Solução de Exercicios - Cap 5

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MECÂNICA DOS SÓLIDOS I 
 
PROF: EDUARDO MOURA LIMA 
 
CAPÍTULO 5 
 
Torção Simples 
 
Solução de Exercícios 
 
Observação: Referente ao capítulo VIII da apostila teórica 
 
Versão 01/02/2015 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
1) Determinar a tensão tangencial máxima ocorrente na peça cilíndrica 
sujeita ao momento torçor MT = 10.000 kgf.cm, tendo 1m de 
comprimento e diâmetro de 5 cm. Determinar, também, a rotação 
máxima e o DTT na seção do engaste. 
Dado: G = 1 x 106 kgf/cm2 
 
 
 
 
 
JP = π . 54/ 32 = 61,4 cm4 
τmax = (10000 x 2,5) / 61,4 = 407 kgf/cm2 
φmax = (10000 x 100) / (1 x 106 x 61,4) = 0,0163 rad 
 
 
2) Um eixo oco de aço tem 3 m de comprimento e transmite o 
momento torçor MT = 250 tf.cm. O valor de φ correspondente ao 
comprimento total do eixo não deve exceder 2,5º. A tensão 
tangencial admissível é τ = 840 kgf/cm2. Sendo G = 0,84 x 106 
kgf/cm2, quais os diâmetros externo e interno? 
 
 
 
 
 
2,5 º = 0,043 rad 
JP = π (D4 – d4) / 32 
L 
MT 
L 
MT 
d D 
DTT 
407 kgf/cm2 
3 
 
ϕmax = (250.000 x 300) / (0,84 x 106 x JP) = 0,043  JP = 2.076 cm4 
τmax = (250000 x (D/2)) / 2076 = 840  D = 13,95 cm 
JP = π (D4 – d4) / 32 = 2076  d = 11,37 cm 
 
3) Determinar o momento torçor máximo que pode ser aplicado ao 
eixo. 
Dados: φmáximo = 1º 
Cilindro 1 G = 0,35 x 106 kgf/cm2 
 Τ = 2.000 kgf/cm2 
Cilindro 2 G = 0,28 x 106 kgf/cm2 
 Τ = 3.100 kgf/cm2 
 Usar coeficiente de segurança (η) = 4,0 para os dois cilindros. 
 
 
 
 
 
φmax = 1º = 0,02 rad 
JP = π.64/32 = 127,2 cm4 
Estabilidade dos cilindros: 
 Cilindro 1: τmax = MT . 3 / 127,2 ≤ 2000/4  MT ≤ 21.200 kgf.cm 
 Cilindro 2: τmax = MT . 3 / 127,2 ≤ 3100/4  MT ≤ 32.860 kgf.cm 
φmax = (MT . 60)/(0,35 x 106 x 127,2) + (MT . 60)/(0,28 x 106 x 127,2) ≤ 0,02 
 MT ≤ 6.596 kgf.cm 
A resposta que satisfaz a todas as condições é MT ≤ 6.596 kgf.cm 
 
 
 
60 cm 
1 
6 cm 
MT 
2 
60 cm 
4 
 
4) Determinar MT máximo. 
Dados: φmáximo = 2º 
 G = 0,40 x 106 kgf/cm2 
Cilindro 1 Τ = 2.000 kgf/cm2 
 D = 6 cm (diâmetro) 
 G = 0,60 x 106 kgf/cm2 
Cilindro 2 Τ = 3.000 kgf/cm2 
 D = 4 cm (diâmetro) 
 Usar coeficiente de segurança (η) = 4,0 para os dois cilindros. 
 
 
 
 
 
φmax = 2º = 0,0349 rad 
JP1 = π.64/32 = 127,2 cm4 
JP2 = π.44/32 = 25,1 cm4 
Estabilidade dos cilindros: 
 Cilindro 1: τmax = MT . 3 / 127,2 ≤ 2000/4  MT ≤ 21.200 kgf.cm 
 Cilindro 2: τmax = MT . 2 / 25,1 ≤ 3000/4  MT ≤ 9.429 kgf.cm 
φmax = (MT . 100)/(0,4 x 106 x 127,2) + (MT . 60)/(0,6 x 106 x 25,1) ≤ 0,0349 
 MT ≤ 5.866 kgf.cm 
A resposta que satisfaz a todas as condições é MT ≤ 5.866 kgf.cm 
 
