Calculo I_2014.2_1a Lista de Exercicios

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1 
 
 
 
UNIFACS - Cursos de Engenharia 
Disciplina: Cálculo I 
Semestre: 2014.2 
 
1ª Lista de Exercícios (visualização e cálculo de limites finitos) 
As questões 1 e 2 exploram a visualização do limite e da continuidade de funções através dos gráficos. 
1) a) Dados os gráficos das funções f, g, h abaixo, determine: 
 i) os limites laterais de f, g, h no ponto xo=1 ii) Os valores f(1), g(1) e h(1) 
b) Com os dados obtidos acima, diga se essas funções f, g, h têm limite no ponto xo=1. 
c) Essas funções são contínuas no ponto xo=1? Justifique suas respostas. 
 
Função y=f(x) 
 
Função y=g(x) 
 
Função y=h(x) 
 
2) Dado o gráfico da função f abaixo, determine o que se pede, justificando suas respostas. 
 
















)1(f
)x(f mil
)x(f mil
1 x
1 x
 
f tem limite em xo=-1? 
 
f é contínua nesse ponto? 
 
















)1(f
)x(f mil
)x(f mil
1 x
1 x
 
f tem limite em xo=1? 
 
f é contínua nesse ponto? 
 
 
As questões 3 e 4 são semelhantes às duas anteriores, só que agora os gráficos das funções não são 
dados. Temos que obter os gráficos das funções para depois fazer a visualização dos limites. 
 
3) a) Esboce o gráfico das funções abaixo e calcule os limites laterais nos pontos onde estas funções 
mudam de sentenças: 
a) 










2 x se ; 5x-
2 x se ; 3
2x se ; 1-x
 f(x)
2
 b)










2 x se ; 5x-
2 x se ; 4
2x se ; 1-x
 g(x)
2
 c)












1x se ; 2x-
1x 1- se ; ;x
1- x se ; 2
-1x se ; 2x
 h(x)
2
 
b) Verifique se as funções f e g são contínuas no ponto xo=2. Justifique suas respostas. 
c) Verifique se a função h é contínua nos pontos x=-1 e x=1. Justifique suas respostas. 
 
        








x
y
        








x
y
        








x
y
        








x
y
 2 
 
4) Esboce o gráfico da função 
 
1 xse 1; 
x
1
1 xse ;1
1 x 0 se ; 2x
0x2 se ; x
2 x se ; 2
)x(f
2

















 e determine: 
a)
)x(f lim
2 x 
; 
)x(f lim
2 x 
; f (– 2); b) 
)x(f lim
0 x 
; 
)x(f lim
0 x 
; f (0); 
c) 
)x(f lim
1 x 
;
)x(f lim
1 x 
; f (1) d) verifique se a função acima é contínua nos pontos estudados. 
5) a) Esboce o gráfico da função 
 
1 xse x;log
1 x 0 se ; x
0 se ; 3
0 x se ; 
x
1
)(
2
1












xf
 e determine: 
b) O domínio e a imagem f(x); 
c) Se existir, 
)( lim
0 
xf
x 
;
)(lim
0 
xf
x 
; 
)(lim
0 
xf
x
; 
)( lim
1 
xf
x 
;
)( lim
1 
xf
x 
;
)( lim
1 
xf
x
;
)( lim
 
xf
x 
;
)( lim
 
xf
x 
; 
d) Se f(x) é contínua em x = 0 e em x=1. 
e) Se f(x) é contínua. Justifique. 
 
6) Esboce o gráfico das funções abaixo. Calcule os limites laterais em cada um dos casos, nos pontos onde 
estas funções mudam de sentenças. 
a) 







1 xse ; 1x
1 xse ;x
 f(x)
2 
 
b) 







 0 xse ;1x
0 xse ;1x
 f(x)
2 
c) 










1 xse ; 1x
 1 xse ;1
1 x se ;1x-
 f(x)
2
 d) 












5 x 1 se ;1x
1 x se ;2
1 x1 se ; 1x
1 x se ; 1x
 )f(x 
2
 
e) 








1 x se ;
x
1
1 xse ; 2
 f(x)
x 
 
 
f) 









 0 x se ;)ln(x
0 xse ;2
0 xse ;x
 f(x)
 
 
7) Esboce o gráfico das funções abaixo e verifique se elas são contínuas no ponto xo = 0. 
a) 










 0 x se ; 2
0 xse ; 2
0 xse ; 2
 f(x)
x
x
 b) 










0 xse ; 1x-
0 xse ; 2
0 xse ;e
 f(x)
2
x 
 c) 







0 xse ;x log
0 xse ;e
 f(x)
2
1x 
Obs: 
1) O número e≅2,718 é muito importante em Cálculo e aparece em muitas aplicações; 
2) A notação ln(x) significa que a base desse logaritmo é o número e≅2,718. Resumindo: ln(x) = loge(x) 
 3 
8) Determine as constantes a e b de modo que 
  
