , para cada t0 ∈ I .
Exemplo 5.6. A sequ¨eˆncia fn : [0, 1]→ R definida por
fn(t) := t
n
converge pontualmente para a func¸a˜o f(t) =
 0 , se 0 6 t < 11 , se t = 1 .
Exemplo 5.7. A sequ¨eˆncia de func¸o˜es fn : [0, 1]→ R definida por
fn(t) := t
n(1 − tn)
converge pontualmente para a func¸a˜o f(t) ≡ 0 em [0, 1]. Observamos que para cada n ∈ N
fixado,
fn(
n
√
1/2) = 1/4 .
MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O.
Sobre convergeˆncia da se´rie de Fourier 42
Exemplo 5.8. Vimos no Exemplo 3.2 (ver pa´g. 17), que a sequ¨eˆncia de func¸o˜es
cont´ınuas Sn : [−pi,pi]→ R, definida por
Sn(t) :=
4
pi
n∑
k=1
1
(2k− 1)
sen((2k− 1)t)
converge pontualmente para a func¸a˜o
f(t) =

−1 se −pi < t < 0
1 se 0 < t < pi
0 se t = −pi ou t = 0 ou t = pi
Na verdade, no nosso estudo sobre se´ries de Fourier, trabalhamos com um tipo de
sequ¨eˆncia obtida a partir de uma dada sequ¨eˆncia de func¸o˜es, sa˜o as se´ries. Dada uma
sequ¨eˆncia de func¸o˜es fn : I→ C consideremos a sequ¨eˆncia sn : I→ C definida do seguinte
modo
s1 := f1 , s2 := f1 + f2 , s3 := f1 + f2 + f3 , . . . , sn :=
n∑
k=1
fk , . . . .
A sequ¨eˆncia sn : I→ C e´ chamada uma se´rie de func¸o˜es. Assim, diremos que a se´rie
(sn) converge pontualmente a uma func¸a˜o s (chamada soma da se´rie) se, para cada t0 ∈ I,
tivermos
lim
n→+∞ sn(t0) = s(t0) . (5.7)
E´ usual que se escreva
s(t0) =
+∞∑
n=1
sn(t0)
para representar o limite em (5.7). Infelizmente, por certas deficieˆncias, a convergeˆncia
pontual e´ pouco u´til quando desejamos aplicar sobre sequ¨eˆncias (ou se´ries) as operac¸o˜es
fundamentais do Ca´lculo, derivac¸a˜o e integrac¸a˜o, principalmente a derivac¸a˜o. Para corrigir
esse defeito, e´ que se introduz a noc¸a˜o de convergeˆncia uniforme. Diremos que a sequ¨eˆncia
(ou se´rie) sn : I→ C converge uniformemente em I a uma func¸a˜o s : I→ C se, para cada
ε > 0 dado, existir um ı´ndice n0 ∈ N tal que, para qualquer n > n0, vale
|sm(t) − s(t)| < ε qualquer que seja t ∈ I .
E´ claro que se uma sequ¨eˆncia (sn)n∈N converge uniformemente a s, ela tambe´m converge
pontualmente para s em I. Um importante crite´rio para decidir sobre a convergeˆncia
uniforme de func¸o˜es e´ o Crite´rio de Cauchy.
Teorema 5.9 (Crite´rio de Cauchy). Uma sequ¨eˆncia (sn)n∈N de func¸o˜es complexas defi-
nidas num intervalo I converge uniformemente em I, se e somente se, para cada ε > 0
dado, existir um ı´ndice n0 ∈ N, a partir do qual temos
|sm(t) − sn(t)| < ε
MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O.
Sobre convergeˆncia da se´rie de Fourier 43
qualquer que seja t ∈ I e quaisquer que sejam m > n > n0.
Um outro crite´rio muito usado e´ o Teste de Weierstrass.
