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1 MECÂNICA DOS SÓLIDOS I PROF: EDUARDO MOURA LIMA CAPÍTULO 2 SOLICITAÇÃO AXIAL – TRAÇÃO E COMPRESSÃO Solução de Exercícios Observação: Referente ao capítulo III da apostila teórica Versão 01/02/2015 2 1) Traçar os diagramas de esforços normais (DEN), tensões normais (DTN) e deslocamentos (DD). Dados: L1 = 1,0 m L2 = 1,5 m L3 = 1,0 m S1 = 4,0 cm2 S2 = 2,0 cm2 S3 = 0,4 cm2 E1 = E2 = E3 = 2 x 106 kgf / cm2 δA = 0 δB = ΔL1 = (N1 . L1) / (E1 . S1) = (-2.000 x 100)/ (2 x 106 x 4) = -0,025 cm δC = ΔL1 + ΔL2 = -0,025 + (N2 . L2) / (E2 . S2) = -0,025 + (4.000 x 150)/ (2 x 106 x 2) = 0,125 cm 1 2 3 6 tf 3 tf 1 tf DEN (tf) DTN (tf/cm2) DD (cm) A B C D 1 4 - 2 - + + - - 0,5 2 + 2,5 + -0,025 - 0,125 0,250 + + 3 δD = ΔL1 + ΔL2 + ΔL3 = 0,125 + (N3 . L3) / (E3 . S3) = 0,125 + (1.000 x 100)/ (2 x 106 x 0,4) = 0,250 cm 2) Calcular o alongamento total de uma barra de 5 cm2 de seção transversal e 2 m de comprimento, submetida a uma tração axial de 7,5 tf, sendo E = 2,1 x 106 kgf/cm2. ΔL = (N . L) / (E . S) = (7.500 x 200) / (2,1 x 106 x 5) = 0,14 cm 3) A barra de aço da figura está solicitada pelas forças indicadas e tem a área da seção reta S = 10 cm2 e E = 2,1 x 106 kgf/cm2. Determinar: a. Diagrama de esforços normais na barra b. Variação de comprimento do trecho BC. ΔLBC = (N . L) / (E . S) = (7.000 x 300) / (2,1 x 106 x 10) = 0,1 cm (alongamento) 10 tf 3 tf 2 tf 9 tf A B C D 2 m 3 m 4 m 7.500 kgf 7.500 kgf 10 tf + + + 7 tf 9 tf 4 4) Calcular o alongamento total da barra abaixo, submetida unicamente ao seu peso próprio. Dados: E, L, S e γ (peso específico do material - peso na unidade de volume) Barra de comprimento dy sofrerá um alongamento igual a : (N . L) / (E . S) = = ((γ.S.y).dy) / (E . S) Se somarmos todos os alongamentos de todas as barras dy, teremos: ΔL = ((γ.S.y).dy) / (E . S) = (γ.S)/(E.S) y. dy = = ( (γ.S)/(E.S) ) . ( y2 / 2) = (γ.S. L2)/(2E.S) = = (γ.S. L . L)/(2E.S) = (P . L) / (2 E. S) 5) Determinar a seção reta (S) da barra abaixo, levando em consideração o seu peso próprio e a carga concentrada P. Dados: P, L, γ (peso específico do material) e σ (tensão admissível). L L P dy y γ. S .y L 0 L 0 L 0 Peso Total = γ . S . L A 5 Carga Peso: ela é distribuída pelo corpo, então cada seção reta será solicitada pelo peso do pedaço abaixo dela. Assim, a seção mais solicitada será A, por suportar o peso de todo o corpo. Carga P: concentrada, e ela atua igualmente em todos as seções, inclusive A Conclusão: a seção mais solicitada é A (seção crítica) A seção A receberá a carga: P + Peso Total = P + γ . S . L. Como a seção A é a mais solicitada, se garantirmos a estabilidade de cada ponto situado