2x se ;ax3
2x se ;4bx
2x se ;
4-2x
4x
xf
2














 seja contínua no ponto x=2. 
9) a) Considere a função 










 3 xse ;3x3
3 x se ; 3n
3 x se ; 1mx
)x(f
2
 . Determine as constantes m, n de modo que: 
 
 a1) Exista 
 xf lim
3x 
 a2) f seja contínua em x=–3 
b) Determine as constantes reais a e b de modo que f seja contínua no ponto xo, em cada caso a seguir: 
b1) 
   1x 
1x se ;2x
1x se ;2ax3
xf o
2








 
b2)    2x 
2x se ;bx
2x se ;ax
2x se ;3x3
xf o
2











 
 
 
As questões 9, 10, 11 se referem ao cálculo de limites por métodos algébricos, sem uso de figuras. 
 
 
10) Calcule os seguintes limites indeterminados: (método da fatoração) 
a)
3x4x
2x3x
 lim
2
2
1x 


 b) 
x2x
8x2
 lim
2
2
2x 


 c)
4x
8x
 lim
2
3
2x 


 d)
18x3x
27x
 lim
2
3
3x 


 
 
11) Calcule os seguintes limites envolvendo raízes: (multiplicação e divisão pelo conjugado) 
a)
3x
18x2
lim
9x 


 b)
 
2x
16x
lim
2
4x 


 c)
 
1x
25x
lim
1x 


 
d) 
 
4x
31x4
lim
22x 


 e) 
 
22x
31x5
lim
2x 


 
12) Calcule os seguintes limites: 
a) 
x2x
4x
 lim
2
2
2x 


 b) 
1x
1x2x
 lim
3
2
1x 


 c) 
4t4t3
4t
 lim
2
2
2t 


 
 
d) 
1
lim
x
 
1x3x2
2xx4x3
23
23


 e) 
x
16)x4(
lim
2
0x


 f) 
 
3x8x
9x6x
lim
3
3
3x 


 
g) 
1x8
2x3x2
 lim
3
2
21x 


 h) 
2x
8x
 lim
3
2x 


 i) 
3
2
2
2x 2x5x3
4x
 lim



 
j) 
 
2x
16x
lim
2
4x 


 k) 
 
x
2 2x
lim
0x


 l) 
1x
1x
 lim
1x 


 
 
 
 4 
Respostas: 
4) 
 
4)x(f lim e 2)x(f lim
2 x2 x

 
 ⟹ o limite não existe nesse ponto 
 
0)x(f lim)x(f lim
0 x0 x

 
 e f(0)=0 ⟹ o limite existe nesse 
ponto e além disso a função é contínua (nesse ponto) 
 
 
2)x(f lim)x(f lim
1 x1 x

 
, f(1)=1⟹ o limite existe nesse ponto 
mas a função não é contínua (nesse ponto) 
 
 5) a) 
 
 
6 a) b) c) 
 
 
 
a)
1)x(flim
1x


, 
2)x(flim
1x


 b),
1)x(flim
0x


 
1)x(flim
0x


 c)
0)x(flim
1x


,
0)x(flim
1x


 
 
d) e) f) 
 
 
d) 
)x(flim2)x(flim
1x1x  

 , 
)x(flim0)x(flim
1x1x  

 e) 
2)x(flim
1x


, 
1)x(flim
1x


, 
f) 
0)x(flim
0x


, 


)x(flim
0x
, não existe. 
 
 
x
y
-3 -2 -1 1 2 3 4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2
-4
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
-8 -6 -4 -2 2
-4
-2
2
x
y
-4 -3 -2 -1 1 2
1
2
-1
x
y
-4 -3 -2 -1 1 2 3
-4
-2
2
 5 
7) a) b) c) 
 
 
 
 
 
a) 
1)(lim
0


xf
x
, 
1)(lim
0


xf
x
, 
1)(lim
0


xf
x
 e f(0) = 2 (f é descontínua em x = 0) 
b) 
0)(lim
0


xf
x
, 


)(lim
0
xf
x
, não existe 
)(lim
0
xf
x
 e f(0) = 2 (f é descontínua em x = 0) 
c) 
...78281,2)(lim
0


exf
x
, 


)(lim
0
xf
x
, não existe 
)(lim
0
xf
x
 e f(0) = e 
(f é descontínua em x = 0) 
 
 
8) a = -4 b = 3 
 
9) a) (a1) m = 
9
13
 e n qualquer (a2) m = 
9
13
 e n = 4 b) (b1) a = – 1 (b2) a = 
2
3
 e b = – 1 
 
10) a) 1/2 b) 4 c) 3 d) 3 
 
11) a) 12 b) 32 c) ¼ d)1/6 e) 10/3 
 
12) a) 2 b) 0; c) 1/2 d) 5/3 e) 8 f) 21/19 g) 5/6 
 
h) 12 i) 
3 7/4
; j) 32; k) 
4/2
; l) 1/2 
 
 
x
y
-3 -2 -1 1 2 3
-2
-1
1
2
x
y
-4 -3 -2 -1 1 2
-2
2
1