Apostila Estruturas em Trelica

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UNIVERSIDADE FUMEC - FEA
 
Estruturas
em Treliça
Prof. Eduardo Mesquita
- 2006 -
ESTRUTURAS EM TRELIÇA
São estruturas lineares, formadas por barras que no conjunto devem formar uma estrutura indeformável.
 Estrutura deformável
1. Tipos de Treliça
1.1 - Treliças Planas
Suas barras estão num mesmo plano.
1.2 - Treliças Tridimensionais
Suas barras estão todas em planos diferentes. As treliças são utilizadas para coberturas, pontes, como vigas de lançamento, etc.
2. Hipóteses Para os Vários Processos de Cálculos
2.1 – As barras da treliça são ligadas entre si por intermédio de articulações sem atrito.
2.2 – As cargas e reações aplicam-se somente nos nós da estrutura.
2.3 – O eixo de cada barra coincide com a reta que une os centros das articulações (como nas estruturas lineares).
Satisfeitas todas as hipóteses mencionadas, as barras da treliça só serão solicitadas por forças normais.
3. Esforços Solicitantes
 
 Forças Normais
 
As tensões provocadas por estas forças são chamadas tensões primárias.
 (verificação da resistência da peça)
Observações:
1. Na prática não se consegue obter uma articulação perfeita, sem atrito. As articulações são formadas por chapas rebitadas ou soldadas, que podem ser consideradas praticamente rígidas.
2. Devido ao fato de não termos uma articulação perfeita aparecerá momento fletor e força cortante, porém este estudo não é parte do nosso curso.
3. Também o peso próprio da barra provoca flexão na mesma, só que é desprezível por ser muito pequeno. O peso da barra vai aplicado nos nós.
4. Treliças Isostáticas e Hiperestáticas
 
Dados os valores das forças P1, P2, P3 e P4, se conseguirmos determinar, pelas equações da estática, os valores de R1 e R2 e os esforços nas barras, ela é isostática.
Se determinarmos somente as reações de apoio ela é dita internamente hiperestática (as incógnitas são as forças normais).
Quando nem as reações se determinam ela é dita externamente hiperestática.
As incógnitas a se determinarem são:
As reações de apoio HA, VA e VB, chamadas de vínculos representados pela letra V.
 Esforços normais nas barras representados pela letra b.
Logo o número de incógnitas é (b + V).
 
