MECÂNICA DOS SÓLIDOS I - Teoria

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MECÂNICA DOS SÓLIDOS I 
(RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I) 
 
 
Bibliografia: 
 Ferdinand Beer, E. Russel Johnston – Resistência dos Materiais 
 Timoshenko – Mecânica dos Sólidos 
 William Nash – Resistência dos Materiais 
 Vladimir Arrivabene – Resistência dos Materiais 
 
 
 
 
 
 
 
Professor: Eduardo Moura Lima 
Versão 01/02/2015 
 
2 
 
Cap I: Conceitos Fundamentais 
Exercícios relacionados: Capítulo 1 da Lista de Exercícios 
1. Definição de Resistência dos Materiais: 
A Resistência dos Materiais (Mecânica dos Sólidos) é a ciência que estuda 
os materiais quanto à sua rigidez e resistência, quando de seu uso nas 
estruturas. Para dimensionarmos qualquer tipo de estrutura, não levamos 
em consideração somente a Mecânica, e sim, principalmente, a 
Resistência do Material a ser empregado. 
 
 Mecânica  materiais rígidos (ideais) 
 Resistência dos Materiais  materiais deformáveis (reais) 
 
 Real Ideal 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Hipóteses simplificadoras 
Coeficiente de segurança 
3 
 
 
2. Hipóteses Simplificadoras: 
a. Continuidade: os materiais serão considerados maciços, não 
se levando em consideração a descontinuidade da matéria. 
b. Homogeneidade: os materiais terão propriedades idênticas 
em todos os pontos. 
c. Isotropia: os materiais terão propriedades idênticas em todas 
as direções. 
 
 
3. Princípios Fundamentais: 
a. Superposição de cargas: o efeito da ação conjunta em um só 
corpo é igual ao somatório dos efeitos das ações parciais. 
b. Saint-Vennant: é possível substituir um sistema de forças por 
outro, estaticamente equivalente, significando maior 
simplificação nos cálculos. 
 
4. Tipos de Carregamento: 
a. Carga concentrada: 
 
 
 
b. Carga uniformemente distribuída: 
 
 
 
 
c. Carga momento: 
 
F 
L 
q 
| 
M 
4 
 
 
 
5. Tipos de Apoios: 
a. 1º gênero (Charriot): 
 
 
 
 
b. 2º gênero (Rótula): 
 
 
 
 OU 
 
 
 
c. 3º gênero (Engaste): 
 
 
 
 
 
 
 
 
F 
V 
F 
V 
H 
F 
H 
V 
H 
F 
V 
M 
5 
 
 
6. Classificação dos Esforços: 
 Ativos – Dados 
Exteriores 
 Reativos – Calculados pelas equações de Equilíbrio dos 
 Corpos (ΣFX , ΣFY , ΣMP) 
 Solicitantes – são os esforços atuantes em cada 
 ponto do corpo. Dependem dos 
Interiores esforços exteriores (são calculados). 
 Resistentes – são os maiores esforços que podem 
 ocorrer nos pontos. Dependem do material 
 (são buscados em tabelas). 
Condição de estabilidade: 
 Esforços solicitantes ≤ Esforços resistentes para todos os 
 pontos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
 
7. Cálculo dos Esforços Solicitantes (na seção reta S): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Corpo em equilíbrio 
Forças F1 , F2 , F3 ...... F8 – esforços exteriores (ativos ou reativos) 
 
O corpo é separado em duas partes, na seção S: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
F1 
F2 
F3 
F4 
F5 
F6 
F7 
F8 
S 
F1 
F2 
F3 
S 
F4 
F5 
F6 
F7 
F8 
S 
R 
R 
R 
V 
CG
G 
7 
 
 
R = resultante das forças F1 , F2 e F3 OU F4 , F5 , F6 , F7 e F8 
(tanto faz, pois o corpo está equilibrado) 
 
Ação da carga R (no bloco da direita): 
Observação: O detalhamento das cargas, na figura, será apenas 
representado no bloco da direita. No bloco da esquerda, a ação será 
exatamente igual na direção, com sentido contrário. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Faremos a decomposição da força R em 3 direções ortogonais: Q1 , Q2 e 
N. 
 