nela, então todos os demais pontos da peça estarão estáveis. σ A = (P + γ . S . L) / S ≤ σ S ≥ P / (σ - γ.L) 6) A figura abaixo está EM ESCALA, e representa o diagrama fornecido pela máquina , num ensaio de tração. Foi ensaiada uma barreta de seção reta inicial S = 2 cm2, e comprimento inicial L = 8 cm. O ensaio revelou que: A maior força normal registrada no mostrador foi de 8.000 kgf. σ ε θ 6 O extensômetro (medidor de alongamentos) indicou que um comprimento inicial de 2 cm sofreu um acréscimo de 0,002 cm no instante correspondente ao limite de proporcionalidade. Após a rutura a barreta apresentou as seguintes dimensões: S = 1,8 cm2 e L = 9 cm. Com base no gráfico e nas informações acima, calcular: O limite de proporcionalidade e o módulo de Young (E) do material. O limite de escoamento inferior O valor, em cm2, da deformação superficial da seção reta, no instante em que se atinge o limite de proporcionalidade, sabendo-se que para o material, seu coeficiente de Poisson (μ) vale 0,25. Se a figura está em ESCALA, calculemos a escala das tensões e a escala das deformações, a partir dos dados do problema: Escala das tensões: σR = 8.000 / 2 = 4.000 kgf/cm2 8 cm (por medição na figura) Então: 1 cm 500 kgf/cm2 (escala das tensões) Escala das deformações: εP = 0,002/2 = 0,001 1 cm (por medição na figura) Então: 1 cm 0,001 (escala das deformações) σP = 500 x 4,5 cm (medição na figura) = 2.250 kgf/cm2 E = tg θ = σP / εP = 2.250 / 0,001 = 2,25 x 106 kgf/cm2 σSi = 500 x 6,3 (medição na figura) = 3.150 kgf/cm2 εS = ΔS / S = 2 μ ε ΔS = 2 x 0,25 x 0,001 x 2 = 0,001 cm2 7 7) Para que sejam determinadas as características mecânicas de certo material, ensaiou-se, à compressão, uma barreta de 25 cm de comprimento e 4 cm2 de seção reta, com uma força axial de 6.150 kgf. Dos resultados, concluiu-se ter havido um acréscimo de 1,8 x 10-3 cm2 na seção reta e uma redução de 3 x 10-2 cm3 no volume da peça. Determinar o módulo de Young (E) e o coeficiente de Poisson (μ) desse material. εS = ΔS / S = 2 μ ε (1,8 x 10-3) / 4 = 2 . μ . ε εV = ΔV/V = (1 - 2μ) ε (3 x 10-2) / 100 = (1 - 2μ) ε Resolvendo o sistema de duas equações e duas incógnitas acima, acharemos: μ = 0,30 e ε = 0,00075 Como ε = ΔL / L = ((N.L)/(E.S)) / L = N /(E. S) E = N / (ε . S) = 2,05 x 106 kgf/cm2 8) Uma barra com 2 m de comprimento e 4 cm2 de seção transversal vai ser tracionada por uma força axial estática. Para o material, temos: E = 2 x 106 kgf/cm2 e μ = 0,25. Determinar: A intensidade da força capaz de provocar uma variação de 60 mm3 no volume da peça. εV = ΔV/V = (1 - 2μ) . ε 0,060 / 800 = ( 1 – 2 x 0,25) . (N.L) / (E. S.L) N = 1.200 kgf O potencial elástico acumulado na barra quando a seção reta apresentar uma variação de 1,5 x 10-4 cm2. εS = ΔS/S = 2 μ ε (1,5 x 10-4) / 4 = 2 . 