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4ª Aula de Cálculo II

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
A U L A 0 4
1 6 A B R I L 2 0 1 2
Técnicas de IntegraçãoTécnicas de Integração
Prof. Cacico
01 de 09
francis@vm.uff.br francis@poli.ufrj.br francis@uenf.br
EXERCÍCIO 01
Calcular ∫ dxex
x
Solução
A integral dada deve ser escrita na forma .∫ dvu
Seja, portanto:
xu = dxedv x=
INTEGRAÇÃO POR PARTES
Então:
dxex x∫
xu = dxedv =
Deste modo:
Cexedxexeduvuvdvudxxe xxxxx +−=−=−== ∫∫∫∫
a constante C pode ser 
incluída apenas no final.
02 de 09
dxdu =
xxx edxevdxedv ==→= ∫∫∫
Então:
EXERCÍCIO 02
Calcular ∫
− dxex x2
Solução
Seja:
2
xu = dxedv x−=
INTEGRAÇÃO POR PARTES
Assim:
dx2xdu =
xxx edxevdxedv −−− −==→= ∫∫∫
Portanto:
2xdx)e(exduvuvdvudxex xx2x2 ∫∫∫∫ −−− −−−=−==
03 de 09
A última integral é semelhante à original, com a exceção de 
que x2 foi substituído por x. 
ou:
dxex2exdxex xx2x2 ∫∫
−−− +−= (1)
Outra integração por partes aplicada aOutra integração por partes aplicada a
completará o problema.
dxex x∫
−
Seja:
xu = dxedv x−=
04 de 09
Assim:
dxdu =
xxx edxevdxedv −−− −==→= ∫∫∫
Portanto:
dx)e(exduvuvdvudxex xxx ∫∫∫∫ −−− −−−=−== ∫∫∫∫
ou:
1
xxxxx Ceexdxeexdxex +−−=+−= −−−−− ∫∫ (2)
Substituindo (2) em (1) resulta:
05 de 09
[ ]
1
xxx2
1
xxx2
xx2x2
C2e2ex2ex
Ceex2ex
dxex2exdxex
+−−−=
+−−+−=
+−=
−−−
−−−
−−−
∫∫
Portanto:
Ce)2x2x(dxex x2x2 +++−= −−∫ Ce)2x2x(dxex x2x2 +++−= −−∫
06 de 09
EXERCÍCIO 03
Calcular∫ dx xcosx
Solução
A integral dada deve ser escrita na forma .∫ dvu
Seja, portanto:
xu = cosdxdv =
INTEGRAÇÃO POR PARTES
Então:
dx xcosx∫
xu = cosdxdv =
Deste modo:
C x cos sen x x dxsen xsen xx duvuvdvudx x cosx ++=−=−== ∫∫∫∫
a constante C pode ser 
incluída apenas no final.
dxdu =
senx=→= ∫∫ vdx x cosdv
Então:
07 de 09
EXERCÍCIO 04
Calcular ∫ dxln x x
Solução
A integral dada deve ser escrita na forma .∫ dvu
Seja, portanto:
xu = dxln x dv =
INTEGRAÇÃO POR PARTES
Então:
dxln xx∫
xu = dxln x dv =
Deste modo:
∫∫∫∫ −=−== dxx-lnxx x)-lnxx(x duvuvdvudxlnx x 
Voltamos a integral inicial
dxdu =
xxx −=→= ∫∫ lnvdxln x dv
Então:
08 de 09
EXERCÍCIO 04
Calcular ∫ dxln x x
Solução
A integral dada deve ser escrita na forma .∫ dvu
Seja, portanto:
x lnu = dx x dv =
INTEGRAÇÃO POR PARTES
Então:
dxln xx∫
x lnu = dx x dv =
Deste modo:
Cxx
x
+−=−=−== ∫∫∫∫ 4
ln
2
x
 dx
2
x
2
 x
x lnduvuvdvudxlnx x 
4222
x
dx
=du
2
vdx x dv
2x
=→= ∫∫
Então:
09 de 09

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