Teorema 5.10. Considere dadas (fn)n∈Z uma sequ¨eˆncia de func¸o˜es complexas e (an)n∈Z
uma sequ¨eˆncia de nu´meros reais positivos tais que
• |fn(t)| 6 an para cada n ∈ Z e todo t.
• A se´rie
∑
n∈Z
an e´ convergente.
Enta˜o, as se´ries
∑
n∈Z
fn,
∑
n∈Z
|fn|, sa˜o uniformemente convergentes.
Vamos agora enunciar alguns teoremas sobre convergeˆncia de sequ¨eˆncias e suas con-
sequ¨eˆncias no estudo de se´ries de Fourier.
Proposic¸a˜o 5.11. Sejam I = [a,b] um intervalo e sn : [a,b] → C uma sequ¨eˆncia de
func¸o˜es cont´ınuas por partes em [a,b]. Suponha que (sn) convirja pontualmente para
uma func¸a˜o s(t), integra´vel em [a,b]. Enta˜o
lim
n→+∞
∫b
a
sn(t)dt =
∫b
a
s(t)dt .
Esse teorema so´ tem utilidade se conhecemos de antema˜o a integrabilidade da func¸a˜o
limite. Na pra´tica, so´ conhecemos a sequ¨eˆncia (sn) e na verdade queremos tirar concluso˜es
sobre a func¸a˜o limite, mesmo sem conheceˆ-la explicitamente.
Proposic¸a˜o 5.12 (Integrac¸a˜o de se´ries de Fourier). Seja f(t) uma func¸a˜o cont´ınua por
partes e perio´dica de per´ıodo 2l. Se
Sf(t) =
a0
2
+
+∞∑
n=1
(
an cos(
npit
l
) + bn sen(
npit
l
)
)
for a se´rie de Fourier de f, enta˜o∫ t
0
f(t)dt =
∫ t
0
a0
2
dt+
+∞∑
n=1
(
an
∫ t
0
cos(
npit
l
)dt+ bn
∫ t
0
sen(
npit
l
)dt
)
.
Isto e´, mesmo que a se´rie de Fourier na˜o seja convergente para f, podemos integrar termo
a termo a se´rie e o resultado e´ a integral de f.
Podemos concluir que o limite de uma sequ¨eˆncia e´ uma func¸a˜o cont´ınua, desde que a
convergeˆncia da sequ¨eˆncia seja uniforme.
Proposic¸a˜o 5.13. Se sn : I→ C for uma sequ¨eˆncia de func¸o˜es cont´ınuas e (sn) convergir
uniformemente a uma func¸a˜o s, enta˜o s e´ cont´ınua.
MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O.
Identidade de Parseval 44
A convergeˆncia uniforme de uma se´rie de Fourier e´ garantida pelo seguinte resultado.
Proposic¸a˜o 5.14. Seja f(t) uma func¸a˜o cont´ınua por partes e perio´dica de per´ıodo 2l.
Suponha que f ′(t) seja cont´ınua por partes. Enta˜o a se´rie de Fourier de f(t) converge
uniformemente para f em cada intervalo fechado no qual f seja cont´ınua. Em particular,
se f(t) for cont´ınua, a convergeˆncia e´ uniforme em toda a reta.
Proposic¸a˜o 5.15 (Derivac¸a˜o de se´ries de Fourier). Suponha que
Sf(t) =
a0
2
+
+∞∑
n=1
(
an cos(
npit
l
) + bn sen(
npit
l
)
)
seja a se´rie de Fourier de uma func¸a˜o f. Se soubermos que f ′(t) e Sf ′ existem e que f ′ e´
cont´ınua por partes, enta˜o a se´rie de Fourier para f ′ e´ obtida derivando-se a se´rie Sf(t)
termo a termo.
Sf ′(t) =
+∞∑
n=1
(
npibn
l
cos(
npit
l
) −
npian
l
sen(
npit
l
)
)
.
