Modelos Probabilisticos

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Probabilidade
Modelo matemático para incerteza
Desenvolvimento relativamente recente
Cardano (século XVI)
Pascal (século XVII)
Peter Bernstein, Against the Gods
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Primeira Tentativa 
Espaço amostral (W): resultados possíveis para um experimento aleatório.
Probabilidade: número não negativo atribuído a cada um destes resultados, de modo que a soma seja 1 (intuição: frequência a longo prazo)
	
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Primeira Tentativa
Adequado para o caso discreto
 = {w1, w2, ...}
		 p1 +p2 + ... = 1 
Para cada A  W , P(A) = wi  A P(wi)
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Como atribuir probabilidades?
Estatística: estimar através de frequência observada
Explorar simetria: modelos equiprováveis
 	W = {w1, w2, ..., wn }
 p1 = p2 = ... = pn = 1/n
Moedas, bolas em urnas, cartas, dados, etc
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Exemplo
Uma moeda “honesta” é lançada 3 vezes. Qual é a probabilidade de sair 2 caras?
Espaço amostral: W = {0, 1, 2, 3} (número de caras)
Probabilidade de sair 2 caras = P({2}) = ¼.
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Exemplo
Uma moeda “honesta” é lançada 3 vezes. Qual é a probabilidade de sair 2 caras?
Espaço amostral: W = {0, 1, 2, 3} (número de caras)
Probabilidade de sair 2 caras = P({2}) = ¼.
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Exemplo
Uma moeda “honesta” é lançada 3 vezes. Qual é a probabilidade de sair 2 caras?
Espaço amostral: 
W = {ccc, cck, ckc, kcc, ckk, kck, kkc, kkk}
Probabilidade de sair 2 caras = P({cck, ckc, kcc}) = 3/8.
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Observação
É óbvio que kkk e ckc têm a mesma chance de ocorrer?
E kkkkkkkkkk e ckkckckckk?
Mega-sena: 1-2-3-4-5-6 e 7-16-24-28-41-52?
Nassim Taleb, Fooled by Randomness 
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Caso contínuo
Roleta “real”, com números de 0 a 360.
Qual é a probabilidade de tirar resultado igual a 316,43?
Qual é a probabilidade de tirar resultado igual a maior que 300?
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Caso contínuo
Roleta “real”, com números de 0 a 360.
Qual é a probabilidade de tirar resultado igual a 316,43?
	zero
Qual é a probabilidade de tirar resultado igual a maior que 300?
	1/6
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Caso contínuo
Probabilidade de eventos não pode ser calculada simplesmente somando as probabilidades associadas a pontos de W.
Necessidade de atribuir probabilidades diretamente aos subconjuntos de W.
Mas não a todos os subconjuntos (Teoria da Medida)
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Modelo Probabilístico Revisado
Espaço amostral (W): conjunto de resultados possíveis para um experimento aleatório.
 s-álgebra de eventos (A): subconjuntos de W aos quais se atribui probabilidade.
	 W  A, A  A  Ac  A , Ai  A   Ai  A
 Probabilidade (P): função definida em A
	 P(A)  0, P(W) =1, P( Ai ) = i P(Ai) (Ai disjuntos 2 a 2)
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Consequências
P(Ac) = 1 – P(A)
P() = 0
An  A  P(An)  P(A)
An  A  P(An)  P(A)
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Caso discreto
A = todos os subconjuntos de W.
Probabilidades pi atribuídas aos eventos unitários {wi} (como antes)
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Caso contínuo
 W = R
A = menor s-álgebra que contém todos os intervalos (s-álgebra de Borel)
Probabilidades atribuídas aos intervalos (ou aos intervalos da forma (–, x]) (tipicamente através da integral de uma função de densidade)
Por exemplo, no caso da roleta:
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Probabilidade Condicional
Probabilidade condicional do evento A na certeza do evento B
Tudo se passa como se, na certeza de B, B fosse o novo espaço amostral.
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Exemplo
Um dado é lançado 2 vezes. Dado que a soma é 4, qual é a probabilidade condicional de ter saído 1 no primeiro lançamento?
	W = {(1,1), …, (6, 6)}
	A = [1 no 1o] = {(1, 1), …, (1, 6)}
	B = [soma 4] = {(1, 3), (2, 2), (3, 1)}
	AB = {(1, 3)}
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Observação
De , resulta:
	P(AB) = P(B). P(A | B) = P(A) . P(B | A)
A e B são independentes quando P(AB) = P(A). P(B) 
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Exemplo
Em uma urna há 6 bolas brancas e 4 pretas. As bolas são retiradas sequencialmente, sem reposição.
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Exemplo
1) Probabilidade de a 1a bola retirada ser branca?
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Exemplo
2) Probabilidade de a 1a bola retirada ser branca e a 2a preta?
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Exemplo
3) Probabilidade de a 2a bola retirada ser preta?
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Exemplo
4) Probabilidade de a 1a bola retirada ter sido preta sabendo que a 2a foi branca?
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Teoremas
Sejam B1, B2, … disjuntos 2 a 2 tais que Bi = W
Probabilidade Total
Bayes
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Exemplo
Em uma população, 1% das pessoas têm uma certa doença. Um exame para esta doença tem probabilidade de falso-positivo igual a 2% e de falso negativo igual a 1%. Se uma pessoa escolhida ao acaso é examinada e o exame dá positivo, qual é a probabilidade de que ela tenha a doença?
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Solução
Dados:
		P(Doente) = 0.01
		P(Positivo|Doente) = 0.99
		P(Positivo|Doentec) = 0.02
Pede-se:
		P(Doente|Positivo)
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Solução
D
Dc
P
P
0,01
0,99
0,99
0,01
0,02
0,98
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Solução
D
Dc
P
P
0,01
0,99
0,99
0,01
0,02
0,98