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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II A U L A 0 4 1 6 A B R I L 2 0 1 2 Técnicas de IntegraçãoTécnicas de Integração Prof. Cacico 01 de 09 francis@vm.uff.br francis@poli.ufrj.br francis@uenf.br EXERCÍCIO 01 Calcular ∫ dxex x Solução A integral dada deve ser escrita na forma .∫ dvu Seja, portanto: xu = dxedv x= INTEGRAÇÃO POR PARTES Então: dxex x∫ xu = dxedv = Deste modo: Cexedxexeduvuvdvudxxe xxxxx +−=−=−== ∫∫∫∫ a constante C pode ser incluída apenas no final. 02 de 09 dxdu = xxx edxevdxedv ==→= ∫∫∫ Então: EXERCÍCIO 02 Calcular ∫ − dxex x2 Solução Seja: 2 xu = dxedv x−= INTEGRAÇÃO POR PARTES Assim: dx2xdu = xxx edxevdxedv −−− −==→= ∫∫∫ Portanto: 2xdx)e(exduvuvdvudxex xx2x2 ∫∫∫∫ −−− −−−=−== 03 de 09 A última integral é semelhante à original, com a exceção de que x2 foi substituído por x. ou: dxex2exdxex xx2x2 ∫∫ −−− +−= (1) Outra integração por partes aplicada aOutra integração por partes aplicada a completará o problema. dxex x∫ − Seja: xu = dxedv x−= 04 de 09 Assim: dxdu = xxx edxevdxedv −−− −==→= ∫∫∫ Portanto: dx)e(exduvuvdvudxex xxx ∫∫∫∫ −−− −−−=−== ∫∫∫∫ ou: 1 xxxxx Ceexdxeexdxex +−−=+−= −−−−− ∫∫ (2) Substituindo (2) em (1) resulta: 05 de 09 [ ] 1 xxx2 1 xxx2 xx2x2 C2e2ex2ex Ceex2ex dxex2exdxex +−−−= +−−+−= +−= −−− −−− −−− ∫∫ Portanto: Ce)2x2x(dxex x2x2 +++−= −−∫ Ce)2x2x(dxex x2x2 +++−= −−∫ 06 de 09 EXERCÍCIO 03 Calcular∫ dx xcosx Solução A integral dada deve ser escrita na forma .∫ dvu Seja, portanto: xu = cosdxdv = INTEGRAÇÃO POR PARTES Então: dx xcosx∫ xu = cosdxdv = Deste modo: C x cos sen x x dxsen xsen xx duvuvdvudx x cosx ++=−=−== ∫∫∫∫ a constante C pode ser incluída apenas no final. dxdu = senx=→= ∫∫ vdx x cosdv Então: 07 de 09 EXERCÍCIO 04 Calcular ∫ dxln x x Solução A integral dada deve ser escrita na forma .∫ dvu Seja, portanto: xu = dxln x dv = INTEGRAÇÃO POR PARTES Então: dxln xx∫ xu = dxln x dv = Deste modo: ∫∫∫∫ −=−== dxx-lnxx x)-lnxx(x duvuvdvudxlnx x Voltamos a integral inicial dxdu = xxx −=→= ∫∫ lnvdxln x dv Então: 08 de 09 EXERCÍCIO 04 Calcular ∫ dxln x x Solução A integral dada deve ser escrita na forma .∫ dvu Seja, portanto: x lnu = dx x dv = INTEGRAÇÃO POR PARTES Então: dxln xx∫ x lnu = dx x dv = Deste modo: Cxx x +−=−=−== ∫∫∫∫ 4 ln 2 x dx 2 x 2 x x lnduvuvdvudxlnx x 4222 x dx =du 2 vdx x dv 2x =→= ∫∫ Então: 09 de 09
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