Um problema interessante e´ saber se uma dada se´rie trigonome´trica e´ a se´rie de
Fourier de alguma func¸a˜o. Mas isso, em muitos casos, pode ser resolvido pelo seguinte
resultado que e´ uma espe´cie de releitura de (5.6).
Proposic¸a˜o 5.16. Seja dada a se´rie trigonome´trica
S(t) =
a0
2
+
+∞∑
n=1
(
an cos(
npit
l
) + bn sen(
npit
l
)
)
.
Se existir k de tal modo que as seguintes relac¸o˜es sa˜o verificadas
|nkan| 6M , |nkbn| 6M (n > 2 ,M = Cte)
enta˜o S(t) e´ uma func¸a˜o cont´ınua, perio´dica de per´ıodo 2l, com (k−2) derivadas cont´ınuas,
que podem ser obtidas derivando-se a se´rie termo a termo.
Identidade de Parseval
Suponhamos agora que f : R→ C seja uma func¸a˜o cont´ınua perio´dica de per´ıodo 2l e
com f ′ cont´ınua por partes. O Teorema de Fourier nos diz enta˜o que nesse caso
f(t) =
+∞∑
n=−∞fˆ(n)einpit
l (5.8)
como
f(t) =
∑
fˆ(n)e−
inpit
l .
MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O.
Identidade de Parseval 45
Usando as relac¸o˜es de ortogonalidade e supondo que podemos comutar a passagem ao
limite com a integrac¸a˜o, teremos∫ l
−l
|f(t)|2dt =
∫ l
−l
f(t)f(t)dt =
+∞∑
n=−∞ |fˆ(n)|
2 .
Essa e´ a chamada identidade de Parseval . Observe tambe´m que se em (5.8) fizermos
t = 0, resultara´
f(0) =
+∞∑
n=−∞ fˆ(n) .
Ou seja, a se´rie
+∞∑
n=−∞fˆ(n) e´ convergente. Por enquanto, isto e´, com as hipo´teses que
temos, nada podemos afirmar sobre a convergeˆncia da se´rie
+∞∑
n=−∞|fˆ(n)|.
Observac¸a˜o 5.17. A identidade de Parseval (ou a desigualdade de Bessel) tambe´m e´ u´til
para verificarmos se uma dada se´rie trigonome´trica e´ a se´rie de Fourier de alguma func¸a˜o
cont´ınua definida num intervalo ] − l, l[.
MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O.
Aula 6
Vamos, nesta aula, retomar o problema de conduc¸a˜o do calor que foi o nosso ponto de
partida para o estudo das se´ries de Fourier.
Resoluc¸a˜o do problema do calor
-
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
x=0 x=l
x
�
�
�
���
u(x,t)
Ao estudarmos o problema da conduc¸a˜o do calor em uma barra com extremidades
mantidas a` temperatura zero, obtivemos o seguinte problema: determinar uma func¸a˜o
u(x, t) (temperatura na sec¸a˜o de coordenada x no instante t) definida para t > 0 e
0 6 x 6 l e satisfazendo as condic¸o˜es
ut(x, t) = α
2 uxx(x, t) , t > 0 , 0 < x < l
u(0, t) = u(l, t) = 0 , t > 0
u(x, 0) = f(x) , 0 6 x 6 l
(6.1)
onde a constante α2 e a func¸a˜o f sa˜o conhecidas. Esse tipo de problema e´ chamado
problema de valor inicial e de fronteira, ou de forma abreviada, PVIF. Usando o me´todo
de separac¸a˜o de varia´veis obtivemos a expressa˜o
u(x, t) =
+∞∑
n=1
cne
−n
2pi2α2t
l2 sen(
npix
l
) (6.2)
na qual os coeficientes cn devem ser dados de tal modo que a terceira condic¸a˜o em (6.1)
seja verdadeira. Isto e´, devemos ter
f(x) = u(x, 0) =
+∞∑
n=1
cn sen(
npix
l
) .