Portanto, para cada nó da estrutura nós temos duas equações, logo se a estrutura possuir N nós, teremos 2N equações.
Portanto, para uma treliça ser isostática, devemos ter 
Treliça hiperestática b + V > 2N.
O grau de hiperestaticidade de uma treliça é dado pela equação:
g = (b + V) – 2N
Se g = 0 ( a treliça é isostática.
Exemplos:
 v = 3, b = 11, N = 7 v = 3, b = 9
 b + v = 14 2N = 14 N = 6 b + v = 12 2N = 12
 Isostática Isostática
 v = 4, b = 13, N = 8 v = 3, b = 14, N = 8
 b + v = 17 2N = 16 b + v = 17, 2N = 16
 Hiperestática (g = 1) Hiperestática (g = 1)
 Incógnita: uma das reações de Incógnita: esforço de uma das
 apoio – externamente barras- internamente
 hiperestática. hiperestática.
5 – Treliças Simples
Geralmente quase todas as treliças são formadas a partir de um triângulo inicial. Para cada novo nó introduzido, basta acrescentar duas barras não colineares.
Se o número de vínculos relativos às treliças acima mencionadas forem iguais a 3, as treliças serão sempre isostáticas ( b + 3 = 2N
Observações:
1. A treliça hiperestática com 3 vínculos, conforme desenho acima, tem uma barra a mais, logo não entra nesta classificação.
6. Processos de Resolução
6.1 – Processo dos Nós
Seja o nó C, da treliça ABCDEF. Nele concorrem as barras conforme a figura abaixo:
Conforme já dissemos, cada nó apresenta duas equações e, se admitirmos que todas as barras estejam tracionadas, teremos:
Nó C: 
Genericamente, teremos:
 (componente horizontal de P1) = 0
 (componente vertical de P1) = 0
As componentes verticais em função do seno.
As componentes horizontais em função do cosseno.
Os valores de H e V podem ser positivos ou negativos, se as forças forem de tração e compressão, respectivamente.
Convenção: 
6.2 – Casos de Simplificação
Para carregamentos particulares pode acontecer que uma treliça possua barra ou barras não solicitada(s), ou então solicitadas pela mesma força normal. Em muitos casos a identificação destas barras é imediata, simplificando bastante o cálculo da treliça.
Seja a treliça abaixo:
Nó A ( duas barras não coaxiais sem forças externas aplicadas.
 N1 = N4 = 0 ( as barras não estão solicitadas.
Nó C ( duas barras não coaxiais sem forças externas aplicadas.
N5 = 0 
N2 = N6
Nó B ( duas barras não coaxiais sem forças externas aplicadas.
 N17 = -P3 ( (compressão).
 N16 = 0
Nó D ( duas barras não coaxiais sem forças externas aplicadas.
 N10 = N14 
 N13 = 0
Nó E ( duas barras não coaxiais sem forças externas aplicadas.
N8 = N12 
N9 = - P2 ( (compressão).
6.3 – Processos dos Coeficientes de Força
Esse processo é análogo ao dos nós, mas leva muito mais vantagens se houver muitas barras com inclinações diferentes, principalmente se os comprimentos dessas barras forem obtidos por simples medição num esquema da estrutura.
Vamos supor uma barra AB qualquer de comprimento l de projeções h e v (horizontal e vertical, respectivamente).
Da figura, tiramos: 
 o ângulo que a barra AB faz com a horizontal. Voltando ao processo dos nós, onde tínhamos:
, substituímos os valores do cos
 e sen
, ficando:
 
onde N, h, v e l em cada parcela das somatórias, referem-se a uma mesma barra.
O coeficiente de forças de uma barra é obtido da relação: 
, que substituindo nas equações acima nos dá: 
Através das equações acima, determinamos os valores de t correspondentes às diversas barras da estrutura. Em seguida, obtemos as forças normais, multiplicando-se os valores de t pelos comprimentos das respectivas barras.
Exercício: Resolver a treliça dada nos exemplos anteriores pelo processo dos coeficientes de força.
	Nó
	Equação
	Barra
	t (tf/m)
	l (m)
	N (tf)
	
A
	V
	3,97 + 3t1 = 0
	1
	-1,32
	3
	-3,96
	
	H
	5,2 + 4t2 = 0
	2
	-1,3
	4
	-5,2
	
B
	V
	-3t1 - 3t3 = 0
	3
	1,32
	5
	6,6
	
	H
	4t4 + 4t3 = 0
	4
	-1,32
	4
	-5,28
	
C
	V
	-2-3t5 - 3t7 = 0
	5
	-1,32
	3
	-3,96
	
	H
	-4t4 + 4t7 + 4t8 = 0
	6
	0,02
	4
	0,08
	
D
	V
	+3t3 + 3t5 = 0
	7
	0,65
	5
	3,25
	
	H
	-4t2 - 4t3 + 4t6 = 0
	8
	-1,97
	4
	-7,88
	
E
	V
	-4 - 3t9 - 3t11 = 0
	9
	-0,65
	3
	-1,95
	
	H
	-4t8 + 4t12 + 4t11 = 0
	10
	0,68
	4
	2,72
	
F
	V
	3t9 + 3t7 = 0
	11
	-0,68
	5
	-3,4
	
	H
	-4t7 - 4t6 + 4t10 = 0
	12
	-1,29
	4
	-5,16
	
G
	V
	-6cos60º - 3t13 = 0
	13
	-1
	3
	-3
	
	H
	
	
	