 
 
 
 Vista de A Vista de B 
 
S 
F4 
F5 
F6 
F7 
F8 
R 
Q1 
Q2 
N 
Vista A 
Vista B 
CG
G 
CG
G 
Q1 
Q2 X N 
N 
Q1 
X 
Q2 
8 
 
Q1 e Q2 - esforços cortantes (forças paralelas à seção) 
N – esforço normal (forças perpendiculares à seção) 
 
Ação do momento V (no bloco da direita): 
Observação: O detalhamento das cargas, na figura, será apenas 
representado no bloco da direita. No bloco da esquerda, a ação será 
exatamente igual na direção, com sentido contrário. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Faremos a decomposição do momento M em 3 direções ortogonais: M1 , 
M2 e T. 
 
 
 
 
 Vista de A Vista de B 
 
Vista A 
Vista B 
F4 
F5 
F6 
F7 
F8 
V 
S 
CG
G 
M1 
M2 
T 
CGT M1 
M2 
T 
X M1 
M2 
9 
 
M1 e M2 - momentos fletores (giro de uma seção em torno de um eixo 
colocado no plano da própria seção) 
T – momento torçor (giro de uma seção em torno de um eixo 
perpendicular à seção). 
 
Conclusão: 
Os esforços solicitantes são: 
 Esforço Normal 
 Esforço Cortante 
 Momento Fletor 
 Momento Torçor 
 
Como calculá-los? 
Para calcular os esforços solicitantes em uma determinada seção: 
 Selecionar a partir de que lado da seção os esforços serão 
calculados (como o corpo está equilibrado, o cálculo feito por um 
lado será igual ao feito pelo outro lado) 
 Para cada carga existente no lado escolhido, calcular o valor do 
esforço solicitante na seção (N, Q, M ou T), atribuindo-lhe um sinal 
conforme a convenção de sinais a seguir. O somatório dos valores 
calculados será o valor do esforço solicitante na seção. 
 
 
 
 
 
 
10 
 
 Convenção de Sinais 
 + - 
 N: 
 
 Q: 
 
 M: 
 
 T: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
 
Cap II: Isostática 
Exercícios relacionados: Capítulo 1 da Lista de Exercícios 
Objetivo: Traçado dos diagramas dos esforços solicitantes (N, Q, M e T) 
Faremos o estudo em cima de 3 carregamentos simples. Os resultados 
encontrados serão generalizados para carregamentos mais complexos. 
Observação: Para simplificação do estudo, inicialmente colocaremos todas 
as cargas em um plano vertical (plano solicitante), que estará passando 
sobre o eixo da barra. Assim, estaremos eliminando os momentos 
torçores, que serão estudados num capítulo à parte (Torção Simples): 
1. Carga concentrada: 
 Σ FX = 0  HB = 0 
 Σ FY = 0  VA + VB = PΣ MB = 0  
 VA . (a + b) = P.b 
 VA = P.b / (a + b) VB = P.a / (a + b) 
 
 MS = VA . x  equação da reta 
 
 
 
Conclusões: 
 
 Todos os diagramas começam e terminam em ZERO 
 
 
P 
VA 
VB 
HB 
a b 
DEC 
DMF 
+ 
- 
VA 
- VB 
+ 
VA . a = VB .b 
 | 
x S 
P 
12 
 
 
a. Em trechos sem carga: 
 DEC é constante 
 DMF é reta qualquer 
b. Carga concentrada = P provoca: 
 No DEC: descontinuidade (“degrau”) = P 
 No DMF: discordância (“bico”) 
 
2. Carga uniformemente distribuída: 
 Σ FX = 0  HB = 0 
 Σ FY = 0  VA + VB = qL 
 Σ MB = 0  
 VA . L = qL2 / 2 
 VA = VB = qL/2 
 QS = qL/2 – qx  reta 
 MS = qL/2. X – qx2 / 2  
 parábola 2º grau 
 máximo: dM/dx = qL/2 – qx = 0 
  Q = dM/dx 
  x = L/2  Mmáx = qL2 / 8 
 