Resoluc¸a˜o do problema do calor 47
Portanto, os coeficientes cn devem ser os coeficientes de Fourier da func¸a˜o f, definida
no intervalo [0, l] e estendida para a reta toda de modo ı´mpar e perio´dico de per´ıodo 2l.
Antes de aceitarmos (6.2) como soluc¸a˜o do PVIF (6.1), devemos dizer o que se entende
por soluc¸a˜o do PVIF (6.1). Isso pode parecer estranho em um primeiro momento, mas
observando a equac¸a˜o em (6.1), vemos que devem existir restric¸o˜es quanto ao tipo de
func¸a˜o que esperamos como soluc¸a˜o. Em primeiro lugar, devemos ser capazes de derivar
a soluc¸a˜o uma vez em relac¸a˜o a t e duas vezes em relac¸a˜o a x. Pore´m, so´ isso na˜o basta.
Por exemplo, suponhamos que a temperatura inicial seja uma func¸a˜o f(x) definida para
0 6 x 6 l. E´ razoa´vel supor que essa func¸a˜o na˜o apresente descontinuidades no intervalo
0 < x < l mas que possivelmente seja descont´ınua nas extremidades x = 0 e x = l.
Tomemos por exemplo f(x) ≡ 0. Ora, por substituic¸a˜o direta vemos que
u(x, t) :=

0 , se t = 0 e 0 6 x 6 l
0 , se x = 0 ou x = l e t > 0
1 , se t > 0 , 0 < x < l
(6.3)
satisfaz todas as condic¸o˜es em (6.1), mas na˜o pode ser uma “soluc¸a˜o” aceita´vel, pois,
nesse exemplo, estamos com a situac¸a˜o de termos uma barra isolada termicamente, sem
fontes internas de calor e inicialmente sua temperatura e´ constante e igual a zero. Logo, o
modelo nos diz que devemos esperar que, em qualquer outro instante, t > 0, a temperatura
permanec¸a constante e igual a zero. Por isso devemos ter um certo cuidado em selecionar
o tipo de soluc¸a˜o matema´tica que estamos buscando; evitamos frases do tipo “a teoria
diz uma coisa e a pra´tica outra”, simplesmente compreendendo os limites que a pro´pria
teoria impo˜e a` interpretac¸a˜o dos resultados. Recordemos duas notac¸o˜es ja´ utilizadas:
Q := { (x, t) ∈ R2 / 0 < x < l e t > 0 } ,
Q := { (x, t) ∈ R2 / 0 6 x 6 l e t > 0 } .
Definic¸a˜o 6.1 (Definic¸a˜o de soluc¸a˜o para o PVIF (6.1)). Uma func¸a˜o
u : Q −→ R
e´ uma soluc¸a˜o do problema (6.1) se ela for cont´ınua em Q, tiver derivadas parciais ut e
uxx em Q e verificar as treˆs condic¸o˜es em (6.1).
Observac¸a˜o 6.2. Observe que na˜o exigimos continuidade das derivadas parciais, mas isso
na˜o e´ importante, pois existe um teorema que mostra que qualquer func¸a˜o cont´ınua que
satisfac¸a a equac¸a˜o do calor (6.1) possui derivadas cont´ınuas de todas as ordens. Com
essa definic¸a˜o exclu´ımos, pelo menos, (6.3) de ser considerada soluc¸a˜o de (6.1).
MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O.
Resoluc¸a˜o do problema do calor 48
Como o me´todo de separac¸a˜o de varia´veis nos leva a` representac¸a˜o em se´rie de Fourier,
devemos tambe´m impor certas restric¸o˜es ao dado inicial f(x). A mais simples e´ a seguinte.
Definic¸a˜o 6.3. Diremos que uma func¸a˜o f : [0, l] −→ C tem quadrado integra´vel se∫ l
0
|f(x)|2dx < +∞ .