	
	
6.4 – Processo das Seções ou de Ritter
Como vimos no processo dos nós, admitimos cortadas todas as barras da treliça e consideramossucessivamente as condições de equilíbrio (H = 0 e V = 0) relativas a todos os nós, um a um.
Esse processo é utilizado quando se deseja determinar as forças normais em todas as barras.
No processo das seções temos condições de obter a força normal em apenas algumas barras ou somente em uma única.
Neste caso, estabelecemos as condições de equilíbrio do reticulado que resulta, quando aplicamos os cortes naquelas barras cujas forças normais procuramos. Este processo permite, com sucesso, a resolução de diversos casos de treliças simples e compostas (associação de uma ou mais treliças que não podem ser obtidas seguindo-se a lei da formação das treliças simples) tornando-se, entretanto, impraticável no caso das treliças complexas.
Ao partirmos a barra CE a treliça se transforma em dois reticulados geométricos indeformáveis e interligados pela articulação F.
Logo os momentos relativos a quaisquer forças de um lado ou de outro lado dos reticulados devem ser nulos.
Tomando, por exemplo, a parte situada à esquerda de F, temos:
Calcular a força normal na barra CF diagonal:
Nestas condições os dois reticulados estão ligados por duas barras biarticuladas paralelas CE e DF, incapazes de impedir o deslocamento na direção vertical.
Desta forma, para não acontecer movimento relativo das partes, fazemos 
. Relativo a um ou outro reticulado.
Tomando o reticulado da esquerda, temos:
Os reticulados estão interligados por duas retas paralelas BC e DF. Também neste caso os reticulados são incapazes de impedir o deslocamento na direção vertical. Logo temos que fazer 
Vamos pega os reticulado da esquerda, logo teremos:
 O da esquerda: 
 O da direita: 
Exercício: Dado o sistema reticulado abaixo, pede-se:
Calcular as reações de apoio.
Calcular os esforços normais em todas as barras.
Obs: Utilizar duas casas decimais.
�� EMBED Equation.DSMT4 
�� EMBED Equation.DSMT4 
�� EMBED Equation.DSMT4 
 
 Nó E
 Nó D
 Nó A
 Nó B
 
 
 
 
�� EMBED Equation.DSMT4 
�� EMBED Equation.DSMT4 
�� EMBED Equation.DSMT4 
 Nó A
�� EMBED Equation.DSMT4 
�� EMBED Equation.DSMT4 
 Nó C
 
�� EMBED Equation.DSMT4 
 Nó B
�� EMBED Equation.DSMT4 
Prova:
�� EMBED Equation.DSMT4 
	NÓS
	EQUAÇÕES
	BAR
RAS
	N (KN)
	A
	H
	
	2
	-4,47
	
	V
	
	1
	8,13
	C
	H
	
	4
	3,22
	
	V
	
	3
	-3,87
	B
	H
	
	5
	-6,75
	
	V
	
	7
	4,58
	E
	H
	
	6
	-0,53
	
	V
	
	
	
	
	
H
	
	
	
	
	V
	
	
	
 
 
�� EMBED Equation.DSMT4 
�� EMBED Equation.DSMT4 
NDE
�� EMBED Equation.DSMT4 
 (Ret. a esq.)
NDG
�� EMBED Equation.DSMT4 
 (Ret. a esq.)
NEG
�� EMBED Equation.DSMT4 
 (Ret. a esq.)
NFH
�� EMBED Equation.DSMT4 
 (Ret. a dir.)
�� EMBED Equation.DSMT4 
 
�� EMBED Equation.DSMT4 
NIK
 
 (Ret. a dir.)
NFH
�� EMBED Equation.DSMT4 
 (Ret. a esq.)
NGJ
�� EMBED Equation.DSMT4 
 (Ret. a dir.)
NIJ
�� EMBED Equation.DSMT4 
 (Ret. a dir.)
Reações de Apoio
Equilíbrio dos Nós
Nó A 
Nó B 
Nó C 
	Nó
	Equação
	A
	V
	