 
 
 
 
1 m 
1 
MT 
2 
0,6m 
5 
 
5) Determinar o coeficiente de segurança relativo às tensões 
tangenciais. Determinar, também, o φmáximo. 
Dados: D = 8 cm (diâmetro externo) d = 4 cm (diâmetro interno) 
 G = 2 x 106 kgf/cm2 
Cilindro 1 Τ = 900 kgf/cm2 
 L = 4 m 
 G = 1 x 106 kgf/cm2 
Cilindro 2 Τ = 900 kgf/cm2 
 L = 4 m 
 
 
 
 
 
 
Resposta: coeficiente de segurança do cilindro 1 = 1,7 
 coeficiente de segurança do cilindro 2 = 1,7 
 φmáximo = 0,0796 rad 
6) A tensão tangencial máxima despertada em toda a peça vale 256 
kgf/cm2. Determinar MT máximo e φmáximo, e traçar DTT nas seções A 
e C. 
Dados: G = 8 x 105 kgf/cm2 (para os dois cilindros) 
 
 
 
 
 
 
 4 m 
1 
50.000 kgf.cm 
2 
4 m 
40 cm 
1 
MT 
2 
60 cm 
2 cm 4 cm 
A B 
C 
6 
 
Resposta: MT = 3016 kgf/cm2 e φmáximo = 0,0156 rad 
7) Determinar as tensões tangenciais máximas nos trechos 1 e 2, para 
MT = 4.000 π kgf.cm. 
 
 
 
 
 
 
 Resposta: τmax1 = 1000 kgf/cm2 τmax2 = 1067 kgf/cm2 
 
8) Determinar as reações nos engastes, bem como a rotação máxima. 
Dados: 
 G = 1 x 106 kgf/cm2 
Cilindro 1 
 D = 4 cm (diâmetro) 
 G = 2 x 106 kgf/cm2 
Cilindro 2 
 D = 2 cm (diâmetro) 
 
 
 
 
 
JP1 = 8π JP2 = 0,5π 
Estática: T1 + T2 = 8.000 
Deformações angulares: φ1 = φ2  (T1 . 60) / (1 x 106 x 8π) = (T2 . 20) / (2 x 106 x 0,5π) 
40 cm 
1 
MT 
2 
60 cm 
2 cm 4 cm 
A B 
C 
60 cm 
1 2 
20 cm 
8.000 kgf.cm 
7 
 
 T1 = 8 T2 / 3 
T1 = 5820 kgf.cm 
T2 = 2180 kgf.cm 
φ1 = (5820 . 60) / (1 x 106 x 8π) = 0,0139 rad 
 
9) Determinar a tensão tangencial máxima e a rotação máxima. 
Dados: 
 G = 2 x 106 kgf/cm2 
Cilindro 1 
 D = 6 cm (diâmetro) 
 G = 1 x 106 kgf/cm2 
Cilindro 2 
 D = 4 cm (diâmetro) 
 
 
 
 
 
JP1 = π.64/32 = 127,2 cm4 
JP2 = π.44/32 = 25,1 cm4 
Estática: T1 + T2 = 50.000 
Deformações angulares: 
 φ1 = φ2  (T1 . 60) / (2 x 106 x 127,2) = (T2 . 30) / (1 x 106 x 25,1) 
 T1 = 81 T2 / 16 
T1 = 41.752,6 kgf.cm 
T2 = 8.247,4 kgf.cm 
φ1 = (41752,6 . 60) / (2 x 106 x 127,2) = 0,0098 rad 
τmax1 = 41752,6 x 3 / 127,2 = 984,5 kgf/cm2 
60 cm 
1 
30 cm 
50.000 kgf.cm 
2 
8 
 
τmax2 = 8247,4 x 2 / 25,1 = 656,3 kgf/cm2 
 
10) Determinar a tensão tangencial máxima. 
Dados: 
 G = 1 x 106 kgf/cm2 
Cilindro 1 
 D = 4 cm (diâmetro) 
 G = 2 x 106 kgf/cm2 
Cilindro 2 D = 4 cm (diâmetro externo) 
 d = 2 cm (diâmetro interno) 
 
 
 
 
 
