48452261-algebra-linear

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ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr
 
Prof.: Denilson Paulo 
Álgebra Linear - Profa Ana Paula
AULA1
Data: ____/_____/____
MATRIZES
Definição: Conjunto de números dispostos numa forma retangular (ou quadrada).
Exemplo:
A =
1 4
−4 0
−3 2
3x2
B =
8
−2
1
3x1
C =
7 0 1
−34 2 0,6
−2,7 1 0
D = 3 E = 5 1
A matriz A é retangular 3x2, ou seja, possui 3 linhas e 2 colunas.
A matriz B é uma matriz-coluna 3x1, ou seja, possui 3 linhas e 1 coluna.
A matriz C é uma matriz quadrada ___x___, ou seja, possui ___ linhas e ___ colunas.
A matriz D é uma matriz quadrada ___x___, ou seja, possui ___ linha e ___ coluna.
A matriz E é uma matriz-linha ___x___, ou seja, possui ___ linha e ___ colunas.
De uma forma geral, uma matriz Amxn tem m linhas e n colunas, sendo m e n as suas
dimensões e sua representação genérica é a seguinte:
A =
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
. . . . . . . . . . . .
am1 am2 . . . amn
mxn
Usamos as palavras "tamanho" ou "dimensão" ou "ordem" para dizer quantas linhas e colunas
uma matriz possui. Use-se letra maiúscula para representá-la:
A = aij mxn ou aij .
Cada elemento da matriz A é representada pela mesma letra em minúsculo e é seguido de dois
números subscritos, sendo o primeiro deles o número da linha onde o elemento se encontra e o
segundo o número da coluna, ou seja, o elemento a23 encontra-se na segunda linha e terceira
coluna.
Exercício 1: Dadas as matrizes:
A =
−1 5 8 0
−2 3 1 4
2 6 −4 −2
B =
5 4 −5 2
0 5 −3 −1
2 7 0 −2
C =
2 3 −1 4 −5 2 1
1 2 6 5 −1 9 2
0 3 −3 5 4 0 4
3 4 −3 6 9 1 6
D =
4 −2 1 3 4
6 7 −8 9 10
2 5 −1 3 5
3 1 0 1 6
4 −3 8 4 2
a) Determine a ordem de cada matriz acima.
b) Determine os elementos c45,c16,c37,d51,d45,a34,a12,b32 e b23.
Aula 1
Matrizes Especiais
Matriz nula: é a matriz de qualquer tamanho com todos os seus elementos iguais a zero.
Exemplo:A =
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
3x5
Um elemento qualquer de uma matriz nula é dado por aij = 0 para todos i e j.
Obs: Usa-se a notação A = 0 para matriz nula. Não confundir com o número zero!!!
Matriz quadrada: é a matriz que possui o número de linhas igual ao número de colunas. Neste
caso, diz-se que a matriz é de ordem n, onde n é o número de linhas e colunas da matriz.
Exemplo: A =
7 0 1
−34 2 0,6
−2,7 1 0
3x3
.Neste exemplo a matriz A é de ordem 3.
Matriz diagonal: é uma matriz quadrada que possui todos os elementos fora da diagonal
principal nulos.
Exemplo:A =
7 0 0
0 2 0
0 0 3
3x3
Um elemento qualquer de uma matriz diagonal é dado por: aij =
0 se i ≠ j
d se i = j
onde d ∈ R.
Obs:
1. Os elementos a11,a22,a33, . . . ,ann constituem a diagonal principal de uma matriz quadrada.
Exemplo: Marque os elementos da diagonal principal: A =
7 −4 1
−9 3 6
5 1 0
3x3
.
2. Os elementos da diagonal principal podem ser quaisquer números, inclusive zero. Porém, se
a diagonal principal for constituída toda de zeros, matriz passará ser uma matriz nula.
3. Se A é uma matriz quadrada, então Traço é soma dos elementos da diagonal principal, isto
é, a11 + a22 + a33 +. . .+ann. O traço não está definido se a matriz A não for quadrada.
Notação: trA = a11 + a22 + a33 +. . .+ann =
k=1
n
∑ akk
Exemplo: Do exemplo acima: trA = 7 + 2 + 3 = 12.
Exercício 2: Encontre o traço da matriz B =
1 2 3
−5 6 8
0 1 −3
.
2
Aula 1
Matriz identidade: é uma matriz diagonal que possui todos os seus elementos não-nulos iguais
a 1. É geralmente denotada pela letra I.
Exemplo: Matriz identidade de ordem 3: I3 =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
3x3
Um elemento qualquer de uma matriz identidade é dado por: aij =
0 se i ≠ j
1 se i = j
para i=1,..., n
e j = 1, ...,n.
Exercício 3: Escreva as matrizes identidade de ordem 2 , 4 e 5.
I2 = I4 = I5 =
Matriz transposta: a matriz transposta relativa a matriz Amxn é definida através da seguinte
relação:
aijT = aji, para todo i e todo j.
Exemplo.: Seja a matriz A =
−1 5 8 0
−2 3 1 4
2 6 −4 −2
, então sua transposta será
AT =
−1 −2 2
5 3 6
8 1 −4
0 4 −2
.
Exercício 4: Usando as matrizes do exercício 1, determine:
a) Os elementos da diagonal principal da matriz D.
b) O traço da matriz de D.
c) BT
d) CT
3
Aula 1
Matriz simétrica: é uma matriz quadrada cujos elementos obedecem a seguinte relação:
aijT = aji, isto é, AT = A.
Exemplo: A matriz A =
7 −1 4
−1 2 5
4 5 3
3x3
é simétrica, pois A = AT.Verifique encontrando a
matriz transposta de A, AT = .
Matriz anti-simétrica: a matriz anti-simétrica relativa a matriz Anxn é definida através da
seguinte relação:
aji = −aijT, isto é, A = −AT.
Exemplo: Seja a matriz A =
0 −1 4
1 0 −5
−4 5 0
3x3
é uma matriz anti-simétrica.
Observe que os elementos da diagonal principal de uma matriz anti-simétrica devem ser todos
nulos. Por quê???
Vetores: é um caso especial de matrizes, onde uma das dimensões é unitária (igual a 1).
Exemplo: Neste caso, B =
8
−2
1
3x1
é um vetor coluna e E = 5 1
1x2
é um vetor linha.
Matriz triangular Inferior: Uma matriz quadrada na qual todos os elementos acima da diagonal
principal são zeros é chamada de matriz triangular inferior.
Exemplo: A =
7 0 0
5 2 0
−8 7 4
3x3
Um elemento qualquer de uma matriz triangular inferior é dado por: aij =
0 se i < j
d se i ≥ j
onde d
∈ R.
Matriz triangular Superior: Uma matriz quadrada na qual todos os elementos abaixo da
diagonal principal são zeros é chamada de matriz triangular superior.
4
Aula 1
Exemplo: B =
7 4 3
0 2 −6
0 0 4
3x3
Um elemento qualquer de uma matriz superior é dado por: bij =
0 se i > j
d se i ≤ j
onde d ∈ R.
Propriedades:
1. A transposta de uma matriz triangular inferior é uma matriz triangular superior.
2. A transposta de uma matriz triangular superior é uma matriz triangular inferior.
Exercícios 5: Quais das matrizes são simétricas e quais são anti-simétricas?
A =
3 −4
4 1
B =
3 4
4 0
C =
4 −3 0
−3 5 2
0 2 1
D =
0 0 1
0 0 2
1 2 3
E =
0 −3 6
3 0 7
−6 −7 0
Operações com Matrizes
Igualdade de matrizes
Duas matrizes A e B são iguais, se e somente se aij = bij, elemento por elemento.
Exemplo: Se A = B e A =
3 x
5 2
e B =
3 −4
5 2
, então x = −4.
Exercício 6: Dadas as matrizes A =
2 1
3 x
e B =
2 1
3 5
. Qual o valor de x para que
A = B?
Exercício 7: Calcule os valores de x ,y e z para que as matrizes A e B sejam iguais.
A =
x2 − 5x 7 8
2 y2 −1
e B =
6 −z 8
2 9 −1
5
Aula 1
É possível a matriz C =
x2 − 5x 7
2 y2
se igual a A para algum valor de x e de y? Justique a
sua resposta.
Soma e Subtração de Matrizes
A soma de duas matrizes A e B só será possível se as duas matrizes tiverem a mesma
dimensão e é definida como cij = aij + bij, onde C é matriz obtida da soma das matrizes A e B. A
subtração de duas matrizes A e B é definida de modo análogo, onde cij = aij − bij.
Exemplo: Considere as matrizes A =
2 1 0 3
−1 0 2 4
5 −2 7 6
e B =
−4 3 5 1
2 2 0 −1
3 2 −4 5
.Calcule
A + B e A − B.
A + B =
2 1 0 3
−1 0 2 4
5 −2 7 6
+
−4 3 5 1
2 2 0 −1
3 2 −4 5
=
−2 4 5 4
1 2 2 3
8 0 3 11
A − B =
2 1 0 3
−1 0 2 4
5 −2 7 6
−
−4 3 5 1
2 2 0 −1
3 2 −4 5
=
6 −2 −5 2
−3 −2 2 5
2 −4 11 1
Obs: Matrizes de dimensões diferentes não podem ser somadas ou subtraídas.
Propriedades:
a) (A + B) + C = A + (B + C) (associativa)
b) A + B = B + A (comutativa)
c) A + 0 = 0 + A = A (0 é a matriz nula e elemento neutro da adição)
Exercício 8: Dadas as matrizes A =
2 3
−3 5
0 1
e B =
4 6
1 8
9 3
. Calcule A + B e A − B.
6
Aula 1
Multiplicação por uma constante
Multiplicar uma matriz por uma constante (k), implica em multiplicar todos os elementos da
matriz pela constante, isto é, um elemento qualquer da matriz C = k ⋅ A será cij = k ⋅aij para todo i
e j.
Exemplo: Seja a matriz A =
2 1 0 3
−1 0 2 4
5 −2 7 6
.Calcule 2A, 12 A e −A.
2A = 2 ⋅
2 1 0 3
−1 0 2 4
5 −2 7 6
=
4 2 0 6
−2 0 4 8
10 −4 14 12
1
2 A =
1
2 ⋅
2 1 0 3
−1 0 2 4
5 −2 7 6
=
1 12 0
3
2
−
1
2 0 1 2
5
2 −1
7
2 3
−A = −
2 1 0 3
−1 0 2 4
5 −2 7 6
=
−2 −1 0 −3
1 0 −2 −4
−5 2 −7 −6
Exercício 9: Dadas as matrizes A =
2 3
−3 5
0 1
e B =
4 6
1 8
9 3
. Calcule 2A + 3B e 13 A − 2B.
Multiplicação de matrizes
Para multiplicar duas matrizes é sempre necessário que o número de colunas da primeira
matriz seja igual ao número de linhas da segunda matriz. A matriz resultante do produto de duas
matrizes terá sempre o mesmo número de linhas da primeira matriz e o mesmo número de colunas
da segunda matriz, ou seja, a multiplicação Amxn.Bnxp terá como resultado uma matriz Cmxp. A
7
Aula 1
multiplicação de matrizes é definida como sendo:
Amxn ⋅ Bnxp = Cmxp
Um elemento qualquer da matriz resultante C é dado por: cij =
k=1
n
∑ aik ⋅ bkj, para i = 1, . . . ,m e
j = 1, . . . ,p.
Exemplo: Dadas as matrizes A =
1 6
5 0
8 7
e B =
1 3 5 8
9 7 6 5
.
Qual é a dimensão da matriz C, onde C = A ⋅ B?
Qual é a dimensão da matriz D, onde D = B ⋅ A?
Então, só será possível encontrar a matriz C, que será:
C = A ⋅ B =
1 6
5 0
8 7
⋅
1 3 5 8
9 7 6 5
=
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
=
Obs: A multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja, A ⋅ B ≠ B ⋅ A, em geral.
Multiplicação de matriz por vetor
Esta operação segue a mesma regra da multiplicação de matrizes, uma vez que um vetor é um
caso particular de uma matriz e dá como resultado uma matriz.
Multiplicação de vetores
É feita de maneira análoga a multiplicação de matrizes. No caso da multiplicação de um vetor
linha por um vetor coluna, o resultado será um número.
Propriedades:
Sejam α e β dois números reais e A, B, C matrizes ( ou vetores) de ordem que permitam
realizar as operações.
1) A ⋅ B ⋅ C = A ⋅ B ⋅ C (associativa)
2) A ⋅ B + C = A ⋅ B + A ⋅ C (distributiva à esquerda)
3) A + B ⋅ C = A ⋅ C + B ⋅ C (distributiva à direita)
4) I ⋅ A = A ⋅ I = A (Ié matriz identidade e elemento neutro)
5) α ⋅ β ⋅ A = α ⋅ β ⋅ A
6) A ⋅ α ⋅ B = α ⋅ A ⋅ B
7) α ⋅ A + B = α ⋅ A + α ⋅ B
8) α + β ⋅ A = α ⋅ A + β ⋅ A
8
Aula 1
9) A ⋅ B = 0 para A ≠ 0 e B ≠ 0 (0 é a matriz nula)
10) A − A = 0
11) A ⋅ 0 = 0 ⋅ A = 0
Das matrizes triangulares:
12) O produto de matrizes triangulares inferiores é superior.
13) O produto de matrizes triangulares superiores é inferior.
Da matriz transposta:
14) ATT = A
15) A + BT = AT + BT
16) k ⋅ AT = k ⋅ AT, para k uma constante real.
17) A ⋅ BT = BT ⋅ AT
18) Se AB = AC com A ≠ 0, não implica que B = C, isto é, não vale a lei do cancelamento.