0,25 . (N. L) / (E. S.L) N = 600 kgf W = (N . ΔL) / 2 = (N. N. L) / (2 E S) = (N2 . L) / ( 2 E S) = 4,5 kgf.cm 8 9) Calcular a carga admissível para a peça abaixo. Dados: σT = 3.200 kgf/cm2 e σC = 2.400 kgf/cm2. Em ambos os casos, usar coeficiente de segurança = 2,0. Diâmetro de cada um dos 5 furos = 2 cm Vista de cima: Vista de frente: Identificação da seção Crítica: carga constante e igual a P em todas as seções retas. Menor seção reta: A ou B (seções críticas) σA,B = F / ((20 – 2x2) x 1) ≤ 3.200 / 2 F ≤ 25.600 kgf.cm A B C F F 100 cm 20 cm F F 1 cm A B C 9 10) A barra da figura abaixo tem 2 cm2 de seção transversal. Determinar as tensões normais ao longo da barra (DTN) Sabendo-se que σT = 1,2 tf/cm2 e σC = 1,0 tf/cm2, que conclusões podemos tirar? A segurança do trecho superior será = 1 / 0,3 = 3,3 A segurança do trecho inferior será = 1,2 / 1,2 = 1,0 11) Determinar o valor máximo de P de tal forma que o alongamento total da barra não ultrapasse 0,18 cm, e nem que as tensões ultrapassem seus valores admissíveis. Barra Material E (kgf/cm2) σ T,C (kgf/cm2) L(m) S(cm2) 1 Bronze 8 x 105 1.250 1,0 5,0 2 Alumínio 7 x 105 850 1,6 7,0 3 Aço 2 x 106 1.400 1,3 3,5 3 tf 2,4 tf 1 2 3 3 P P 4 P 2 P DEN (tf) DTN (tf/cm2) -0,6 2,4 + - + - -0,3 1,2 10 Verificando a condição: alongamento total não ode ultrapassar 0,18 cm ΔLtotal = ΔL1 + ΔL2 + ΔL3 ≤ 0,18 (N1 . L1) / (E1 . S1) + (N2 . L2) / (E2 . S2) + (N3 . L3) / (E3 . S3) ≤ 0,18 (3P x 100) / (8 x 105 x 5) + (2P x 160) / (7 x 105 x 7) + (-2P x 130) / (2 x 106 x 3,5) ≤ 0,18 P ≤ 1.744 kgf Verificando a estabilidade de cada uma das barras: Barra 1: 3P / 5 ≤ 1.250 P ≤ 2.083 kgf Barra 2: 2P / 7 ≤ 850 P ≤ 2.975 kgf Barra 3: 2P / 3,5 ≤ 1.400 P ≤ 2.450 kgf A solução que atende a todas as 4 condições é P ≤ 1.744 kgf 12) Um suporte de madeira de 20 cm x 20 cm de seção reta está apoiado em uma base de concreto. Determinar o valor de P se a tensão admissível da madeira é de 110 kgf/cm2 e a do concreto é de 50 kgf/cm2. Quais as dimensões da base quadrada (a) se a tensão admissível do terreno vale 4 kgf/cm2? a 20 cm P 11 Verificação dab estabilidade em vada peça: Peça de madeira: σmadeira = P / 400 ≤ 110 P ≤ 44.000 kgf Peça de concreto: σconcreto = P / 400 ≤ 50 P ≤ 20.000 kgf Solução que atende às duias condições: P ≤ 20.000 kgf Estabilidade do solo: P = 20.000 kgf S = a2 P / a2 ≤ 4 a ≥ 70,7 cm 13) A estrutura abaixo tem peso desprezível e é composta de dois trechos coaxiais de seções retas quadradas. Na extremidade inferior está aplicada uma força estática P. Determinar: O maior valor que a carga P pode assumir sem