Temos enta˜o o seguinte resultado
Teorema 6.4 (Existeˆncia e unicidade). Seja f : [0, l] −→ R uma func¸a˜o cont´ınua com
f(0) = f(l) = 0 e tal que sua derivada f ′(x) exista em [0, l] e seja uma func¸a˜o de quadrado
integra´vel. Enta˜o a func¸a˜o definida por
u(x, t) =
+∞∑
n=1
cne
−n
2pi2α2t
l2 sen(
npix
l
) (6.4)
com
cn =
2
l
∫ l
0
f(x) sen(
npix
l
)dx
e´ a soluc¸a˜o do problema (6.1).
Demonstrac¸a˜o. Veja [4, pa´g. 107 e pa´g. 121]
Exemplo 6.5. Achar a temperatura u(x, t) em uma barra cil´ındrica de alumı´nio, α2 =
0, 86, de comprimento unita´rio, com sua superf´ıcie lateral isolada termicamente, inicial-
mente com temperatura uniforme de 10oC em todo seu comprimento e cujas extremidades
sa˜o mantidas a 0oC para todo t > 0.
Temos que 
ut(x, t) = 0, 86uxx(x, t) t > 0 , 0 < x < 1
u(0, t) = u(1, t) = 0 , t > 0
u(x, 0) = 10 , 0 6 x 6 1 .
Observe que f(x) ≡ 10 na˜o satisfaz f(0) = f(1) = 0, mas mesmo assim podemos achar
uma soluc¸a˜o, u(x, t), pelo me´todo de separac¸a˜o de varia´veis, na forma
u(x, t) =
+∞∑
n=1
cne
−0,86n2pi2t sen(npix)
com
cn = 20
∫ 1
0
sen(npix)dx =

40
npi
, se n e´ ı´mpar
0 , se n e´ par.
Da´ı,
u(x, t) =
40
pi
+∞∑
n=1
1
2n− 1
e−0,86(2n−1)
2pi2t sen((2n− 1)pix) .
MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O.
Resoluc¸a˜o do problema do calor 49
Barra sujeita a outras condic¸o˜es
Veremos agora exemplos de alguns outros problemas de contorno para a equac¸a˜o do
calor, e que podem tambe´m ser resolvidos usando o me´todo de Fourier.
Barra com extremidades isoladas
O problema matema´tico consiste em determinar uma func¸a˜o u : Q −→ R verificando
as condic¸o˜es 
ut(x, t) = α
2uxx(x, t) , em Q
ux(0, t) = ux(l, t) = 0 , para t > 0
u(x, 0) = f(x) , para 0 6 x 6 l .
(6.5)
Usando o me´todo de separac¸a˜o de varia´veis, vamos considerar soluc¸o˜es da forma
u(x, t) = X(x)T(t) .
Substituindo essa expressa˜o na equac¸a˜o (6.5), resulta
X(x)T ′(t) = α2X ′′(x)T(t) .
Da´ı,
X ′′(x)
X(x)
=
T ′(t)
α2T(t)
= σ = cte .
Assim  X ′′(x) − σX(x) = 0T ′(t) − σT(t) = 0 .
Usando as condic¸o˜es de contorno, teremos
ux(0, t) = X
′(0)T(t) = 0 =⇒ X ′(0) = 0
e
ux(l, t) = X
′(l)T(t) = 0 =⇒ X ′(l) = 0 .
Devemos enta˜o determinar σ e X(x) tais que
X ′′(x) − σX(x) = 0
e X(x) 6≡ 0
X ′(0) = X ′(l) = 0 .
(6.6)
Usando, por exemplo, a transformada de Laplace para resolver (6.6), obtemos o se-
guinte: para cada n = 0, 1, 2, 3, . . . , o valor σn = −
n2pi2
l2
e´ um autovalor para (6.6), com
autofunc¸a˜o correspondente dada por Xn(x) = cos(
npix
l
). Agora, o problema
T ′n(t) +
n2pi2
l2
α2Tn(t) = 0 ,
MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O.