Das matrizes simétricas:
Se A e B são matrizes simétricas de mesma ordem e se k é um constante real qualquer, então:
19) AT é simétrica;
20) A + B é simétrica;
21) k ⋅ A é simétrica.
22) Não é verdade, em geral, que o produto de matrizes simétricas é uma matriz simétrica.
23) O produto de uma matriz e sua transposta é uma matriz simétrica, isto é, AT ⋅ A e A ⋅ AT são
simétricas.
Do traço:
24) trA + B = trA + trB
25) trk ⋅ A = k ⋅ trA
Potenciação
Se A é uma matriz quadrada, definimos:
A0 = I
A1 = A
A2 = A ⋅ A
⋮
An =
n vezes
A ⋅ A ⋅ A⋯ ⋅ A, com n > 0
Propriedades
Seja A uma matriz quadrada de ordem n e r e s números inteiros, então:
a) Ar ⋅ As = Ar+s
b) Ars = Ars
Exercício 10: Sejam as matrizes A =
1 2 3
2 1 −1
, B =
−2 0 1
3 0 1
, C =
−1
2
4
e
9
Aula 1
D = 2 −1
Encontre:
a) A + B
b) A ⋅ C
c) B ⋅ C
d) C ⋅ D
e) D ⋅ A
f) D ⋅ B
g) −A
h) −D
i) 2A − 3B
10
Aula 1
j)CT ⋅ AT
Exercício 11: Seja A =
−2 1
3 2
. Calcule A2.
Exercício 12: Se A =
3 −2
−4 3
, ache B, de modo que B2 = A.
Exercício 13: Sejam as matrizes A =
2 −1
−1 0
e B =
0 −2
2 0
.
Encontre:
a) AT ⋅ BT
b) BT ⋅ AT
c) A + B2
d) A2
11
Aula 1
e) B2
Exercícios de Revisão
1. Suponha que A, B, C, D e E sejam matrizes das seguintes ordens:
A4x5 B4x5 C5x2 D4x2 E5x4
Determine qual das seguintes expressões matriciais estão definidas. Para as que estão
definidas, dê a ordem da matriz resultante.
a) B ⋅ A b) A ⋅ C + D c) A ⋅ E + B
d) A ⋅ B + B e) E ⋅ A + B f) E ⋅ A ⋅ C
g) ET ⋅ A h) AT + E ⋅ D
Resp:não é possível fazer: a, c, d, g, b) 4x2 e) 5x5 f) 5x2 h) 5x2
2. Considere as matrizes:
A =
3 0
−1 2
1 1
, B =
4 −1
0 2
, C =
1 4 2
3 1 5
, D =
1 5 2
−1 0 1
3 2 4
, E =
6 1 3
−1 1 2
4 1 3
Calcule (quando possível)
a) D + E b) D − E c) 5 ⋅ A d)−7C
e) 2 ⋅ B − C f) 4 ⋅ E − 2 ⋅ D g) −3 ⋅ D + 2 ⋅ E h) A − A
i) trD j) trD − 3 ⋅ E k) 4 ⋅ tr7 ⋅ B l) trA
m) 2AT + C n) 12 C
T
−
1
4 A o) D
TET − EDT p) BTCCT − ATA
q) B2
Resp: . não é possível fazer: e, L
Resp: a)
7 6 5
−2 1 3
7 3 7
, b)
−5 4 −1
0 −1 −1
−1 1 1
c)
15 0
−5 10
5 5
d)
−7 −28 −14
−21 −7 −35
f)
48 104 84
24 −4 20
24 88 52
g)
−39 −21 −24
9 −6 −15
−33 −12 −30
h) matriz nula i) 5 j) 25 k) 168
m)
7 2 4
3 5 7
n)
5
4
3
2
7
4 0
3
4
9
4
o) matriz nula p)
40 72
26 42
q)
16 −6
0 4
Exercícios Aplicados
12
Aula 1
1. Um construtor tem contratos para construir 3 estilos de casa: moderno, mediterrâneo e
colonial. A quantidade de material empregada em cada tipo de casa é dada pela matriz:
Ferro Madeira Vidro Tinta Tijolo
Moderno 5 20 16 7 17
Mediterrâneo 7 18 12 9 21
Colonial 6 25 8 5 13
a) Se ele vai construir 5,7 e 12 casas dos tipos moderno, mediterrâneo e colonial,
respectivamente, quantas unidades de cada material serão empregadas?
b) Suponha agora que os preços por unidade de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo sejam,
respectivamente, 15, 8,5,1 e 10 reais. Qual é o preço unitário de cada tipo de casa?
c) Qual o custo total do material empregado?
2. Uma rede de comunicação tem cinco locais com transmissores de potências distintas.
Estabelecemos que aij = 1, na matriz abaixo, significa que a estação i pode transmitir diretamente à
estação j, aij = 0 significa que a transmissão da estação i não alcança a estação j. Observe que a
diagonal principal é nula significando que uma estação não transmite diretamente para si mesma.
A =
0 1 1 1 1
1 0 1 1 0
0 1 0 1 0
0 0 1 0 1
0 0 0 1 0
Qual seria o significado da matriz A2 = A ⋅ A?
Seja A2 = cij . Calculemos o elemento c42 =
k=1
5
∑ a4k ⋅ ak2 = 0 + 0 + 1 + 0 + 0 = 1.
Note que a única parcela não nula veio de a43 ⋅ a32 = 1 ⋅ 1. Isto significa que a estação 4
transmite para a estação 2 através de uma retransmissão pela estação 3, embora não exista uma
transmissão direta de 4 para 2.
a) Calcule A2. Resp:
0 1 1 1 1
1 0 1 1 0
0 1 0 1 0
0 0 1 0 1
0 0 0 1 0
2
=
1 1 2 3 1
0 2 2 2 2
1 0 2 1 1
0 1 0 2 0
0 0 1 0 1
b) Qual o significado de c13 = 2?
c) Discuta o significado dos termos nulos, iguais a 1 e maiores que 1 de modo a justificar a
afirmação: "A matriz A2 representa o número de caminhos disponíveis para se ir de uma estação a
outra como uma única retransmissão".
d) Qual o significado das matrizes A + A2,A3 e A + A2 + A3?
e) Se A fosse simétrica, o que significaria?
3. Existem três marcas de automóveis disponíveis no mercado: A, B,e C. O termo aij da matriz
A abaixo é a probabilidade de que um dono de carro da linha i mude para o carro da coluna j,
quando comprar um carro novo.
13
Aula 1
De
A
B
C
Para
A. . . B. . . C. .
0, 7 0,2 0,1
0,3 0,5 0,2
0,4 0,4 0,2
Os termos da diagonaldão a probabilidade aii de se comprar um carro novo de mesma marca.
A2 representa as probabilidades de se mudar de uma marca para outra depois de duas
compras. Calcule A2 e interprete.
Resp:
0.7 0.2 0.1
0.3 0.5 0.2
0.4 0.4 0.2
2
=
0.59 0.28 0.13
0.44 0.39 0.17
0.48 0.36 0.16
Gabarito
10.
a)
−1 2 4
5 1 0
b)
15
−4
c)
6
1
d)
−2 1
4 −2
8 −4
e) 0 3 7 f)
−7 0 1
g)
−1 −2 −3
−2 −1 1
h) −2 1 i)
8 4 3
−5 2 −5
j) 15 −4
11. :
7 0
0 7
13: a)
2 4
0 −2
b)
−2 0
−4 2
c)
1 −6
2 −3
d)
5 −2
−2 1
e)
−4 0
0 −4
14
Álgebra Linear - Profa Ana Paula
AULA 2
Data: ____/_____/____
DETERMINANTES
O determinante de uma matriz quadrada A, de ordem n, onde:
A =
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
. . . . . . . . . . . .
an1 an2 . . . ann
nxn
é denotado por detA ou |A|, e é definido como sendo o número obtido pela soma algébrica dos
n! (n fatorial) produtos possíveis constituídos por um elemento de cada linha e de cada coluna de A
multiplicado por 1 ou por -1, de acordo com a seguinte regra :
“Seja o produto escrito na seguinte forma: a1i ⋅ a2j ⋅ a3k ⋅. . . (n termos).
Se a seqüência dos índices i , j, k é um permutação par em relação a 1,2,3, . . . . ,n, então o
produto deve ser multiplicado por 1; do contrário, o produto deverá ser multiplicado por -1”.
Entenda-se por permutação, o número de trocas necessárias para se ordenar uma seqüência
i, j,k. . .n.
Dessa forma, o determinante de uma matriz quadrada de ordem 2:
A =
a11 a12
a21 a22
2x2
será definido pelo produto:
detA =
a11 a12
a21 a22
= a11 ⋅ a22 − a12 ⋅ a21
E o determinante de uma matriz quadrada de ordem 3:
A =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
3x3
será definido pelo produto:
detA =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
= a11a22a33 + a21a32a13 + a31a23a12 − a13a22a31 + a23a32a11 + a33a21a12
Quando |A|= 0, a matriz A é dita singular.
Exercício 1: Calcule os determinates:
15
Aula 2
1.
3 4
−1 3
= 2.
5 1
0 3
=
3.
3 −1 2
4 5 6
0 1 0
=
4.
1 0 −1
2 5 0
1 2 2
=
Propriedades
As seguintes propriedades permitem facilitar o problema do cálculo de determinantes:
1. O determinante é nulo, se todos os elementos de uma linha ou coluna da matriz são nulos;
Exemplo:
2 −6 7
0 0 0
5 4 8
=
4 3 0
5 9 0
−1 10 0
=
2. O determinante não se altera se todas as linhas i são permutadas com todas as colunas i,
isto é,
detA = detAT.
Exemplo: Seja a matriz A =
1 3 2
−1 0 3
4 3 2
com detA =
1 3 2
−1 0 3
4 3 2
=
Trocando a linha 1 pela coluna 1, linha 2 pela coluna 2 e linha 3 pela coluna 3, isto é,
calculando a matriz transposta de A:
AT =
1 −1 4
3 0 3
2 3 2
. Então, o determinante de AT =
1 −1 4
3 0 3
2 3 2
=
3. O determinante muda de sinal se uma linha da matriz é permutada com outra linha, ou se
uma coluna é permutada com outra coluna;
Exemplo: Seja a matriz A =
1 3 2
−1 0 3
4 3 2
. Trocando a linha 2 com a linha 3, temos
16
Aula 2
B =
1 3 2
4 3 2
−1 0 3
. Então,
o determinante de B =
1 3 2
4 3 2
−1 0 3
=
4.Se os elementos de uma linha ou coluna são multiplicados por um número, o determinante
fica também multiplicado por este número;
Exemplo: Seja a matriz A =
1 3 2
−1 0 3
4 3 2
.
Multiplicando a linha 2 da matriz A por -2, temos B =
1 3 2
2 0 −6
4 3 2
e
1 3 2
2 0 −6
4 3 2
= −2 ⋅ detA =
Multiplicando a coluna 3 da matriz A por 3, temos C =
1 3 6
−1 0 9
4 3 6
e
1 3 6
−1 0 9
4 3 6
= 3 ⋅ detA =
Multiplicando a matriz A por 2, isto é, cada linha ou coluna será multiplicada por 2, temos:
D =
2 6 4
−2 0 6
8 6 4
, então o detD = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ detA =
De uma forma geral, detk ⋅ A = kn ⋅ detA, onde k é uma constante real.
5. O determinante é nulo se os elementos de duas linhas ou duas colunas são iguais ou
proporcionais entre si;
17
Aula 2
Exemplo:
2 3 2
3 0 3
2 3 2
=
1 2 3
3 2 7
−2 −4 −6
=
Duas colunas iguais Duas linhas proporcionais
6. O determinante não se altera se somarmos aos elementos de uma linha ou coluna os
respectivos elementos de outra linha ou coluna multiplicados por um número.
Exemplo: Seja a matriz A =
1 3 2
−1 0 3
4 3 2
.Substituindo a linha 2 pela soma da linha 2 mais o
três vezes a linha 1, isto é, L2 = L2 + 3 ⋅ L1, temos:
1 3 2
2 9 9
4 3 2
. Então,
1 3 2
2 9 9
4 3 2
=
7.Se A é uma matriz triangular (triangular superior ou inferior ou diagonal) de ordem n, então
detA é o produto dos elementos da diagonal principal da matriz, ou seja, detA = a11 ⋅ a22 ⋅. . . ⋅ann.
Exemplo:
2 3 5
0 −2 7
0 0 1
=
3 0 0
−5 2 0
−8 −9 4
=
8. O determinante da matriz identidade é 1 seja qual for a sua ordem, isto é, detIn = 1.
Exemplo:
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
=
9.detA + B ≠ detA + detB, em geral.
Exemplo: Sejam as matrizes A =
3 −2
4 5
e B =
0 1
3 5
Calcule
detA =
3 −2
4 5
= detB =
0 1
3 5
=
18
Aula 2
A + B =
3 −2
4 5
+
0 1
3 5
= detA + B =
10. detA ⋅ B = detA ⋅ detB
Exemplo: Sejam as matrizes A =
3 −2
4 5
e B =
0 1
3 5
, as matrizes do exemplo
anterior.
Calcule
A ⋅ B =
3 −2
4 5
⋅
0 1
3 5
=
detA ⋅ B =
Exercício 2: Calcule os determinantes, procurando usar as propriedades. Especifique a
propriedade utilizada.
1.
1 1 1
3 0 −2
2 2 2
=
2.
3 1 0
0 −2 5
0 0 4
=
3.
0 0 1
0 5 −2
3 −1 4
=
4.
2 −3 −4
1 −3 −2
−1 5 2
=
5.
1 2 3
0 4 1
1 6 4
=
6.
4 1 3
−2 0 −2
5 4 1
=
19
Aula 2
7.
1 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 0 0 1
=
8.
0 2 0 0
−3 0 0 0
0 0 0 4
0 0 1 0
=
9.
1 0 1 0
0 1 0 1
1 1 0 0
0 0 1 1
=
Calculando Determinantes ao longo de linhas ou colunas
Menores: O menor de um elemento aij de uma matriz A de ordem n é definido como sendo o
determinante da submatriz Mij gerada pela retirada de i-ésima linha e da j-ésima coluna desta
matriz.
Notação: |Mij |.
Exemplo: Seja A uma matriz de ordem 3: A =
4 −1 2
3 0 5
6 1 7
. O menor do elemento a21 é o
determinante da submatriz M21 gerada pela retirada da linha 2 e coluna 1, isto é,
|M21 | =
−1 2
1 7
= − 9.