que sejam ultrapassados os seguintes limites: No trecho 1 σ T,C = 400 kgf/cm2. No trecho 2 σ T,C = 1.800 kgf/cm2. Na estrutura potencial elástico acumulado = 49 kgf.cm O valor da força P no instante em que a seção reta do trecho 1 apresenta uma redução de 0,3 x 10-3 cm2, sabendo-se que, para o material desta haste, o coeficiente de Poisson vale 0,25. S (cm2) E (kgf/cm2) Trecho 1 4 1,8 x 106 Trecho 2 1 2,1 x 106 1 2 P 72 cm 84 cm 12 Primeiro item: Estabilidade de 1: σ1 = P/4 ≤ 400 P ≤ 1.600 kgf Estabilidade de 2: σ2 = P/1 ≤ 1.800 P ≤ 1.800 kgf Condição do potencial elástico: Wtotal = W1 + W2 ≤ 49 (0,5 x (P x P x 72) / (1,8 x 106 x 4)) + ( 0,5 x (P x P x 84) / (2,1 x 106 x 1)) ≤ 49 P ≤ 1.400 kgf A solução que atende a todas as condições é P ≤ 1.400 kgf Segundo item: εS = ΔS / S = 2 μ ε (0,3 x 10-3) / 4 = 2 x 0,25 x (P x L) / (E . S. L) P ≤ 1.080 kgf 14) Calcular as forças axiais, as tensões normais e os deslocamentos verticais das seções transversais da barra. Representar graficamente os resultados obtidos. S (cm2) E (kgf/cm2) Barra 1 2 2,0 x 106 Barra 2 1 2,0 x 106 15) A estrutura abaixo, sem peso, tem seção circular constante em cada trecho, sendo os trechos 1,2 e 3 de materiais diferentes mas com o mesmo eixo vertical. 1 2 1 tf 1 m 2 m 4 tf DEN (tf) DTN (tf/cm2) DD (cm) + + - - 1 1 - 3 -1,5 -0,075 0,025 + - 13 Sabe-se que as seções retas valem: 2 S1 = 4 S2 = S3 = 20 cm2 e que seus materiais possuem as seguintes características: E1 = 5/6 E2 = 5/7 E3 = 1,5 x 106 kgf/cm2 e σ 1 = 2/3 σ 2 = 1/2 σ 3 = 800 kgf/cm2. Calcular o máximo valor das cargas P, iguais, sabendo-se que: As tensões admissíveis para cada trecho não podem ser ultrapassadas Nenhuma seção pode se deslocar de sua posição pprimitiva mais do que 0,06 cm. Estabilidade das barras: σ1 = P/ 10 ≤ 800 P ≤ 8.000 kgf σ2 = P/ 5 ≤ 1.200 P ≤ 6.000 kgf σ3 = 3P/ 20 ≤ 1.600 P ≤ 10.667 kgf Ponto que sofre maior deslocamento: A (encurtamento) δA = ΔL1 + ΔL2 + ΔL3 ≤ 0,06 (P x 60) / (1,5 x 106 x 10) + (P x 36) / (1,8 x 106 x 5) + (3P x 56) / (2,1 x 106 x 20) ≤ 0,06 P ≤ 5.000 kgf A solução que atende a todas as condições: P ≤ 5.000 kgf 56 cm 36 cm 60 cm 3 2 1 P P P A B C D 14 16) Uma barra de alumínio de seção quadrada, ligada a um tirante de aço de seção circular, suporta em sua extremidade C uma carga de 500 kgf. Em função das propriedades mecânicas desses materiais, determinar: As seções retas S1 e S2 A energia de deformação na barra e no tirante O deslocamento do ponto C Material E (kgf/cm2) Tensão limite tração (kgf/cm2) Tensão limite compressão (kgf/cm2) Coeficiente de segurança 1-aço 2 x 106 4.000 3.500 2,0 2-alumínio 0,6 x 106 3.000 2.200 2,5 Estática: equilíbrio da rótula C Σ FX = 0 