Conclusões: 
c. Em trechos de carga uniformemente distribuída: 
 DEC é reta qualquer 
 DMF é parábola do 2º grau, com fmédio = qL2 / 8 
d. Q = dM/dx 
 
 | 
S 
x 
q 
VA VB 
HB 
L 
DEC 
DMF 
qL/2 
- qL/2 
+ 
- 
+ 
13 
 
3. Carga momento: 
 Σ FX = 0  HB = 0 
 Σ FY = 0  VA + VB = 0 
 Σ MB = 0  
 VA . (a + b) – M = 0  
 VA = M /(a + b) = - VB 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Conclusões: 
e. Em trechos de carga momento M: 
 DEC não se altera 
 DMF apresenta descontinuidade (“degrau”) = M 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 | 
M 
a b 
VA 
VB 
DEC 
VA + 
DMF 
- 
+ 
VA . a 
-VB. b 
M 
14 
 
Cap III: Solicitação Axial (Tração e Compressão) 
Exercícios relacionados: Capítulo 2 da Lista de Exercícios 
 
 N – força estática 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Deformações lineares: 
Longitudinal: ε = ΔL/L  deformação unitária longitudinal 
 
Transversal : ε’= Δa/a = Δb/b = .....  deformação unitária 
transversal 
 
ε x ε’ : ε’ = -μ ε (equação empírica), onde μ – é o coeficiente 
de Poisson do material (tabelado) 
 
2. Deformações elásticas x Deformações plásticas (ou residuais) 
 
 
 
 
N N 
L a 
b Si 
N N Sf 
L + ΔL a - Δa 
b - Δb 
A B C D 
Def.total – BD 
Def.plástica – BC 
Def.elástica - CD 
15 
 
3. Tensões: 
 
 
 
 
σ = FN / S (tensão normal) (letra grega sigma) 
τ = FT / S (tensão tangencial) (letra grega tau) 
 
4. Relação entre σ e ε: 
Do ensaio de tração: 
Nos instantes 1, 2 etc: 
 N1  σ1 e ΔL1  ε1 
 N2  σ2 e ΔL2  ε2 
 
Equação da reta: σ = E ε (lei de Hooke), onde E = tg θ 
 E  módulo de elasticidade longitudinal do material (ou Young) 
Veremos o estudo do gráfico completo no item 9. 
5. Cálculo de ΔL: 
 
σ = E ε 
ε = ΔL/L N/S = E ΔL/L  ΔL = NL / ES 
σ = N/S 
 
 
 
FT - força tangencial S 
FN - força normal 
σ 
ε 
reta 
θ 
F 
16 
 
6. Deformações superficiais: 
 
 
 
 
 
 
εS = ΔS / Si = (Sf - Si ) / Si = 
 = ((a + Δa)(b + Δb) - ab) / ab = (ab + a Δb + b Δa + Δa. Δb – ab) / ab = 
= (a Δb + b Δa) / ab = Δb/b + Δa/a = ε’ + ε’ = 2 ε’ = -2 µ ε 
εS = ΔS / S = -2 µ ε 
 
7. Deformações volumétricas: 
εV = ΔV / V = (1 - 2 µ) ε 
 
8. Potencial elástico acumulado (Energia de deformação) 
 
 
 
 
 
Como estamos trabalhando com força estática, o trabalho executado pela 
força que deforma uma barra, na solicitação axial (Potencial elástico 
acumulado ou Energia de deformação) é: W = N.ΔL / 2 
Si 
Sf 
a 
b 
a + Δa 
b + Δb 
0 
F F 
d d 
Força dinâmica Força estática 
W = F . d W =(F . d) / 2 
17 
 
9. Diagrama de tensões (σ) x deformações (ε) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Trecho 0-1: retilíneo  σ = E ε (lei de Hooke) 
 σ em 1 : limite de proporcionalidade (σP) 
Trecho 0-2: até 2, existem somente deformações elásticas. A partir de 2, 
começam a surgir as deformações plásticas 
 σ em 2 : limite de elasticidade (σE) 
 σE ≈ σP 
Trecho 3-4: patamar de escoamento 
σ em 3 : limite de escoamento superior (σS) 
σ em 4 : limite de escoamento inferior (σi) 
Em 5: início da da ruptura 
σ em 5 : limite de resistência (σR) 
 
 
 
σ 
ε X 
X 
X 
X 
X 
X 
1 
0 
2 
3 
4 
5 
18 
 
10. Barras rotuladas: 
 
 
 
 
 
 
Em ambos os casos, há um alinhamento da barra ou do fio com a 
força. Tanto o fio como a barra só recebem esforços normais. 
 