Uma matriz de ordem n possui nxn menores, cada um associado a um elemento desta matriz.
Cofatores: O cofator de um elemento aij de uma matriz A de ordem n é definido como sendo o
"menor com sinal" de aij e é dado pela seguinte relação:
Cofaij = −1i+j ⋅ |Mij|
Exemplo: Em relação ao exemplo anterior: Cofa21 = −12+1 ⋅ |M21|= −1−9 = 9.
Matriz de Cofatores: é definida como sendo a matriz cujos elementos são os cofatores dos
elementos da matriz original, ou seja:
Se A =
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
. . . . . . . . . . . .
an1 an2 . . . ann
nxn
, então a matriz dos cofatores é dada por:
20
Aula 2
CofA =
cofa11 cofa12 . . . cofa1n
cofa21 cofa22 . . . cofa2n
. . . . . . . . . . . .
cofan1 cofan2 . . . cofann
nxn
Matriz Adjunta: é definida como sendo a matriz de cofatores transposta, ou seja,
AdjA = CofAT.
Exemplo: A matriz dos cofatores de A =
4 −1 2
3 0 5
6 1 7
.
Exemplo: E a matriz adjunta de A =
4 −1 2
3 0 5
6 1 7
é:
Expansão de Determinantes por Co-fatores
O determinante de uma matriz quadrada de ordem n pode ser expandido em função de
cofatores, mediante uma das seguintes expressões:
|A| =
k=1
n
∑ aikcofaik, desenvolvendo através da linha i, ou
|A| =
k=1
n
∑ akjcofakj, desenvolvendo através da coluna j.
21
Aula 2
Exemplo: Seja A uma matriz de ordem 3: A =
2 3 5
6 7 5
1 10 11
.
O determinante calculado ao longo da primeira coluna é dado por:
detA = 2 ⋅ −11+1 ⋅
7 5
10 11
+ 6 ⋅ −12+1 ⋅
3 5
10 11
+ 1 ⋅ −13+1 ⋅
3 5
7 5
=O determinante calculado ao longo da segunda linha é dado por:
detA = 6 ⋅ −12+1 ⋅
3 5
10 11
+ 7 ⋅ −12+2 ⋅
2 5
1 11
+ 5 ⋅ −12+3 ⋅
2 3
1 10
=
Seja qual for a linha ou coluna utilizada para calcular o determinante, o resultado será o
mesmo:
det
2 3 5
6 7 5
1 10 11
= 136
DICA: Calcular o determinante ao longo da linha ou coluna que tenha o maior número de zeros.
Exercício 3: Usando expansão de cofatores por qualquer linha ou coluna que pareça
conveniente.
1.
5 2 2
−1 1 2
3 0 0
=
2.
1 1 −1
2 0 1
3 −2 1
=
3.
−4 1 3
2 −2 4
1 −1 0
=
4.
cosθ senθ tgθ
0 cosθ −senθ
0 senθ cosθ
=
5.
1 −1 0 3
2 5 2 6
0 1 0 0
1 4 2 1
=
22
Aula 2
6.
2 0 3 −1
1 0 2 2
0 −1 1 4
2 0 1 −3
=
Resp: 2) 7 3) -12 5) 4 6) 8
Curiosidade: O produto de uma matriz pela sua matriz adjunta dará uma matriz diagonal, cuja
diagonal é o valor do determinante da matriz original.
Exemplo: A =
a b
c d
e AdjA =
d −b
−c a
.Então,
a b
c d
d −b
−c a
=
ad − bc 0
0 ad − bc
.
Exercício 4: Multiplique a matriz A =
3 5
−1 4
pela sua matriz adjunta e calcule o
determinante de A. Compare os resultados.
Exercícios de revisão
1. Calcule os determinantes:
a)
a b 0
0 a b
a 0 b
= ab2 + a2b b)
0 a 0
b c d
0 e 0
= 0
c)
0 0 0 a
0 0 b c
0 d e f
g h i j
= abdg d)
1 0 0
0 cosθ −senθ
0 senθ cosθ
= 1
23
Aula 2
2. Resolva a equação
x 5 7
0 x + 1 6
0 0 2x − 1
= 0. Resp; x = 0 ou x = −1 ou x = ½.
3. Encontre os determinantes, assumindo que
a b c
d e f
g h i
= 4.
a)
2a 2b 2c
d e f
g h i
b)
3a −b 2c
3d −e 2f
3g −h 2i
c)
d e f
a b c
g h i
d)
a + g b + h c + i
d e f
g h i
e)
2c b a
2f e d
2i h g
Resp: a) 8 b) -24 c) -4 d) 4 e) -8
Exercícios de aplicação
1. Calcule a área do paralelogramo determinado pelos pontos:
a) (-2,-2), (0,3), (4,-1) e (6,4)
b) (0,0), (5,2), (6,4), (11,6)
c) (0,0), (-1,3), (4,-5), (3,-2)
2. Calcule a área do triângulo de vértices:
a) (0,0), (3,4), (-2,3)
b) (2,-1), (3,3), (-2,5)
c) (-3,-1), (1,4), (3,-2)
3. Determine o volume do paralelepípedo que tem os seguintes vértices:
a) (0,0,0), (1,0,-2), (1,2,4) e (7,1,0)
b) (0,0,0), (1,4,0), (-2,-5,2) e (-1,2, -1)
24
Álgebra Linear - Profa Ana Paula
AULA 3
Data: ____/_____/____
MATRIZ INVERSA
Matriz Inversa: Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Se detA ≠ 0, então existe uma
matriz B, tal que a seguinte relação seja satisfeita :
A ⋅ B = B ⋅ A = I (I é a matriz identidade)
A matriz B é chamada de matriz inversa de A e representada por B = A−1.
Logo, temos:
A ⋅ A−1 = A−1 ⋅ A = I
Observe que a operação de multiplicação com a matriz inversa é comutativa.
Se detA = 0, dizemos que a matriz A é não-inversível ou singular.
Cálculo da Matriz Inversa
A matriz inversa é calculada pela seguinte relação:
A−1 = 1detA AdjA.
Exemplo: Calculando a matriz inversa de A =
2 3 5
6 7 5
1 10 11
Calculando-se o determinante da matriz A:
2 3 5
6 7 5
1 10 11
= 136
A matriz de cofatores é calculada como sendo: CofA =
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
.
A matriz adjunta é ,a matriz dos cofatores A transposta:
AdjA = CofAT =
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
Com isso temos:
25
Aula 3
A−1 = 1detA AdjA =
1
136
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
=
27
136
1
8 −
5
34
−
61
136
1
8
5
34
53
136 −
1
8 −
1
34
.
Obs: Uma matriz triangular é inversível, se e somente se seus elementos na diagonal principal
são todos não-nulos.
Exercício 1: Calcule a matriz inversa de A, se possível:
a) A =
3 −1
1 1
b)
6 3
2 1
26
Aula 3
Propriedades
1) A inversa de uma matriz triangular inferior é uma matriz triangular inferior.
2) A inversa de uma matriz triangular superior é uma matriz triangular superior.
3) Se A ⋅ B é inversível, então A ⋅ B−1 = B−1 ⋅ A−1.
4) A é inversível, então A−1−1 = A.
5) A−n = A−1n =
n fatores
A−1 ⋅ A−1 ⋅… ⋅A−1.
5) An é inversível e An−1 = A−1n para n = 0,1,2, . . .
6) Para qualquer k constante real, a matriz k.A é inversível e.k ⋅ A−1 = 1k A
−1.
7) Se A é uma matriz inversível, então AT também é inversível eAT−1 = A−1T.
8) Se A é uma matriz simétrica inversível, então A−1 é simétrica.
9) Se A é uma matriz inversível, então A ⋅ AT e AT ⋅ A são também inversível.
Exercício 2: Seja A =
4 7
1 2
. Calcule:
a) A3
b) A−3
c) A2 − 2 ⋅ A + I, onde I é a matriz identidade
27
Aula 3
Exercício de revisão
1. Encontre a matriz inversa de cada matriz dada, se possível:
a) A =
3
4
3
5
5
6
2
3
Resp:não é possível
b)
2
2 − 2
2 2 2
Resp:
1
5 2
1
5 2
−
2
5 2
1
10 2
c)
cosθ −senθ
senθ cosθ
Resp:
cosθ −senθ
senθ cosθ
2. Mostre que a matriz
1 0 0
0 cosθ −senθ
0 senθ cosθ
é inversível para todos os valores de θ. Em
seguida, encontre a sua inversa. Resp:
1 0 0
0 cosθ senθ
0 −senθ cosθ
.
3. Dada A =
2 1
1 1
. Calcule:a) A2 b) A−2 c) A2 − 3 ⋅ A + I
Resp: a)
5 3
3 2
b)
2 −3
−3 5
c)
9 8
8 1
4. Dadas as matrizes A =
−2 −3
1 1
e B =
2 0
4 1
. Calcule:
a) A ⋅ B−1 b) A ⋅ BT c) A ⋅ A−1 − I d) 2 ⋅ B−1
Resp: a)
1
2
3
2
−3 −8
b)
−16 6
−3 1
c) 0 d)
1
4 0
−1 12
Exercício de aplicação
28
Aula 3
Uma maneira de codificar uma mensagem é através de multiplicação por matrizes. Vamos
associar as letras do alfabeto aos números, segundo a correspondência abaixo:
A B C D E F G H I J L M N O P Q R S T U V W X Y Z
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Suponhamos que a nossa mensagem seja "PUXA VIDA". Podemos formar uma matriz 3x3
assim:
P U X
A − V
I D A
, que usando a correspondência numérica fica .
15 20 23
1 0 21
9 4 1
= M
Agora seja C uma matriz qualquer 3x3 inversível, por exemplo: C =
1 0 1
−1 3 1
0 1 1
.
Multiplicamos nossa matriz da mensagem por C, obtendo
M ⋅ C =
15 20 23
1 0 21
9 4 1
1 0 1
−1 3 1
0 1 1
=
−5 83 58
1 21 22
5 13 14
Transmitimos esta nova matriz (na prática, envia-se a cadeia de números -5 83 58 1 21 22 5 13
14). Quem recebe a mensagem decodifica-a através da multiplicação pela inversa MC.C−1 = M)
e posterior transcrição dos números para letras. C é chamada a matriz chave para o código.
a) Você recebeu a mensagem: -12 48 23 -2 42 26 1 42 29. Utilizando a mesma chave, traduza
a mensagem.
b) Aconteceu que o inimigo descobriu sua chave. O seu comandante manda você substituir a
matriz chave por C =
1 1 −1
1 1 0
0 0 2
. Você transmite a mensagem "CRETINO" a ele (codificada,
naturalmente!). Por que não será possível a ele decodificar sua mensagem?
c) Escolha uma outra matriz-chave que dê para codificar palavras até 9 letras. Codifique e
descodifique à vontade!
29
Álgebra Linear - Profa Ana Paula
AULA 4
Data: ____/_____/____
Equações matriciais
Exercício 1: Ache X, dadas A =
1 2
3 4
e B =
−1 0
1 1
.
1. X − 2A + 3B = 0
2. 2X = A − B
3. 2A + 2B = 3X
4. 2A − B + X = 3X − A
30
Aula 4
Exercício 2: Resolva a seguinte equação matricial em X (assuma que as matrizes são tais que
as operações indicadas estão definidas)
1. ABX = C
2. CAXT = C
3. AX2C = AXBC
4. ADX = ABC
31
Aula 4
5. DXT = DC
6. ABCX2D2 = ABCXD
7. D−1XD = AC
8. CX + 2B = 3B
Exercício de revisão
Resolva a seguinte equação matricial em X (assuma que as matrizes são tais que as operações
indicadas estão definidas)
1. A−1BX−1 = A−1B32
2. XA2 = A−1
3. AXB = BA2
4. A−1X−1 = AB−2A−1
5. ABXA−1B−1 = I + A
32
g
AULA 5
Data: ____/_____/____
Sistemasde Equações Lineares
E quação Linear
Qualquer linha reta no plano xy pode ser representada algebricamente por uma equação da
forma:
a1 ⋅ x + a2 ⋅ y = b
onde a1, a2 e b são constantes reais e a1 e a2 não são ambas nulas. Uma equação desta forma
é chamada de equação linear nas variáveis x e y. De forma geral, uma equação linear nas n
variáveis x1, x2, ..., xm como uma equação que pode ser expressa na forma:
a1 ⋅ x1 + a2 ⋅ x2 +⋯ + am ⋅ xm = b
onde a1, a2, ..., am e b são constantes reais. As variáveis de uma equação linear são, muitas
vezes, chamadas incógnitas.
Exemplo: São equações lineares:
x + 3y = 7
y = 12 x + 3z + 1
x1 − 2x2 − 3x3 + 2 x4 = −33
Não são equações lineares:
x + 3 y = 5
3x + 2y − z + xz = 4
y = senx
Exercício 1:Quais das seguintes equações são lineares:
1. x1 − 5x2 − 2 x4 = 1
2. x1 + 3x2 + x2x3 = 2
3. x1 = −7x2 − 3x3
4. x1−2 − 2x2 − 3x3 = 5
5. x1
3
5
− 2x2 + x3 = 4
6. πx1 − 2 x2 − 34 x3 = 0
Exercício 2: Sabendo que k é uma constante, quais das seguintes equações são lineares?
1. x1 − 2x2 − 3x3 = senk
2. kx1 − 2k x2 = 9
3. 2kx1 + 7x2 − x3 = 0
32
Sistemas de equações lineares
Um sistema de n equações lineares e m incógnitas tem a seguinte representação algébrica:
a11 ⋅ x1 + a12 ⋅ x2 +⋯ + a1m ⋅ xm = b1
a21 ⋅ x1 + a22 ⋅ x2 +⋯ + a2m ⋅ xm = b2
⋯
an1 ⋅ x1 + an2 ⋅ x2 +⋯ + anm ⋅ xm = bn
onde aij são coeficientes conhecidos, bi são constantes dadas e xj são as incógnitas do
sistema.
Uma equação genérica i do sistema poderia ser representada usando a notação∑ (somatório)
da seguinte maneira:
∑
=
=
n
j
ijij bxa
1
Para se representar todas as equações do sistema, basta fazer:
∑
=
==
n
j
ijij miparabxa
1
,,2,1 h
Deseja-se agora, representar o sistema usando notação matricial. Pode-se reescrevê-lo da
seguinte maneira:












=




































+++
n
m
nm
m
m
nn b
b
b
x
a
a
a
x
a
a
a
x
a
a
a
����
�
2
1
2
1
2
2
22
12
1
1
21
11
Definindo-se os vetores:












=












=












=












=
nnm
m
m
m
nn b
b
b
b
a
a
a
A
a
a
a
A
a
a
a
A
llll
2
1
2
1
2
22
12
2
1
21
11
1
podemos reescrever o sistema de equações da seguinte forma:
A1 ⋅ x1 + A2 ⋅ x2 +. . . .+Am ⋅ xm = b.
Finalmente se definirmos a matriz A e o vetor x na forma:
33












=












=
mnmnn
m
m
x
x
x
x
aaa
aaa
aaa
A
�
�
����
�
�
2
1
21
22221
11211
podemos representar o sistema matricialmente como:
A ⋅ x = B
ou seja,
� �
B
n
x
m
A
nmnn
m
m
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa












=
























ll
MMM LMMM KI
h
llll
h
h
2
1
2
1
21
22221
11211
Nesta notação matricial. A é denominada matriz de coeficientes, x é denominado matriz das
variáveis e B é denominado matriz dos termos independentes.
Exemplo: Seja o sistema de equações lineares
3 ⋅ x1 − 4 ⋅ x2 + 2 ⋅ x3 = 0
4 ⋅ x1 + 2 ⋅ x2 = −1
−2 ⋅ x2 + x3 = 3
−2 ⋅ x1 + 3 ⋅ x3 = 2
. Este sistema tem
4 equações e 3 incógnitas.
Na forma matricial, tem-se:
A
3 −4 2
4 2 0
0 −2 1
−2 0 3
4x3 X
⋅
x1
x2
x3
3x1
=
B
0
−1
3
2
Matriz Aumentada: A matriz aumentada é obtida pela adjunção de b a A como a última coluna.
[ ]












=
nnmnn
m
m
baaa
baaa
baaa
bA
��
������
��
��
�
21
222221
111211
34
Exemplo: Usando o último exemplo, a matriz aumentada deste sistema fica:
3 −4 2 0
4 2 0 −1
0 −2 1 3
−2 0 3 2
4x4
Exercício 3: Encontre a matriz aumentada de cada um dos seguintes sistemas de equações
lineares:
a)
3x − 2y = −1
4x + 5y = 3
7x + 3y = 2
b)
2x + 4z = 1
3x − y + 4z = 7
6x + y − z = 0
c)
x1 + 2x 2 − x4 + x5 = 1
3x2 + x3 − x5 = 2
x3 + 7x4 = 1
d)
x1 = 1
x2 = 2
x3 = 3
Exercício 4: Encontre o sistema de equaçõe lineares correspondendo à matriz aumentada:
a)
2 0 0
3 −4 0
0 1 1
b)
3 0 −2 5
7 1 4 −3
0 −2 1 7
c)
7 2 1 −3 5
1 2 4 0 1
d)
1 0 0 0 7
0 1 0 0 −2
0 0 1 0 3
0 0 0 1 4
35
Tipo de sistemas
Um sistema de equações lineares (SEL) tem solução quando existem valores para x1,x2, . . . ,xn
que sastifazem, simultaneamente, todas as equações do sistema.
Quanto a existência de soluções:
Sistema Impossível (SI): Um sistema de equações que não possui solução
Sistema Possível (SP): Se existir pelo menos uma solução do sistema, dizemos que ele é
possível.
Obs: Todo sistema de equações lineares tem ou nenhuma solução, ou exatamente uma, ou
então uma infinidade de soluções.
Quanto ao número de soluções:
Um sistem possível pode ter um única solução ou infinitas soluções. Quando possui uma única
solução, dizemos que o sistema é possível e determinado(SPD). E quando possuir infinitas
soluções, dizemos que o sistema é possível e indeterminado (SPI).
Pode ser classificado de acordo com a matriz B:
Sistema Homogêneo: Um sistema linear é dito homogêneo, se a matriz B do sistema é nula,
isto é, bj = 0 para qualquer j.
a11 ⋅ x1 + a12 ⋅ x2 +⋯ + a1m ⋅ xm = 0
a21 ⋅ x1 + a22 ⋅ x2 +⋯ + a2m ⋅ xm = 0
⋯
an1 ⋅ x1 + an2 ⋅ x2 +⋯ + anm ⋅ xm = 0
Se pelo ao menos um bj ≠ 0, então o sistema é dito não-homogêneo.
O sistema homogêneo sempre tem solução, pois têm x1 = 0,x2 = 0, . . . ,xn = 0 sempre como
uma solução. Esta solução é chamada de solução trivial ou solução nula; se há outras soluções
estas soluções são chamadas não-triviais.
Como um sistema linear homogêneo sempre tem solução trivial, só existem duas possibilidades
para suas soluções:
- O sistema tem somente a solução trivial;
- O sistema tem infinitas soluções além da solução trivial.
O sistema homogêneo tem infinitas soluções sempre que o sistema tiver mais incógnitas que
equações.
36
Exercício 5: Classifique os sistemas abaixo em relação a matriz B:
a)
3x − 2y = −1
4x + 5y = 3
7x + 3y = 2
b)
2x + 4z = 0
3x − y + 4z = 0
6x + y − z = 0
c)
x1 + 2x 2 − x4 + x5 = 0
3x2 + x3 − x5 = 0
x3 + 7x4 = 1
d)
x1 + x2 = 0
x1 + x2 = 0
x1 + x2 − x3 = 0
Resolver um SEL
Resolver um SEL é encontrar a solução deste sistema, isto é, encontrar os valores das
incógnitas que sastifaçam, simultaneamente, todas as equaçõe do sistema. Lembrando que nem
todo sistema tem solução.
A partir de agora, veremos alguns métodos que nos permitirá resolver o SEL. Mas antes disto,
veremos as operações que podemos realizar para encontrar uma solução.
Operações Elementares
O método básico de resolver um sistema de equações lineares é substituir o sistema dado por
um sistema novo que tem o mesmo conjunto-solução, mas que é mais simples de resolver. Este
sistema novo é geralmente obtido numa sucessão de passos aplicando a matriz aumentada os
seguintes três tipos de operações para eliminar sistematicamente as incógnitas:
- Multiplicar uma linha inteira por uma constante. (Li = k ⋅ Li, onde ké um constante real ≠ 0);
Exemplo:










−−
⇒↔⇒










−−
8200
17431
10422
17431
8200
10422
32 LL
- Trocar duas linhas entre si.(Li  Lj);
Exemplo:
37
Aula 5
Exemplo:2 2 4 10
0 4 4 24
0 0 2 8
4
2
2 2 4 10
0 1 1 6
0 0 1 4
2
2
3
3
− − −
− −










⇒
=
−
=
−





⇒










L
L
L
L
- Somar um múltiplo de uma linha a uma outra linha (Lj = Lj + k ⋅ Li, onde ké um constante real
≠ 0);
Exemplo:










−−⇒−=⇒










17431
8200
10422
2
17431
9311
10422
212 LLL
Estas três operações são chamadas operações elementares sobre linhas.
Matriz escalonada: Uma matriz está na forma escalonada reduzida por linhas, ou
simplesmente, forma escalonada reduzida, se:
1. Se uma linha não consistir só de zeros, então o primeiro número não –nulo da linha é um 1,
chamado de pivô.
2. Se existirem linhas constituídas somente de zeros, elas estão agrupadas juntas nas linhas
inferiores da matriz.
3. Em quaisquer duas linhas sucessivas que não consistem somente de zeros, o pivô da linha
inferior ocorre mais à direita que o pivô da linha superior.
4. Cada coluna que contém um pivô tem zeros nos demais elementos.
Dizemos que uma matriz que tem as 3 primeiras propriedades está na forma escalonada por
linhas, ou simplesmente, em forma escalonada.Assim, uma matriz em forma escalonada reduzida
por linhas necessariamente está em forma escalonada, mas não reciprocamente.
Observe que uma matriz na forma escalonada tem zeros abaixo do pivô, enquanto que uma
matriz em forma escalonada reduzida por linhas tem zeros abaixo e acima do pivô.
Exemplo: Matrizes estão na forma escalonada as matrizes A, C, D e na forma escalonada
reduzida as matrizes B, C, D.
A =
1 2 0 4
0 1 0 7
0 0 1 −1
B =
0 0
0 0
C =
0 1 −2 0 1
0 0 0 1 3
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
D =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Exemplo: Matrizes que não estão na forma escalonada:
A =
1 0 0 4
0 0 0 7
0 0 1 −1
B =
1 0
0 2
C =
0 1 −2 0 1
0 0 0 1 3
0 0 0 2 0
0 0 0 0 0
D =
1 0 0
0 0 0
0 0 1
38
Aula 5
Exercício 6: Determine se a matriz está na forma escalonada, escalonada reduzida, ambas ou
nenhuma das duas. Justifique sua resposta.
A =
1 0 0 5
0 0 1 3
0 1 0 4
B =
0 0
0 0
0 0
C =
1 2 0 3 0
0 0 1 1 0
0 0 0 0 1
0 0 0 0 0
D =
1 0 0
0 0 0
0 0 1
E =
1 3 0 2 0
1 0 2 2 0
0 0 0 0 1
0 0 0 0 0
F =
1 0 3 1
0 1 2 4
G =
1 −7 5 5
0 1 3 2
Métodos para encontrar a solução de sistemas de equações lineares
Método de Eliminação
Seja o sistema linear Ax = B, onde A tem todas as submatrizes principais não singulares O
método de Eliminação de consiste em transformar a matriz aumentada do sistema dado num na
forma escalonada por linhas pela aplicação repetidamente as operações elementares. Claro que tal
operação não altera a solução do sistema, isto é, obtém-se com ela outro sistema equivalente ao
original.
Descrição do algoritmo
Consideremos o sistema:
a11 ⋅ x1 + a12 ⋅ x2 +⋯ + a1m ⋅ xm = b1
a21 ⋅ x1 + a22 ⋅ x2 +⋯ + a2m ⋅ xm = b2
⋯
an1 ⋅ x1 + an2 ⋅ x2 +⋯ + anm ⋅ xm = bn
cuja matriz aumentada chamaremos A1. Montamos a tabela:














)1()1()1(
2
)1(
1
)1(
2
)1(
2
)1(
22
)1(
21
)1(
1
)1(
1
)1(
12
)1(
11
nnnnn
n
n
baaa
baaa
baaa
�
�����
�
�
onde aij
1
= aij e bij
1
= bij p/ i, , j = 1,2. . . ,n.
Por hipótese temos que a11
1
≠ 0, pois detA ≠ 0.
Passo 1: Localize a coluna mais à esquerda que não seja constituída inteiramente de zeros.
39
Aula 5
Passo 2: Permute a primeira linha com uma outra linha, se necessário, para obter um elemento
não-nulo ao topo da coluna encontrada no Passo1.
Passo 3: Se o elemento, que agora está no topo da coluna encontrada no Passo 2, é a,
multiplique a primeira linha inteira por 1/a para introduzir um pivô.
Passo 4: Some múltiplos convenientes da primeira linha às linhas inferiores para obter zeros
em todos os elementos abaixo do pivô. Para isso:
Subtraímos da 2a equação a 1a equação multiplicada por a21
1
a11
1 .
Subtraímos da 3a equação a 1a equação multiplicada por a31
1
a11
1 .
Subtraímos da na equação a 1a equação multiplicada por an1
1
a11
1 .
Passamos então da tabela inicial a tabela:














)2()2()2(
2
)2(
2
)2(
2
)2(
22
)1(
1
)1(
1
)1(
12
)1(
11
0
0
nnnn
n
n
baa
baa
baaa
�
�����
�
�
onde
)1(
11
)1(
1)1(
1
)1()2(
)1(
11
)1(
1)1(
1
)1()2(
a
abbb
a
aaaa
i
ii
i
jijij
−=
−=
p/ i, j = 1,2, . . .n.
Por hipótese temos que a22
2
≠ 0, pois detA ≠ 0.
Passo 5: Agora esconda a primeira linha da matriz e recomece aplicando o Passo 1 a
submatriz resultante. Continue desta maneira até que toda a matriz esteja na forma escalonada.
Para isso:
Subtraímos da 3a equação a 1a equação multiplicada por a32
2
a22
2 .
Subtraímos da 4a equação a 1a equação multiplicada por a42
2
a22
2 .
Subtraímos da na equação a 1a equação multiplicada por an2
2
a22
2 .
40
Aula 5
Obtemos então a tabela:














)3()3(
)2(
2
)2(
2
)2(
22
)1(
1
)1(
1
)1(
12
)1(
11
00
0
0
nnn
n
n
ba
baa
baaa
�
����
�
�
onde
)2(
22
)2(
2)2(
2
)2()3(
)2(
22
)2(
2)2(
2
)2()3(
a
abbb
a
aaaa
i
ii
i
jijij
−=
−=
p/ i, j = 1,2, . . .n.
Por hipótese temos que a33
3
≠ 0, pois detA ≠ 0.
E assim sucessivamente até chegarmos ao:
Temos por hipótese que an−1,n−1
n−1
≠ 0, pois detA ≠ 0.
Subtraímos da na equação, a n − 1a equação multiplicada por . an,n−1
n−1
an−1,n−1
n−1 .
E assim, obtemos a tabela:




















−
−
−
−
−
−−
−
−
−
)()(
)1(
1
)1(
,1
)1(
1,1
)3(
3
)3(
3
)3(
1,3
)3(
33
)2(
2
)2(
2
)2(
1,2
)2(
23
)2(
22
)1(
1
)1(
1
)1(
1,1
)1(
13
)1(
12
)1(
11
0000
000
000
00
0
n
n
n
nn
n
n
n
nn
n
nn
nn
nn
nn
ba
baa
baaa
baaaa
baaaaa
h
h
hhhh
h
h
h
onde
)1(
1,1
)1(
1,)1(
1
)1()(
)1(
1,1
)1(
1,)1(
,1
)1()(
−
−−
−
−
−
−
−
−
−−
−
−
−
−
−
−=
−=
n
nn
n
nin
n
n
i
n
i
n
nn
n
nin
jn
n
ij
n
ij
a
a
bbb
a
a
aaa
p/ i=n, j = n-1,n.
41
Aula 5
Assim o sistema triangular obtido




















=
=+
=+++
=+++
=+++++
−
−
−
−−
−
−−
−−
−−
−−
)()(
)1(
1
)1(
,11
)1(
1,1
)3(
3
)3(
31
)3(
1,33
)3(
33
)2(
2
)2(
21
)2(
1,23
)2(
232
)2(
22
)1(
1
)1(
11
)1(
1,13
)1(
132
)1(
121
)1(
11
n
nn
n
nn
n
nn
n
nnn
n
nn
nnnn
nnnn
nnnn
bxa
bxaxa
bxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxaxa
����
�
�
�
é equivalente ao original.
Passo 6: Começando com a última linha não-nula e trabalhando para cima, some múltiplos
convenientes de cada linha às linhas superiores para introduzir zeros acima dos pivôs.
E assim, obtemos a tabela:




















−
−
−
−−
)()(
)1(
1
)1(
1,1
)3(
3
)3(
33
)2(
2
)2(
22
)1(
1
)1(
11
0000
0000
000
0000
0000
0000
n
n
n
nn
n
n
n
nn
ba
ba
ba
ba
ba
�
�
����
�
�
�
Assim o sistema triangular obtido




















=
=+
=+++
=++++
=+++++
−
−−−
−−
)()(
)1(
11
)1(
1,1
)3(
33
)3(
33
)2(
22
)2(
22
)1(
11
)1(
11
0
00
000
0000
n
nn
n
nn
n
nn
n
nn
bxa
bxa
bxa
bxa
bxa
����
�
�
�
Até o Passo 5, isto é, até obter a matriz aumentada a forma escalonada, o método tem o nome
de Eliminação Gaussiana. E para encontrar a solução do sistema, usa-se a substituição inversa.
Desenvolvendo até o Passo 6, isto é, até obter a matriz aumentada a forma escalonada reduzida
por linhas, o método tem o nome de Eliminação de Gauss-Jordan.
42
Aula 5
Obs: Toda matriz tem uma única forma escalonada reduzida por linhas. Porém, uma forma
escalonada de uma dada matriz não é única.
Exemplo: Resolver o sistema usando o método de eliminação de Gauss.
6 2 1
2 4 1
3 2 8
7
7
13
1
2
3
−



















=










x
x
x
Temos a matriz aumentada:
6 2 1 7
2 4 1 7
3 2 8 13
−









Passo 3:









 −
13823
7142
6/76/13/11
Passo 4:









 −
2/193/1710
3/143/43/100
6/76/13/11
Passo 5:










=



















 −
10/81
3/14
6/7
10/8100
3/43/100
6/121
3/1
3
2
1
x
x
x
Assim obtemos:
1726
1
3
14
3
4
3
10
1
10
81
10
81
1321
232
33
=⇒=−+
=⇒=+
=⇒=∴
xxxx
xxx
xx
43
Aula 5
Portanto, a solução é x =
1
1
1
.
A seguir serão mostrados os passos usados num exemplo prático, onde as operações
indicadas são operações elementares, feitas com as equações lineares que compõe o sistema de
equações.
Exemplo: Seja o sistema





=++
=++
=++
1743
93
10422
321
321
321
xxx
xxx
xxx
matricialmente teremos:










=




















17
9
10
431
311
422
3
2
1
x
x
x
Usando operações elementares, podemos executar os seguintes passos:
Passo 1: Substituir a segunda linha pela soma da segunda linha, multiplicada por (-2), com a
primeira linha L2 = L1 − 2L2










−−⇒−=⇒










17431
8200
10422
2
17431
9311
10422
212 LLL
Passo 2: Trocar a segunda linha pela terceira;










−−
⇒



=
=
⇒










−−
8200
17431
10422
17431
8200
10422
23
32
LL
LL
Passo 3: Substituir a segunda linha pela soma da segunda linha, vezes (-2) com a primeira
linha;










−−
−−−⇒−=⇒










−− 8200
24440
10422
2
8200
17431
10422
212 LLL
Passo 4: Dividir a segunda linha por (-4) e a terceira linha por (-2);
44
Aula 5










⇒





−
=
−
=
⇒










−−
−−−
4100
6110
10422
2
4
8200
24440
10422
3
3
2
2
LL
LL
Passo 5: Substituir a segunda linha pela diferença entre a segunda e terceira linhas;










⇒−=⇒










4100
2010
10422
4100
6110
10422
422 LLL
Passo 6: Substituir a primeira linha pela diferença entre a primeira linha e (-4) vezes a terceira
linha;









 −
⇒−=⇒










4100
2010
6022
4
4100
2010
10422
311 LLL
Passo 7: Finalmente, substituir a primeira linha pela diferença entre a primeira linha e (-4) vezes
a terceira linha;









 −
⇒−=⇒









 −
4100
2010
5001
2
4100
2010
6022
2
1
1 L
LL
Com isso obtemos para solução do sistema:





=
=
−=
4
2
5
3
2
1
x
x
x
Obs: Em sistemas grandes, o método de eliminação de Gauss-Jordan requer cerca de 50%
mais operações que a eliminação gaussiana.
Exercício 7: Resolva os sistemas e classifique-os quanto ao número de soluções.
1.
2x + 3y = 18
3x + 4y = 25
45
Aula 5
2.
4x + 2y = 100
8x + 4y = 200
3.
3x + 9y = 12
3x + 9y = 15
4.
2x + 4y − 6z = 10
4x + 2y + 2z = 16
2x + 8y − 4z = 24
46
Aula 5
5.
2x + y + 3z = 8
4x + 2y + 2z = 4
2x + 5y + 3z = −12
6.
2x + 4y = 16
5x − 2y = 4
10x − 4y = 3
47
Aula 5
7.
2x + 4y = 16
5x − 2y = 4
4x − 5x = −7
3x + 2y = 9
Característica de uma matriz
Característica da matriz aumentada (Ca): é o número de linhas com elementos não todos
nulos de sua forma escalonada equivalente.
Característica da matriz dos coeficientes (Cv): é o número de linhas com elementos não
todos nulos de sua forma escalonada equivalente.
Se Ca >Cv , o sistema é impossível (SI).
Se Ca = Cv = número de variáveis do sistema, o sistema é possível e determinado (SPD).
Se Ca = Cv < número de variáveis do sistema, o sistema é possível e indeterminado (SPI).
Então o grau de liberdade é g = número de variáveis - número de equações não nulos na forma
escalonada.
Exercício 8: Reveja os sistemas do exercício anterior, analisando a Ca e Cv.
Exercício 9. Resolva os sistemas e classifique-os quanto ao número de soluções.
1.
2x − 8y + 24z + 18w = 84
4x − 14y + 52x + 42w = 190
48
Aula 5
2.
3x + 6y − 9z = 0
2x + 4y − 6z = 0
3.
2x + 4y = 0
16 − 8x = 0
12x − 2y = 0
49
Aula 5
4.
x − 3y − 4z = 0
x − y − z = 0
x − y + z = 0
5.
3x + 2y − 5z = 8
2x − 4y − 2z = −4
x − 2y − 3z = −4
50
Aula 5
6.
2x + 4y + 6z = −6
3x − 2y − 4z = −38
x + y + 3z = −3
Regra de Cramer
Seja o sistema Ax = B onde detA é o determinante da matriz A. Seja detAi o determinante da
matriz formada pela substituição da coluna i da matriz A pelo vetor de coeficientes constantes B.
Cramer demonstrou que a solução deste sistema é dada por
nip
A
A
x ii �,2,1/)det(
)det(
==
Exemplo: Resolver o sistema linear através da regra de Cramer:
3x + 2y − 5z = 8
2x − 4y − 2z = −4
x − 2y − 3z = −4
51
Aula 5
Obs: Só pode ser usado se detA ≠ 0.
Para resolver um sistema de n equações lineares com n incógnitas pela Regra de Cramer, é
necessário calcularn + 1 determinantes de matrizes nxn. Para sistema com mais de 3 equações, a
eliminação de Gauss é muito mais eficiente, pois somente requer a redução de uma matriz
aumentada nx(n+1).
Exercício 10: Resolver o sistema linear através da regra de Cramer, se possível:
1.
7x − 2y = 3
3x + y = 5
2.
4x + 5y = 2
11x + y + 2z = 3
x = 5y + 2z = 1
52
Aula 5
3.
x − 4y + z = 6
4x − y + 2z = −1
2x + 2y − 3z = −20
4.
3x − y + z = 4
−x + 7y − 2z = 1
2x + 6y − z = 5
53
Aula 5
Método por inversão de matriz
Dado um sistema de equações lineares na forma Ax = B, podemos multiplicá-lo a esquerda por
A
−1, e obtermos:
A−1Ax = A−1B
Simplificando a equação anterior, usando A−1A = I obtemos a igualdade:
x = A−1B
que é a solução do sistema de equações.
Obs: É vantajoso utilizar este método quando a matriz dos coefiecientes é fixa e a matriz B
varia.
Exemplo: Resolver o SEL. fazendo a inversão da matriz de coeficientes:





=++
=++
=++
843
53
8422
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Colocando o sistema em notação matricial, temos:










=




















8
5
8
431
311
422
3
2
1x
x
x
Como visto anteriormente










−
−
−−
=
−
012/1
2/114/1
2/114/5
1A
ou sejas a solução do sistema será dada por :
�










=⇒










−










−
−
−−
=
1
1
1
8
5
8
1
012/1
2/114/1
2/114/5
x
bA
x
MMM LMMM KI
Exemplo: Resolva o sistema por inversão de matrizes:
x + y = 2
5x + 6y = 9
A inversa da matriz A =
1 1
5 6
é
6 −1
−5 1
. Então a solução do SEL será:
54
Aula 5
x
y
=
6 −1
−5 1
2
9
=
3
−1
.
Exemplo: Resolva o sistema por inversão de matrizes:
x + y = 3
5x + 6y = 5
Como já foi calculada a matriz inversa no exemplo anterior, temos a solução dada por:
x
y
=
6 −1
−5 1
3
5
.=
13
−10
Exercício 11: Resolva o seguinte sistema geral por inversão de matrizes.
x + 2y + z = b1
x − y + z = b2
x + y = b3
para
a) b1 = −1,b2 = 3,b3 = 4
b) b1 = 5,b2 = 0,b3 = 0
c) b1 = −1,b2 = −1,b3 = 3
55
Aula 5
Geometricamente
O conjunto-solução de um sistema linear de duas equações com duas incógnitas é equivalente
a determinar a interseção de duas retas:
ax + by = c
dx + ey = f
com a e b não são simultaneamente nulos e nem o são d e e.Este sistema admite uma
interpretação geométrica, e suas propriedades motivam o caso geral.
Há três casos, que podem ser descritos geometricamente.
Caso 1: O sistema tem exatamente uma solução (SPD). Os gráficos das equações lineares se
interceptam em um ponto, isto é, as retas são concorrentes.
X
Y
Caso 2: O sistema não admite soluções (SI). Os gráficos das equações lineares são paralelos,
isto é, as retas são paralelas.
X
Y
Caso 3: O sistema tem um número infinito de soluções (SPI). Aqui o gráfico das equações
lineares coincidem, isto é, as retas são coincidentes.
X
Y
56
Aula 5
Exercício 12: Determinar a interseção entre as duas retas e esboce o gráfico.
1.
2x + 3y = 1
5x + 7y = 3
2.
2x + 4y = 10
3x + 6y = 15
3.
4x − 2y = 5
−6x + 3y = 1
57
Aula 5
Exemplo: Encontre a reta interseção dos planos x + 2y − z = 3 e 2x + 3y + z = 1.
Exercício 13: Encontre a reta interseção dos planos
a) 3x + 2y + z =-1 e 2x − y + 4z = 5
b) 4x + y − z = 0 e 2x − y − 3z = 4
58
Aula 5
Método para inverter matrizes usando operações elementares
Para encontrar a inversa de uma matriz inversível A, nós devemos encontrar uma seqüência de
operações elementares sobre linhas que reduz A à identidade e depois efetuar esta mesma
seqüência de operações na matriz identidade I para obter A−1.
[ ]
[ ]1−
⇓
AI
IA
l
MLMKI
l
Exemplo: Encontre a Inversa de










=
431
311
422
A
Montar a matriz:
��� ���� ��
�
�
�
I 
100
010
001
431
311
422
A










Efetuar operações elementares na matriz acima até que:
������ ������� ��
�
�
�
-1A 
012/1
2/114/1
2/114/5
100
010
001
I