Resoluc¸a˜o do problema do calor 50
temcomo soluc¸a˜o
Tn(t) = e
−n
2pi2α2t
l2 .
Constru´ımos enta˜o a famı´lia de soluc¸o˜es
un(x, t) = cne
−n
2pi2α2t
l2 cos(
npix
l
) .
O princ´ıpio da superposic¸a˜o nos diz que devemos tentar como soluc¸a˜o a expressa˜o
u(x, t) =
+∞∑
n=0
cne
−n
2pi2α2t
l2 cos(
npix
l
) . (6.7)
Como, para satisfazer a condic¸a˜o inicial, devemos ter
f(x) = u(x, 0) =
+∞∑
n=0
cn cos(
npix
l
) , 0 6 x 6 l ,
devemos enta˜o tomar a extensa˜o par e perio´dica de per´ıodo 2l de f e cn como os coeficientes
da se´rie de Fourier ; isto e´,
cn =
2
l
∫ l
0
f(x) cos(
npix
l
)dx .
Condic¸o˜es de contorno na˜o homogeˆneas
Suponhamos agora que uma das extremidades da barra seja mantida na temperatura
constante T1 e a outra extremidade mantida na temperatura constante T2. Temos enta˜o
u(0, t) = T1 e u(l, t) = T2 , para todo t > 0
assim, vamos estudar o problema: determinar uma func¸a˜o u : Q → R, cont´ınua satisfa-
zendo as condic¸o˜es
ut(x, t) = α
2uxx(x, t) , (x, t) ∈ Q
u(0, t) = T1 , u(l, t) = T2 , para todo t > 0
u(x, 0) = f(x) , 0 6 x 6 l
(6.8)
Ide´ia: fazer uma mudanc¸a na inco´gnita u de modo a recairmos no problema (6.1).
Para isso vamos escolher uma func¸a˜o qualquer v(x, t), cont´ınua e verificando as condic¸o˜es vt(x, t) = α2vxx(x, t) , (x, t) ∈ Qv(0, t) = T1 , v(l, t) = T2 , para todo t > 0 (6.9)
e substitu´ımos a inco´gnita u(x, t) em (6.8) pela nova inco´gnita w(x, t) definida por
w(x, t) := u(x, t) − v(x, t) (6.10)
MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O.
Resoluc¸a˜o do problema do calor 51
assim teremos
wt(x, t) = α
2 wxx(x, t) , (x, t) ∈ Q
w(0, t) = 0 , w(l, t) = 0 , para todo t > 0
w(x, 0) = f(x) − v(x, 0) , 0 6 x 6 l
(6.11)
Uma func¸a˜o v(x, t) que verifica as condic¸o˜es (6.9) e´
v(x, t) = v(x) = (T2 − T1)
x
l
+ T1
Agora, a soluc¸a˜o do problema (6.11) e´ dada por
w(x, t) =
+∞∑
n=1
bne
−n
2pi2α2t
l2 sen(
npix
l
)
com os coeficientes bn calculados por
bn =
2
l
∫ l
0
[f(x) − v(x)] sen(
npix
l
)dx
segue-se enta˜o que
u(x, t) = (T2 − T1)
x
l
+ T1 +
+∞∑
n=1
bne
−n
2pi2α2t
l2 sen(
npix
l
)
A func¸a˜o v(x) dada acima e´ chamada distribuic¸a˜o permanente de temperatura (corres-
ponde ao estado estaciona´rio obtido tomando lim
t→+∞u(x, t)). A func¸a˜o w(x, t) e´ chamada
a parte transiente da soluc¸a˜o u(x, t).