Assim sendo, podemos afirmar que, no caso abaixo, todas as barras 
só recebem esforços normais (as forças atuam apenas nos nós das 
barras). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
F F 
Fio 
Barra 
Não pode 
19 
 
11. Efeito da temperatura: 
 
 
 
 
 
A barra de comprimento L, engastada entre duas paredes, recebe 
um aquecimento de ΔT. Quais as reações que surgem nas paredes? 
Dados: E, L, ΔT, S e α (coeficiente de dilatação linear do material) 
Caso não houvesse a parede à direita, a barra sofreria uma dilatação 
de ΔL T = L. α . ΔT. 
Como existe a parede, ela exerce uma força sobre a barra que seria 
responsável pela deformação da barra dilatada, fazendo-a voltar ao 
seu tamanho original: 
 ΔL (pela ação da força) = N (L + ΔL T ) / ES = ΔL T = L. α . ΔT 
N = E.S. α . ΔT 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
L 
N 
0 
20 
 
Cap IV: Corte 
Exercícios relacionados: Capítulo 3 da Lista de Exercícios 
Quando atua somente o esforço cortante, ou quando atua também 
o momento fletor, mas este pode ser desprezado. 
 
 M e Q 
 
1. Juntas rebitadas: 
 Diâmetro dos rebites: φ 
 
 
 
 
 
 
 
 
a. Corte nos rebites: 
Força atuante em cada seção de corte: 
Força total na barra/nºseções de corte 
 
Área de corte: πφ2 / 4 
 
 
2 
1 
d1 d2 
A B C 
e1 
e2 
e2 
1 
2 
2 
P 
P/2 
P/2 
Seções de corte 
Força de corte 
21 
 
Barra 1: τ = (P/12) / (πφ2 / 4 ) ≤ τ 
Barra 2: τ = (P/2/6) /(πφ2 / 4 ) ≤ τ 
 
b. Esmagamento das chapas: 
 
 
 
 
 
 
 
Para facilidade nos cálculos, e a favor da segurança (trabalharemos com 
área menor), a área de esmagamento será a área rebatida no plano 
(pontilhada na figura – um retângulo). 
Força atuante em cada seção de esmagamento: Força total na barra / nº 
seções de esmagamento 
Área de esmagamento: área rebatida do rebite (ou do furo) na barra 
 
Barra 1: σE = (P/6) / (φ.e1 ) ≤ σE1 
Barra 2: σE = (P/2/6) / (φ.e2 ) ≤ σE2 
 
c. Tração nas chapas: 
Força atuante em cada seção tracionada: força atuante na fileira A, 
B ou C (fileira de rebites) 
 Área sujeita à tração: área útil em cada barra (sem os furos) nas 
fileiras A, B e C. 
Vista de cima 
Furo na chapa Rebite Áreas de esmagamento 
22 
 
Barra 1: 
 Seção A: σA = P / ((d1 - φ).e1 ) ≤ σT1 
Seção B: σB = (P – P/6) / ((d1 - 2φ).e1 ) ≤ σT1 
Seção C: σC = (P – 3P/6) / ((d1 - 3φ).e1 ) ≤ σT1 
 Há necessidade de se calcular nas 3 seções, pois à medida que a 
força diminui, a área diminui  a área crítica precisa ser calculada 
Barra 2: 
 Seção C: σC = (P/2) / ((d2 - 3φ).e2 ) ≤ σT2 
 Nas seções A e B, a força atuante é menor e a seção reta é maior  
seção C é a crítica 
 
d. Arrancamento nas chapas: garantido pelos espaçamentos 
mínimos entre os rebites. 
 