N1 cos 30º = N2 N1 = 1.000 kgf Σ Fy = 0 N1 sen 30º = 500 N2 = 866 kgf Estabilidade das barras: Barra 1: σ1 = 1.000 / S1 ≤ 4.000/2 S1 ≥ 0,5 cm2 Barra 2: σ2 = 866 / S2 ≤ 2.200/2,5 S2 ≥ 0,98 cm2 L1 = 400 cm e L2 = 400 cos 30º (calculados a partir do triângulo ABC) W1 = (N1 x N1 x L1) /2 (E1 x S1) = 200 kgf.cm W2 = (N2 x N2 x L2) / 2(E2 x S2) = 216,5 kgf.cm Wtotal = 416,5 kgf.cm ΔL1 = (N1 . L1) / (E1 . S1) = 0,4 cm ΔL2 = (N2 . L2) / (E2 . S2) = 0,5 cm 60º 30º 2 m A B C 500 kgf 1 2 N1 N2 A barra 1 é tracionada A barra 2 é comprimida 15 Deslocamento do ponto C: O deslocamento do ponto C é CC’. Observemos o triângulo retângulo C’C1C2, e nele o ângulo de 30º. A tangente do ângulo 30º será, pelos lados do triângulo: tag 30º = cateto oposto / cateto adjacente = (C1C2) / (C1C’) =(C1C + CC2) / (C1C’) == (ΔL2 + ΔL1/cos 30º ) / C1 C’ C1 C’ = 1,66 cm Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo C C1 C’: CC’ = √ (C1C)2 + (C1C’)2 = 1,73 cm A C B 1 2 tracionada comprimida ΔL1 = C C3 C3 C1 ΔL2 = C1 C C2 30º 30º C’ 16 17) A figura representa uma peça de máquina em que todos os elementos são considerados absolutamente rígidos, à exceção da barra CD, para a qual E = 2 x 106 kgf/cm2. A força P atua estaticamente, até o valor de 1.000 kgf. Dimensionar a barra CD (S) e determinar o deslocamento do ponto B. A tensão admissível da barra CD vale 2.500 kgf/cm2. Equilíbrio da barra AB: Σ MA = 0 30 P = NCD . 60 30 x 1.000 = NCD . 60 NCD = 500 kgf Estabilidade da barra CD: σCD = NCD / SCD ≤ 2.500 SCD ≥ 0,2 cm2 Deslocamento do ponto B = BB’, que será calculado a partir da semelhança dos triângulos ABB’ e ACC’: δB / CC’ = 81 / 60 e CC’ = ΔLCD ΔLCD = (500 x 100) / (2 x 106 x 0,2) = 0,125 cm δB = (81/60) x 0,125 = 0,17 cm A B P C D 21 cm 30 cm 60 cm 100 cm P NCD HA B’ C’ 17 18) A figura mostra um dispositivo de elevação de cargas, acionado mecanicamente pelo guincho G. O sistema é composto de um cabo metálico flexível que abraça uma roldana suportada por duas hastes metálicas AB e BC. Determinar a maior carga P que pode ser levantada, tendo em vista a resistência dos materiais. Peça Tensão admissível (kgf/cm2) S (cm2) Cabo 800 4 Haste AB ± 1.200 2 Haste BC ± 1.000 6 Estabilidade do cabo: P / 4 ≤ 800 P ≤ 3.200 kgf Equilíbrio do ponto B: NAB sen 60º = NBC sen 30º (equação 1) NAB cos 60º + NBC cos 30º = 2P (equação 2) Estabilidade das barras AB e BC: AB: NAB / 2 ≤ 1.200 NAB ≤ 2.400 NAB máximo = 2.400 kgf BC: NBC / 6 ≤ 1.000 NBC ≤ 6.000 NBC máximo =6.000 kgf 60º 30º A C B P G 2P P NBC NAB 18 Se NAB = 2.400 kgf NBC = 4.157 kgf (pela equação 1) (solução OK, pois está abaixo do limite) Se NBC = 6.000 kgf NAB = 3.464 kgf (pela equação 1) (solução não OK, pois está acima