−
−
−−
Exercício 14: Calcule a matriz inversa das matrizes abaixo. Use o método com operações
elementares:
1)
−3 0 7
2 5 1
−1 0 5
59
Aula 5
2)
2 0 3
0 3 2
−2 0 −4
Obs: Se A é uma matriz quadrada de ordem n, então as seguintes afirmações são
equivalentes:
a) A é inversível
b) detA ≠ 0
c) Ax = 0 só tem a solução trivial
d) Ax = B é possível e tem exatamente uma única solução.
Resumo
Tipo de sistema no. de eq. no. de var. determinante Escalonada Classificação Método
AX = B
AX = 0
60
Aula 5
Exercícios de revisão:
1. Encontre o conjunto-solução de cada uma das seguintes equaçõe lineares:
a) 7x − 5y = 3
b) 3x1 − 5x2 + x3 = 7
c) −8x1 + 2x2 − 5x3 + 6x4 = 1
d) 3v − 8w + 2x − y + 4z = 0
2. Em cada parte, suponha que a matriz aumentada de um SEL foi reduzida à forma
escalonada dada. Resolva o sistema:
a)
1 −3 4 7
0 1 2 2
0 0 1 5
b)
1 0 8 −5 6
0 1 4 −9 3
0 0 1 1 2
c)
1 7 −2 0 −8 −3
0 0 1 1 6 5
0 0 0 1 3 9
0 0 0 0 0 0
d)
1 −3 7 1
0 1 4 0
0 0 0 1
3. Resolva cada um dos seguintes sistemas:
a)
x + y + 2z = 8
−x − 2y + 3z = 1
3x + 7y + 4z = 20
Resp: x=3, y=1 e z=2
b)
−2b + 3c = 1
3a + 6b − 3c = −2
6a + b + 3c = 5
Resp: SI
c)
4x − 8y = 12
3x − 6y = 9
−2x + 4y = −6
Resp: x=3+2y
d)
5x − 3y + 6z = 0
−2x + y + 3z = 1
Resp: x=-3+15z e y = -5+27z
61
Aula 5
e)
v + 3w − 2x = 0
2u + v − 4w + 3x = 0
2u + 3v + 2w − x = 0
−4u − 3v + 5w − 4x = 0
Resp: u = −52 x +
7
2 w e v=2x-3w
f)
2x − y − 3z = 0
x + 2y = 0
x + y + 4z = 0
Resp: trivial
g)
x − 3y + z = 4
2x − y = −2
4x − 3z = 0
Resp: x = −3011 , y =
−38
11 , z =
−40
11
4. Use o método de inversão de matrizes para resolver o SEL:
a)
x − 5y = b1
3x + 2y = b2
para b1 = 1,b2 = 4 e b1 = −2,b2 = 5 Resp:x = 2217 e y =
1
17 ; x =
21
17 e
y = 1117
b)
x + 3y + 5z = b1
−x − 2y = b2
2x + 5y + 4z = b3
para
b1 = 1,b2 = 0,b3 = −1
b1 = 0,b2 = 1,b3 = 1
b1 = −1,b2 = −1,b3 = 0
. Resp:
x = 18,y = −9, z = 2
x = 23,y = 11, z = −2
x = 5,y = −2, z = 0
5. Calcule a matriz inversa das matrizes abaixo. Use o método com operações elementares:
a)
2 −3 5
0 1 −3
0 0 2
Resp:
1
2
3
2 1
0 1 32
0 0 12
b)
2 0 0
8 1 0
−5 3 6
Resp:
1
2 0 0
−4 1 0
29
12 −
1
2
1
6
6.O sistema seguinte não tem soluções para quais valores de a? Exatamente uma solução?
Infinitas soluções?
x + 2y − 3z = 4
3x − y + 5z = 2
4x + y + a2 − 14z = a + 2
Resp: a = −4, nenhuma; a ≠ ±4, exatamente uma; a = 4, infinitas.
7.Determine o valor de m para que o sistema seja
62
Aula 5
2m − 1x + my = m
m + 4y = 9m
a) Possível determinado Resp; m ≠ 1/2, m≠ 4
b) Possível indeterminado Resp: m=1/2
c) Impossível Resp: m = -4
8. Dê um exemplo de três planos:
a) cuja interseção seja uma reta.
b) não tenham nenhum ponto em comum, mas se interceptam dois a dois.
c) de modo que exatamente dois deles sejam paralelos.
d) que se interceptam em um único ponto.
Exercícios de aplicação
1 Uma florista oferece três tamanhos de arranjos de flores com rosas, margaridas e
crisântemos. Cada arranjo pequeno contém uma rosa, três margaridas e três crisântemos. Cada
arranjo médio contém duas rosas, quatro margaridas e seis crisântemos. Cada arranjo grande
contém quatro rosas, oito margaridas e seis crisântemos. Um dia, a florista notou que havia usado
um total de 24 rosas, 50 margaridas e 48 crisântemos ao preparar as encomendas desses três
tipos de arranjos.
a) Monte um sistema de equações lineares que represente o problema acima.
b) Quantos arranjos de cada tipo ela fez? Use somente uns dos métodos apresentados em sala
de aula para resolver o problema.
Resp: 2,3,4
2. O seguinte problema faz parte do texto chinês Jiuzhang suanshu (Nove capítulos em arte
matemática), escrito durante a Dinastia de Han, cerca de 200 anos a.C.:
Há três tipos de milhos. Três feixes do primeiro tipo, dois do segundo e um do terceiro fazem 39
medidas. Dois feixes do primeiro tipo, três do segundo e um do terceiro fazem 34 medidas. Um
feixe do primeiro tipo, dois do segundo e três do terceiro fazem 26 medidas.
a) Monte um sistema de equações lineares que represente o problema acima.
b) Quantas medidas de milho há em um feixe de cada tipo? Use somente uns dos métodos
apresentados em sala de aula para resolver o problema.
Resp: 9,25, 4,25 e 2,75
3. A adição de funções racionais (quociente de polinomiais) obtida através de uma escolha de
um denominador comum, é feita de modo análogo à adição de números racionais. O processo
reverso, de separar uma função racional escrevendo-a como uma soma de funções racionaissimples, é útil em muitas áreas da matemática; por exemplo, aparece em cálculo diferencial e
integral quando precisamos integrar uma função racional, e em matemática discreta, quando
usamos funções geradoras para resolver relações de recorrência. A decomposição de uma função
racional como soma de frações parciais leva a uma sistema de equações lineares.
Encontre os valores de A, B e C que tornem a equação uma identidade.
a) x2+x−2
3x−1x2+1
=
A
3x−1 +
Bx+C
x2+1
Resp: A = -7/5, B = 4/5, C = 3/5
Sugestão: Multiplique ambos os lados por (3x-1)(x2+1) e iguale os coeficientes correspondentes
dos polinômios obtidos em ambos os lados da equação resultante.
63
Aula 5
b) 3x+1
x2+2x−3
=
A
x−1 +
B
x+3 Resp: A= 1 e B=2.
c) x2−3x+3
x3+2x2+x
=
A
x +
B
x−1 +
C
x−12
Resp:
4. Sabemos, da geometria elementar, que existe uma única reta que passa por dois pontos
distintos de um plano. É menos conhecido o fato de que existe uma única parábola que passa por
quaisquer três pontos não colineares de um plano. Para cada conjunto de pontos a seguir,
encontre a parábola com a equação da forma y = ax2 + x + c que passe pelos pontos dados.
(Esboce a parábola resultante para conferir a validade da resposta).
a) (0,1,(-1,4) e (2,1) Resp: y = x2 − 2x + 1
b) (-3,1), (-2,2) e (-1,5) Resp: y = x2 + 6x + 10
5.Um biólogo colocou 3 espécies de bactéria (denotadas por I, II e III) em um tubo de ensaio,
onde elas serão alimentadas por três fontes diferentes de alimentos (A, B e C). A cada dia serão
colocadas no tubo de ensaio 2300 unidades de A, 800 unidades de B e 1500 unidades de C. Cada
bactéria consome um certo número de unidades de cada alimento por dia, de acordo com a tabela
abaixo.
Bactéria da espécie I Bactéria da espécie II Bactéria da espécie III
Alimento A 2 2 4
Alimento B 1 2 0
Alimento C 1 3 1
a) Encontre o sistema que equacione a tabela abaixo.
b) Quantas bactérias de cada espécie podem coexistir no tubo de ensaio de modo a
consumir todo o alimento? (Use somente Eliminação Gaussiana ou Regra de Cramer para resolver
o problema)
Resp: x = 100, y = 350 e z = 350
6. Um biólogo colocou 3 espécies de bactéria (denotadas por I, II e III) em um tubo de ensaio,
onde elas serão alimentadas por três fontes diferentes de alimentos (A, B e C). A cada dia serão
colocadas no tubo de ensaio 1500 unidades de A, 3000 unidades de B e 4500 unidades de C.
Cada bactéria consome um certo número de unidades de cada alimento por dia, de acordo com a
tabela abaixo.
Bactéria da espécie I Bactéria da espécie II Bactéria da espécie III
Alimento A 1 1 1
Alimento B 1 2 3
Alimento C 1 3 5
a) Encontre o sistema que equacione o problema.
b) Quantas bactérias de cada espécie podem coexistir no tubo de ensaio de modo a
consumir todo o alimento? (Use somente Eliminação Gaussiana ou Regra de Cramer para resolver
o problema)
c) Existe alguma solução que satisfaça a equação 2x+ y + z = 1000? (onde x = bactéria I, y =
bactéria II e z = bactéria III)
Resp: x= z , y = 1500 -2z e 0 ≤ z ≤ 750.
64
Aula 5
7.Três proprietários de casas – um pedreiro, um eletricista e um hidráulico –pretendem fazer
consertos em suas três casas. Eles concordam trabalhar um total de 10 dias cada de acordo com a
seguinte tabela:
Dias Dias de trabalho na casa do Trabalho executado pelo
Pedreiro Eletricista Hidráulico
Pedreiro 2 1 6
Eletricista 4 5 1
Hidráulico 4 4 3
Para efeitos de impostos, eles devem declarar e pagar um ao outro um salário diário razoável,
mesmo para o trabalho que cada um faz em sua própria casa. Seus salários diários normais são
cerca de R$100,00, mas eles concordam em ajustar seus respectivos salários diários de tal modo
que saiam empatados, ou seja, de tal modo que o total pago por cada um é igual ao total recebido.
Para satisfazer a condição de “equilíbrio” de que saiam empatados, nós exigimos que total dos
gastos = total recebido para cada um dos proprietários pelo período de 10 dias.
Resp: pedreiro: R$93,00, Eletricista: R$96,00 e Hidráulico: R$108,00.
65
Álgebra - Profa Ana Paula
AULA 6
Data: ____/_____/____
ESPAÇOS VETORIAIS
Com doze andares de altura e pesando 75 toneladas, o US Columbia partiu majestosamente de
sua plataforma de lançamento numa manhã fresca num domingo de abril de 1981, em Palm.
Produto de dez anos de intensa pesquisa e desenvolvimento, o primeiro ônibus espacial dos EUA
foi uma vitória da engenharia de controle de sistemas, envolvendo muitas áreas da engenharia -
aeronáutica, química, elétrica, hidráulica e mecânica.
Os sistemas de controle do ônibus espacial são absolutamente críticos para o vôo. Como o
ônibus espacial é uma aeronave instável, ele requer um constante monitoramento por computador
durante o vôo atmosférico. O sistema de controle de vôo envia uma seqüência de comandos para
as superfícies de controle aerodinâmico e 44 jatos de propulsão.
Matematicamente, os sinais de entrada e saída de um sistema de engenharia são funções. É
importante para as aplicações que essas funções possam ser somadas e multiplicadas por
escalares. Essas operações em funções têm propriedades algébricas que são completamente
análogas às operações de soma de vetor e multiplicação de vetor por escalar no ℝn. Por este
motivo, o conjunto de todas as entradas possíveis (funções) é chamado de um espaço
vetorial.(Texto extraído e adaptado de Livro “Álgebra Linear e suas aplicações”, David C. Lay, 2ª
edição. LTC.).
Definição: Um espaço vetorial real (abreviado por e.v.) é um conjunto V, não vazio, com duas
