6ª Aula de Cálculo II

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
A U L A 0 6
2 4 A B R I L 2 0 1 2
Técnicas de IntegraçãoTécnicas de Integração
Prof. Cacico
01 de 10
francis@vm.uff.br francis@poli.ufrj.br francis@uenf.br
Sejam as identidades trigonométricas:
2
cos2x1
xcos
2
cos2x1
xsen 22
+
=
−
=
Assim,
EXERCÍCIOS 01
INTEGRAÇÃO DE POTÊNCIAS QUADRÁTICAS DAS
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS SEN(X) E COS(X)
∫∫∫∫ −=
−
= dxcos2x
2
1dx
2
1dx
2
cos2x1dxxsen2




−





+
=
+
2
sen2x
2
1
10
x
2
1 10
Cusen
2
1
duucos
2
1dxcos2x
dx
2
du2
dx
du
2xu
dxcos2x
+=
=
=⇒=
=
∫∫
∫
C
4
2xsen
2
x
xsen2 +−=∫
02 de 10
Da mesma forma, e utilizando a outra identidade trigonométrica:
C
4
2xsen
2
x
xcos2 ++=∫
03 de 10
dxxcosxsen 22∫
pode ser resolvida fazendo:
EXERCÍCIOS 02
Determinar
( ) ( ) dxcos2x1
2
1
cos2x1
2
1
∫ +−=
( )dx2xcos1
4
1 2
∫ −=
dx
2
cos2x1
2
cos2x1dxxcosxsen 22 ∫∫ 




 +





 −
=
04 de 10
( )dx2xcos1
4
1 2
∫ −=
dx2xcos
4
1dx1
4
1 2
∫∫ −=
4xsenx2usenu2usenu1duucos1dx2xcos
dx
2
du2xu
dx2xcos
22
2
+=+=

+=⇒
=⇒=
∫∫
∫
8
4xsen
2
x
8
2usen
4
u
4
2usen
2
u
2
1duucos
2
1dx2xcos 22 +=+=



+=⇒ ∫∫




+−=
8
sen4x
2
x
4
1
4
x
C
32
sen4x
8
x
+−=
05 de 10
dxxcosxsen 52∫
pode ser resolvida fazendo:
EXERCÍCIOS 03
Determinar
( )∫ ∫ −= dxcos1dxx cosx sen 22252 xxsenxsen
dxcos)2( 642 xxsenxsenxsen +−= ∫
dx)coscos2cos( 642 xxsenxdxxsenxdxxsen +−= ∫
dxcoscos2cos 642 xxsenxdxxsenxdxxsen ∫∫∫ +−=
06 de 10
Resolvendo ∫ dxcos(x)(x)sen2
Solução
Seja u = sen(x) cos(x)
dx
du
=
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
Logo: cos(x)dx = du
Assim, a integral dada pode ser escrita como:
∫ duu
2
C
3
(x)senC
3
uduu
33
2 +=+=∫
07 de 10
Resolvendo ∫ dxcos(x)(x)sen4
Solução
Seja u = sen(x) cos(x)
dx
du
=
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
Logo: cos(x)dx = du
Assim, a integral dada pode ser escrita como:
∫ duu
4
C
5
(x)senC
4
uduu
54
4 +=+=∫
08 de 10
Resolvendo ∫ dxcos(x)(x)sen6
Solução
Seja u = sen(x) cos(x)
dx
du
=
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
Logo: cos(x)dx = du
Assim, a integral dada pode ser escrita como:
∫ duu
6
C
7
(x)senC
6
uduu
76
6 +=+=∫
09 de 10
Logo a solução final da integral sugerida fica:
C
75
2
3
dxxcosxsen
753
52 ++−=∫
xsenxsenxsen
10 de 10
EXERCÍCIO 09
Calcular dx
xx
∫
+
+
3
)1(x
3
2
Solução
Seja u = x3 + 3x 33
dx
du 2 += x
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
Logo: (3x2 + 3) dx = du ou du = 3 (x2 + 1) dx
Assim, a integral dada pode ser escrita como:
CuCuduu +=+== ∫∫
−
3
2
2
13
1
3
1
u
du
3
1 2
1
2
1
C3
3
2
3
)1(x 3
3
2
++=
+
+
∫ xxdx
xx
EXERCÍCIO 10
Calcular dxbxa∫ + 32 )(
x
Solução
Seja u = a + bx2 x2b
dx
du
=
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
Logo: 2bx dx = du ou du = 2b x dx
Assim, a integral dada pode ser escrita como:
C
bu
Cu
b
duu
bub
+−=+
−
==
−
−
∫∫ 2
2
3
3 4
1
22
1
2
1du
2
1
C)(4
1
)(
x
2232 ++
−=
+∫ bxab
dx
bxa