do limite) Então P máximo (para haver estabilidade em AB e BC) = 2.400 kgf (da equação 2) Juntando com o P máximo para atender ao cabo, a resposta que satisfaz às duas condições é P máximo = 2.400 kgf. 19) Determinar as tensões normais nas barras 1 e 2 e o deslocamento do ponto B. Barra L (cm) S (cm2) E (kgf/cm2) 1 70 2,0 2,1 x 106 2 105 1,5 2,1 x 106 60º 30º A B C 750 √3 kgf 1 2 N2 N1 tracionada tracionada B1 B2 B’ 60º 19 Estática: equilíbrio do ponto B: N2 cos 60º + 750 √3 cos 30º = N1 N1 = 1.500 kgf N2 sen 60º = 750 √3 sen 30º N2 = 750 kgf σ1 = 1500 / 2 = 750 kgf/cm2 (tração) σ2 = 750 / 1,5 = 500 kgf/cm2 (tração) ΔL1 = (1.500 x 70) / (2,1 x 106 x 2) = 0,025 cm ΔL2 = (750 x 105 / (2,1 x 106 x 1,5) = 0,025 cm BB’ cos 60º = ΔL1 BB’ = 0,050 cm 20) A barra AD é rígida e indeformável, podendo girar em torno de D. Determinar: Forças normais em 1 e 2 Reações no apoio D Rotação da barra AD Barra E (kgf/cm2) S (cm2) L (m) 1 2 x 106 20 4 2 2 x 106 20 4 Estática: Barra AD 50.000 + V = N1 + N2 50.000 x 6 = 2 N1 + 4 N2 N1 + 2 N2 = 150.000 (Hiperestático) D B C 50.000 kgf 1 2 A 2 m 2 m 2 m B’ C’ N2 N1 V tracionada tracionada θ 20 Relação entre ΔLs: ΔL1 / 2 = ΔL2 / 4 2 ΔL1 = ΔL2 2 N1 = N2 Então: N1 = 30.000 kgf e N2 = 60.000 kgf V = 40.000 kgf tg θ = ΔL1 / 200 = ((30.000 x 400) / (2 x 106 x 20)) / 200 = 0,0015 θ = 0,0015 rad 21) Determinar o maior valor possível para a carga P. A barra AC é rígida e indeformável. Barra E (kgf/cm2) S (cm2) Tensão admissível tração (kgf/cm2) Tensão admissível compressão (kgf/cm2) L (cm) 1 2,0 x 106 4 400 350 100 2 2,2 x 106 2 300 250 110 Estática: barra AC 2 N1 + 2 N2 = P (hiperestático) Deformações: ΔL1 = ΔL2 N1 = 2N2 Estabilidade das barras: 1 2 2 m 1 m A B C P A’ C’ V N1 N2 comprimida tracionada 21 Barra 1: N1 / 4 ≤ 350 N1 ≤ 1.400 kgf N1 máximo = 1.400 kgf Barra 2: N2 / 2 ≤ 300 N2 ≤ 600 kgf N2 máximo = 600 kgf Calculando P máximo: Se N1 = 1.400 N2 = 700 kg (não OK) Se N2 = 600 N1 = 1.200 kg (OK) Pmáximo = 2 x 600 + 2 x 1.200 = 3.600 kgf 22) Determinar as reações de apoio e o encurtamento da zona comprimida. E = 2 x 106 kgf/cm2 (para as duas barras) S1 = 4 cm2 S2 = 2 cm2 L1 = 6 m L2 = 2 m Estática: R1 + R2 = 10.000 (hiperestático) Deformações: ΔL1 = ΔL2 (R1 x 600) / (2 x 106 x 4) = (R2 x 200) / (2 x 106 x 2) R2 = 1,5 R1 R1 = 4.000 kgf R2 = 6.000 kgf Encurtamento da parte comprimida = ΔL2 = (6.000 x 200) / (2 x 106 x 2) = 0,3 cm 23) A plataforma de descarga AB pode ser considerada absolutamente rígida e pesa 2 tf. Ela é sustentada pelo tirante BC e está apoiada na coluna DE, ambos deformáveis. Pede-se determinar, no instante representado na figura, os esforços na coluna e no tirante para P = 7.200 kgf. 1 2 10 tf