 
 
2. Ligações soldadas: 
 
a. Solda de topo: 
 
 
 
N / S ≤ σT(solda) 
 
 
N N 
S 
23 
 
b. Cordão de solda: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Carga centrada: 
 F1 = F2 = F/2 
 (F/2)/(mL) = 
 (F/2)/(t√ଶ
ଶ
.L) ≤ τ 
 Lnec ≥ F / (t√2. τ) 
 Ltotal = 2 Lnec 
 
Carga não centrada: 
 
 
 
 
 
 
 
 
N N 
t 
t 
m 
Área a ser cisalhada 
m = t √ଶ
ଶ
 
F 
F1 
F2 
L 
L 
L1 
L2 
F1 
F 
F2 
e1 
e2 
24 
 
F1 + F2 = F F1 = ( F. e2 ) / (e1 + e2 ) 
F1 . (e1 + e2 ) = F. e2 F2 = ( F. e1 ) / (e1 + e2 ) 
 
 τ = F / (t√ଶ
ଶ
.L)  L = F / (t√ଶ
ଶ
. τ ) 
L1 + L2 = L 
 τ = F1 / (t
√ଶ
ଶ
.L1)  L1 = F1 / (t
√ଶ
ଶ
. τ ) = (F . e2 ) /((e1 + e2 ) (t
√ଶ
ଶ
. τ )  
 L1 = (L. e2 ) / (e1 + e2 ) 
 
 τ = F2 / (t
√ଶ
ଶ
.L2)  L2 = F2 / (t
√ଶ
ଶ
. τ ) = (F . e1 ) /((e1 + e2 ) (t
√ଶ
ଶ
. τ )  
 L2 = (L. e1 ) / (e1 + e2 ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25 
 
Cap V: Geometria das Áreas 
(Revisão) 
1. Momento estático: 
a. de uma superfície em relação a um eixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Definição: M x = y dS = y. S 
 
 M y = x dS = x. S 
 
b. de uma superfície composta em relação a um eixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
M x (total) = M x (seção 1) + M x (seção 2) 
 
(S1 + S2 ) . y = S1 . y1 + S2 . y2  y = Σ M x / Σ S 
 
 
y 
x 
S 
X 
CG 
 
x 
 
y 
dS 
 
x 
y ρ 
Figura 1 
y 
x 
S1 
S2 
CG1 
 
x1 
 
y1 
CG2 
 
x2 
 
y2 
CG 
 
x 
 
y 
26 
 
2. Momento de inércia: 
a. de uma superfície em relação a um eixo (figura 1): 
Definição: Jx = y2 dS 
 
 Jy = x2 dS 
 
b. de uma superfície composta em relação a um eixo: 
Jx (total) = Jx (seção 1) + Jx (seção 2) 
 
 
3. Momento de inércia polar: 
a. de uma superfície em relação a um eixo (figura 1): 
Definição: JP = ρ2 . dS = (x2 + y2 ) dS = 
 
 = x2 dS + y2 dS = Jx + Jy 
 
b. de uma superfície composta em relação a um eixo: 
JP (total) = JP (seção 1) + JP (seção 2) 
 
4. Translação de eixos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
JCG = y2 dS 
 
J// = (y + a)2 dS = (y2 + 2 a y + a2 ) dS = 
 
 = y2 dS + 2a y dS + a2 dS  
 
J// = JCG + a2 S Teorema de Steiner 
S 
CG XCG 
X// 
dS 
y 
a 
0 
27 
 
5. Momento de inércia do retângulo: 
 
 
dS = b.dy 
 
 Jx1 = y2 dS = y2 b.dy = 
 
 = b. y2 dy = b.y3 /3 
= 
 
 Jx1 = b.h3 /3 
 
 
 
 Jx = y2 dS = b.y3 /3 
 
 
 Jx = b.h3 /12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
X1 
 
b 
h 
dS 
dy 
y 
y 
h 
b 
X 
dS 
y 
y 
h h 
h h 0 
0 
0 
0 
+h/2 
-h/2 
+h/2 
-h/2 
28 
 
Cap VI: Flexão Reta Simples 
Exercícios relacionados: Capítulo 4 da Lista de Exercícios 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Todas as cargas estão num plano vertical (Plano Solicitante),que 
passa pelo eixo da barra. Nenhuma das cargas tem projeção 
horizontal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A interseção do Plano Solicitante com o plano da seção reta em 
estudo recebe o nome de Eixo Solicitante (ES). 
 