JP1 = π.44/32 = 25,1 cm4 
JP2 = π.(44 – 24) /32 = 23,6 cm4 
Estática: T1 + T2 = 40.000 
Deformações angulares: 
 φ1 = φ2  (T1 . 50) / (1 x 106 x 25,1) = (T2 . 40) / (2 x 106 x 23,6) 
 T2 = 2,34 T1 
T1 = 11.976 kgf.cm 
T2 = 28.024 kgf.cm 
τmax1 = 11.976 x 2 / 25,1 = 953 kgf/cm2 
τmax2 = 28.024 x 2 / 23,6 = 2.378 kgf/cm2 
 
 
50 cm 
1 2 
40 cm 
40.000 kgf.cm 
9 
 
11) Determinar a e b para que as tensões tangenciais máximas 
ocorram com a mesma intensidade nos dois trechos cilíndricos. 
as reações nos engastes, bem como a rotação máxima. 
Dados: Diâmetro do cilindro 1 = 4 cm 
 Diâmetro do cilindro 2 = 2 cm 
 G1 = G2 
 
 
 
 
 
Fazer o mesmo exercício para o caso de a tensão tangencial máxima 
no trecho 1 ser o dobro da tensão tangencial máxima no trecho 2. 
JP1 = π.44/32 = 25,1 cm4 
JP2 = π. 24 /32 = 1,6 cm4 
Estática: MT1 + MT2 = MT 
Deformações angulares: 
 φ1 = φ2  (MT1 . a) / (G x 25,1) = (MT2 .b) / (G x 1,6) 
 MT1 . a = 16 MT2 .b (equação 1) 
Questão 1: τmax1 = τmax2 
 MT1 . 2 / 25,1 = MT2 . 1 / 1,6  MT1 = 8 MT2 
 Substituindo na equação 1: 8 MT2 . a = 16 MT2 .b  a = 2b 
 a = 40 cm b = 20 cm 
Questão 2: τmax1 = 2 .τmax2 
 MT1 . 2 / 25,1 = 2 MT2 . 1 / 1,6  MT1 = 16 MT2Substituindo na equação 1: 16 MT2 . a = 16 MT2 .b  a = b 
 a = 30 cm b = 30 cm 
 
 a 
1 2 
 b 
MT 
60 cm 
10 
 
12) Determinar o momento torçor em cada trecho 1, 2 e 3. O 
cilindro é feito de um único material. 
 
 
 
 
 
 
Ação de 60 kgf.cm: 
 T1 + T3 = 60 
 (T1 . 20) / (G JP) = (T3 . 80) / (G JP)  T1 = 4 T3 
 T1 =48 kgf.cm T3 = 12 kgf.cm 
Ação de 20 kgf.cm: 
 T’1 + T’3 = 20 
 (T’1 .50) / (G JP) = (T’3 . 50) / (G JP)  T’1 = T’3 
 T’1 =10 kgf.cm T’3 = 10 kgf.cm 
Trecho 1 : - 58 kgf.cm 
Trecho 2 : + 2 kgf.cm 
Trecho 3 : +22 kgf.cm 
13) Determinar as reações nas paredes. O cilindro é feito de um 
único material. 
 
 
 
 
 
20 cm 
1 2 
30 cm 
60 kgf.cm 
3 
20 kgf.cm 
50 cm 
20 cm 
1 2 
40 cm 
2.000 kgf.cm 8.000 kgf.cm 
20 cm 
3 
11 
 
14) Determinar a e b para que as tensão tangencial máxima em 1 
seja igual ao dobro da tensão tangencial máxima em 2. 
 G = 1 x 106 kgf/cm2 
Cilindro 1 D = 5 cm (diâmetro externo) 
 d = 1 cm (diâmetro interno) 
 G = 2 x 106 kgf/cm2 
Cilindro 2 
 D = 2 cm (diâmetro) 
 
 
 
 
 
 
 
15) Calcular MT máximo. 
Dados: 
 G = 1 x 106 kgf/cm2 
Cilindro 1 Τ = 500 kgf/cm2 
 D = 6 cm (diâmetro externo) 
 d = 2 cm (diâmetro interno) 
 G = 2 x 106 kgf/cm2 
Cilindro 2 Τ = 700 kgf/cm2 
 D = 4 m (diâmetro) 
 
 
 
 
 
 a 
1 
2 
 b 
52 cm 
MT 
 30 cm 
1 
2 
 60 cm 
MT