Lista_2calculo_2

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1 
 
 
2ª Lista de Exercícios 
 
 
Integrais Definidas e Cálculo de Área 
 
1. Calcule as seguintes integrais definidas: 
 
(a) 

3
1 2
23
 dx
x
5x4x2
 
 (b)  1 2 3
0
 t t t dt
 (c) 
 
6
3
 dx4x 
 
 
2. Uma partícula move-se com uma velocidade de 
v(t)
m/s ao longo de um eixo s. Ache o deslocamento e 
a distância percorrida pela partícula, durante o intervalo de tempo dado. 
 a) 
v(t) sen(t); 0 t
2

  
. b) 
v(t) cos(t); t 2 .
2

   
 
 
3. Uma partícula move-se com aceleração 
2m/s
 ao longo de um eixo s e tem velocidade 
0v m /s
, no 
instante 
t 0
. Ache o deslocamento e a distância percorrida pela partícula durante o intervalo de tempo 
dado. 
 a) 
0a(t) 2; v 3; 1 t 4    
 b) 
0
1
a(t) ; v 2; 0 t 3
5t 1
   

 
 
4. Um país tem 100 bilhões de m3 de reserva de gás natural. Se A(t) denota o total de gás consumido 
após t anos, então dA/dt é a taxa de consumo. Se a taxa de consumo é prevista em 5 + 0,01t bilhões de 
m3 por ano, qual o tempo aproximado, em anos, em que as reservas estarão esgotadas? 
 
Através da integral indefinida podemos calcular a 
área limitada por uma curva y=f(x) e o eixo Ox, 
onde a  x  b. Esse link é obtido com o uso do 
Teorema Fundamental do Cálculo. 
5. a) Usando integrais, calcule a área limitada pela 
reta y=x e o eixo Ox, onde 1 ≤ x ≤ 3. 
b) Confira o resultado obtido calculando a área 
com seus conhecimentos do Ensino Médio. 
         









x
y
 
 
 
EETI – Escola de 
Engenharia e TI 
Disciplina: Cálculo Integral 
Curso: Engenharia 
Professor (a): Lourena Cruz 
 
 2 
 
6. a) Usando integrais, calcule a área limitada 
pelas retas y=x+1, y=-x+5, e os eixos 
coordenados Ox e Oy. 
b) Confira o resultado obtido calculando a área 
com seus conhecimentos anteriores. 
x
y
-4 4
-4
-2
2
 
 
 
7. Calcule a área determinada pelo gráfico da 
função y=x2 +1 (parábola) pela reta y=-2x+4, e 
os eixos coordenados Ox e Oy. 
 
x
y
y = 1+x^2
y = -2x+4
 
 
8. Determine a área limitada pela parábola y = x2 + 1 e pela reta y = –x + 3 . 
 
 
9.Visualize os gráficos abaixo e determine a área da região do plano limitada por essas curvas. 
 
(a) xy = 4 e x + y = 5. (b) y = 2x, y = 2x - x2, x = 0 e x = 2. (c) y = 2x, y = 1 e y = 2/x 
(d) y = x3 – 3x, y = 2x2 (e) y = x3 e y=x2 + 2x (f) y = 9/x, y = 9x, y = x 
 
10. Determine o valor das áreas sombreadas nas figuras abaixo. Se possível verifique suas respostas 
usando áreas conhecidas no Ensino Médio (triângulos, trapézios) ou em um programa computacional. 
 
a) b) c) d) 
 
 
 
 
 3 
 
Integração de frações racionais por decomposição de frações parciais. 
 
 
11. Resolva as integrais abaixo. 
 
a) 
 
1x
dx
2 
 b)
 
6x5x
dx
2 
 c) 
 
x3x
dx
2 
 d)
 dx
)7x)(1x(
3x2



 
 
e)
 dx
x3x
1xx
2
2



 f)
 dx
4x3x
10x5
2 

 g)
 dx
1x
2xx
2
2



 h)
 dx
xx2x
6x20x5
23
2



 
 
i)
 dx 
x2x
4x2
 23 

 j) 4 2
3 2
3 1
6
x x
dx
x x x
 
 
 k) 
2 2
0
dx
a
x a


 l) 
   
9
5 2
x
dx
x x

 
 
 
m) 
 
1
20
2 3
1
x
dx
x



 
n) 
  
2
2
1
4 7 12
2 3
x x
dx
x x x
 
 
 
 
 
 
 
Integração de funções racionais quando o denominador possui fatores irredutíveis de 2º grau. 
 
12. Resolva as integrais abaixo. 
 
a) 2
3
2 4
4
x x
dx
x x
 

 b)  
  
dx
1x1x
3x2x
22
2



 
c) 
dx
x
x

1
2
4
4 
d)

 2x2x
dx
2
 
e) 

 2x2x
dx x
2
 f) 



6x4x
dx3) x2(
2
 g) 

 1xx
dx x
2
 h)
2
2 3
9 12 8
x
dx
x x

 
 
i) 2
2
4 3 2
4 4 3
x x
dx
x x
 
 
 j)



x2x2x
dx 2)3xx(
23
2 k)
  

6x4x)1x(
dx 10)x(
2
2 
 
 
 
 
Respostas 
 
1) a) 10/3; b) 1/70; c) 53/2; 
 
2) a) deslocamento=1; distância=1 b) deslocamento=-1; distância=3 
 
3) a) deslocamento= - 6; distância= 13/2 b) deslocamento = 204/25; distância = 204/25 
 
4) aproximadamente 19,62 anos 
 
5) Área igual a 2. 
 
6) Calcule as interseções entre as curvas para depois integrar em cada intervalo conveniente. 
 4 
 
7) 
7
3
 𝑢. 𝑎. 
 
8) 4,5; 
 
9) a) 
15
8ln (2)
2

; b) 
3 4
ln(2) 3

; c) 
3
2ln(2)
4
 
; d) 
71
6
; e) 
37
12
f) 
18ln(3)
; 
 
10) a) 7/3; b) 8/3; c) 5/2; d) 11/4 
 
11) a) 
C1x
2
1
1x
2
1
 lnln
 b) 
C3x2x  lnln
 
 c) 
C3x
3
1
x
3
1
 lnln
 d)
C7xln
6
11
1xln
6
1

 
 e) 
1 7
ln ln 3
3 3
x x x C   
 f) 
2 ln 4 3ln 1x x C   
 
g)
2ln 1 ln 1x x x C    
h)
C1xx 6
1x
9


 lnln
 
 i)
Cx22x 2
x
2
 lnln
j) x + 
2 1 1 11
ln ln 2 ln 3
2 6 2 3
x
x x x C     
 
 k) 
Cax
a2
1
ax
a2
1
 lnln
 l) 
2ln 5 ln 2x x C   
 
m) 
1
2ln 2
2

n) 
3ln
5
9
2ln
5
27
 
 
12) 
 
a)
C)2/x(arctg
2
1
)4xln(
2
1
xln 2 
 
b)
C
x1
1
1xln1xlnarctgx 2 


 
C
1x
1x
ln
2
1
arctgxx2 



 
 
d)
C)1x(arctg 
 e)
C)1x(arctg2x2xln)2/1( 2 
 
f) 
C
2
2x
arctg
2
2
6x4xln 2 




 

 g)
C)2/1x(
3
32
arctg
3
3
1xxln)2/1( 2 








 
 
h)
C
2
2x3
arctg
18
13
8x12x9ln
9
1 2 




 

 i)
C
2
1x2
arctg
24
1
3x4x4ln
8
1
x 2 




 

 
 
j)
C)1x(arctgxln 
 k)
  C2/)2x(arctg 221xln 