Conceituação: 
 Observe que o tipo de carregamento definido só implica na 
existência de Q e M (não existem N nem T) Flexão Simples 
Plano das Cargas (Solicitante) 
CG 
Plano Neutro 
Eixo da barra a a' 
b 
c 
b' 
c' 
Vista B 
Vista A 
Vista de B 
Eixo Solicitante 
Seção Reta 
Linha Neutra CG 
Figura 1 
29 
 
Flexão Simples: somente Q e M 
 
A flexão será reta quando o Eixo Solicitante coincidir com um dos 2 
eixos centrais principais de inércia da seção: 
Flexão Reta: ES coincide com um dos 2 eixos centrais principais de inércia 
 
Vista de A : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 aa' – sofreu encurtamento (compressão) 
 bb' – praticamente não sofre variação de tamanho – tensão nula – faz 
parte de uma região neutra – Plano Neutro 
 cc' – sofreu alongamento (tração) 
a 
b 
c 
a' 
b' 
c' 
a a' 
b b' 
c c' 
dθ 
ρ 
y 
x x dθ/2 
30 
 
 Fibra cc’: 
 Y – distância da fibra à LN 
 ρ – raio de giração da região neutra 
Є = ΔL / L: 
 ΔL = 2.x = 2.y. dθ/2 = y. dθ Є = (y. dθ)/( ρ. dθ) Є = y/ ρ 
 L = ρ. dθ 
Como σ = E Є (Lei de Hooke)  σ = E. y/ ρ 
 
Estudo de uma seção S: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Condições de equilíbrio da seção S: 
 Σ Fz = 0  σ. dS = 0  (E. y/ ρ). dS = (E / ρ) y.dS = 0 
 y.dS = 0 
 
 momento estático da seção S em relação ao eixo x (LN) 
 
ES (y) 
LN (x) 
z 
CG 
σ.dS 
dS 
y 
x 
Q 
M 
Seção S 
P (ponto) 
Figura 2 
31 
 
Quando o momento estático de uma seção em relação a um eixo é 
ZERO, então o eixo passa pelo CG da seção. Como o eixo x é a LN  
 LN passa pelo CG 
 
 Σ My = 0  σ. dS. x = 0  (E. y/ ρ). dS . x = (E /ρ) xy dS = 0 
 x.y.dS = 0  o produto de inércia da seção em relação aos 
eixos x e y é nulo  
x (LN) e y (ES) são eixos centrais principais de inércia da seção 
(eixos conjugados da elipse central de inércia da seção) 
 
 Σ Mx = 0  M - σ. dS. y = 0  (E. y/ ρ). dS . y = 
 
(E /ρ) y2 dS = M 
 
 JLN 
 M = (E /ρ) . JLN 
 σ = E. y/ ρ σ = (M. y) / JLN 
 
 Com a equação acima, podemos determinar a tensão normal num 
ponto qualquer P, pertencente a uma seção S (vide figura 2), onde: 
σ – tensão normal atuante no ponto P, da seção S 
 M – momento fletor atuante na seção S 
 Y – distância do ponto P à LN 
 JLN – momento de inércia da seção S em relação à LN 
 
 
32 
 
 Sinal da tensão σ : 
 No exemplo apresentado na figura 1, observamos que os pontos 
acima da região neutra são comprimidos, e os que estão abaixo, 
tracionados. Isto ocorre porque a barra faz uma “barriga” para baixo. A 
forma que a barra toma pela aplicação da carga é chamada de linha 
elástica (será estudada no próximo capítulo). Se pudermos observar 
claramente a elástica, como no exemplo, conseguimos identificar onde 
ocorrem atração e a compressão. No entanto, nem sempre é simples 
identificar a elástica. Saberemos a resposta através do momento fletor. 
 