Equac¸a˜o do calor na˜o homogeˆnea
A equac¸a˜o do calor na˜o homogeˆnea tem a forma
ut(x, t) = α
2uxx(x, t) + g(x, t)
ela aparece quando levamos em considerac¸a˜o a existeˆncia de uma fonte de calor (interna
ao sistema). Vamos aqui tratar apenas do seguinte problema: determinar uma func¸a˜o
u : Q→ R, cont´ınua e satisfazendo as condic¸o˜es
ut(x, t) = α
2uxx(x, t) + g(x, t) , (x, t) ∈ Q
u(0, t) = u(l, t) = 0 , para todo t > 0
u(x, 0) = f(x) , 0 6 x 6 l
(6.12)
Recordemos que se g(x, t) ≡ 0 enta˜o u(x, t) e´ dada por
u(x, t) =
+∞∑
n=1
bne
−n
2pi2α2t
l2 sen(
npix
l
)
MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O.
Resoluc¸a˜o do problema do calor 52
Vamos usar um me´todo chamado me´todo de variac¸a˜o de paraˆmetros para estudar
(6.12): consiste em tentar uma soluc¸a˜o com a forma
u(x, t) =
+∞∑
n=1
bn(t) sen(
npix
l
)
e determinar as func¸o˜es bn(t). Suponhamos que para cada t > 0 fixado, possamos escrever
g(x, t) =
+∞∑
n=1
gn(t) sen(
npix
l
)
com os coeficientes gn(t) dados por
gn(t) =
2
l
∫ l
0
g(x, t) sen(
npix
l
)dx
isto e´, fixado t0 > 0 consideramos uma extensa˜o ı´mpar e perio´dica de per´ıodo 2l de g(x, t0)
e escrevemos sua se´rie de Fourier, supondo ainda que essa se´rie seja convergente para
g(x, t0) de tal modo que todas as operac¸o˜es que faremos na sequ¨eˆncia fiquem justificadas.
Substituindo as expresso˜es para u(x, t) e g(x, t) na equac¸a˜o (6.12) e supondo que podemos
derivar as se´ries termo a termo, resulta
+∞∑
n=1
b ′n(t) sen(
npix
l
) = −
+∞∑
n=1
α2
pi2
l2
bn(t)n
2 sen(
npix
l
) +
+∞∑
n=1
gn(t) sen(
npix
l
)
ou seja, para cada n = 1, 2, 3, . . . teremos
b ′n(t) = −
n2pi2α2
l2
bn(t) + gn(t) , para todo t > 0
como
u(x, 0) = f(x) =
+∞∑
n=1
bn(0) sen(
npix
l
)
enta˜o
bn(0) =
2
l
∫ l
0
f(x) sen(
npix
l
)dx
ou seja, bn(0) e´, para cada n ∈ N, o coeficiente de Fourier da extensa˜o ı´mpar e perio´dica
de per´ıodo 2l de f. Assim, a soluc¸a˜o u(x, t) sera´ escrita na forma
u(x, t) =
+∞∑
n=1
bn(t) sen(
npix
l
)
com os coeficientes bn(t) sendo, para cada n = 1, 2, 3, . . . a soluc¸a˜o do problema
b ′n(t) +
n2pi2α2
l2
bn(t) = gn(t) , t > 0 e com gn(t) =
2
l
∫ l
0
g(x, t) sen(
npix
l
)dx
bn(0) =
2
l
∫ l
0
f(x) sen(
npix
l
)dx
(6.13)
O problema (6.13) pode, por exemplo, ser resolvido usando a transformada de Laplace.
MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O.
Exerc´ıcios 53
Exerc´ıcios
1. Considere o conjunto de dados em relac¸a˜o ao problema (6.1) e resolva cada um dos
casos.
