1ª Aula de Cálculo II

Prévia do material em texto

CÁLCULO I
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
A U L A 0 1
2 6 M A R Ç O 2 0 1 2
A Integração
I
A Integração
Prof. Cacico
01 de 06
francis@vm.uff.br francis@poli.ufrj.br francis@uenf.br
CÁLCULO I
INTEGRAL INDEFINIDA
Definição: Uma função F será chamada de antiderivada
(primitiva) de uma função g num intervalo I se F’(x) = g(x)
para todo x em I.
Teorema: Se F for uma antiderivada particular de g em
I
um intervalo I, então toda antiderivada de g em I será dada
por
Onde C é uma constante arbitrária e todas as antiderivadas
de g em I poderão ser obtidas atribuindo certos valores a C.
cxF +)(
CÁLCULO I
INTEGRAL INDEFINIDA
Fórmula de antidiferenciação das funções a seguir:
Exemplos:
∫ += cxFdxxf )()(
y
I
y
x
y = x³ + c
y = x³
y = x³ + 1
y = x³ + 2
y´´´´(x)= 3x2
CÁLCULO I
INTEGRAIS IMEDIATAS
�A integral do produto de uma constante por uma função é igual
ao produto da constante pela integral da função.
constante. uma é a onde,)()( ∫∫ = dxxfadxxa f
∫∫ +== Cxdxdx 1
I
�A integral de uma soma ou diferença de funções é igual a soma
ou diferença das integrais das parcelas.
constante. uma é a onde,)()( ∫∫ = dxxfadxxa f
∫∫∫
∫∫∫
−=−
+=+
dxxgdxxfdxxgxf 
dxxgdxxfdxxgxf 
)()()]()([
)()()]()([
CÁLCULO I
INTEGRAIS IMEDIATAS
C.e e
)ln( 1,
1
xx
1
1
+=
+==−≠+
+
=
∫
∫∫∫∫
−
+
dx
Cx
x
dxdxxnC
n
xdxx
n
n
Cxsendxxdxxsen +=+−= ∫∫ cos C x cos 
CxecdxxecCxdxx
CxgdxxecCxtgdxx
Cxsendxxdxxsen
+=+=
+−=+=
+=+−=
∫∫
∫∫
∫∫
 cos x cotg cos sec x tgsec
 cot cos sec
 cos C x cos 
22
Carctgxdx
x
+=
+∫ 21
1 Carcsenxdx
x
+=
−
∫ 21
1
CÁLCULO I
Exercícios em Aula
1) Calcule as integrais indefinidas usando os teoremas:
∫
∫
− dxxb
dxxa
4
5
14)
2)
∫
∫
+
++
dxxsenxf
dxxxe
)cos()
)23() 24
I
∫
∫
∫
−
−
duud
dxxc
2)
2
12)
∫
∫
∫






+
−−
dx
x
xh
dxxxg
1)
)264() 2
CÁLCULO I
Exercícios para o Lar
1) Calcule as integrais indefinidas usando os teoremas:
∫
∫
∫
dx
x
c
dxxb
dxxa
3
7
4
1)
2)
3)
∫
∫
∫
∫
+−−+
+−
−
+
dxxxxxl
dtttj
dyyyi
dxxxh
234
2
23
3
)54648()
)23()
)32()
)4()
I
∫
∫
∫
∫
dx
x
g
dxxf
duue
dx
t
d
3
3 2
2
3
5
2)
10)
5)
3)
∫
∫
∫
∫








+
−+






++
+−−+
dx
x
xo
dx
x
xx
n
dx
xx
m
dxxxxxl
3
3
2
23
234
1)
)44()
532)
)54648()