 
 
 
 
 
 Observe que, embora sejam coisas completamente diferentes, as 
concavidades da elástica e do DMF são semelhantes. Assim, se 
soubermos o sinal do Momento Fletor, poderemos saber o sinal da tensão 
normal. 
 M +  
 
 M -  
 
 
 
 
 
Linha elástica 
DMF DMF 
+ 
- 
C 
C 
T 
T 
C 
T 
C 
T 
33 
 
Diagrama das Tensões Normais (DTN): 
Analisemos a equação de tensões normais deduzida anteriormente: 
 σ = (M. y) / JLN 
 
Estudando as tensões normais nos pontos de uma única seção reta, 
verificamos que os valores de M e JLN são iguais para todos os pontos, e 
somente y varia de acordo com o ponto. Então, a equação acima é 
representada por uma reta, por se tratar de uma função linear. 
Por isso, o diagrama que representa a distribuição das tensões normais ao 
longo de uma seção é representado por uma reta. 
 
 Os sinais + ou – dependerão do sinal 
 do Momento Fletor, conforme 
 analisado no parágrafo anterior. 
 
 
 
Tensões Normais Máximas numa seção: 
 Sendo os valores de M e JLN iguais para o cálculo das tensões normais em 
todos os pontos de uma seção, e y sendo variável, observamos que as 
maiores tensões normais ocorrerão nos pontos mais distantes da LN, 
como confirma o traçado do DTN, acima. 
 
E onde ocorrerão as maiores tensões normais, de tração e compressão, 
numa estrutura qualquer? Como calcular? 
 
 
Seção reta DTN 
LN 
+ ou - 
- ou + 
34 
 
Tensões Tangenciais 
 Acabamos de verificar que o momento fletor M é o responsável pelo 
surgimento de tensões normais em um ponto. Como estamos estudando a 
flexão reta simples (M e Q), veremos agora o que ocorre pela ação do Q. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 M2 = M1 + dM 
 
σ1 = (M1 . y) / JLN  N1 = σ1 . dS = (M1 . y.dS) / JLN 
 
σ2 = (M2 . y) / JLN  N2 = σ2. .dS= (M2 . y.dS) / JLN = 
 
 = ((M1 + dM).y.dS) / JLN = (M1 . y.dS) / JLN + (dM.y.dS)/ JLN 
 
P 
N1 N2 
N3 
dz 
2 1 
b 
h y0 
dz 
N2 N1 
b 
 
 
 h/2 
 y0 
 
 
 
 h/2 
 y0 
 
 
 
 h/2 
 y0 
 
 
 
 h/2 
 y0 
 
 
 
 h/2 
 y0h/2 
 y0 
 
 
 
 h/2 
 y0 
 
N1 
35 
 
 N2 = N1 + (dM.y.dS)/ JLN 
 
 
 
N3 = (dM.y.dS)/ JLN τ. bdz = (dM.y.dS)/ JLN 
 
τ = N3 / (bdz) τ = ((1 / b. JLN)) . (dM/dz). y.dS 
 
 
τ = (Q M LN ) / (b. JLN ) , onde: 
 
τ – tensão tangencial no ponto P de uma seção S 
Q – esforço cortante na seção S 
M LN – momento estático, em relação à LN, da área delimitada entre a 
horizontal que passa no ponto P e a extremidade adjacente 
b – espessura útil da seção reta na altura do ponto P 
 JLN – momento de inércia da seção S em relação à LN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 h/2 
 y0 
 
N3 - surgirá pela ação das fibras abaixo do bloco (força tangencial) 
 
 
 h/2 
 y0 
 
 
 
 h/2 
 y0 
 
 
 
 h/2 
 y0 
 
36 
 
Diagrama das Tensões Tangenciais na seção (DTT): 
Seção retangular: 
 
 
 
 
 
τ = (Q M LN ) / (b. JLN ) 
JLN = (b.h3 ) / 12 
M LN = b . (h/2 - y). (y + ((h/2 – y) / 2))  parábola do 2º grau 
 
Onde ocorrem as maiores tensões tangenciais nas seções abaixo? 
 
 
 
 
 
 
 
E onde ocorrerão as maiores tensões tangenciais numa estrutura 
qualquer? Como calcular? 
 