operações:
soma:
V × V ⊕→ V
v,v′ → v ⊕ v′
e multiplicação por escalar
K × V ⊗→ V
a,v′ → a ⊗ v′
satisfazendo a propriedades operatórias análogas às listadas para matrizes e vetores, sendo:
da soma:
A1) u ⊕ v = v ⊕ u, com u,v ∈ V.
A2) u ⊕ v ⊕ w = u ⊕ v ⊕ w.
A3) Existe um elemento nulo 0 em V tal que u ⊕ 0 = 0 ⊕ u = u.
A4) Para cada u em V, existe um elemento oposto −u em V tal que u ⊕ −u = 0.
da multiplicação por escalar:
M1) α ⊗ u ⊕ v = α ⊗ u ⊕ α ⊗ v.
M2) α + β ⊗ u = α ⊗ u ⊕ β ⊗ u.
M3) α ⊗ β ⊗ u = αβ ⊗ u.
M4)1 ⊗ u = u, para todo elemento u de V.
66
Portanto, dizer que V é um espaço vetorial real significa que V é fechado para soma e para a
multiplicação por escalar. Isto é, se u e v são elementos quaisquer de V, então u ⊕ v está em V. E
se u é um elemento qualquer de V e α qualquer número real, então α ⊗ u está em V.
Obs:
1. Os elementos de V são chamados de vetores.
2. O vetor nulo (0) de V é único.
3. O vetor oposto de v em V, isto é, −v = −1v, é único.
3. Em geral se escreve α ⊗ v = αv e u ⊕ v = u + v, por simplicidade.
Exemplo: Se V é o conjunto das matrizes de ordem 2, chamaremos mesmo assim as matrizes
de vetores.
Exemplos: São espaços vetoriais com as operações usuais (a soma e multiplicação por
escalar conhecidas):
ℝ = conjunto dos números reais.
ℝ2 = x,y/x,y ∈ ℝ = conjunto dos vetores no plano bi-dimensional.
ℝ3 = x,y, z/x,y, z ∈ ℝ = conjunto dos vetores no plano tri-dimensional.
ℝn = x1,x2,… ,xn/xi ∈ ℝ = conjunto dos vetores n-uplas de números reais.
Mmxn = conjunto das matrizes mxn cujos elementos são reais.
Mn = conjunto das matrizes de ordem n cujos elementos são reais.
fx = conjunto das funções reais de variável real.
Pnx = a0 + a1x + a2x² +…+anxn =conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a n de
coeficientes reais.
Exercício 1: Descreva o vetor nulo e vetor oposto de cada espaço vetorial citado acima.
67
SUBESPAÇOS VETORIAIS
Ás vezes, é necessário detectar, dentro de um espaço vetorial V, subconjuntos S que sejam
eles próprios espaços vetoriais "menores". Tais conjuntos serão chamandos subespaços vetoriais
de V.
Exemplo: O conjunto nulo S={0} e o próprio espaço vetorial V são subespaços (triviais) de V.
Definição: Seja V um espaço vetorial real. Um subconjunto S ⊂ V (um conjunto não vazio) é
um subespaço vetorialde V se:
a) 0∈S .
b) Se v,w ∈ S, então v ⊕ w ∈ S.
c) Se k ∈ ℝ e v ∈ S, então k ⊗ v ∈ S.
Seja V um espaço vetorial real e S um subconjunto não vazio de V. S é um subespaço vetorial
de V se S for um espaço vetorial, com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas
para V.
Observação: Muitas vezes usamos a palavra subespaço no lugar de subespaço vetorial e
espaço ao invés de espaço vetorial quando não existe possibilidade de dúvida.
Exemplo: São subespaços de ℝ2 com as operações usuais:
0,0a origem
x
y
uma reta que passa pela origem
x
y
próprio ℝ2
x
y
Exemplo: São subespaços de ℝ3 com as operações usuais:
- 0,0,0 a origem
- uma reta que passa pela origem
- um plano que passa pela origem.
- e o próprio ℝ3
Exemplo: Não é subespaço vetorial de ℝ2 com as operações usuais:
S = x,y ∈ ℝ2/x ≥ 0 e y ≥ 0
68
OBS: ℝ2 ⊈ ℝ3, isto é, 1,3 ≠ 1,3,0!!!!!!!!!!
Exemplo: São subespaços vetoriais de V dado:
a) Snxn = Sn ∈ Mn/S = ST = conjunto das matrizes simétricas de V = Mn (conjunto das
matrizes quadradas de ordem n).
b) Se AX = B é um sistema linear homogêneo de m equações em n incógnitas, então o
conjunto dos vetores-soluções é um subespaço do V = ℝn.
Exemplo:
1 −2 3
2 −4 6
3 −6 9
x
y
z
=
0
0
0
. Encontre a solução deste sistema homogêneo.
Verifique que o vetor-solução pode ser escrito como x − 2y + 3z = 0 que é a equação de um
plano que passa pela origem, isto é, S = x,y, z ∈ ℝ3/x − 2y + 3z = 0 é subespaço vetorial de ℝ3
com as operações usuais.
Isto significa que se somarmos duas soluções, a soma de soluçõe também será uma solução
do sistema. Faça o teste: encontre duas soluções e some-as!
O produto de uma constante real por uma solução também será solução do sistema. Faça o
teste: multiplique uma solução por uma constante real qualquer!
69
E a solução trivial é solução do SEL, o que prova que o vetor-solução é um subespaço vetorial
do ℝ3 com as operações usuais.
E o SEL for não-homogêneo, o conjunto dos vetores-soluções será um subespaço do V =
ℝn? Por quê?
Exemplo: O conjunto S = x,y, z ∈ ℝ3/2x + 3y − 6z = 0 (plano contendo a origem) é um
subespaço de ℝ3.
Exemplo: O conjunto S = x,y, z ∈ ℝ3/2x + 3y − 6z = 12 (plano não contendo a origem) não é
um subespaço de ℝ3.
Exemplo: Sejam S1 e S2 subespaços do espaço V. A interseção de subespaços S1 ∩ S2 é um
subespaço de V, mas a união S1 ∪ S2 não é um subespaço de V.
70
Exercício 2: Quais dos seguintes conjuntos S são subespaços vetoriais de V? Justifique
1) V = ℝ3 e S = a, 0, 0 ∈ ℝ3/a ∈ ℝ Resp: sim
2) V = ℝ3 e S = a, 1, 1 ∈ ℝ3/a ∈ ℝ Resp: não
3) V = ℝ3 e S = a,b,c ∈ ℝ3/b = a + c + 1,onde a,b,c ∈ ℝ Resp: não
4) V = M2 e S = A =
a b
c d
∈ M2/a + b + c + d = 0,onde a,b,c ∈ ℝ Resp: sim
5) V = M2 e S = A =
a b
c d
∈ M2/ detA = 0 Resp: não
6) V = Mn e S = A ∈ Mn/AT = −A Resp: sim
71
Exercícios de Revisão
1) Considere o conjunto cujo único elemento é a Lua. Será este conjunto um espaço vetorial
com as operações Lua⊕Lua = Lua e k ⊗Lua = Lua para cada número real k? Explique o seu
raciocínio. Resp: sim.
2) Você considera possível existir um espaço vetorial formado por exatamente dois vetores
distintos? Explique o seu raciocínio. Resp: não.
3) Determine se o conjunto-solução do sistema AX = 0 é uma reta pela origem, um plano pela
origem ou somente a origem. Se for um plano, obtenha uma equação para este plano; se for uma
reta, obtenha as equações paramétricas desta reta.
a) A =
−1 1 1
3 −1 0
2 −4 −5
b) A =
1 −2 3
−3 6 9
−2 4 −6
c) A =
1 2 3
2 5 3
1 0 8
d) A =
1 2 −6
1 4 4
3 10 6
e) A =
1 −1 1
2 −1 4
3 1 11
f) A =
1 −3 1
2 −6 2
3 −9 3
Resp: a) reta;x = −1/2t,y = −3/2t, z = t b) reta; x = 2t,y = t, z = 0 c) origem
d) origem e) reta; x = −3t,y = −2t, z = t f) plano; x − 3y + z = 0
4) Decida se a afirmação dada é sempre verdadeira ou às vezes falsa. Justifique sua resposta
dando um argumento lógico ou um contra-exemplo.
a) Se AX = B é qualquer sistema linear possível de m equações em n incógnitas, então o
conjunto-solução é um subespaço de ℝn. Resp:falsa
b) Se W é um conjunto de um ou mais vetores de um espaço vetorial V tal que ku + v sempre é
um vetor em W para quaisquer vetores u e v em W e qualquer escalar k, então W é um subespaço
de V. Resp: verdadeira
5) Considere o sistema linear
2x + 4y − 6z = a
x − y + 4z = b
6y − 14z = c
Seja W = x,y, z ∈ ℝ3/x,y, z é solução do sistema. Isto é, W é o conjunto-solução do
sistema;
Que condições devemos impor a a,b,e c para que W seja subespaço vetorial de ℝ3?
Resp:a=b=c=0
72
Álgebra Linear - Profa Ana Paula
AULA 7
Data: ____/_____/____
Combinações Lineares
Definição: Seja V um espaço vetorial real e S = v1,v2,… ,vn uma conjunto de vetores em V.
Dizemos que um vetor qualquer v ∈ V é combinação linear dos elementos de S, se existem
escalares k1,k2,… ,kn ∈ ℝ tal que
v = k1v1 + k2v2 +…+knvn
OBS:
1) Se n = 1, então a equação desta definição reduz a v = k1v1; ou seja, v é uma combinação
linear de um único vetor v1 se for um múltiplo escalar de v1.
2) Se o sistema obtido for impossível (SI), então não existem escalares de modo que v possa
ser escrito como combinação linear dos vetores v1,v2,… ,vn.Portanto, v não é combinação linear
dos vetores v1,v2,… ,vn.
3) Se o sistema tiver solução, isto é, for possível (SP), então v pode ser escrito como
combinação linear dos vetores v1,v2,… ,vn. Se o sistema for SPD, os escalares são únicos, isto é,
v pode ser escrito de forma única como combinação linear dos vetores v1,v2,… ,vn.
Exemplo: O vetor v = 3,−2,1 ∈ R³ pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores
de S = 1,0,0, 1,1,0, 1,1,1.
Exemplo: O vetor v = 4,3,−6 ∈ R³ não é combinação linear dos vetores de
S = 1,−3,2, 2,4,−1.
73
Exemplo: . O vetor v = −4,−18,7 ∈ R³ é combinação linear dos vetores de
S = 1,−3,2, 2,4,−1. Resp:v = 2v1 − 3v2
Exercício 1: Determinar escalares p,q, r ∈ ℝ tal que 1,2,3 = p1,0,0 + q1,1,0 + r1,1,1.
Resp: p = −1,q = −1 e r = 3
Exercício 2: Determine o valor de k para que o vetor u = −1,k,−7 seja combinação linear dos
vetores de S = 1,−3,2, 2,4,−1. Resp: k = 13
74
Exercício 3: Determine a condição para que x,y, z de modo que x,y, z seja combinação linear
dos vetores de S = 1,−3,2, 2,4,−1. Interprete geometricamente. Resp:x − 2y − 2z = 0
Exercício 4: Mostrar que o vetor v=(3,4)∈ ℝ2 pode ser escrito de infinitas maneiras como
combinação linear dos vetores de S={(1,0), (0,1), (2,-1)}.
75
Cada vetor a,b,c em ℝ3 pode escrito como uma combinação linear dos vetores:
i = 1,0,0 j = 0,1,0 k = 0,0,1
pois v = a,b,c = a1,0,0 + b0,1,0 + c0,0,1 = ai + bj + ck.
Exercício 5: Escreva os vetores como uma combinação de i, j e k.
a) (-3,4,5)
b) (0,3,0)
c) (-1,0,0)
d) (0,0,3)
e) (0,3,7)
f) (2,0,-4)
g) (3,5,0)
h) (-1,-1,-1)
i) (1,1,1)
k) (10, 9, 4)
Exercícios de Revisão
1) Quais dos seguintes são combinações lineares de u = 0,−2,2 e v = 1,3,−1?
a) (2,2,2) b) (3,1,5) c) (0,4,5) d) (0,0,0)
Resp: a, b, d
2) Expresse os seguintes como combinações lineares de u = 2,1,4, v = 1,−1,3 e
w = 3,2,5.
a) (-9,-7,-15) b) (6,11,6) c) (0,0,0) d) (7,8,9)
Resp: a) −2u + v − 2w b) 4u − 5v + w c) 0u + 0v + 0w d) 0u − 2v + 3w
3) Quais das seguintes matrizes são combinações lineares de A=
4 0
−2 −2
, B=
1 −1
2 3
,
C=
0 2
1 4
?
a)
6 −8
−1 8
b)
0 0
0 0
c)
6 0
3 8
d
−1 5
7 1
Resp: a, b, c
76
Álgebra Linear - Profa Ana Paula
AULA 8
Data: ____/_____/____
ESPAÇOS FINITAMENTE GERADOS
Definição: Seja V uma espaço vetorial. Consideremos um subconjunto A = v1,v2,… ,vn ⊂ V,
A ≠ . O conjunto S de todos os vetores de V que são combinações lineares dos vetores de A é
um subespaço vetorial de V.