5ª Aula de Cálculo II

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
A U L A 0 5
1 7 A B R I L 2 0 1 2
Técnicas de IntegraçãoTécnicas de Integração
Prof. Cacico
01 de 08
francis@vm.uff.br francis@poli.ufrj.br francis@uenf.br
EXERCÍCIO 05
Calcular dxeax∫ x
Solução
A integral dada deve ser escrita na forma .∫ dvu
Seja, portanto:
x u = dxaxe dv =
INTEGRAÇÃO POR PARTES
Então:
dxx∫
axe
x u = dxe dv =
Deste modo:
C
a
e
a
e
a
e
a
e axaaaa +−=−=−== ∫∫∫∫
²
x
 dx x duvuvdvudx ex 
xxx
x
dx=du
a
edx
ax
a
=→= ∫∫ ve dv
x
Então:
C
a
x
a
e
a
a +−=∫ )
1( dx ex 
x
x
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EXERCÍCIO 06
Calcular dxeax∫ x²
Solução
A integral dada deve ser escrita na forma .∫ dvu
Seja, portanto:
x²u = dxaxe dv =
INTEGRAÇÃO POR PARTES
Então:
dxx²∫
axe
x²u = dxe dv =
Deste modo:
∫∫∫∫ −=−== dx2
 
 x²duvuvdvudx e x²
xx
x x
a
e
a
e aaa
xdx2du =
a
edx
ax
a
=→= ∫∫ ve dv
x
Então:






+





−−=−= ∫∫ Ca
x
a
e
aa
x
aa
x axaa
a
a 12²e dx x e 2²e dx e x²
x
x
x
x
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EXERCÍCIO 07
Calcular dxx x² sen∫
Solução
A integral dada deve ser escrita na forma .∫ dvu
Seja, portanto:
x²u = dxsenx dv =
INTEGRAÇÃO POR PARTES
Então:
∫ senxx²
x²u = dxsenx dv =
Deste modo:
∫∫∫∫ −=−== dx2)cos(- x)(-cos x²duvuvdvudxenx x² xxs
xdx2du =
xdx cosvsenx dv −=→= ∫∫
Então:
∫∫ +−= dx x cos x 2 x cos x² dxen x x² s
dx
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A Integral deve ser resolvida também por partes. 
Solução
A integral dada deve ser escrita na forma .∫ dvu
Seja, portanto:
xu = dx x os dv c=
INTEGRAÇÃO POR PARTES
Então:
dx x cos x∫
dx x cos x∫
xu = dx x os dv c=
Deste modo:
dx x -sen x x dx x cos x ∫∫ = sen
dx=du
senxc =→= ∫∫ vdx x ons dv
Então:
[ ]∫∫ +−= dxsen x -en x x 2 x cos x² dxen x x² ss
C x cos 2 sen x 2x x cos x² dxen x x² +++−=∫ s
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EXERCÍCIO 08
Calcular dxsenx e2x∫
Solução
A integral dada deve ser escrita na forma .∫ dvu
Seja, portanto:
x2eu = dxsenx dv =
INTEGRAÇÃO POR PARTES
Então:
dxsenx e2x∫
eu = dxsenx dv =
Deste modo:
∫∫ −−−= dx2)cos()cos(dxenx e 222x xx exxes
dxe x22du =
xdx cosvsenx dv −=→= ∫∫
Então:
∫∫ +−= cos 2cosdxenx e
222x dxxexes xx
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Solução
A integral dada deve ser escrita na forma .∫ dvu
Seja, portanto:
x2eu = dxcosx dv =
INTEGRAÇÃO POR PARTES
Então:
A Integral deve ser resolvida também por partes. ∫ cos 
2 dxxe x
∫ cos 
2 dxxe x
eu = dxcosx dv =
Deste modo:
[ ]∫∫ −+−= dx22cosdxenx e 2222x xxx esenxsenxexes
dxe x22du =
senxdx =→= ∫∫ vcosx dv
Então:
∫∫ −+−= en 42cosdxenx e
2222x dxxsesenxexes xxx (2)
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Logo,
senxexes xx 222x 2cosdxenx e5 +−=∫
Observamos que a integral do 2º membro é exatamente a 
integral que queremos calcular. Somando a 
ambos os lados de (2), obtemos: ∫
dxsenx e4 2x
Cxesenxes xx +−=∫ )cos2(5
1dxenx e 222x
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