	
	H
	5 T2 = 0
	B
	V
	VB + 5T3 + 10T4 + 10T5 = 0
	
	H
	-HB – 5T2 – 5T3 – 5T4 = 0
	C
	V
	-5T1 – 5T3 + 5T7 + 5T9 =0
	
	H
	- 12T9 + 5T3 = 0
	D
	V
	-P2 – 10T5 = 0
	
	H
	-5T6 = 0
	E
	V
	-5T7 – 10T4 = 0
	
	H
	-12T8 + 5TA + 5T6 = 0
	F
	V
	-P1 – 5T9 = 0
	
	H
	12T8 + 12T9 = 0
Exercício:
	Nó
	Equação
	B
	V
	
	
	H
	
	E
	V
	
	
	H
	
	F
	V
	
	
	H
	
	D
	V
	
	
	H
	
	C
	V
	
	
	H
	
	A
	V
	
	
	H
	
1. Calcular as forças normais nas barras da treliça:
2. a) Verificar se a treliça é isostática.
 b) Calcular a força normal em todas as barras da treliça, utilizar o processo dos nós ou o processo dos coeficientes de força.
3. Dada a treliça, determinar as reações de apoio e a força normal nas barras:
4. Determinar as forças normais da treliça abaixo (qualquer método):
5. Dada a treliça abaixo, pede-se verificar se a mesma é isostática, suas reações de apoio e as forças normais em todas as suas barras.
 
 NÓS EQUAÇÕES N (EM KN)
	A
	H
	
	
	
	V
	
	
	B
	H
	
	
	
	V
	
	
	C
	H
	
	
	
	V
	
	
	D
	H
	
	
	
	V
	
	
	E
	H
	
	
	
	V
	
	
	F
	H
	
	
	
	V
	
	
	G
	H
	
	
	
	V
	
	
	H
	H
	
	
	