 
 
h 
b 
x P 
y 
LN 
DTT 
 
LN 
LN 
37 
 
Cap VII: Flexão Reta Simples – Linha Elástica 
Exercícios relacionados: Capítulo 4 da Lista de Exercícios 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y – flecha – deslocamento vertical 
 - o deslocamento horizontal é desprezível 
Θ – rotação 
 
Objetivos: Obtenção das equações: 
 y = f(x) – equação da linha elástica 
 y’ = f’ (x) = tg Θ ≈ Θ - equação das rotações 
 
 
 
 
 
x 
Reta horizontal 
Reta tangente à elástica 
Reta normal à elástica 
Reta vertical 
y 
θ 
θ 
38 
 
Є = y/ ρ (do estudo da Flexão Reta Simples) 
σ = (M. y) / JLN (Idem) 
 σ = E . Є (Lei de Hooke) 
 
 
(M. y) / JLN = E y/ ρ  ρ = (E . JLN ) / M 
Da Matemática: 
 ρ = ((1 + (y’)2 )3/2 ) / y’’ 
 Como y’ = Θ  (y’)2 << 1  ρ = 1 / y’’ 
 
1 / y’’ = (E . JLN ) / M  E . JLN . y’’ = M (equação diferencial da elástica) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
39 
 
Cap VIII: Torção Simples 
Exercícios relacionados: Capítulo 5 da Lista de Exercícios 
 
O estudo que faremos será para peças cilíndricas (ocas ou maciças). 
 
 
 
 
 
 
Dizemos que a barra está torcida quando as ações exercidas de um lado 
de uma seção em estudo dão lugar a um conjugado contido no plano da 
seção. 
Podemos representá-lo como: 
 Consideramos como positivo quando o 
 vetor “sair” da seção (mão direita). 
 
 
Quando temos apenas ocorrendo o momento torçor na seção, dizemos 
existir TORÇÃO SIMPLES. 
Na torção o comportamento das peças depende da forma de sua seção 
transversal, sendo feito para cada tipo de seção transversal um estudo 
conveniente. Nosso objetivo será o estudo das peças cujas seções 
transversais sejam circulares ou coroas circulares. 
A Resistência dos materiais chega aresultados exatos somente para tais 
seções. 
 
 
. 
X 
40 
 
Diagrama dos Momentos Torçores (DMT): 
Traçado a partir dos mesmos conceitos do DEN, DEC e DMF, usando a 
convenção definida no Capítulo I. 
 
Cálculo das tensões nas barras de seção circular: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Após o ensaio, observamos que a rede retangular se transforma em rede 
de paralelogramos. Isto indica que nas seções transversais da barra 
existem tensões de cisalhamento (tangenciais). 
Observamos, ainda, que as distâncias entre as circunferências que 
representam as seções transversais não variam e nem se modifica o 
comprimento da peça, logo não existe tensão normal. 
O diâmetro EF gira de φ relativamente á posição E’F’, permanecendo 
reto. 
 
 
 
. 
x 
E 
F 
E 
F 
E’ 
F’ 
φ 
x 
. 
41 
 
 
 
 
 
 γ. dz = ρ . dφ  γ = (ρ . dφ) / dz 
 Lei de Hooke: σ = E . Є  τ = G . γ (por analogia) 
 
 τ = G . (ρ . dφ) / dz (1) 
Analisando somente um dos lados da peça: 
 
 
 
 
Σ Mz = 0  τ . ρ. dS = MT  MT = G . (ρ2 . dφ.dS) / dz = 
 = G. (dφ / dz) ρ2 .dS = G. (dφ / dz). JP 
 dφ / dz = MT / (G. JP ) (2) 
(1) E (2): τ = G. ρ . MT / (G. JP )  τ = (MT . ρ) / JP 
De (2): dφ = (MT . dz) / (G. JP )  φ = (MT / (G. JP )) dz 
 
 φ = (MT .z) / (G. JP ) (radianos) 
 
 
 
 
 
dz 
γ dφ 
ρ 
módulo de elasticidade transversal deformação unitária angular 
 
z 
MT 
ρ 
τ dS 
42 
 
Diagrama de tensões tangenciais (DTT): 
 
 
 
 
 DTT 
JP = (π D4 ) / 32 
 
 
 
 
 
 JP = (π (D4 – d4 )) / 32