1.1. α2 = 1, 71cm2/s, l = 10cm, f(x) = sen(0, 1pix)
1.2. α2 = 1, 14cm2/s, l = 20cm, f(x) = x(400 − x2)
2. Com o mesmo conjunto de dados do problema anterior, estude o problema (6.5).
3. Considere o conjunto de dados em relac¸a˜o ao problema (6.8) e resolva cada um dos
casos.
3.1. α2 = 0, 86cm2/s, l = 10cm,f(x) ≡ 1, T1 = 0oC, T2 = 15oC.
3.2. α2 = 0, 011cm2/s, l = 10cm,f(x) = x2, T1 = 10
oC, T2 = 25
oC.
MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O.
Aula 7
A equac¸a˜o da corda vibrante
O modelo que vamos estudar e´ o de pequenas vibrac¸o˜es transversais de uma corda per-
feitamente flex´ıvel. Uma deduc¸a˜o deste modelo pode ser vista em [1, p.434]. Consideremos
a figura
6
-
�
�
�	
�
�
��
~Fa
a x
..
..
..
..
..
..
~Fb
b
..
..
..
..
..
θb
θa
u
x
. . . . . . . . . .u(x,t)
Configurac¸a˜o num instante t
• u(x, t) representa a posic¸a˜o do ponto x da corda no instante t;
• ρ(x, t) representa a densidade da corda; como as vibrac¸o˜es sa˜o transversais (isto e´,
perpendiculares a` direc¸a˜o x) segue-se que podemos considerar que ρ = ρ(x);
A quantidade de movimento da porc¸a˜o da corda entre a e b e´ dada por
M(t) =
∫b
a
ρ(x)ut(x, t)dx
as tenso˜es : ~Fa e ~Fb com | ~Fa| = f(a, t) e | ~Fb| = f(b, t), onde ~Fa e ~Fb sa˜o forc¸as que o restante
da corda exerce sobre o trecho entre a e b. Como na˜o ha´ quantidade de movimento na
direc¸a˜o x, teremos
f(a, t) cos(θa) = f(b, t) cos(θb) .
Logo, a componente horizontal da tensa˜o so´ depende de t, vamos denota´-la por τ(t). A
forc¸a total na direc¸a˜o vertical e´ dada por
| ~Fb| sen(θb) − | ~Fa| sen(θa) = | ~Fb| cos(θb) tg(θb) − | ~Fa| cos(θa) tg(θa) =
= τ(t) tg(θb) − τ(t) tg(θa) .
Exemplos de acordo com o tipo de forc¸as externas 55
Ou seja,
τ(t) tg θb − τ(t) tg θa ∼= τ(t)ux(x, t)
∣∣∣∣x=b
x=a
=
∫b
a
τ(t)uxx(x, t)dx
Ale´m das forc¸as de tensa˜o, o sistema pode estar sujeito a` ac¸a˜o de forc¸as externas. Se
h1(x, t,u,ut) denotar a densidade linear dessas forc¸as ao longo da corda, usando a Lei
de Newton, teremos:
d
dt
∫b
a
ρ(x)ut(x, t)dx =
∫b
a
τ(t)uxx(x, t)dx+
∫b
a
h1(x, t,u,ut)dx
ou ainda, ∫b
a
{ρ(x)utt(x, t) − τ(t)uxx(x, t) − h1(x, t,u,ut)}dx = 0
Como a e b sa˜o arbitra´rios obtemos a equac¸a˜o da corda vibrante
ρ(x)utt(x, t) = τ(t)uxx(x, t) + h1(x, t,u,ut)
ou seja,
utt(x, t) = c
2uxx(x, t) + h1(x, t,u,ut) (7.1)
com c2(x, t) =
τ(t)
ρ(x)
. Como [τ] =
ML
T 2
e [ρ] =
M
L
resulta que [c] =
L
T
, isto e´, c tem
dimensa˜o de velocidade. Vamos nos limitar ao caso em que c e´ constante.
Exemplos de acordo com o tipo de forc¸as externas
(1) Vibrac¸o˜es livres: forc¸as