	V
	
	
HA
3t
1
2
3
8
4
9
5
�
7
6
A
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
F
D
5t
E
2t
�
T�
L�
Normal�
�
1�
-340�
5�
-1700�
�
2�
0�
5�
0�
�
3�
-240�
7,07�
-1697�
�
4�
240�
11,18�
2683�
�
5�
-150�
10�
-1500�
�
6�
0�
5�
0�
�
7�
-480�
5�
-2400�
�
8�
100�
12�
1200�
�
9�
-100�
13�
-1300�
�
�
Reações�
�
VA�
1700�
�
VB�
300�
�
HB�
0�
�
P2=1500kg
P1=500kg
5 m
5 m
12 m
5 m
VA
VB
HB
9
8
7
1
2
3
4
6
5
F
E
D
C
B
A
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
4 m
2 m
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
2
1
4
3
5
D
A
B
C
6 t
4 m
2 m
VA
VC
HC
6 t
6 t
6 t
+
2 KN
VA=2,69KN
1,5 m
1,5 m
4 m
A
D
C
F
E
G
I
K
H
J
L
B
5 m
2 m
HB=4KN
VB=2,31KN
2 m
1 m
2 m
3 m
2 KN
1 KN
1 KN
1 KN
1 KN
1 KN
+
� EMBED Equation.DSMT4 ���
6,4
� EMBED Equation.DSMT4 ���
HA=5 KN
A
VA=2,07KN
VJ=1,93 KN
J
I
G
E
C
2 m
2 m
5 m
3 m
2 m
2 KN
2 m
1 KN
2 m
2 KN
H
1 KN
F
1 KN
D
1 KN
N7
1 KN
� EMBED Equation.DSMT4 ���
3 KN
B
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
N4
6 KN
N6
N5
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
6,75 
10 KN
N7� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
4 KN
N3
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
4 KN
N4
N1
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
6,75 KN
N2
N1
� EMBED Equation.DSMT4 ���
6
4 KN
3 m
3 m
3 m
4 KN
2 m
4
1
� EMBED Equation.DSMT4 ���
C
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
7
3 KN
6 KN
E
3
3 m
HB = 10 KN
3 KN
5
VB = 3,25 KN
VA = 6,75 KN
2
D
B
� EMBED Equation.DSMT4 ���
10 KN
N1
A
4 KN
N5
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
N3
N4
N5
+
2 KN
� EMBED Equation.DSMT4 ���
+
-5,14 KN
15,14 KN
� EMBED Equation.DSMT4 ���
N1
N2
+
(
+
HB =15,14 KN
B
3 m
4 m
HA = -5,14 KN
A
� EMBED Equation.DSMT4 ���
1
2
6 kn
10 kn
8 kn
D
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
3
5
C
4 
2 kn
4 kn
4 m
5 m
� EMBED Equation.DSMT4 ���
N4
VB = 10 KN
-0,8 KN
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
N5
N7
6 KN
6,8 KN
N4
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
N1
N3
6 KN
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
N1
N2
3 KN
2 KN
+
+
� EMBED Equation.DSMT4 ���
N7
N6
3 KN
2 KN
VB = -0,8 KN
VA = 6,8 KN
HA = 6 KN
2 m
2 m
3 m
2 KN
2 KN
3 KN
2 KN
E
C
B
3 KN
 D
A
1
4
3
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
6
7
5
2 m
3 m
+
+
+
� EMBED Equation.DSMT4 ���
NCF
NCF
3,97 tf
4 m
4 m
5,03 tf
4 m
6tf
4tf
G
C
30º
F
H
5,2 tf 
3 m
2tf
A
D
Banzo sup.
NCE
NCE
3,97 tf
4 m
4 m
5,03 tf
4 m
3,97 tf
4 m
4 m
5,03 tf
4 m
6tf
4tf
G
C
30º
F
H
5,2 tf 
3 m
C
D
30º
F
6tf
2tf
A
D
E
H
5,2 tf 
3 m
B
2tf
A
4tf
G
E
B
VA=3,97 tf
4 m
4 m
VB=5,03 tf
4 m
4tf
G
C
30º
6tf
F
H
HA=5,2 tf
3 m
13
10
11
16
12
2tf
A
D
6
9
7
5
2
3
1
8
4
E
B
P2
P3
D
14
17
15
13
v
10
11
h
16
12
horizontal
A
B
P1
B
C
6
9
7
5
l
2
3
1
8
4
E2
� EMBED Equation.DSMT4 ���
A
+
+
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
C
P1
N4
N3
N2
P1
B
F
8
9
7
6
A
1
3
C
D
5
4
2
E
Barra indeformável
P2
HA
P4
R2
P3
R1
P/2
P/2
B
A
seção da peça
B
B
A
A
N
N
N
N
tração
compressão
E
B
� EMBED Equation.DSMT4 ���
N3
N2
N1
VA
B
VB
A
P
P2
P1
C
B
1t
VA
VC
2 m
2 m
1,5 m
3 m
3t
5t
2t
D
7
E
6
5
4
3
C
1
2
A
B
4 m
4 m
6 m
1000 kgf
A
B
1
2
3
C
500 kgf
4
D
5
6
7
E
8
4 m
9
F
2 m
3 m
3 m
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
5 m
5t
4 m
4 m
3 m
3t
2t
C
B
D
6 m
4 m
3 m
3 m
7 m
A
E
B
C
D
F
5 t
2 t
4 m
A
B
4
3
1
2
C
D
7
3 m
8
6
5
3 m
E
F
3 m
11
12
10
9
2 KN
G
13
2,54 KN
4 KN
60º
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NCD
NCD
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4 m
4 m
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G
C
30º
F
H
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A
D
E
B
Estruturas em Treliça
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