R1 R2 tracionada comprimida 22 Peça E (kgf/cm2) S (cm2) L (m) Coluna 1 1,0 x 106 54 1,20 Tirante 2 2,0 x 106 6 2,40 Resposta: N1 = 10.500 kgf e N2 = 3.500 kgf 24) Na estrutura abaixo, somente as hastes AB e CD são consideradas deformáveis, estando a força estática P equidistante das mesmas. Haste S (cm2) Tensões admissíveis (kgf/cm2) E (kgf/cm 2) L (m) 1-AB 1,2 ± 1.200 2 x 106 2 2-CD 1,5 ± 1.000 2 x 106 2 Determinar: O maior valor possível para P Resposta: P máximo = 2.880 kgf O deslocamento do ponto de aplicação da carga P quando P = P máximo Resposta: 0,108 cm 2 B A 6 m 5 m 2 m P C D E 1 Peso = 2.000 kgf 23 O trabalho realizado pela força quando P = P máximo Resposta: 155,52 kgf.cm Supondo agora que as referidas hastes são física e geometricamente iguais, com S = 2,1 cm2, L = 2 m e E = 2 x 106 kgf/cm2, e que se introduza uma terceira haste EF, biarticulada em E e F, na direção da força P, determinar as reações nas hastes para P = 4.200 kgf. Para a haste EF, tem-se: S = 1,5 cm2, L = 1 m e E = 2,1 x 106 kgf/cm2. Resposta: N1 = 1.200kgf N2 = 1.200kgf N3 = 1.800kgf A B 1 P C D 2 A B 1 P C D 2 F E 3 24 25) Verificar a estabilidade da estrutura abaixo. Barra E (kgf/cm2) S (cm2) L (m) Tensões admissíveis (kgf/cm2) 1 2 x 106 2 3 ± 1.000 2 2 x 106 1 3 ± 1.200 3 1 x 106 3 2 ± 1.400 Estática: barra horizontal N1 x 1 + N2 x 1 + N3 x 2 = 6.000 x 3 = 18.000 Deformações: como são 3 incógnitas, precisamos encontrar mais 2 equações envolvendo as forças N para resolvermos o sistema. ΔL1 / 1 = ΔL2 / 1 N1 = 2N2 ΔL1 / 1 = ΔL3 / 2 9N1 = 4N3 N1 = 3.000 σ1 = 1.500 (INSTÁVEL) N2 = 1.500 σ2 = 1.500 (INSTÁVEL) N3 = 6.750 σ3 = 2.250 (INSTÁVEL) 6 tf 3 1 2 1 m 1 m 1 m 1 m 25 26) Na estrutura abaixo, a peça ABDFH é suposta absolutamente rígida, sendo as hastes BC, DE e FG deformáveis. Determinar P máximo. Haste E (kgf/cm2) S (cm2) L (cm) Tensões admissíveis (kgf/cm2) BC 2,0 x 106 3 100 ± 1.000 DE 1,8 x 106 2 180 ± 800 FG 1,5 x 106 2 150 ± 600 Resposta: P máximo = 2.666 kgf 27) Sobre a estrutura, sabe-se que a peça ABCD é perfeitamente rígida, sendo as barras 1, 2 e 3 deformáveis. Determinar o maior valor possível de x (x ≤ 200 cm). Barra E (kgf/cm2) S (cm2) L (cm) Tensões admissíveis (kgf/cm2) 1 2,1 x 106 2,4 210 ± 1.000 2 1,8 x 106 4,0 140 ± 900 3 2,0 x 106 1,8 210 ± 800 P E H 2 m 2 m 2 m 2 m A B C D G F 26 Resposta: x máximo = 144 cm 28) A peça ABCD é suposta sem peso e é perfeitamente rígida. Está articulada em A a uma rótula indeslocável e em C à extremidade inferior de um tirante vertical CE, cujas características são: S = 2 cm2, L = 2 m, E = 2 x 106 kgf/cm2 e μ = 0,25. Determinar: O valor de P capaz de provocar uma redução de 3 x 10-4 cm2 na seção reta do