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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II A U L A 0 6 2 4 A B R I L 2 0 1 2 Técnicas de IntegraçãoTécnicas de Integração Prof. Cacico 01 de 10 francis@vm.uff.br francis@poli.ufrj.br francis@uenf.br Sejam as identidades trigonométricas: 2 cos2x1 xcos 2 cos2x1 xsen 22 + = − = Assim, EXERCÍCIOS 01 INTEGRAÇÃO DE POTÊNCIAS QUADRÁTICAS DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS SEN(X) E COS(X) ∫∫∫∫ −= − = dxcos2x 2 1dx 2 1dx 2 cos2x1dxxsen2 − + = + 2 sen2x 2 1 10 x 2 1 10 Cusen 2 1 duucos 2 1dxcos2x dx 2 du2 dx du 2xu dxcos2x += = =⇒= = ∫∫ ∫ C 4 2xsen 2 x xsen2 +−=∫ 02 de 10 Da mesma forma, e utilizando a outra identidade trigonométrica: C 4 2xsen 2 x xcos2 ++=∫ 03 de 10 dxxcosxsen 22∫ pode ser resolvida fazendo: EXERCÍCIOS 02 Determinar ( ) ( ) dxcos2x1 2 1 cos2x1 2 1 ∫ +−= ( )dx2xcos1 4 1 2 ∫ −= dx 2 cos2x1 2 cos2x1dxxcosxsen 22 ∫∫ + − = 04 de 10 ( )dx2xcos1 4 1 2 ∫ −= dx2xcos 4 1dx1 4 1 2 ∫∫ −= 4xsenx2usenu2usenu1duucos1dx2xcos dx 2 du2xu dx2xcos 22 2 +=+= +=⇒ =⇒= ∫∫ ∫ 8 4xsen 2 x 8 2usen 4 u 4 2usen 2 u 2 1duucos 2 1dx2xcos 22 +=+= +=⇒ ∫∫ +−= 8 sen4x 2 x 4 1 4 x C 32 sen4x 8 x +−= 05 de 10 dxxcosxsen 52∫ pode ser resolvida fazendo: EXERCÍCIOS 03 Determinar ( )∫ ∫ −= dxcos1dxx cosx sen 22252 xxsenxsen dxcos)2( 642 xxsenxsenxsen +−= ∫ dx)coscos2cos( 642 xxsenxdxxsenxdxxsen +−= ∫ dxcoscos2cos 642 xxsenxdxxsenxdxxsen ∫∫∫ +−= 06 de 10 Resolvendo ∫ dxcos(x)(x)sen2 Solução Seja u = sen(x) cos(x) dx du = INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO Logo: cos(x)dx = du Assim, a integral dada pode ser escrita como: ∫ duu 2 C 3 (x)senC 3 uduu 33 2 +=+=∫ 07 de 10 Resolvendo ∫ dxcos(x)(x)sen4 Solução Seja u = sen(x) cos(x) dx du = INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO Logo: cos(x)dx = du Assim, a integral dada pode ser escrita como: ∫ duu 4 C 5 (x)senC 4 uduu 54 4 +=+=∫ 08 de 10 Resolvendo ∫ dxcos(x)(x)sen6 Solução Seja u = sen(x) cos(x) dx du = INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO Logo: cos(x)dx = du Assim, a integral dada pode ser escrita como: ∫ duu 6 C 7 (x)senC 6 uduu 76 6 +=+=∫ 09 de 10 Logo a solução final da integral sugerida fica: C 75 2 3 dxxcosxsen 753 52 ++−=∫ xsenxsenxsen 10 de 10 EXERCÍCIO 09 Calcular dx xx ∫ + + 3 )1(x 3 2 Solução Seja u = x3 + 3x 33 dx du 2 += x INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO Logo: (3x2 + 3) dx = du ou du = 3 (x2 + 1) dx Assim, a integral dada pode ser escrita como: CuCuduu +=+== ∫∫ − 3 2 2 13 1 3 1 u du 3 1 2 1 2 1 C3 3 2 3 )1(x 3 3 2 ++= + + ∫ xxdx xx EXERCÍCIO 10 Calcular dxbxa∫ + 32 )( x Solução Seja u = a + bx2 x2b dx du = INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO Logo: 2bx dx = du ou du = 2b x dx Assim, a integral dada pode ser escrita como: C bu Cu b duu bub +−=+ − == − − ∫∫ 2 2 3 3 4 1 22 1 2 1du 2 1 C)(4 1 )( x 2232 ++ −= +∫ bxab dx bxa
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