ME_1_ALGEBRA_LINEAR_2creditos_N01_N05_N10_N13_2013_2

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Curso 
Disciplina: ÁLGEBRA LINEAR (2 créditos) 
Docente: CASSIUS GOMES 
DATA DE ENTREGA 
Data da 1ª Avaliação 
TURMA 
 
 
MEDIDA DE EFICIÊNCIA: 
 1ª UNIDADE 
 
ALUNOS ( no máximo 4 por grupo) 
(1) 
(2) 
(3) 
(4) 
 
 
 (1.0	ܱܱܲܰܶ) Não há como calcular a integral 
නݏ݁݊ ቆ
ߨݔଶ2 ቇ݀ݔଵ
଴
 
 
diretamente, pois, a função ݂(ݔ) = ݏ݁݊ ቀగ௫మ
ଶ
ቁ, não possui primitiva. Uma maneira de 
resolver este problema é aproximar a função ݂ no intervalo [0,1] através do chamado 
polinômio interpolador e integrar este polinômio no intervalo [0,1]. Assim, considere a 
seguinte tabela: 
 
࢞ ࢞૙ = ૙ ࢞૚ = ૙.૛૞ ࢞૛ = ૙.૞ ࢞૜ = ૙.ૠ૞ ࢞૝ = ૚.૙ 
ࢌ(࢞) = ࢙ࢋ࢔ቆ࣊࢞૛
૛
ቇ ૙ ૙.૙ૢૡ૙૚ૠ ૙.૜ૡ૛૟ૡ૜ ૙.ૠૠ૜૙૚ ૚.૙ 
 
Sabendo que nestes pontos temos ݌(ݔ௜) = ݂(ݔ௜), ݅ = 0,1,2,3,4 e que neste caso o 
polinômio interpolador de grau 4 é dado por: 
 
݌ସ(ݔ) = ܽ଴ + ܽଵݔ + ܽଶݔଶ + ܽଷݔଷ + ܽସݔସ 
 
Determine através dos valores da tabela os coeficientes ܽ଴ ,ܽଵ ,ܽଶ ,ܽଷ e ܽସ. 
 
 (0.5	ܱܱܲܰܶܵ) Seja ܵ, o conjunto de todas as funções que satisfazem a equação 
diferencial: 
 
݂ᇱᇱ + ݂ = 0 
 
Verifique se ܵ é um subespaço de ܨ, que é o conjunto de todas as funções a valores 
reais definidas em ℝ. 
 
 
 
 
ÁLGEBRA LINEAR 2013/2 PROF. CASSIUS GOMES 
 
2 
 
 (0.5	ܱܱܲܰܶܵ) Considere os seguintes polinômios ݌ଵ e ݌ଶ do espaço vetorial ଶܲ(ℝ): 
 
݌ଵ = 1 − ݔ + 2ݔଶ						݁						݌ଶ = 3 + ݔ 
Verifique se [݌ଵ,݌ଶ] = ଶܲ(ℝ) 
 
ou seja, se o espaço vetorial dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2, é gerado 
pelos polinômios ݌ଵ e ݌ଶ. 
 (0.5	ܱܱܲܰܶܵ) Seja ܵ = {⃗ݒଵ, ⃗ݒଶ, … , ⃗ݒ௡} um conjunto não vazio de vetores num espaço 
vetorial ܸ. Se a equação vetorial 
݇ଵ⃗ݒଵ + ݇ଶ⃗ݒଶ + ⋯+ ݇௡⃗ݒ௡ = 0ሬ⃗ 
 
tem solução única na forma: ݇ଵ = ݇ଶ = ⋯ = ݇௡ = 0, dizemos que o conjunto ܵ é 
linearmente independente (L.I.). Caso contrário, ou seja, existe ௝݇ ≠ 0 tal que 
 
݇ଵ⃗ݒଵ + ݇ଶ⃗ݒଶ + ⋯+ ݇௡⃗ݒ௡ = 0ሬ⃗ 
 
dizemos que o conjunto ܵ é linearmente dependente (L.D.). Assim, verifique se o 
conjunto ܵ	 ⊂ ℝଷ, dado por: 
 
ܵ = {⃗ݒଵ = (1,−2,3), ⃗ݒଶ = (5,6,−1), ⃗ݒଷ = (3,2,1)} 
é L.I. ou L.D.. 
 (0.5	ܱܱܲܰܶܵ) Na álgebra linear especificamos os sistemas de coordenadas utilizando 
vetores em vez de eixos coordenados. Em geral são utilizados vetores unitários para 
identificar os sentidos positivos nos eixos e, então, associando coordenadas a um ponto 
ܲ, utilizando os coeficientes escalares nas equações. Assim, se 
 
ܵ = {⃗ݒଵ, ⃗ݒଶ, … , ⃗ݒ௡} 
 
for uma base de um espaço vetorial ܸ e se 
 
ݓሬሬ⃗ = ܿଵ⃗ݒଵ + ܿଶ⃗ݒଶ + ⋯+ ܿ௡⃗ݒ௡ 
 
é a expressão de um vetor ݓሬሬ⃗ ∈ ܸ em termos da base ܵ, os escalares ܿଵ, ܿଶ, … , ܿ௡ são as 
denominadas coordenadas de ݓሬሬ⃗ em relação à base ܵ. Neste caso, utilizamos a seguinte 
notação: [ݓሬሬ⃗ ]ௌ = ൦ܿଵܿଶ⋮
ܿ௡
൪ 
Assim, sabendo que: ܵ = {1 + 2ݔ + ݔଶ, 2 + 9ݔ, 3 + 3ݔ + 4ݔଶ}	é uma base de ଷܲ(ℝ), 
determine as coordenadas do polinômio 
 
݌(ݔ) = 2 + 17ݔ − 3ݔଶ 
 
em relação à base ܵ, ou seja, [݌]ௌ.