tirante. Resposta: 800 kgf A seção reta que deverá ter uma coluna vertical bi-articulada em B e F, de mesmo material do tirante, para que o alongamento deste seja reduzido à metade do que ocorria antes da montagem da coluna, para uma mesma intensidade de P. 6.300 kgf 1 2 3 1 m 1 m 2 m x A B F C D E G P E 1 m 1 m 1 m A B F C D 1 m 27 Resposta: 4 cm2 29) As barras A e B são consideradas indeformáveis. Os tirantes 1 e 2, deformáveis, possuem as características abaixo. As barras são todas consideradas sem peso. Determinar, quando a carga P, estática, atingir o valor de 1.600 kgf: As tensões normais nas barras 1 e 2 Resposta: σ1 = 1.200 (Tração) e σ2 = 1.200 (Tração) O deslocamento do ponto C Resposta: 0,092 cm O potencial elástico acumulado em toda a estrutura Resposta: 73 kgf. cm Supondo que as tensões normais admissíveis das duas barras tenham sido fixadas com segurança 3, verificar se em alguma barra essa segurança foi reduzida e para quanto Resposta: segurança na barra 1 = 1,5 Segurança na barra 2 = 2,25 O maior valor de P sem afetar a segurança de nenhuma barra Resposta: 800 kgf Barra S (cm2) L (cm) E (kgf/cm2) Tensões admissíveis (kgf/cm2) 1 3 30 1,4 x 106 ± 600 2 2 40 2,1 x 106 ± 900 P E 2a A B F D 2a a 1 C C G 2 28 30) A peça ACB, suposta indeformável, pode girar, no plano da figura, em torno do pino fixo C, e está ligada às barras 1 e 2. A força P = 2.000 kgf é suposta estática. Sabe-se que a = 2b. Determinar: As reações em D e E, bem como a ação da barra ACB sobre o pino C O deslocamento vertical de A O potencial total armazenado na estrutura Barra S (cm2) L (cm) E (kgf/cm2) 1 3 120 2,0 x 106 2 2 80 2,0 x 106 Estática: barra AB V + N1 cos 30 = 2000 + N2 H = N1 sen 30 2000 . 2b = N2 b + N1 cos 30 . 2b 4000 = N2 + √3 N1 (Hiperestático) Deformações: (ΔL1 /cos 30) / a = ΔL2 / b N1 = √3 N2 N1 = 1.732 kgf N2 = 1.000 kgf 2 1 a b A C B P E 30º B’ A’ A’’ N1 N2 V H tração tração 29 V = 1.500 kgf H = 866 kgf ΔL1 = 0,034 cm ΔL2 = 0,020 cm δA = A A’ = ΔL1 /cos 30 = 0,04 cm W = 40 kgf.cm 31) Na estrutura plana da figura, suposta sem peso, os pontos A e D são indeslocáveis e a peça BCD é suficientemente rígida de forma a poder ser considerada indeformável. Ela está articulada em D e suspensa pelas barras 1 e 2, deformáveis, de mesmo material e de seções transversais S2 = 4 S1 = 4 cm2. Sabendo-se que a força P = 2.400kgf (estática) é aplicada, armazena-se na estrutura um potencial elástico total de 36 kgf.cm, determinar: Reações em A e D Resposta: H = 692 kgf e V = 400 kgf O módulo de elasticidade longitudinal (E) das duas barras. Resposta: E = 2 x 106 kgf/cm2 P a a 2a A B C D 1 2 60º 30º 1 m
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